BÀI tập ví dụ VI TÍCH PHÂN 1b CHƯƠNG đạo hàm PHẦN các bài TOÁN lý THUYẾT đạo hàm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM
KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN

co

ng

.c
om

BTC ƠN THI HỌC KỲ 1 KHĨA 2016

ng

th

an

BÀI TẬP VÍ DỤ
VI TÍCH PHÂN 1B

du
o

CHƯƠNG: ĐẠO HÀM

PHẦN: CÁC BÀI TỐN LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM

cu

u

 Lâm Cương Đạt

Cập nhật: 02/02/2017

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

Bài tập về định nghĩa đạo hàm
1. Tìm phương trình của đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tọa độ cho trước
bằng định nghĩa đạo hàm.
a. y  4x  3x 2 ,(2, 4)

c. y  x,(1,1)

b. y  x 3  3x  1,(2,3)

2x  1
,(1,1)
x2

.c
om

d. y 

a.

ng

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

th

an

co

f (x)  f (a)
4x  3x 2  (4a  3a 2 )
f (a)  lim
 lim
x a
x a
x a
x a
4(x  a)  3(x  a)(x  a)
 lim
 lim  4  3(x  a) 
x a
x a
(x  a)
 4  6a

ng

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (2,-4) là: f (2)  4  2.6  8

du
o

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,-4) của đồ thị hàm số là:

u

y  f (2)  (x  2)  f (2)  8(x  2)  ( 4)  8x  12

cu

b.

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:
f (x)  f (a)
x 3  3x  1  (a 3  3a  1)
 lim
x a
x a
x a
x a
2
2
(x  a)(x +ax+a )  3(x  a)
 lim
 lim  x 2 +ax+a 2  3
x a
x a

(x  a)

f (a)  lim

 3a 2  3

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (2,3) là: f (2)  3.22  3  9
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,3) của đồ thị hàm số là:

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

y  f (2)  (x  2)  f (2)  9(x  2)  3

c.
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

f (x)  f (a)
x a
 lim
x a
x a
x a
x a
(x  a)
1

 lim
 lim
x a
x a
(x  a).( x  a )
x a
1

2 a

.c
om

f (a)  lim

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1,1) là: f (1) 

1

2 1



1
2

an

co

1
1
1
y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  1  x 
2
2
2

ng

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,1) của đồ thị hàm số là:

th

d.

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có đạo hàm của f(x) tại a là:

cu

u

du
o

ng

2x  1 2a  1

f (x)  f (a)

x

2
a2
f (a)  lim
 lim
x a
x

a
x a
x a
(2x  1)(a  2)  (2a  1)(x  2)
4(x  a)  (x  a)
(a  2)(x  2)
 lim
 lim
x a
x a (a  2)(x  2)(x  a)
(x  a)
3
3
 lim

x a (a  2)(x  2)
(a  2) 2
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (1,1) là: f (1) 

3
1


2
(1  2)
3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1,1) của đồ thị hàm số là:

1
1
2
y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  1  x 
3
3
3

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

2. Nếu một phương trình tiếp tuyến với đường cong y  f (x) tại điểm a = 2 là
y  4x  5 , tìm f (2), f (2) .

Ta viết lại phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại a = 2
y  4(x  2)  3

y  f (a)(x  a)  f (a)

ng

f (a)  f (2)  4
Vậy 
 f (a)  f (2)  3

.c
om

Ta lại có, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm a có dạng

co

Bài tập về đạo hàm hàm ẩn

ng

du
o

 
a. y.sin 2x  cos 2y,  , 
2 4

th

an

3. Dùng vi phân ẩn để tìm cơng thức của đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho
trước

cu

u

b. sin(x  y)  2x  2y,( , )

d. x 2  2xy  y2  x  2,(1,2)
(đồ thị hyperbola)

 1
e. x 2  y2  (2x 2  2y 2  x) 2 ,  0, 
 2
(đồ thị cardioid)

c. x 2  xy  y2  3,(1,1)
(đồ thị elipse)

a.

