Tài liệu Đề cương ôn tập Toán lớp 12 Trường THPT Lê Hồng Phong - Biên Hòa - Đồng Nai doc

GV: Nguyến Tất Thu

/>I-Bất đẳng thức cô si

2

2

a
b
c2
a+b+c
1.Chứng minh rằng
với a,b,c>0
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥ với a,b,c>0 và abc =1
2.Chứng minh rằng 3
a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2
a3
b3
c3

3
+
+
≥
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + c) ( 1 + a) ( 1 + a) ( 1 + b) 4
4.Cho k số không âm a1, a2 ,..., ak thoả a1a2 ...ak = 1
m
m
m
n
n
n
Cm: a1 + a2 + ... + ak ≥ a1 + a2 + ... + ak với m ≥ n; m, n ∈ N
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: x

2004

+ y 2004 + z 2004 = 3 .Tìm GTLN của biểu thức

A = x3 + y 3 + z 3
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
7.Cho số tự nhiên k ≥ 2 . a1, a2 ,..., ak là các số thực dương

a1m a2m
ak m
+ n + ... + n ≥ a1m − n + a2 m − n + ... + an m − n
Cmr:
n
a2

a3
a1
1 1 1
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn + + = 1 .Tìm GTNN của biểu thức
x y z
x 2006 y 2006 z 2006
A = 2007 + 2007 + 2007
y
z
x
x 20 y 20 z 20
y
z
x
10.Cho n số thực x1, x2 ,..., xn thuộc đoạn [ a, b ] , a > 0

9.Tìm GTNN của A = 11 + 11 + 11 với x + y + z = 1

1 1
1  ( n( a + b) )
Cmr: ( x1 + x2 + ... + xn )  +
+ ... + ÷ ≤
xn 
4ab
 x1 x2
11.Cho n là số nguyên dương;lấy xi ∈ [ 2000;2001] với mọi i=1,2…,n
2

(

Tìm GTLN của F = 2

x1

+ 2 x2 + ... + 2 xn

12.Xét các số thực x1, x2 ,..., x2006 thoả

)(2

− x1

+ 2− x2 + ... + 2− xn

π
π
≤ x1, x2 ,..., x2006 ≤
6
2

)

Tìm GTLN của biểu thức

 1

1
1
A = ( sin x1 + sin x2 + ... + sin x2006 ) 
+

+ ... +
÷
sin x2006 
 sin x1 sin x2

13.Cho n số dương a1 , a2 ,..., an Đặt : m = min { a1 , a2 ,..., an } , M = Max { a1 , a2 ,..., an }
n

n

i =1

i =1

A = ∑ ai , B = ∑

1
1
 n ( m + M ) − A
.Cmr: B ≤

ai
mM 

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>

14.Cho ai ≥ 0, bi ≥ 0, ∀i = 1, n .Chứng minh rằng:
n

( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ... ( an + bn )

≥ n a1a2 ...an + n b1b2 ...bn

(

15.Cho ai ≥ 0, ∀i = 1, n .Chứng minh rằng: ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ... ( 1 + an ) ≥ 1 + n a1a2 ...an

)

n

16.Chứng minh n 1.2... ( n + 1) ≥ 1 + n 1.2...n với n ≥ 2, n ∈ N
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
3
1 
1 
1  
2 

1/  1 +
÷ 1 +
÷1 +
÷ ≥ 1 +
÷
3
 sin A  sin B  sin C  





3

1 ÷
1 ÷
1 ÷ 
2 
1+
1+
1+
≥ 1 +
2/ 
÷
A ÷
B ÷
C÷
3
 cos ÷ cos ÷ cos ÷ 

2 
2 
2
3


1 
1 

1  
2 
3/  1 +
÷1 +
÷ 1 +
÷ ≥ 1 +
÷
 ma  mb  mc   3R 

4

4

4

b 
b 
c
4

18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:  a + ÷ +  a + ÷ +  a + ÷ ≥ 3 ( a + 3b )
x 
y 
z

n

19.Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1,..n; ∑ xi = 1 . Cmr:
i =1

m

m

m



b 
b
b 
m
 a + ÷ +  a + ÷ + ... +  a + ÷ ≥ n ( a + nb ) với m > 0
x1  
x2 
xn 


20.Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1 .Chứng minh rằng:

3

 1
 1
 1

 − 1÷ − 1÷ − 1÷ ≥ 8
 ab  bc   ca 

m

n
21.Cho x ∈ [ a; b ] .Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = ( x - a ) ( b - x ) với m,Ν Ỵ
n
é πù
0
22.Cho x Ỵ ê ; ú.Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = sin q x.cos p x với p,Ν Ỵ *
q
ê 2ú
ë û

*

23.Cho a,b,c khơng âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức F ( a, b, c ) = a 30b 4c 2004
24.Cho x, y ³ 0, x + y £ 6 .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 6 - x - y )
2/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 4 - x - y )
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
1
1
1
1
P= 2
+ + +
2
2
ab bc ca
a +b + c
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
1
1

