BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 CHỦ ĐỀ ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ

lOMoARcPSD|11424851

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2
CHỦ ĐỀ : ÔN TẬP CÁC DẠNG BÀI ĐÃ HỌC VÀ
SƯU TẦM CÁC VÍ DỤ
Giảng viên hướng dẫn :Huỳnh Thị Hồng Diễm
Nhóm lớp: L21,nhóm:07

Tp Hồ Chí Minh,Ngày tháng 5 năm 2021
1


lOMoARcPSD|11424851

Mụcl
ục
Sinh viên thực hiên:…………………………………………..
Hoàn thành các chủ đề:……………………………………….
I: Bài làm từng thành viên……………………………………
II:Nội dung ……………………………………………………
Chủ đề 1:Vector Gradient, mặt phẳng tiếp diện
Chủ đề 2: Vi phân
Chủ đề 3: Đạo hàm của hàm nhiều biến
Chủ đề 4: Ứng dụng hình học của tích phân kép
Chủ đề 5: Tích phân bội ba
Chủ đề 6: Tích phân đường
Chủ đề 7 : Tích phân mặt
Chủ đề 8 : Chuỗi ( chuỗi số,chuỗi lũy thừa)

Danh sách các thành viên trong nhóm 7 (L21) :
+ Lê Hoàng Đức

-MSSV: 2012991

+ Nguyễn Hữu Hạnh

-MSSV: 2013095

+ Hồ Thanh Hải

-MSSV: 2013066

+ Nguyễn Tấn Hào

-MSSV: 2013053

+ Phan Anh Hào

-MSSV: 2013055
2


lOMoARcPSD|11424851

+ Trần Công Hiển

-MSSV: 2013188

+ Đặng Trung Hiếu

-MSSV: 2013137

+ Đỗ Hữu Trung Hiếu

-MSSV: 2013138

I/ Bài làm từng thành viên
STT:01 Tên: Đặng Trung Hiếu
MSSV:2013137
Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện
Ví dụ 1: Cho f(x,y) = ln ⁡( x + y ) +2x+4xy, M(1;2) , Mo(3;5). Tìm
đạo hàm f tại M theo hướng ⃗l với ⃗l là vecto đơn vị của
∇f ( M ) .
2

2

Giải:
f 'x

=

2x
x + y2

+2+4y

f 'y

=

2x
x + y2

+4x

∇f ( M )
(

2

2

=(

52 24
; )
5 5

∂f
∂ ⃗l

=

(M)=

(M),

f 'x

2
52
'
⇒f x ( M )= +2+8=
5
5
4
24
⇒f ' y ( M )= +4=
5
5
f 'y

(M))=

(

)

52 24 ⃗
,
l
5 5

√

=

∇f ( M )
|∇f ( M )|

=

√

1 5 52 24
.( ; )
4 41 5 5
f 'x

(M).l₁ +

f 'y

(M).l₂=
205
= 4 √5

3

( 525 . 525 + 245 . 245 ) . 14 √ 415

1
2

52 24 2
+
5

5

.


lOMoARcPSD|11424851

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong
1 1 1
¿
, ,
2 2 √2

tại điểm P (

x 2+ y 2 +z 2=1

.

Giải:
Đặt F(x,y,z) =

x + y + z − 1=0
2

2

2

Ta có: F’x = 2x ; F’y = 2y ; F’z = 2z

Tại P (

1 1 1
, ,
¿
2 2 √2

ta có F’x = 1 ; F’y = 1 ; F’z = √ 2

Phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cong tại P là : ( x 1
¿
2

1

1
¿
2

+(y–

+ √ 2 ( z - √2 ¿
Hay x + y + √ 2 z – 2 =0.
Chủ đề 2: Vi phân
Ví dụ 1: Tính vi phân hàm số f(x,y)= tan(

xy ¿
2

?

