Bài tập lớn Chủ đề Số phức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
--------

TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC
NGHIỆM KHÁCH QUAN
CHỦ ĐỀ: SỐ PHỨC

SINH VIÊN: LÊ QUANG NHẬT
MSV: 13S1011108
LỚP TOÁN 4T

GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

Huế, tháng 04 năm 2017


Sinh viên: Lê Quang Nhật
GVHD: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Môn: LLDH Toán NC và ĐG trong DH Toán
Chủ đề: Số phức
Bài toán 1: Trong mặt phẳng phức, cho và lần lượt là hai điểm biểu diễn hai số phức
và
. Tìm số phức có phần thực dương được biểu diễn bởi điểm
biết rằng tam giác
vuông cân tại .
Bài giải:
lần lượt biểu diễn cho hai số phức
. Gọi
thỏa mãn yêu cầu bài toán, lúc đó

.

và

Ta có

Tam giác

⇔
⇔

⇔

⇔

⇔
⇔

vng cân tại

nên

và
nên
biểu diễn cho số phức


⇔

loại

ần t ực dương

Vậy số phức được biểu diễn bởi điểm

thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Đây là dạng toán t ường hay gặp ở lớp 12, ở đây điều chúng ta muốn biết là học sinh
có thể nhớ và hiểu cách biểu diễn hình học của một số phức ay k ông. Trước hết học sinh
sử dụng các t ông tin được viết để thành lập một mô hình toán, bước này phụ thuộc vào kiến
thức về biểu diễn hình học của số phức. Giả sử các học sinh có những kiến thức này thì sẽ vẽ
một n n ư sau:

Sau đó ọc sinh sẽ gọi tọa độ của điểm
biểu diễn cho số phức cần tìm rồi từ
giả thiết bài tốn tam giác
vng cân tại học sinh có được hệ ương tr n sau:

Giải hệ ương tr n trên ta sẽ t m được tọa độ điểm , từ đó suy ra số phức
sau k i đối chiếu điều kiện bài tốn.

cần tìm

Rõ ràng nếu các em thất bại ngay ở bước đầu tiên là không biết cách biểu diễn hình
học của số phức thì khơng thể giải quyết được bài toán trên. Đặc trưng của bài toán này là
học sinh không thể giải đơn t uần bằng các biểu thức đại số mà phải thơng qua hình học, từ
đó ta t ấy được tầm quan trọng của biễu diễn hình học của số phức. Nếu chỉ là câu hỏi tự
luận chúng ta sẽ không phản án được khả năng của học sinh về các khía cạnh trong bài tốn
gốc, do đó c úng ta sẽ sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm có liên quan n ư sau:

Câu 1: Trong các

n dưới đây,

n nào có điểm A biểu diễn cho số phức

A

?

B

C

D

Đáp án B
( Ở đây ọc sinh cần nhớ kiến thức: "Số phức
có thể trả lời được câu hỏi này)

t

có điểm biểu diễn là

" là


Câu 2: Cho

là điểm biểu diễn số phức
. Mện đề nào sau đây đúng?

là điểm biểu diễn số phức

và

A. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục hoành.

B. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua trục tung.

C. Hai điểm

và

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ .

D. Hai điểm

và

đối xứng với n au qua đường thẳng

.

Đáp án A
( Trong câu này ta thấy 2 số phức và có phần ảo đối n au nên ai điểm biểu diễn tương
ứng của chúng sẽ đối xứng với nhau qua trục thực ( hay còn gọi là trục hoành ), học sinh
t ường hay nhầm lẫn điều này nên một số sẽ chọn đá án B
Bước thứ 2 là từ giả thiết bài toán ta đưa ề biểu thức tốn học, ta có thể xây dựng một
câu hỏi để kiểm tra khả năng đó.
Câu 3: Cho tam giác

vuông cân tại

hệ thức nào sau đây đúng ?

A.

B.

C.

D.

Đáp án B
( Do tam giác

vuông cân tại

nên

và

, trong các

ương án được

tức là tam giác
vuông
đưa ra trước hết học sinh có thể loại bỏ đá án D
tại . Tiếp theo học sinh sẽ phát hiện đá án A à C gần giống nhau nên sẽ phân vân một
trong hai đá án, ở đá án C ai ectơ
xác là đá án B .

và

bằng nhau ( vơ lý ). Vì vậy đá án c ín

Bước cuối cùng là kiểm tra lại giả thiết của bài toán, ở phần này học sinh phải có kiến
thức về số phức có phần thực, phần ảo dương
ay âm , cụ thể ta có thể đưa câu ỏi trắc
nghiệm sau:


Câu 4: Cho hình vẽ, A, B, C, D, E lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
Trong các số phức trên, số nào có phần thực dương ?

A. Số phức

B. Số phức

C. Số phức

D. Số phức

.