1
1
1
P= 2
+
+
+
+
2
2
2
acd abd abc bcd
a +b + c + d
n
n
1
xi
= 1 . Cmr: Õ xi £
x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện å
27.Giả sử
n
i=1
( n - 1)
i=1 1 + xi
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn

a
2b
3c
1

+
+
= 1 . Cmr: ab 2c3 £ 6
1+ a 1+ b 1+ c
5

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
n
n
xi
1
£
x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện å xi = 1 .Cmr: Õ
29. Giả sử
n
i=1 1- xi
( n - 1)
i=1
n

1
1
=
1998
i=1 xi +1998

30. (QG-98) Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện å
Cmr:

n

x1.x2 ...xn
n- 1

³ 1998
n

31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện å ai <1
i=1

Cmr:

a1a2 ...an é- ( a1 + a2 +... + an ) ù
1
ë
û

( a1 + a2 +... + an ) ( 1- a1 ) ( 1- a2 ) ...( 1- an )

33.Cmr: " n Ỵ N , n ³ 2 ta cú n 1-

n
ổử +1
1
Êỗ ữ

ỗ ứ
ỗn ữ
ố ữ

n

n
n n
n
+ 1+
<2
n
n

(

) (
)
6
6
6
4 2
4 2
4 2
35. Cho x, y , z Ỵ [ 0; 2] .Cmr: 2 ( x + y + z ) - ( x y + y z + z x ) £ 192
3
3
3
2
2

2
34.Cho x, y , z Ỵ [ 0;1] .Cmr: 2 x + y + z - x y + y z + z x £ 3

2000

2000

i=1

i=1

3
36.Cho xi Ỵ [1; 2] với i=1,…,2000.Thỏa mãn å xi = 2005 Tìm GTLN của A = å xi

α

α

α

1 

 2 1 
 2 1 
α
37.Chứng minh :  a 2 +
÷ +  b + ÷ +  c + ÷ ≥ 3.2 Trong đó a, b, c, α > 0
ab 
bc 
ca 




38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
2
2
2
Tìm GTNN của biểu thức P = a ( x + y ) + z

16
xy = a 2 .Trong đó a là một số dương
25
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
1
2
2
2
2
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : ≤ a + b + c + d ≤ 1
2
2
2
2
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : x + y + z +

Tìm GTLN và GTNN của : P = ( a − 2b + c ) + ( b − 2c + d ) + ( b − 2a ) + ( c − 2d )
2

2

2

41.Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn pt f ( tg 2 x ) = tg 4 x + cot g 4 x
Cmr: f ( s inx ) + f ( cosx ) ³ 196

( OLP-30-4-99)

II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 4 và c+d=4 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd
9+6 2
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 1 và c+d=3 Cmr: ac+bd+cd ≤
4
3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 1 và c-d=3
Cmr: ac + bd − cd ≤

9+6 2
4

2
2
2
2
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : a + b + 40 = 8a + 10b; c + d + 12 = 4c + 6d ;3 x = 2 y + 13

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai

2

GV: Nguyến Tất Thu
Tìm GTNN của P =

( x − a)

/>2

+ ( y − b) +

( x − c)

2

2

+( y−d)

2

5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : a 2 + b 2 − 6a − 10b + 34 + a 2 + b 2 − 10a − 14b + 74 ≥ 6
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: a 2 + b 2 − 12a − 8b + 52 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 ≥ 4 5
2
2
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : c + d = 6; a + b = 1
Cmr: c 2 + d 2 − 2ac − 2bd ≥ 18 − 6 2
2
2
2

2
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a + b = 2 ( a + b ) ; c + d = 4 ( c + d − 1)

(

Cmr: 4 − 2 2 ≤ a + b + c + d ≤ 2 4 + 2 2

)

9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 5
3 30
Cmr: 5 − a − 2b + 5 − c − 2d + 5 − ac − bd ≤
.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
2
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: x 2 + 4 y 2 + 6 x + 9 + x 2 + 4 y 2 − 2 x − 12 y + 10 ≥ 5
2
2
2
2
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn a + b + 1 = 2 ( a + b ) ; c + d + 36 = 12 ( c + d )

Cm:

(

)

6

2 −1 ≤ ( a − c ) + ( b − d ) ≤

2

2

(

)

2 +1

6

2 x + 3 y ≥ 2

12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :  x + 3 y ≤ 9
 x ≥ 0, y ≥ 0

35
≤ x 2 + y 2 − 4 x − 8 y ≤ 45
2
− x + 2 y − 8 ≤ 0

13.Cho các số x,y thỏa mãn :  x + y + 2 ≥ 0
 y − 2x − 4 ≥ 0

Cmr: −

Cm:

16

≤ x 2 + y 2 ≤ 20
5

III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
α ta có
1Chứng minh rằng với mọi
17 ≤ cos 2α + 4cosα +6 + cos 2α − 2cosα +3 ≤ 2 + 11
2.Tìm GTNN của hàm số y = − x 2 + 4 x + 12 − − x 2 + 2 x + 3
 π
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: tgt + sin t ≥ 2t ; ∀t ∈ 0; ÷
 2
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
A
B
C
1 + cos
1 + cos
1 + cos
Chứng minh :
2 +
2+
2 > 3 3 ( A,B,C đo bằng rađian)
A
B
C
4.Cho a, b ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng
x
b
a
+