Giải:
f'x
f

'

(x,y)= [ tan ( x y ) ] ' =
(x,y)= [ tan ( x y ) ] ' =
x

y 2 [ 1+ tan 2 ( x y 2 ) ]

y

y 2 [ 1+tan 2 ( x y 2 ) ]

2

2

y

⇒df ( x , y )=f

'
x

(x,y)dx+

f

(x,y)dy =

'
y

y 2 [ 1+ tan 2 ( x y 2 ) ]

+

2
2
2
y [ 1+ tan ( x y ) ]

Ví dụ 2:Cho hàm số f(x,y) =

3

2

2

2x y − x y

Giải:
'

f x ( x , y)

=

2

2

6 x y − 2 xy

'

⇒f x (1 ; −1)

4

=8

. Tính df(1;-1)?


lOMoARcPSD|11424851

f ' y ( x , y)

=

⇒df ( x , y )=f

(x,y)dx+

'
x

= -5

⇒f ' y (1; − 1)

4 x3 y − x2

f

(x,y)dy= 8dx-5dy

'
y

Chủ đề 3: Đạo hàm hàm nhiều biến:
Ví dụ 1: Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hang với giá P₁= 60
và P₂=75. Hàm chi phí C= Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂². Tìm các mức sản
lượng Q₁, Q₂ doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại?
Giải:
Hàm doanh thu : R= P₁Q₁+ P₂Q₂= 60Q₁+75Q₂
Hàm chi phí: C= Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂²
Hàm lợi nhuận:

{

{

π 'Q =0

◦ '
π Q =0

{

⇒ −2 Q1 − Q 2+ 60=0 ⇒ Q1=15
−Q1 −2 Q 2+ 75=0 Q2=30

1

2

◦ π ''Q 1 Q 1

=R – C =60Q₁+75Q₂ - (Q₁²+ Q₁².Q₂²+ Q₂²)

π

= -2 ;

= -1 ;

π ' 'Q 1 Q 2

Xét tại điểm M( 15; 30) có
Vì

∆=3>0

và

π ' 'Q 1 Q 1

π ' 'Q 2 Q 2

= -2

∆=( −2 ) ( −2 ) − ( − 1 ) =3
2

= -2 < 0 nên M( 15;30) là điểm cực đại

khi đơn vị sản xuất 15 đơn
vị hàng hóa thứ nhất và 30 đơn vị hàng hóa thứ hai.
⇒π cđ =60.15+75.30−(15 +15 . 30 +30²)=1575
2

2

2

5


lOMoARcPSD|11424851

Chủ đề 4: Ứng dụng hình học tích phân kép
Ví dụ 1: Tính

SD

với D={

y 2=4 x ; x + y=3 ; y ≤0 }

?

Giải:

{

Chiếu lên trục Oy: D:
0

3−y

dy ∫ dx
= ∫
= ∫
−6
y

⇒S D

0

2

−6

4

(

−6≤ y≤0
y2
≤ x≤3− y
4
2

3− y −

)

y
dy =18
4

.

Ví dụ 2: Tính diện tích miền D được giới hạn bởi

{

x 2 + y 2=2 x ; x 2 + y 2=4 x
x= y ; y=0

Giải

dxdy

Ta có: S= ∬
D
π
4

4 cosφ

S= ∫ dφ ∫
0

2 cosφ

rdr

=

, đặt
π
4

{

x =rcosφ
y=rsinφ

1
∫ 12cosφdφ
2 0

=

⇒D :

{

π
4
2 cosφ ≤r ≤ 4 cosφ
0 ≤ φ≤

3π 3
+
4 2

Chủ đề 5: Tích phân bội ba
6


lOMoARcPSD|11424851

Ví dụ 1: Tính I =

x
(¿ ¿ 2+ y 2 )dxdydz
∭¿

với D là miền giới hạn bởi z +

V

x +y
2

; z = 4. Hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy là hình

2

trịn

x 2+ y 2 ≤ 4.

Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ trụ
V được giới hạn bởi
2π

2

4

I= ∫ dφ∫ r ∫ dz =
3

0

r2

0

{

x =rcosφ
y=rsinφ
z=z

0 ≤ φ ≤2 π ; 0 ≤ r ≤2 ; r 2 ≤ z ≤ 4

32 π
3

Ví dụ 2: Tính I= ∭ √ x + y + z
x + y +z ≤ z .
2

2

2

dxdydz

V

2

2

với V là miền giới hạn bởi

2

Giải:
Chuyển sang hệ tọa độ cầu :