 
Xét một đoạn cong ngắn của đồ thị qua điểm  ,  , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn
2 4
y  f (x)

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM

Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

Ta có: f (x).sin 2x  cos  2.f (x) 
Lấy đạo hàm hai vế ta có:
f (x).sin 2x  f (x).2.cos 2x  2.sin  2.f (x) .f (x)
 f (x) 

2f (x) cos(2x)
sin(2x)  2sin  2f (x) 

.c
om




2.
.cos(2.
)


 

4
2
Hệ số góc cua tiếp tuyến tại  ,  là f    

2 4
 2  sin(2.  )  2sin(2.  ) 4
2

4

an

b.

co

   
 
  
y  f    x    f    (x  ) 
2 2 4
2 4
 2 

ng

 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại  ,  là:
2 4

th

Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm ( , ) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn
y  f (x)

du
o

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

ng

Ta có: sin(x  f (x))  2x  2f (x)

(1  f (x)).cos(x  f (x))  2  2f (x)

u

2  cos(x  f (x))
2  cos(x  f (x))

cu

 f (x) 

Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( , ) là f () 

2  cos(  ) 1

2  cos(  ) 3

1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ( , ) là: y  f ()  (x  )  f ()  (x  )  
3
c.
Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm (1,1) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn
y  f (x)

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

Ta có: x 2  x.f (x)  f (x)  3
2

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

2x  f (x)  x.f (x)  2.f (x).f (x)  0
 f (x)  

2x  f (x)
2.f (x)  x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại ( , ) là f ()  

2.1  1
 1
2.1  1

.c
om

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại ( , ) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  1
d.

ng

Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm (1, 2) , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn
y  f (x)
Ta có: x 2  2x.f (x)  f (x)  x  2

co

2

an

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

2x  2.f (x)  1
2x  2.f (x)

ng

 f (x)  

th

2x  2.f (x)  2x.f (x)  1  2.f (x).f (x)  0

du
o

Hệ số góc của tiếp tuyến tại (1, 2) là f (1)  

2.1  2.2  1 7

2.1  2.2
2

e.

cu

u

7
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại (1, 2) là: y  f (1)  (x  1)  f (1)  (x  1)  2
2

 1
Xét một đường cong ngắn của đồ thị đi qua điểm  0,  , ta xem đó là đồ thị của hàm ẩn
 2
y  f (x)



Ta có: x 2   f (x)   2x 2  2 f  x    x
2

2



2

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016


2(4x  1) 2x


 x  2x

2x  2f  x  .f   x   2 2x 2  2 f  x    x .  4x  4.f  x  .f   x   1
 f (x) 

2

2

 2 f  x  



2

2.f  x   2.4.f  x  . 2x 2  2 f  x    x

2



.c
om

2
 2

1
2(4.0  1) 2.0  2.    x   2x
2


 1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại  0,  là f   0  
1
2

 2
1
1  2
1
2.  2.4. . 2x  2    x 
2
2 
2


1
 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại  0,  là: y  f (0)  (x  0)  f (0)  x 
2
 2

co

4. Tính đạo hàm f  x   arcsin x

ng

Bài tập về đạo hàm hàm ngược

th

an

  
Ta có x    ,  , hàm số g  x   sin x song ánh
 2 2

ng

Đặt y = sinx thì

du
o

y  cos x  1  sin 2 x  1  y 2

Theo công thức đạo hàm hàm ngược ta có

cu

u

d
1
1
 arcsin y    
dy
y
1  y2
hay f   x  

1

1 x2

5. Tính đạo hàm f(x)=arctanx

  
Ta có x    ,  thì y= tanx song ánh.
 2 2

y  1  tan 2 x  1  y2
Theo cơng thức tính đạo hàm hàm ngược thì

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

d
1
1
 arctan y    
dy
y 1  y2
1
hay  arctan x  
1 x2

Bài tập về dùng quy tắc Lopital để tính giới hạn
*Chú ý cách trình bày*

.c
om

Đối với các bài tốn sử dụng quy tắc Lopital để tính giới hạn, các bạn
nên xét xem đã thỏa các điều kiện để sử dụng quy tắc hay chưa.
B1: Đặt f1  x   “đa thức tử số”, g1  x   “đa thức mẫu số”.
x a




