Giáo trình Xác suất thống kê ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH
========================

NGUYỄN ĐÌNH THI – TRẦN MẠNH HÂN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

NAM ĐỊNH, 2011


BỘ LAO ĐỘNG THƢƠNG BINH VÀ XÃ HỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT NAM ĐỊNH
========================

Th.S NGUYỄN ĐÌNH THI – Th.S TRẦN MẠNH HÂN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(Mã số: GT 2010-04-03)

NAM ĐỊNH, 2011


GIỚI THIỆU

Lý thuyết Xác suất - Thố ng kê toán học đƣợc đƣa vào giảng dạy ở hầu hết các
ngành đào tạo trong các trƣờng Đại học và Cao đẳng trên thế giới và trong nƣớc

. Nó

đang là một trong những ngành khoa học phát triển cả về lý thuyết cũng nhƣ ứng
dụng. Nó đƣợc ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên , khoa
học xã hội, khoa học giáo dục và các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v...
Để giúp sinh viên trƣờng Đại học SPKT Nam Định có tài liệu học tập tốt môn
Xác suất thống kê, chúng tôi đã biên soạn Giáo trình Xác suất Thống kê phù hợp với
chƣơng trình đào tạo của Nhà trƣờng. Giáo trình gồm 4 chƣơng:
Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản về xác suất
Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên
Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng
Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê
Do giáo trình đƣợc giảng dạy cho sinh viên không phải ngành Toán, nên chúng
tôi không đi sâu vào viê ̣c chƣ́ng minh nhƣ̃ng lý thuyế t toán ho ̣c phƣ́c ta ̣p mà trình bày
các kiến thức cơ bản nhƣ là công cụ giải toán và tập trung ch

o viê ̣c đƣa ra các ví du ̣

minh ho ̣a cho các kiến thức đã học.
Do giáo trình đƣợc biên soạn lần đầu nên khơng tránh khỏi những thiếu sót, các
tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp kiến của bạn đọc để giáo trình đƣợc hồn
thiện hơn. Mọi đóng góp xin gửi về Khoa Khoa học cơ bản, trƣờng Đại học Sƣ phạm
Kỹ thuật Nam Định, Phƣờng Lộc Hạ, TP Nam Định.
Các tác giả xin chân thành cảm ơn!
CÁC TÁC GIẢ


Mục lục
GIỚI THIỆU
Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ............................................. 3
1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP ............................................................................................ 3

1.1.1 Quy tắc đếm .................................................................................................. 3
1.1.2 Chỉnh hợp. Hoán vị ....................................................................................... 5
1.1.3 Tổ hợp ........................................................................................................... 8
1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ .................................................................................. 9
1.2.1. Khái niệm phép thử và biến cố...................................................................... 9
1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố. ........................................ 11
1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố ............................................................................ 14
1.3. XÁC SUẤT ........................................................................................................ 16
1.3.1. Khái niệm xác suất ...................................................................................... 16
1.3.2. Các định nghĩa xác suất ............................................................................... 17
1.3.3. Tính chất của xác suất ................................................................................. 20
1.3.4. Các cơng thức tính xác suất......................................................................... 20
BÀI TẬP CHƢƠNG 1 .................................................................................................. 38
Chƣơng 2: BIẾN NGẪU NHIÊN ................................................................................. 52
2.1. KHÁI NIỆM VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN ........................................................... 52
2.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 52
2.1.2. Phân loại ..................................................................................................... 52
2.2. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN .......................... 53
2.2.1. Bảng phân phối xác suất............................................................................. 53
2.2.2. Hàm phân phối xác suất ............................................................................. 58
2.2.3. Hàm mật độ xác suất .................................................................................. 61
2.3. CÁC ĐẶC TRƢNG SỐ CỦA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN ................................ 65
2.3.1. Kỳ vọng (Expectation) ............................................................................... 65
2.3.2. Phƣơng sai (Variance) ................................................................................ 66
Tìm kì vọng, phƣơng sai, độ lệch của X. .............................................................. 68
2.3.3. Mod (giá trị chắc chắn nhất): ..................................................................... 72