{

{

rsinθcosφ
rsinθsinφ
rcosθ

, miền V được giới hạn bởi

0≤ r ≤ cosθ
π
0≤θ≤
2
1≤ φ ≤ 2 π

⇒

I= ∭ r

3

sin θdrdθdφ

V

2

π
2

cosθ

= ∫ dφ ∫ dθ ∫ r
0

0

0

3

sinθdr=

π
10

Chủ đề 6: Tích phân đường
7


lOMoARcPSD|11424851

∫ y 2 ds

Ví dụ 1: Tính

{

; C là đường cong

C

x =a ( t − sint )
y=a ( 1 −cost )

;

0 ≤t ≤2 π ; a>0

Giải:
◦

{

'

x t =a (1− cost)
'
y t=asint

⇒√ x + y
'2
t

∫

Ví dụ 2: Tính

2

'2
t

= 2a

x + y =2 x

2π

3

256 a
t
⇒I =∫ a ( 1 −cost ) .2asin dt=
2
15
0

( x4 ) dy − y ( x + 4y ) dx

x2 y+

2

t
2

sin

2

2

2

?

Giải:

Đặt:

{

( 4x )
y
Q ( x , y )= y ( x+ )
4
P ( x , y ) =x 2 y+
2

Từ công thức Green :

I =∫
D

( ∂∂Qx − ∂∂ Py ) dxdy=∫ (4 xy+ 34 x + 34 y ) dxdy

2

D

4 xydxdy =0
vì ∫ ¿
D

3
¿ ∫ ( x2 + y 2 ) dxdy ¿
4D

Đặt

=rcosφ , có : − π ≤ φ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 2 cosφ
{xy=rsinφ
2
2

8

2


lOMoARcPSD|11424851

π
2

Vậy

I=

3
∫ dφ
4 π
−

2 cosφ

∫

r 2 . r . dr=

0

3
4

π
2

∫ 4 cos 4 φ= 98 π
−

2

π
2

Chủ đề 7: Tích phân mặt
Ví dụ 1: Tìm phần diện tích mặt Parabolic có phương trình z =
1-x²-y² nằm trong mặt trụ x²+y²=1.
Giải:
S = ∬ √1+( z ) +( z ) dxdy
' 2
x

' 2
y

D

Có:

z 'x =− 2 x

Đặt

=rcosφ
{xy=rsinφ
2π

⇒

,

z 'y =−2 y

với

1

S= ∫ dφ∫ √1+4 r
0

2

. rdr

0 ≤ r ≤ 1; 0≤ φ ≤ 2 π

=

0

(5 √5 − 1)π
6

.

Ví dụ 2: Tính ∬ z ( x + y ) dxdy trong đó S là nửa mặt cầu
x + y +z =1 ; z ≥ 0 , hướng chiếu của S là phía ngồi mặt cầu.?
2

2

S

2

2

2

Giải:

9


lOMoARcPSD|11424851

Ta có mặt z=√ 1− x − y ; hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là
miền D: x + y ≤1 .Hơn nữa ⃗n tạo với Oz góc nhọn nên:
I =∬ √ 1− x − y ( x + y ) dxdy
2

2

2

2

2

2

2

2

D

Đặt

=rcosφ ⇒0 ≤ φ ≤2 π ; 0≤ r ≤1
{xy=rsinφ
2π

1

0

0

⇒I =∫ dφ ∫ √ 1− r 2 .r 3 dr =

4π
15

Chủ đề 8: Chuỗi
∞

1
1+n
ln ⁡(
)
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ phân kì của chuỗi số ∑
n −1 ?
n=2 √ n

Giải:
Ta có:

( )

(

1
1+ n
1
2
ln
= ln 1+
n −1
√ n n −1 √ n

)

1
2
2
.
√ n n −1 n1,5

∞

2
Mà ∑
hội tự
1,5

n=2 n

⇒cℎ uỗsố
i trên ℎ ội tụ .

10


lOMoARcPSD|11424851

Ví dụ 2:Khảo sát sự hội tụ phân kì của chuỗi

∞

∞

3n n !
∑ n n =∑ a n
n=1
n=1

Giải:
◦

an +1=

3n+1 (n+ 1) !
(n+1)n+1

an +1

⇒
an

=

3.3 ( n+1 ) . n !
( n+1 )n (n+1)
n

=

3.3n n !
(n+1)n

.

nn
3n. n !