co

f1  x   lim g1  x   
lim
x a
x a

0
0

tức là lim ở dạng vô định , 0  , hay

ng

 lim f1  x   lim g1  x   0

B2: Nếu  x a

th

f1  x 
f  x
 lim 1
g1  x  x a g1  x 

ng

B4: Áp dụng Lopital lim
x a

an

B3: Tìm f1  x  , g1  x 

du
o

*Nếu lim vẫn ở dạng vô định*
B5: Lặp lại B1 và B2 sau khi đã biến đổi

cu

u

B6: Áp dụng Lopital (liên tiếp) lim
x a

f1  x 
f  x 
f  x 
  ...  lim n

 lim 1
x a

g1  x  x a g1  x  

g
x



n


(L)

Ở các bài tập dưới, sử dụng ký hiệu “  ” tức là sử dụng biến đổi Lopital
và đã xét đến các điều kiện. Khi trình bày vào bài thi, các bạn nên trình
bày đầy đủ các bước để tránh mất điểm
ln(1  x)  x
x 0
tan 2 x

6. lim

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

1
1
ln(1  x)  x 

ln(1  x)  x (L)
x 1
lim


lim

lim
x 0
x 0
x 0
sin x
tan 2 x
2
 tan 2 x 
cos3 x
 x.cos3 x
 lim
x 0 2sin x(x  1)
lim   x.cos3 x   1
x 0

lim  2sin x(x  1)   2
x 0

ln(1  x)  x 1

x 0
tan 2 x
2

.c
om

 lim

ln(tan x)
cos 2x
x
4

co

ng

7. lim

1
ln(tan x)
1
lim
 lim
 lim cos x.sin x  lim 
2
cos 2x
2sin 2x
4sin x.cos 2 x

x
x
x
x
4
4  cos 2x 
4

4

 ln(tan x)

an

(L)

4

x.cos x  sin x

cu

x 0

x.arcsin  x 2 

u

8. lim

du
o

ln(tan x)
 1
cos
2x
x

4

 lim

ng

x

th

lim  4sin 2 x.cos 2 x   1

*dựa vào kết quả bài tập 4 để tính đạo hàm hàm arcsin

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

2x 2
2

arcsin(x
)

 x.arcsin  x  
x.arcsin  x 2  (L)
  lim

1 x4
lim
 lim 
x 0 x.cos x  sin x
x 0
x 0
 x.sinx
 x.cos x  sin x 
2

arcsin(x 2 ) 1  x 4  2x 2 
arcsin(x 2 ) 1  x 4  2x 2 (L)

 lim
 lim 
4
x 0
x 0

 x.sinx. 1  x
 x.sinx. 1  x 4



x 0

2x 4 sin(x)
1 x

(L)

 lim

4

1 x4

6x 1  x 4  2x 3 arcsin(x 2 )
x 0 2x 4 sin x  (1  x 4 )(sin x  x cos x)

 lim

 1  x 4 .sin x  1  x 4 .x.cos x

6x 1  x 4  2x 3 arcsin(x 2 ) 



ng

 lim

2x 3 arcsin(x 2 )

.c
om

6x 



 2x 4 sin x  (1  x 4 )(sin x  x cos x) 
16x 4
 6 1  x 4  6x 2arcsin(x 2 )
4
1 x
 lim 4
x 0 2x cos x  (1  x 4 )(2cos x  x sin x)  8x 3 sin x  4x 3 sin x  x cos x



th

an

co

x 0

ng

 16x 4
4
2
2 
lim 

6
1


x

6x
arcsin(x
)  6
4
x 0
1

x



 lim

x.cos x  sin x



cu

x 0

x.arcsin  x 2 

u

x 0

du

o

lim  2x 4 cos x  (1  x 4 )(2cos x  x sin x)  8x 3 sin x  4x 3  sin x  x cos x    2