+
+ ( 1 − x ) ( 1 − a ) ( 1 − b ) ≤ 1 với ∀x ∈ [ 0;1]
a + b +1 x + a +1 x + b +1
x 2 cosα -2x+cosα
5.Cho hàm số y = 2
với α ∈ ( 0; π )
x − 2 xcosα +1

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
Chứng minh : −1 ≤ y ≤ 1; ∀x
6.Chứng minh sin A + sin B + sin C + tgA + tgB + tgC > 2π .với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
s inx

7.Chứng minh 2

+ 2tgx > 2 x +1 ;0 < x <

π
2

8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện f ( x ) ≥ 0, ∀x
Cmr: f ( x ) + f

,

( x) +

f ,, ( x ) + ... + f (

n)

( x ) ≥ 0, ∀x

9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
1
1 
 1
cot gA + cot gB + cot gC + 3 3 ≤ 2 
+
+
÷
 sin A sin B sin C 
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
1
1
5
( cos3A+cos3B ) − ( cos2A+cos2B ) + cosA+cosB= .Chứng minh tam giác ABC đều
3
2
6
π
11.Cho 0 < a < b < .Chứng minh rằng : a.sin a − b sin b > 2 ( cos b − cos a )
2
a ≥ 1

p+q
− 1 ≥ ( p + q ) a p − aq
12.Cho 
.Chứng minh rằng a
0 ≤ q ≤ p ≤ q+1
3
π
 s inx 
13.Cho 0 < x < .Chứng minh rằng : 
÷ > cosx
2
 x 

(

)

14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: tgA + tgB + tgC + 6 ( sin A + sin B + sin C ) ≥ 12 3
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
a
b
c
3 3
+
+
≥
Chứng minh rằng: 2
2
b + c 2 c2 + a 2 a 2 + b2
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có

2
1
( sin A + sin B + sin C ) + ( tgA + tgB + tgC ) > π
3
3
3x
π
+1
17.Cho 0 < x < .Cmr: 2 s inx
tgx
2
+2 >2 2
2
18Cho số nguyên lẻ n ≥ 3.Cmr: ∀x ≠ 0 ta ln có :

x 2 x3
xn  
x 2 x3
xn 
+
+ ... +
−
+ ... −
1 + x +
÷1 − x +
÷< 1

÷
2! 3!
n ! ÷

2! 3!
n! 


19.với giá trị nào của m thì sin 3 x + cos3 x ≥ m, ∀x
4 xy 2
3

20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 
2
2
 x + x + 4y ÷



≤

1
8

21.Cho x ≠ 0, y ≠ 0 là hai số thực thay đổi thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy
1
1
Tìm GTLN của biểu thức A = 3 + 3
x
y
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥ −

3
4

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
Chứng minh ta có bất đẳng thức
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)

a
1+ a

2

b

+

1+ b

2

+

c
1+ c

2

≤

9
10

x +1

1/Tìm cực trị của hàm số y

x2 − x + 1
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của P = x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1 + z 2 − z + 1
 2

2
2
24.Tìm GTNN của P = 3  x + 1 + y + 1 + z + 1 ÷− 2 ( x + y + z )


4
4
4
3
3
3
25. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 . Cmr: a + b + c ≥ 2( a + b + c )

1 1 1
+ + ) − (a + b + c) ≥ 2 3
a b c

a
b
c
9
+
+
≥
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
(b + c) 2 (c + a) 2 ( a + b) 2 4(a + b + c)
a(b + c)
b (c + a )
c ( a + b)
6
+ 2
+ 2
≤
28. (Olp -2006)Cho a, b, c > 0 .Cmr: 2
a + (b + c) 2 b + (c + a ) 2 c + (a + b) 2 5
26. Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Cmr: (

39.(Olp nhật 1997)Cho a, b, c > 0 .Cmr:

(b + c − a) 2
(c + a − b ) 2
(a + b − c ) 2 3
+
+
≥
(b + c) 2 + a 2 (c + a ) 2 + b 2 (a + b) 2 + c 2 5

x + y + z = 4
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : 
.
 xyz = 2
Tìm GTLN và NN của biểu thức P = x 4 + y 4 + z 4 (QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) 3 = 32 xyz
Tìm GTLN và GTNN của P =

x4 + y4 + z4

( x + y + z) 4

(QG-A-2004)

42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a ≤ b ≤ c ≤ d và bc ≤ ad .Chứng minh rằng
ab bc c d d a ≥ a d b a cb d c
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y
( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x ,

(

) (

x Î ( 0; π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f sin 2 x f cos 2 x

)

QG –B-2003 )

45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x ,
x Ỵ ( 0; π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f ( x ) f ( 1 - x) , x Ỵ [- 1;1]
x
sin
ỉ πư
ỉ + s ina ư +sin b ỉ a ư b
x
sin ÷
÷
46.Cho x>0 và a, b ẻ ỗ0; ữa ạ b Cmr: ỗ
ữ
>ỗ
ỗ ứ;
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ 2ữ
ữ
ữ
ỗx + sin b ứ
ỗ
ố
ố
ốsin b ứ

IV-NG DNG NH Lí LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì

a −b
a a −b
< ln <
a
b
b

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai

( QG –A-2003)