=

n

3.3 n !
n
(n+1)

=
3
1

1+
n

( )

n

3
e

n→∞
→

>1 nên chuỗi

phân kì.
STT:02 Tên:Nguyễn Tấn Hào
MSSV: 2013053
Chủ đề 1: Vector Gradient, mặt phẳng tiết diện
y

Ví dụ 1:Tìm đạo hàm của f ( x , y ) =arctg x tại điểm
theo hướng pháp véctơ của đường tròn x + y =2 x .
2

1 3
M 0=( , √ )
2 2

2

Giải:
=>

F ( x , y ) =x2 + y 2 −2 x=0

Véctơ đơn vị
f 'x =−
'

f y=

y
x + y2
2

x
x + y2
2

(

⃗l 0= − 1 , √ 3
2 2

⃗n=( F'x , F 'y )= ( 2 x − 2, 2 y )

)

=>

3
f 'x ( M 0 ) =− √
2

=>

f 'y ( M 0 ) =

1
2

11

=>

⃗n M =(−1, √ 3)
0


lOMoARcPSD|11424851

3
f 'l⃗ ( M 0 ) =( f 'x ( M 0 ) , f 'y ( M 0 ) ) . ⃗
l 0= √
2
0

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt tiếp diện và phương trình của
pháp tuyến với mặt cong 2 x −4 y + z tại A(2,1,1).

2

2

4

Giải:
F ( x , y , z )=2 x 2 − 4 y 3+ z 4=0

{

F 'x =4 x
'
2
F y =− 12 y
F'z=4 z 3

{

F'x ( A )=8
'
F y ( A )=− 12
F'z ( A )=4

=>

Phương trình mặt phẳng tiếp diện:
Phương trình pháp tuyến:

8 ( x − 2 ) −12 ( y −1 ) +4 ( z −1 )=0

x −2 y − 1 z −1
=
=
8
−12
4

Chủ đề 2:Vi phân
Ví dụ 1: Cho hàm số

f ( x , y ) =x y

. Tìm

df ( 2,1 )

Giải:
f ' x = y x y −1

,

f ' y =x y lnx

df =f 'x dx +f 'y dy=dx +2 ln 2 dy

Ví dụ 2: Tìm dz/dt của

z=2 x +3 y +4 xy
2

2

với x = cost, y = sint ?

Giải:
Ta có:

∂z
=4 x+ 4 y
∂x

,

∂z
=6 y + 4 x
∂y

,

dx
=− sint
dt

dz
=− ( 4 x +4 y ) sint + ( 4 x+6 y ) cost=sin 2t +4 cos 2 t
dt

12

,

dy
=cost
dt


lOMoARcPSD|11424851

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến
Ví dụ 1: Mỗi tuần, công ty A cung cấp cho thị trường Q đơn vị
sản phẩm. Nếu số lượng nhân công sử dụng bao gồm x công
nhân lành nghề và y công nhân chưa lành nghề, số lượng sản
phẩm đầu ra mỗi tuần là
Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị),
Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công nhân
lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40 công nhân lành
nghề và 65 công nhân chưa lành nghề. Tốc độ này nói lên điều
gì?
Giải:
Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề là
(40, 65).
Q'x

'

Qx

(40, 65) = 1750 (đơn vị/người).

Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản
phẩm tăng thêm 1750 đơn vị.
Ví dụ 2:Một cơng ty sản xuất quạt máy có mơ hình sản lượng
Cobb-Douglas trong đó L là tổng chi phí nhân cơng (triệu đồng),
C là vốn đầu tư hạ tầng, thiết bị (triệu đồng) thì số lượng quạt
máy được sản xuất là
P (L, C) = 105 L0.0457 C0.9543 (quạt máy)
13


lOMoARcPSD|11424851

Tính tốc độ thay đổi sản lượng quạt máy của cơng ty theo chi phí
nhân cơng tại thời điểm cơng ty đang chi 200 triệu đồng cho lao
động và 800 triệu đồng cho vốn đầu tư. Tốc độ này nói lên điều
gì?
Giải:
Tốc độ thay đổi sản lượngquạt máy theo chi phí nhân cơng là
P (200, 800).
'
L
'

PL

(200, 800)

≈

18 (quạt máy/triệu đồng).

Tại thời điểm này, khi chi thêm 1 triệu đồng cho nhân công, số
sản phẩm được sản xuất tăng thêm 18 quạt máy.
Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của TP kép

{

x 2 + y 2 + z=4
z=2

Ví dụ 1: Cho Ω là miền giới hạn bởi

Tính thể tích miền Ω (bỏ qua đơn vị tính).