9. Tính lim


x 1

6
 3
2

arctan(x-1)
x2  x  2

*dựa vào kết quả bài tập 5 để tính đạo hàm hàm arctan

CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

lim

arctan(x-1)
x2  x  2



x 1

1
2
 lim x  2x  2
2x  1
 x 1
x2  x  2
2 x2  x  2

 arctan(x-1)

(L)

 lim



x 1





2 x2  x  2
 lim
x 1 (2x  1) x 2  2x  2









lim 2 x 2  x  2  0
x 1

lim (2x  1)  x 2  2x  2    3
 lim


x 1

arctan(x-1)
x2  x  2



.c
om

x 1

0
0
3

tan x  x
x 0 arcsin x  ln 1  x
 

co

ng

10. Tìm lim

an

*dựa vào kết quả bài tập 4 để tính đạo hàm hàm arcsin
(L)
tan x  x 

tan x  x
lim
 lim
 lim
x 0 arcsin x  ln 1  x
  x 0 arcsin x  ln 1  x   x 0



du
o

ng

th

tan 2 x

cu

u

tan 2 x. 1  x 2 .  x  1 (L)
 lim
 lim
x 0
x 0
x 1 1 x2

tan 2 x. 1  x 2 

1
1 x

2

x  x  1 tan 2 x
1 x2
x
1 x2

 2
x  x  1 tan 2 x 2  x  1 tan x. 1  x 2
2

lim  tan x. 1  x 

x 0
cos 2 x
1 x2






1
x 1

2  x  1 tan x. 1  x 2
cos 2 x

1


0


 x

lim 
 1  1
2
x 0
 1 x


tan x  x
0
 lim
 0
x 0 arcsin x  ln 1  x
  1
11. Tìm lim  ar tan x 
x 0

tan x



CuuDuongThanCong.com

/>

Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

*dựa vào kết quả bài tập 5 để tính đạo hàm hàm arctan

lim  arc tan x 

tan x

x  0

 lim e tan x.ln(arctan x )  e

lim tan x.ln(arctan x )

x 0

x  0

1



ln



tan x
arctan x  
 tan x.arctan x.ln(arctan x) 


lim  tan x.ln(arctan x)   lim 
   lim
  xlim
x 0
x 0
0 arctan x
1
arctan x

 x 0



arctan x 










.c
om



1
1


2
(L)
2
1 x2 
arctan x(x  1) 
cos
x


 lim
  lim
 lim
  lim  arctan x  
2
x 0
x

0
x

0

1

1


cos x  x 0
2
2
2

1 x
 x  1 arctan x 

1 x2
lim
1
x 0 cos 2 x

lim  arctan x   0


ng





co

x  0

 lim  tan x.ln(arctan x)   0.1  0
tan x

x  0

1

x




 e0  1

cu

u

du
o

1

x
1

x


12. Tìm lim 
x 0 
e


lim tan x.ln(arctan x )

x 0

th

x  0

 lim e tan x.ln(arctan x )  e

ng

 lim  arc tan x 

an

x  0

1

1  x  x
lim 
x 0 
e


e

lim

1

x 0 
 x2

1

1
ln(1 x )
x
x
x
1


x


e
  lim
 lim
1
1
x 0
x 0

x
x
e
e

1

2

2

1
ln(1 x )  
x

1
1
1

ln(x  1)  x
1
x

1
lim  2 ln(1  x)    lim
 lim
x 0 x
x 0
x  x 0
x2
2x

(L)

CuuDuongThanCong.com

/>



Khoa Cơng nghệ thơng tin – ĐH KHTN TP.HCM
Ơn thi Học kỳ 1 – Khóa 2016

 lim
x 0

x
1
1

 lim

x

0
2x(x  1)
2(x  1)
2
1

x
1
1
1
lim
ln(1 x )  

x
  e  x
e 2


x 0

2

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

.c
om

1

x
1

x


 lim 
x 0 
e


CuuDuongThanCong.com

/>