CHUYÊN ĐỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT THCS.

GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289. Facbook:
.Gmail: hoặc


KIẾN THỨC TRỌNG TÂM:

A.
1.

Định nghĩa: số tự nhiên a chia hết cho stn
q≠0

tự nhiên

b≠0

khi và chỉ khi tồn tại số

sao cho a=b.q.

+) Khi a=bq ta nói a là a là bội của b, và b là ước của a.
+) Kí hiệu
2.

a Mb

.

Các tính chất suy luận trực tiếp từ định nghĩa:
0Ma∀a ≠ 0.

a Ma∀a ≠ 0.

(1)
(2)

ka Ma∀a ≠ 0.

3.

(dấu hiệu chia hết của một tích.) (3)
Các dấu hiệu đặc biệt:
a. Dấu hiệu chia hết của một tổng:
 a1 Mm
 a Mm
 2
⇒ ( a1 ± a2 ± ...an ) Mm

M

 an Mm

(4)

+) Chú ý: Điều ngược lại chưa chắc đã đúng.
Chứng minh:
Do đó

a1 Mm ⇒ a1 = k1m

,

a2 Mm ⇒ a2 = k2 m

( a1 ± a2 ± ...an ) = ( k1 ± k2 ± ... ± kn ) m = kmMm

,….

an Mm ⇒ an = kn m

.

(Dấu hiệu 3).

3.2 . Các dấu hiệu chia hết cho 2, cho3, cho 4, cho 5, cho6, cho 7, cho 8, ….
3.3. Dấu hiệu nâng cao:
a)
b)

a Mm ⇒ a n Mm

(5)

a Mm
⇒ abMmn

 b Mn

Chứng minh:

(6)

a Mm ⇒ a n Mm

(5) hoàn toàn suy luận từ (3).


GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289. Facbook:
.Gmail: hoặc


Chứng minh :
Ta có

a Mm ⇒ a = km
ab Mmn

Vậy ta có
c)

 a Mm
⇒ ab Mmn

 b Mn

,

ta dựa vào tính chất (3):

b Mn ⇒ b = ln

, khi đó ab =(kl)mn=h(mn)

(đpcm).

 a Mm
⇒ a MBCNN (m, n).

 a Mn

(7)

Chứng minh:
 a Mm ⇒ a ∈ B(m)
⇒ a ∈ BC (m, n) ⇒ a MBCNN(m, n).

 a Mn ⇒ a ∈ B (n)

Do:

•

HQ:

 a Mm

 a Mn ⇒ a Mmn.
(m, n) = 1


(8)

Chứng minh:
Theo tính chất (7):

 a Mm
⇒ a MBCNN (m, n)

 a Mn

(*)

Mặt khác: (m, n)=1(gt) nên BCNN(m,n)=mn (**)
Từ (*) và (**) ta có đpcm.

d)


 aMp
aMp
⇒

ntố  bMp
 pnguyê

* HQ:

(9)


an Mp

⇒ aMp

n tố
 pnguyê

(10)

e) Nếu số a lần lượt chia hết cho các số đôi một nguyên tố cùng nhau thì a
chia hết cho tích của chúng.
3.4. Các bổ đề cần lưu ý:


GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289. Facbook:
.Gmail: hoặc


Bổ đề 1: Tích của n số ngun liên tiếp thì chia hết cho n.
Bổ đề 2: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2, cho 3, và do
đó chia hết cho 6.
Bổ đề 3: Tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, cho 5, cho 8
và do đó chia hết cho 120.
Bổ đề 4: Hai số nguyên liên chẵn liên tiếp thì có một số chia hết cho 4.
Chứng minh
Bổ đề 2: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2, cho 3, và do
đó chia hết cho 6.
Giả sử ta có ba số ngun liên tiếp
tích
•

( a − 1) a( a + 1) M2

+) Với
+) Với

a = 2kM2

thì

a = 2k + 1

nên

thì a-1 =

a = 2k

2kM2

nên

•

Từ hai kết quả trên ta có
, tức
Một số kiến thức khác cần lưu ý

aM2.3

4.1 HĐT:
2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

a2 + b2 = ( a + b) − 2ab
2

(

a = 2k + 1

.

( a − 1) a( a+ 1) M2

Tương tự xét phép chia số a cho 3

( a + b + c)

hoặc

( a − 1) a( a + 1) M2

•

4.

, ta phải chứng minh

.

Xét phép chia số a cho 2, ta có
a = 2k

( a − 1) ; a; ( a + 1)

)

an − bn = ( a − b) an−1 + an−2b + ... + bn−1 .

.

aM6

(do (2,6) =1).


GV: Đỗ Văn Kỷ: sđt 0382106289. Facbook:
.Gmail: hoặc


(

)

a2n − b2n = ( a + b) a2n−1 − a2n−2b + ... − b2n−1 .

(

)

a2n+1 + b2n+1 = ( a + b) a2n − a2n−1b + a2n−2b2 − ... + b2n .

4.1. Nhị thức Niuton (Newton I.1643-1727). Tổ hợp. Chỉnh hợp.
4.3. Định lí Bơdu (Bezout. 1739-1783).
4.4. Lược đồ Hoocne Horner W. G. 1786-1837).
+ Mục đích: Tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa
thức f(x) cho nhị thức x –a.
+ Chú ý: Trên dơi, ngang nhân, chéo cộng.
…………….HẾT…………….