Giải:
Mặt trên là mặt paraboloid:
Mặt dưới là mặt phẳng:

2

z=4 − x − y

2

z=2

14

Downloaded by nhung nhung ()

lOMoARcPSD|11424851

Hình chiếu của Ω lên Oxy là miền D:
2

V Ω =∬ dxdy

4−x −y

∫

D

x 2+ y 2 ≤ 2

2

dz =∬ (2− x2 − y 2 )dxdy
D

2

Biến đổi trong tọa độ cực ta có:
2π

√2

0

0

V Ω =∫ dθ∫ ( 2− r 2 ) rdr=2 π

Ví dụ 2: Tính diện tích phần mặt paraboloid
mặt trụ x + y =1
2

z=x 2+ y 2

2

Giải:
Có:

∂z
=2 x
∂x
S=∬
D

√

;

∂z
=2 y
∂y

∂ z 2 ∂z 2

1+( ) +( ) dxdy=∬ √ 1+ 4 (x 2+ y 2 )dxdy
∂x
∂y
D

Hình chiếu giao tuyến xuống Oxy: D:

x + y ≤1
2

2

Chuyển sang tọa độ trụ:
=rcosφ
{xy=rsinφ
2π

{ 0 ≤ φ ≤2 π ,0 ≤ r ≤1 }

1

π
S=∫ dθ ∫ √1+4 r 2 .rdr= ( 5 √ 5 −1)
6
0
0

Chủ đề 5:Tích phân bội ba
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi

{

x 2+ y 2+ z 2=1
x 2 + y 2 + z 2=4
z ≥ √ x2+ y2

15

Downloaded by nhung nhung ()

bên trong


lOMoARcPSD|11424851

Giải:
Thể tích
V =∭ dxdydz
E

{

x =rcosθsinφ
y=rsinθsinφ
z=rcosφ

Đặt


π

4

{
2

V =∫ dφ ∫ dθ ∫ r sinθdr=
2

0

0

J =− r 2 sinθ

0≤ φ ≤ 2 π
π
0≤θ≤
4
1≤ r ≤2

E1:
2π

,

1

14
7 √2
π−

π
3
3

I =∭ √ x 2 + y 2 dxdydz

Ví dụ 2: Tính tích phân

V

, trong đó V là vật thể giới hạn bởi:
z=4, z=1 − x − y , x + y =1
2

2

2

2

Giải:

{

x =rcosφ
y=rsinφ
z=z

Đặt:

,

Mặt phía trên:

J =r

z=4

Mặt phía dưới:

z=1 − x − y =1− r
2

2

Hình chiếu xuống Oxy: D:
V1:

2

x + y ≤1
2

2

{

0≤φ≤2π
0 ≤ r ≤1
1 − r2 ≤ z ≤ 4

16

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

2π

1

0

0

I =∫ dφ∫ dr

4

π
∫ r . rdz= 12
5

1− r2

Chủ đề 6:Tích phân đường
Ví dụ 1: Tính
I =∫ ( x 2+ y 2) ds
C

, với C là nữa đường tròn

x + y =2 x
2

2

;

x ≥ 1.

Giải:
Viết phương trình tham số cung C:

{

−π
π
C x=1+cost ,
≤t≤
2
2
y=sint

√

ds= ( x ' ) + ( y ' ) dt=√ ( sint )2+ (− cost )2 dt=dt
2

2

π
2

I = ∫ [ ( 1+ cost ) + ( sint ) ] dt=2 π +4
2

2

−π
2

Ví dụ 2: Tính
I =∫ ydx + xdy
C

, trong đó C là cung
kim đồng hồ.

x + y =2 x
2

2

từ O(0,0) đến A(1,1) theo chiều

Giải:
Ta có:

{

x=1+cost
C y=sint
t : π → π /2

=>

¿
dx=− sintdt
dy=costdt
¿
¿

17

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

π
2

I =∫ [ − sint . sint + ( 1+cost ) cost ] dt=1
π

Chủ đề 7:Tích phân mặt
Ví dụ 1: Tính tích phân
I =∬ ( 2 x+2 y + z −1 ) dS

S

, trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1,

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Giải:
Trên mặt S ta có:

z=1 − x − y , ( x , y ) ∈ D

, trong đó

D= { ( x , y ) :0 ≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤1 − x } .