GV: Nguyến Tất Thu

/>
2.Chứng minh rằng nếu 0 < a < b <

b−a
b−a
π
< tgb − tga <
thì
2
2
cos a
cos 2 b

1

; ∀x ∈ ( 0;1)

2ne
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
a
b
c
+
+ = 0 .Chưng minh pt ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm
m + 2 m +1 m
thuộc khoảng ( 0;1)
3.Chứng minh x

n

1− x <

5.Cho pt bậc n: an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 trong đó an ≠ 0,an−1,...,a ,a0
1
a
a
a
là số thực thỏa mãn : n + n −1 + ... + 1 + a0 = 0 .Chứng minh pt đã cho có
n +1
n
2
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang ( 0;1)
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 5c ( n + 2) + 6( a + b) = 0

 π
Chứng minh pt : a sin n x + b cos n x + c sin x + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng  0; ÷
 2

7.Cho hàm số liên tục : f : [ 0;1] → [ 0;1] có đạo hàm trên khoảng ( 0;1) Thỏa mãn
f( 0) = 0,

( 1) = 1.Chứng minh tồn tại a,b∈ ( 0;1) sao cho a ≠ b và

f , ( a) f , ( b) = 1

8.Giải các pt sau :
a) 3 x + 5 x = 2.4 x
b) 3cos x − 2cos x = cos x

(

)

cos x
= 3.4cos x
c) ( 1 + cos x ) 2 + 4

d) 2003x + 2005 x = 4006 x + 2
1
1
1
1
1
+
+ ... +
+ ... +
=
9.Xét phương trình :

2
2
x − 1 4x − 1
k x −1
n x −1 2
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là xn
b)Cmr dãy số { xn } có giới hạn bằng 4 khi n → +∞
(QG-A-2002)
10.Cho hàm số f ( x ) và f , ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b ] ,với
1
1
f ( a ) = ( a - b) , f , ( b) = ( b - a )
2
2
Chứng minh rằng tồn tại α, β ,δ phân biệt trong ( a;b) sao cho f, ( α ) , ( β ) f , ( δ ) = 1
11.Cho f :[ 0;1] ® [ 0;1] thoả mãn các điều kiện f , ( x ) > 0; " x Ỵ [ 0;1] và f( 0) = 0, ( 1) = 1
n

,
Cm:tồn tại dãy số 0 £ a1 < a2 < ... < an £ 1 sao cho Õ f ( ai ) ³ 1
i =1

(n là số nguyên dương n ³ 2 )
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
abc + abd + bcd + acd
ab + ac + ad + bd + cd
CMR: 3
£

4
6

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
1 − cosxcos2x...cosnx
khi x ≠ 0

a) f ( x ) = 
tại x=0
x2
0 khi x=0

 ln cosx
khi x ≠ 0

b) f ( x ) =  x
tại x=0
0 khi x = 0

( x + a ) e−bx khi x < 0

f ( x) = 
2.Xác định a,b để hàm số :

có đạo hàm tại x=0
 ax 2 + bx + 1 khi x ≥ 0

p cos x + q sin x khi x ≤ 0

3.Cho hàm số f ( x ) = 
 px + q + 1 khi x > 0
Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) khơng thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt : 2 x3 + 3x 2 + 6 x + 16 > 2 3 + 4 − x
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log a 11 + log 1 ax 2 − 2 x + 3.log a  ax 2 − 2 x + 1 + 1 ≤ 0

÷


2

3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log a 3 + log 1  x 2 + ax+5 + 1 .log 5 x 2 + ax+6 ≥ 0

÷



(

a

)

4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
4

− x−a

(

)

2
log 3 x 2 − 2 x + 3 + 2− x + 2 x log 1 ( 2 x − a + 2 ) = 0

3

(

)

(

)

2
2
2
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 3 x + a = 1 − 9a − 2 x

có số nghiệm khơng nhiều hơn số nghiệm của pt

1

2
x + ( 3a − 2 ) .3x = 8a − 4 log3  3a − ÷− 3 x3
2


(

)

(

)

2
2
4
2
6. Tìm những giá trị của a để pt: 15 x − 2 6m + 1 x − 3m + 2m = 0 có số nghiệm khơng nhiều
2

(

x
3
6m
hơn số nghiệm của pt : ( 3a − 1) .12 + 2 x + 6 x = 3 − 9

(

)

)

28m − 0, 25

3
7.Giải pt : 3log3 1 + x + x = 2 log 2 x

tgx − tgy = y − x

8.Giải hệ 
5π
2 x + 3 y = 4


Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
(

9.Giải bất pt log 7 x > log3 2 + x
 1 + a2
10.Giải pt : 
 2a


x

  1 − a2
÷ −
÷  2a
 

)

x


÷ = 1 với tham số a∈ ( 0;1)
÷


tgx − tgy = y − x

11. Giải hệ: 
 y +1 −1 = x − y + 8


(1)
(2)

 π π
2
12 Giải pt: e tan x + cos x = 2 với x ∈  − ; ÷
 2 2

13 Giải pt: 3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0
x

14.Giải pt: 3 = 1 + x + log3 (1 + 2 x )
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CĨ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m