Đáp án D
( Nếu học sinh không nắm rõ phần thực dương là n ư t ế nào thì từ hình vẽ có thể chia làm 2
trường hợp: Trường hợp 1 gồm các điểm
à trường hợp 2 gồm các điểm
.
Trong trường hợp học sin xác địn được phần thực dương là trường hợp 2 thì cần lưu ý
điểm có phần thực bằng 0 do đó ta sẽ loại điểm )
Bài tốn 2: Tìm các giá trị m để
mãn
.

là số thuần ảo với
Bài giải:

Gọi

).

Ta có
⇔

⇔

là số phức có phần ảo dương thỏa

⇔

⇔

ậy

oặc
có

oặc

oặc

⇔

oặc

ần ảo dương nên ta có
Số

ức có dạng lượng giác là

Suy ra
là số t uần ảo t

⇔

Dạng toán này yêu cầu sự hiểu biết của học sinh về các phép toán trong số phức, số

phức liên hợp, module của số phức,… Nếu n ư câu tự luận trên thì chúng ta không thể đán
giá được học sinh hiểu được những gì trong phần số phức, do đó c úng ta có t ể sử dụng một
số câu hỏi trắc nghiệm để đán giá được học sinh.
Trước hết học sinh cần xác địn được số phức liên hợp của một số phức. Ta có thể
dùng câu hỏi trắc nghiệm sau:
Câu 1: Cho số phức

Tìm số phức liên hợp của ?

A.

B.

C

D.


Đáp án B
( Học sinh cần nhớ rằng: "Một số phức

thì có số phức liên hợp là

").

Khơng chỉ vậy từ bài tốn ta cịn cần phải biết cách tính module của một số phức bất
kỳ, hai số phức bằng nhau khi nào?
Câu 2: Cho số phức

. Công thức nào dưới đây đúng?

A. |

B.

C.

D.

Đáp án A
Câu 3: Cho hai số phức
.

và

Tìm

A

để

B.

C.

D.

Đáp án C
( Với câu hỏi trắc nghiệm này, học sin được đán giá ề kiến thức hai số phức bằng nhau:
" hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau ".)

Câu hỏi trắc nghiệm tiếp theo sẽ giú c úng ta đán giá xem ọc sinh có hiểu được
dạng lượng giác của số phức khơng.
Câu 4 : Cho số phức

. Tìm dạng lượng giác của ?

A.

B.

C.

D.

Đáp án C
Học sinh cần nhớ dạng lượng giác của số phức là

.


Câu 5: Cho số phức

. Tìm

để

là số thuần ảo.

A.

B.

C.

D.

Đáp án D
Trong các đá án trên nếu học sinh làm bằng cách thử đá số một cách vội vàng thì sẽ
chọn đá án A, trong k i đó đá án c ín xác sẽ là đá án D, đá án A c ứa c ưa đầy đủ
các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.
Đến với phần cuối cùng chúng ta sẽ làm quen với dạng toán giải
với hệ số phức.
Bài tốn 3: Tìm phần thực phần ảo của số phức biết
của ương tr n
.

ương tr n bậc hai

có phần thực dương à là ng iệm

Bài giải:
Ta có

(1)

Do đó

ương tr n

Ta thấy số phức

1 có ai ng iệm phân biệt

có phần thực bằng

khơng thỏa mãn điều kiện nên loại

Ta chọn
Suy ra
Vậy số phức

có phần thực là , phần ảo là

Để làm được bài toán trên t trước hết học sinh phải nhớ giải ương tr n
ức với
hệ số phức cũng n ư giải ương tr n
ức với hệ số thực, nếu khơng nhớ điều này thì các
em khơng thể giải quyết bài tốn này. Nếu đã biết cách làm học sinh sẽ thực hiện t eo đúng


quy tr n à đi đến kết quả bài toán. Tuy nhiên bài tốn có một số kiến thức cơ bản yêu cầu
học sinh cần chú ý mà chúng ta có thể viết thành các câu hỏi trắc nghiệm n ư sau:
Câu 1: Cho số phức

. Tìm phần thực, phần ảo của số phức

A. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

B. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

C. Phần thực bằng

và phần ảo bằng

D. Phần thực bằng

và phần ảo bằng .

.
.

Đáp án D
Đây là câu ỏi cơ bản nhằm đán giá ọc sinh xem có nhận biết được phần thực và
phần ảo của một số phức không. Ở đây ọc sinh chỉ cần nhớ nếu số phức
thì có
phần thực bằng và phần ảo bằng là có thể làm được câu hỏi trắc nghiệm trên.
Câu 2: Cho số phức

. Tính giá trị của

.

A.

B.

C.

D.

Đáp án C
( Học sinh cần chú ý yêu cầu của bài toán là
lấy
à ra được đá án D. )
Câu 3: C o
cho.

ương tr n

, nếu tính một cách vội vàng thì học sinh sẽ
. Tìm z thỏa mãn

A.

B.

C.

D.

Đáp án A

ương tr n đã