Do đó:
I =∬ ( x + y ) dS=∬ ( x + y ) √ 1+ z 'x2+z 'y2 dxdy
S

D

3
¿ √ 3∫ dx ∫ ( x + y ) dy= √
3
0
0
1

1−x

Ví dụ 2: Tính
I =∬ z ( x 2+ y 2 ) dxdy
S

, trong đó S là nửa.
mặt cầu

z=− √ 1 − x 2 − y 2

, hướng của S là phái ngoài mặt cầu.

Giải:
S:

{

z=− √1 − x − y
( x , y ) ∈ D xy : x 2+ y2 ≤1
2

2

18

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Vì

hợp với chiều dương của Oz một góc tù nên

⃗n

I =−∬ − √ 1− x2 − y 2 ( x 2+ y 2 ) dxdy
Dxy
2π

1

0

0

4π
15

¿ ∫ dφ∫ √ 1 −r 2 . r 3 dr=

Chủ đề 8:Chuỗi
Ví dụ 1: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
∑(
∞

n=1

1
1+
n

) 21
n

2

n

Giải:
Xét
lim √|un|= lim
n

n →∞

n→ ∞

√|(
n

1
1+
n

)

n

2

|

1
1 n1 e
=lim
(1+
) =
n 2 2
2n n → ∞

Vậy chuỗi phân kỳ.
Ví dụ 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi
∞

1
(2 x − 3)n (1)
∑ 2 n−
n
5
n=1

Giải:
Đặt X = 2x – 3, (1) trở thành:
∞

1 n
X (2)
∑ 2 n−
n
5

n=1

Xét
19

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

ρ= lim
n→∞



| |

n
un +1
5 2 ( n+1 ) − 1 1
2n+1 1
=lim
= lim
=
n +1
un
2
n
−1
5

2
n −1 5
n →∞
n →∞
5

Bán kính hội tụ

1
R= =5
ρ

Xét X = 5:
∞

∞

n=1

n=1

1 n
.5 =∑ 2n −1 phân kỳ
∑ 2 n−
n
5

Xét X = -5:
∞

∞

n=1

n=1

1
n
.(− 5)n =∑ ( −1 ) ( 2 n− 1 ) phân kỳ
∑ 2 n−
n
5




Miền hội tụ của (2) là
Miền hội tụ của (1) là

−5< X <5
−1< x <4

Vậy miền hội tụ là (-1; 4).
STT:03 Tên: Hồ Thanh Hải
MSSV: 2013066

Chủ đề 1: Vector Gradient,mặt phẳng tiết diện
Ví dụ 1:Nhiệt độ T tại 1 điểm trong quả cầu kim loại tỉ lệ nghịch
với khoảng cách từ tâm cầu đến điểm đó, lấy tâm cầu là gốc tọa
độ. Cho biết nhiệt độ tại điểm M(1,2,2) là 1200C. Tìm tốc độ

biến thiên của T tại M theo hướng đến điểm N(2,1,3) ?
Giải:
c

Ta có :T(x,y,z)= √ x + y + z
2

2

2

20

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Tại M(1,2,2) có nhiệt độ 1200C thì: TM(1,2,2)=1200C
c

Suy ra √1 +2 +2 =120 => c=360
2

2

2

360

Vậy T= √ x + y + z
2

+

2

2

=(1,-1,1);

⃗
MN

∇T ( M )

=

− 40
3

(1,2,2)

Tốc độ biến thiên của T tại M theo hướng N là:
T’MN(M)=

∇T (M ). ⃗
MN
|⃗
MN|

− 40

= 3 √3

Ví dụ 2: Nếu f(x,y)=x. e ,tìm tốc độ biến thiên của f tại điểm
1
P(2,0) theo hướng từ P đến Q( 2 ,2) có tốc độ biến thiên cực đại
theo hướng nào ?
y

Giải:
Ta có : vectow Gradient;
∇f ( x , y) =(f’x,f’y)=(ey,x.ey)

∂f
∂⃗
PQ

=(1,2),

⃗
PQ

(P)=(1,2).(

=(

⃗
PQ

−3
2

−3

,2) => |⃗
=( 5 ,
PQ|
Tốc độ biến thiên của f theo hướng P đến Q là
∇f ( 2,0)

−3 4
,
5 5

)=1.

−3
5

+2.