 π
÷
 2

2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax 2 + 1 = cos x có đúng một nghiêm x ∈  0;
3.Cho hàm số y = − x +

( x + a)( x + b) với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
1

s s
 s
với mọi s ∈ ( 0;1) đều tồn tại duy nhất số thực α > 0 : f (α ) = a + b

÷
 2 

(QG-A-2006)

4.Cho pt : cos2x= ( m+1) cos 2 x 1 + tgx
a)Giải khi m = 0

 π
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn  0; 
 3
5.Tìm m để pt sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + ( 3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = 0
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:

( 4m − 3)

x + ( 3m − 4 ) y + ( m − 1) x 2 + y 2 = 0

7.Tìm m để pt :

1 + cos8 x
= m có nghiệm.
6 + 2 cos 4 x

é πù
0
8.Tìm a đ pt : ax 2 + 2 cos x = 2 đúng 2 nghiệm thuộc ê ; ú
ê 2ú
ë û
x2
9.Cho hàm số: f ( x ) = e x - s inx+
2
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt f ( x ) = 3 có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt x x +1 = ( x +1) x có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c = 0; ( a ¹ 0) có 3 nghiệm phân biêt
2

a)Hỏi pt: 2 f ( x ) f ,, ( x ) - é , ( x ) ù = 0 có bao nhiêu nghiệm
f
ê
ú

ë

û

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
b)Chứng minh rằng: 27c + 2a3 - 9ab < 2

( a2 - 3b)

3

ổ ử
ổ ử
ổ ử
ữ
ữ
+
+
=
ữ ỗ

ỗ
12.Cho pt : tg ỗx + ữ tg ỗx + 2 ữ ... + tg ỗx + n ữ 0 ( n l tham s)
ỗ
ữ
ữ
ữ ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ố
2ứ
ố
ố
2 ứ
2 ứ
a) Cmr v i mối số nguy ên n ³ 2 ,pt c ó mt nghim duy nht trong khong
ổ ử
ỗ0; ữ ớ hiờ ng ú l xn
ỗ ứ.k
ỗ 4ữ
ố ữ
b)Cm dóy s ( xn ) có giới hạn
13.Chứng minh pt f ( x ) = x 4 + 4 x3 - 2 x 2 - 12 x +1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt xi ; i = 1, 4
4

và hãy tính tổng S = å

2 xi 2 +1

i =1 ( xi

- 1)

2

VIII MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 y 2 = x3 − 4 x 2 + ax

1.Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
 x 2 = y 3 − 4 y 2 + ay

 2x+ y-1 = m

2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm 
2 y + x − 1 = m

2y

x =
1 − y2

3.Giải hệ 
 y = 2x

1 − x2


4.Chứng tỏ rằng với mọi a ≠ 0 thì hệ sau có nghiệm duy nhất
 2

a2
2 x = y +
y


 2
a2
2y = x +

x

x
 y + s inx=a

5.Tìm a để hệ 
có nghiệm duy nhất 0 < x ≤ 2π , 0 < y ≤ 2π
y
 + sin y = a
x


 x 3 + 3 x − 3 + ln( x 2 − x + 1) = y
 3

2
6.Giải hệ:  y + 3y − 3 + ln( y − y + 1) = z
 3
2
 z + 3z − 3 + ln(z − z + 1) = x


 x 2 − 2 x + 6 log (6 − y ) = x
3

 2
7.Giải hệ:  y − 2 y + 6 log 3 (6 − z ) = y ( QG – A- 2006)
 2
 z − 2 z + 6 log 3 (6 − x) = z

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)
2
3
2
 x1 = x2 − 4 x2 + ax 2
 2
3
2
 x2 = x3 − 4 x3 + ax 3

............................
 2
3
2
 xn = x1 − 4 x1 + ax1

(

)

 1 + 42 x − y .51− 2 x + y = 1 + 22 x − y +1

6.Giải hệ: 
( HSGQG 1999)
 y 2 + 4 x + 1 + ln y 2 + 2 x = 0

log 2 ( 1 + 3cos x ) = log3 ( sin y ) + 2

7.Giải hệ: 
(THTT)
log 2 ( 1 + 3sin y ) = log3 ( cos x ) + 2

ì x - my = 2 - 4m
ï
8.Gọi ( x; y ) là nghiệm của hệ pt: ï
( m là tham số)
í
ï mx + y = 3m +1
ï
ỵ

(

)

Tìm GTLN của biểu thức A = x 2 + y 2 - 2 x ,khi m thay đổi

HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
4. nai m + ( m − n ) ≥ mai n , ∀i = 1,.., k
7.
am
*m > n : ( m − n ) 1 + na2m − n ≥ ma1m − n
a2n
...
*m = n : csi
am
*m < n : ( n − m ) 1 + ma1m − n ≥ na2m − n
a2n
...

 1
 1
 1
 ( 1 − ab ) ( 1 − bc ) ( 1 − ca )
A =  − 1÷ − 1÷ − 1÷ =
20.
 ab   bc  ca 
( abc ) 2

Ta có:
1 − ab ≥ 1 −

( a + b) 2
4

=

( 2 + a + b) ( 2 − a − b)
4
1

( 1 + a ) + ( 1 + b )  ( 1 + c ) ( 1 + c )

=
≥
4
1 

( 1 + a) ( 1 + b)
2

2

Tương tự suy ra: A ≥  1 + 1 + 1 +  ÷

÷
÷
÷
8

a
b
c


1

1







3


1
1
1
1 
3
3
Mà: 1 + 1 +  1 +  ≥ 1 + 3
÷ ≥ 4 Vậy: A ≥ 8( dpcm)

÷
÷
÷

 a  b   c  
abc 
1
1
1
1
1
1   a
b
c
d 
 1
26. P = 2 2 2 2 + 2  ab + ac + ad + bc + bd + cd ÷+  bcd + cda + abd + bca ÷

 

a +b +c +d
= A+ B+C
1
1
1
1
1
1
1
*A =
+
+
+
+ +

+
2
2 ab ac ad bc bd cd
a + ... + d
1
1
1
1
1
1
*B =
+
+
+ +
+
ab ac ad bc bd cd
a
b
c
d
*C =
+
+
+
bcd acd dab abc
A ≥ 100, B ≥ 96, C ≥ 64 ⇒ P ≥ 260
Ta cm:
xi
Xn
X1

29.Đặt: X i = 1 − x , ∀i = 1,..., n ta có 1 + X + ... + 1 + X = x1 + ... + xn = 1
i
1
n
1
1
1
Từ đó suy ra: 1 + X1 + ... + 1 + X n = n − 1 ⇒ X1. X 2 ... X n ≤
(đpcm)
( n − 1) n

30. Đặt: X i =

1
1
xi
+ ... +
=1
,∀i = 1 n .Ta có:
,
1+ X 1
1+ X n
1998

Từ đó suy ra: X1... X n ≥ ( n − 1) n .vậy có (đpcm)
31.Đăt: X i =

1 − ( a1 + ... + an )
a1
; i = 1,..., n; X n +1 =

1 − ai
a1 + ... + an

n +1
1
1
1
1
+ ... +
+
= n .vậy X ... X X
Ta có: 1 + X
1
n n +1 ≤  ÷
1 + X n 1 + X n +1
1
n

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
38.

z2   2 z2 
P = a x2 + y 2 + z 2 = α x2 +
÷+  α y +
÷+ ( a − α ) x 2 + y 2


2 ÷ 
2 ÷

 


(

)

(

)

α
( xz + yz ) + 2 ( 1 − α ) xy
2
α
= a −α
Chọn
2
≥2

39.
2


16
z2   2 z2 

16
P=x +y +z +
xy =  qx 2 +
xy
÷+  qy +
÷ + ( 1 − q ) x2 + y 2 +

25
2 ÷ 
2 ÷
25

 

2

≥2

2

2

(

)

q
16
( xz + yz ) +  2 ( 1 − q ) +  xy


2
25 



q
16
18
= 2(1 − q) +
⇔q=
2
25
25
a

x = y = ± 3

5a2
khi 
PM ax =
6
z = ± 3a

5 3


Chọn 2

39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: a2 = d 2,c2 = d 2 .với p>0 xác định sau ta có

cộng theo vế :

(

)

P ≤ ( 5+ 5p) a2 + d 2 +

Vậy Pmax =

(

)

(

)

5+ 10p 2 2
1+ 2p
1+ 5
b + c Chọn p thỏa : 1+ p =
↔ p=
p
p
2

5 3+ 5
2

43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi M ( a;b) , N ( c;d ) Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn x 2 + y 2 = 4 và đường
thẳng
x + y = 4 .Dễ thấy −2( ac + bd + cd ) = ( a − c ) 2 + ( b − d ) 2 − 20 = MN 2 − 20
Mà MN 2 ≥ 12 − 8 2 nên −2( ac + bd + cd ) ≥ −8− 8 2 ⇔ ac + bd + cd ≤ 4+ 4 2
Vậy maxP= 4 2 khi a = b = 2;c = d = 2
4+
2.và 3 tương tự
4.Gọi N ( a;b ) ,Q ( c,d ) , M ( x; y ) Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
( C1) : ( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 = 1,( C 2 ) : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 1 và đường thẳng ( ∆ ) :
3x − 2y − 13 = 0
Khi đó P = MQ + MN
Gọi I , R 1và J , R2 lần lượt là tâm và bán kính của ( C1) ,( C 2 )
 118 21
; ÷
Lấy K ( u;v ) đối xứng với I qua ( ∆ ) thì K 
 13 13 
P = MQ + MN ≥ ( MJ − JQ ) + ( MI − IN ) = MJ + MK − ( R1 + R2 )

(

)

= 2 13 − 1

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M ≡ M 1,Q ≡ Q1, N ≡ N 1.Trong đó M 1,Q1là giao
Của JK với ( ∆ ) và ( C 2 ) còn N 1 = M 1I ∩ ( C1)
Vậy minP = 2( 3 − 1)
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có