4
5

4
5

)

=1

Chủ đề 2: Vi phân
Ví dụ 1: Xét hệ z=f(x,y)=x4+y4-2x3y3 .Tìm vi phân sau
∂z
∂y

?
21

Downloaded by nhung nhung ()

∂z
∂x

;


lOMoARcPSD|11424851

Giải:
+

∂z
∂x

=4x3-6xy3

+

∂z
∂y

=4y3-6x3y

Ví dụ 2: Cho hàm ln(x2+xy+y2) .Tính x.

∂z
∂x

+y.

∂z
∂y

?

Giải:
+

∂z
∂x

=

Vậy x.

2x+ y
x + xy + y 2

2

∂z
∂x

+y.

; +
∂z
∂y

=

∂z
∂y

=

2 y+ x
x + xy + y 2
2

x (2 x+ y)+ y (2 y +x)
x 2 +xy + y 2

=2

Chủ đề 3:Đạo hàm của hàm nhiều biến
Ví dụ 1: Mỗi tuần, cơng ty A cung cấp cho thị trường Q
đơn vị sản phẩm. Nếu số lượng nhân công sử dụng bao

gồm x công nhân lành nghề và y công nhân chưa lành
nghề, số lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần là
Q (x, y) = 1350x + 360y + x2y – x3 – y2 (đơn vị),
Tính tốc độ cung ứng sản phẩm của công ty theo số công
nhân lành nghề tại thời điểm công ty đang sử dụng 40
công nhân lành nghề và 65 công nhân chưa lành nghề.
Tốc độ này nói lên điều gì?
22

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Giải:
Tốc độ cung ứng sản phẩm theo số công nhân lành nghề
là Q (40, 65).
'
x

'

Qx

(40, 65) = 1750 (đơn vị/người).

Tại thời điểm này, khi tăng thêm 1 công nhân lành nghề, số sản
phẩm tăng thêm 1750 đơn vị.
Ví dụ 2: Bán kính dáy và chiều cao của hình nón trịn đứng
được đo tương ứng là 10cm và 25cm, với sai số khả dĩ là 0,1cm.

Sử dụng vi phân để tính sai số tối đa khi tính thể tích của hình nón.
Giải:
-Ta có: Thể tích hình nón V=

1
3

.

π

.r2.h

+Khi vi phân ta được:
dV=V’r.dr+ V’h.dh=
dV(10,25)=
=20

500 π
3

2 π rℎ
3

.(0,1)+

.dr +
100 π
3

1
π
3

.r2.dh

.(0,1)

π

Kết luận:Sai số thể tích tối đa khoảng 20

π

cm3.

Chủ đề 4:Ứng dụng hình học của TP kép
23

Downloaded by nhung nhung ()


lOMoARcPSD|11424851

Ví dụ 1: Tính diện tích phần mặt nằm ngồi đường tròn r=1 và
2

nằm trong đường tròn r= √3 cosφ ?
Giải:

Trước tiên ,ta tìm giao điểm:
cos

φ

3
= √2 =>

φ=

π
6

;

φ=

−π
6

Vậy :
π
6

2

√ 3 cosφ

S= ∫ ∫
−π

6

r . dr . dφ

1

3 3−π
= √18

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể
√ 2− x − y ?
2

ω

giới hạn bởi z= √ x + y ;z=
2

2

2

Giải:
-Khi mặt phẳng giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của
nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z của 2 phương trình 2
mặt:
24

Downloaded by nhung nhung ()

lOMoARcPSD|11424851

+

x 2+ y 2

=2-

x2

-

y2

<=> x2+y2 =1
+ Hình chiếu của giao tuyến là đường trịn thì hình chiếu vật
thể là hình trịn x2+y2 ≤ 1
+ Với bất đẳng thức hình trịn ,ta thay ngược lên phương trình
ta được : √ x + y ≤ √2 − x − y
2

2

2

2

Vậy ta có tích phân sau:
❑

√2 − x 2 − y 2 − √ x2 + y 2 .dx.dy
I= x ∬
+ y ≤1
2

2

√ 2− r 2
¿
r¿
1

= ∫ ¿ -r).dr.d

φ

0
2π

∫¿
0

=

2π
3

.( √ 4 − 1¿
3

Chủ đề 5: Tích phân bội ba
25

Downloaded by nhung nhung ()