1+ cost cost
A
B
C
>
= cot gt .và vì cot g + cogt + cot g ≥ 3 3 nên có đpcm
2t
sint
2
2
2
x
b
a
+
+
+ ( 1− x ) ( 1− a) ( 1− b) với x ∈ [ 0;1]
4.Hàm số f ( x ) =
a+ b + 1 x + a+ 1 x + b + 1

có đạo hàm cấp hai khơng âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
TH 1 : f , ( x ) = 0 VN Thì f ( x ) ≤ M ax{ f ( 0) ; f ( 1) } ≤ 1

TH 2 : f , ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất x = α thì vì f , ( x ) đồng biến nên α là điểm
f x = max{ f( 0) ; ( 1) } ≤ 1
cực tiểu vì vậy max ( )
(đpcm)
[ 0;1]

8.Đặt F ( x ) = f ( x ) + f , ( x ) + ... + f ( n) ( x ) thì

n
F , ( x ) = f , ( x ) + f , ( x ) + ... + f ( ) ( x ) = F ( x ) − f ( x ) (1)
vì f là đa thức bậc n nên f ( n +1) ( x ) = 0 .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn

có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại x0 Thì
F , ( x0 ) = 0

vậy từ (1) suy ra F ( x0 ) = F , ( x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 ) ≥ 0 (đpcm)

(

)

(

)

p+q
− 1 ≥ ( p+q ) a p − a q ↔ a p + q − ( p + q ) a p − a q − 1 ≥ 0
12. a

(

)

p+q
− ( p + q ) x p − x q − 1 đồng biến trên [ 1 )
;+∞
Hàm số: f ( x ) = x

Và có f ( 1) = 0 nên từ a ≥ 1 ta có (đpcm)
13.Cơ lập x và xét dấu đạo hàm của f ( x ) = sin2 x.tgx − x 3
1
3

1
3

2
2
tgx
Chú ý: 2sin2 x + tg 2x ≥ ( 2sinx+ ) > ( 3x )

*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đốn điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị x =
Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai

1
là
3

GV: Nguyến Tất Thu

(

y = x − x 3 = x 1− x 2

23. y =

x +1
x2 − x + 1

/>
)

đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1

nên P = x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1+ z 2 − z + 1 nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.

(

)

(

2
P = x4 + y 4 + z 4 = x2 + y 2 + z 2 − 2 x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2

)

2

2
2
= ( x + y + z ) − 2 ( xy + yz + zx )  − 2 ( xy + yz + zx ) − 2 xyz ( x + y + z ) 









(

2
= ( 16 − 2t ) − 2 t 2 − 16

)

với t=xy + yz +zx
t = x ( y + z ) + yz = x ( 4− x ) +

Vì

yz ≤

2

x
2

y+ z 4−x
2 4− x
=
⇔ ≤
÷ ⇔ x ∈ 3 − 5; 2 


2
2
x  2 

do (0
Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có ( d − b) ( lnc − lna) ≥ ( c − a) ( lnd − lnb) (1)
Nếu a = c hoặc d = b thì hiển nhiên đúng
c
d
ln
ln
lnc − lna lnd − lnb
a
b
Xét a ≠ c và d ≠ b .Khi đó (1) ( 1) ↔ c − a ≥ d − b ↔  c  ≥  d 
 − 1÷a  − 1÷b
a 

b 
lnx
,+∞
, x ∈ ( 1 +∞ ) nghịch biến trên ( 1 ) Suy ra:
,
Xét hàm số : f ( x ) =
x −1
c
d
c
d
ln
ln
ln
ln
c
d
a ≥
b ⇔
a ≥
b
f  ÷≥ f  ÷⇔
a
b
c  d

c 
d




 − 1÷  − 1÷
 − 1÷a  − 1÷b
a  b

a 
b


44,45. Biểu diễn sin 2 x, cos2x theo cotgx ta được f ( t ) =

t 2 + 2t - 1
t 2 +1

IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số f ( x) =

2a sin n +2 x 2b sin n +2 x 2c 3
+ sin x - ccos 2 x
n +2
n +2
3

8.a) 3x + 5x = 2.4x « 5x - 4x = 4x - 3x (1) .Giả sử pt có nghiệm x = α
Xét hàm số f ( t ) = ( t +1) α - t α ,t > 0 có f( 4) = ( 3) .Do đó tồn tại c Î ( 3; 4)
é =0
α

α- 1
é

,
α- 1 ù
(
Sao cho f ( c) = 0 « α êc +1) - c ú= 0 « ê
ê =1
ë
û
α
ë

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
Thử lại thấy x = 0 và x = 1 đều thỏa mãn (1)
Vậy pt có hai nghiệm x = 0 , x = 1
b) t=
cosx ® 3t - 2t = t « 3t - 3t = 2t - 2t . Giả sử pt có nghiệm x = α
Xét f ( t ) = t α - t α thì f( 3) = ( 2) suy ra pt f , ( t ) = 0 có nghiệm cú
nghim c ẻ ( 2;3) .
f , ( tt
)=

- 1

-

fđ c , ( α =

) c

(

α- 1

é =0
α
- 1 =0 Û ê
ê =1
α
ë

)

c)Đặt t = cosx,- 1 £ t £ 1
Ta có pt: ( 1 +t ) ( 2 + 4t ) = 3.4t « f ( t ) =
6 ln4.4t

,

f (t) =

t 2

( 2 +4 )

3.4t
2 + 4t

- t - 1= 0

(

- 1, f , ( t ) = 0 « 6 ln4.4t = 2 + 4t

)

2

.Đây là pt bậc hai theo 4t

nên có khơng q hai nghiệm do đó pt f ( t ) = 0 có khơng quá 3 nghiệm
1
2

Ta thấy t = 0,t = ,t = 1 là 3 nghiệm của pt…
C) Xét f ( x ) = 2003x + 2005x - 4006x - 2 có đạo hàm cấp hai dương
Và f( 0) = ( 1) = 0 .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1
1

1

1

1

= 0 (1)
9)Viết lại pt dưới dạng f n ( x ) =- 2 + x - 1 + 4x - 1 + ...+ 2
n x- 1

Dễ thấy ,với mỗi n Ỵ Ν* hàm f n ( x ) liên tục và nghịch biến trên ( 1;+¥ )
1

Hơn nữa f n ( x ) đ +Ơ khi x đ 1+ và f n ( x ) ® - khi x ® +¥ .Từ đó suy ra
2
* ,pt(1) có duy nhất nghiệm x >1
Với mỗi n Ỵ Ν
n
* ,ta có
Với mỗi n Ỵ Ν
f ( 4) =-

1
1
1
1
+
+
+ ...+
2 22 - 1 4 2 - 1
( 2n) 2 - 1

1æ
1 1 1
1
1
1
1 ử
ữ
= ỗ- 1 +1- + - + ...+

+ ...+
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
2
3 3 5
2k - 1 2k - 1
2n - 1 2n +1÷
1
=< 0 = f ( xn )
2 ( 2n +1)

Từ đó, dohàm f n ( x ) trên ( 1;+¥ ) nên xn < 4 với mọi n Ỵ Ν* (2)
Mặt khác hàm f n ( x ) có đạo hàm trên [ xn , 4] nên theo định lí Lagrange
Với mỗi n Ỵ Ν* tồn tại t Ỵ ( xn; 4) sao cho
f ( 4) - n ( xn )
- 1
- 4
- n2
1
n
,
= f (t) =
+
+ ...+
<- " n Ỵ Ν*
2
2

2
4 - xn
( t - 1) ( 4t - 1)
( n t - 1) 9
Hay
- 1
1
9
<- " n Ỵ Ν* Þ xn > 4 " n Ỵ Ν* (3)
2 ( 2n +1) ( 4 - xn )
9
2 ( 2n +1)

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai


GV: Nguyến Tất Thu

/>
9

*
,"
từ (2) và (3) : 4 - 2 ( 2n +1) < xn < 4Ν n Ỵ
suy ra limxn = 4 (đpcm)
III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
2
2. ax +1 = cosx Û a =

cosx-1

x2

ỉ πư
= f ( x ) , " x ẻ ỗ0; ữ
ỗ ứ
ỗ 2ữ
ố ữ

Tỡm min giỏ tr ca f(x) ta được a cần tìm
ỉ

a +b ư
÷
÷
÷
ø

3.Hàm số y =- x + ( x + a) ( x +b) cú min giỏ tr trờn ( 0;+Ơ ) l ỗ ab;
ỗ
ỗ
ố
2
1

Do ú ch cn cm:

ổs +bs ử
s
a
ữ a +b ,vi mi s ẻ ( 0;1)

ữ<
ỗ
ab < ỗ
ữ
ỗ 2 ữ
ỗ
2
ữ
ố
ứ

4

( 4m- 3) x + 3 +( 3m- 4) 1- x + m- 1 = 0
.

Û m=

3 x + 3 + 4 1- x +1
4 x + 3 + 3 1- x +1

2
2
ổ x + 3 ử ổ 1- x ử

ữ +ỗ
ữ =1
ỗ
ữ ỗ
ữ

Chỳ ý: ỗ
.Do ú lng giỏc húa v a v n ph t = tg 2
ỗ 2 ữ ỗ 2 ữ
ữ ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ ố
ứ

Ri kho sỏt hm s thu c theo t
5.Tương tự 4
10. x x +1 = ( x +1) x Û f ( x ) = x ln( x +1) - ( x +1) lnx = 0
ỉ 1ư 1
÷ - 1 < 1 - 1 - 1 < 0 với x>0 vậy f Nb
÷
÷
x ø x x +1 x x x +1
Mà f ( 1) = ln2 > 0 và
é
ù
ỉ 1ư
1
(
÷
lim f ( x ) = lim êx +1) lnỗ + ữ ln( x +1) ỳ
ỗ
ữ
ỗ xứ
ỳ

ố
x đ+Ơ
x đ+Ơ ờ
ở
ỷ
,
1
Ta cú f ( x ) = lnỗ +
ỗ
ỗ
ố

x +1
ộ ổ
ự
1ử
= lim ờ ỗ + ữ - ln( x +1) ỳ Ơ
lnỗ
1
=ữ
ờ ỗ
ỳ
ữ
x đ+Ơ ờ ố x ứ
ỳ
ở
ỷ
Kt hp f liên tục trong ( 0,+¥ ) suy ra pt có nghiệm dương duy nhất .

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – Đồng Nai