2.3.4. Med (Trung vị): ..........................................................................................72
2.4. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG DÙNG .........................................72

2.4.1. Phân phối nhị thức .......................................................................................72
2.4.2. Phân phối Poisson.......................................................................................74
2.4.3. Phân phối chuẩn ..........................................................................................78
2.4.4. Phân phối “khi bình phƣơng” .....................................................................87
2.4.5. Phân phối Student .......................................................................................88
BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ..................................................................................................90
Chƣơng 3: LÝ THUYẾT ƢỚC LƢỢNG ......................................................................98
3.1. LÝ THUYẾT MẪU ...........................................................................................98
3.1.1. Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, thống kê mô tả ..........................................98
3.1.2. Các phƣơng pháp lấy mẫu .........................................................................100
3.1.3. Bảng phân phối thực nghiệm .....................................................................101
3.1.4. Các đặc trƣng mẫu .....................................................................................103
3.1.5. Cách tính các đặc trƣng mẫu .....................................................................105
3.2. KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM .................................................................109
3.2.1. Khái niệm ƣớc lƣợng .................................................................................109
3.2.2 Ƣớc lƣợng điểm ..........................................................................................110
3.2.3. Các tiêu chuẩn ƣớc lƣợng ..........................................................................110
3.3. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG ................................................................................112
3.3.1. Bài toán ƣớc lƣợng khoảng .......................................................................112
3.3.2. Khoảng tin cậy cho kỳ vọng ......................................................................113
3.3.3. Khoảng tin cậy cho phƣơng sai ................................................................123
3.3.4. Khoảng tin cậy cho tỷ lệ ............................................................................128
BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ................................................................................................136
Ch- ơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê................................................145
4.1. KHI NIM CƠ BẢN VỀ KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ...............................145
4.1.1. Bài toán kiểm định.....................................................................................145
4.1.2. Các loại sai lầm, mức ý nghĩa ...................................................................146
4.2. KIỂM ĐỊNH VỀ KỲ VỌNG ...........................................................................147
4.2.1. Bài toán 1: Phƣơng sai VX = σ2 đã biết ....................................................147

4.2.2. Bài toán 2: Phƣơng sai VX = σ2 chƣa biết ................................................ 151
4.3. KIỂM ĐỊNH VỀ TỶ LỆ .................................................................................. 156
4.3.1. Kiểm định hai phía .................................................................................... 156
4.3.2. Kiểm định phía phải .................................................................................. 157
4.3.3. Kiểm định phía trái .................................................................................... 158
4.4. KIỂM ĐỊNH VỀ SỰ BẰNG NHAU CỦA HAI KỲ VỌNG .......................... 163
4.4.1 Bài toán 1: Trƣờng hợp đã biết VX =  12 và VY =  22 .............................. 163
4.4.2. Bài toán 2: Trƣờng hợp chƣa biết VX =  12 và VY = 22 ........................ 165
4.4. Kiểm định về sự b»ng nhau cđa hai tû lƯ .................................. 169
4.4.1. Kiểm định hai phía .................................................................................... 169
4.4.2. Kiểm định phía phải .................................................................................. 170
4.4.3. Kiểm định phía trái .................................................................................... 170
BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ................................................................................................ 173
CÁC BẢNG SỐ .......................................................................................................... 178
PHỤ LỤC 1. HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG MỘT SỐ HÀM TRONG EXCEL ............ 185
PHỤ LỤC 2. HƢỚNG DẪN SỬ DỤNG TÍNH TỐN THỐNG KÊ TRÊN MÁY
TÍNH ........................................................................................................................... 188


Giáo trình Xác xuất - Thống kê

3

Chƣơng 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
1.1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Trong thực tế, ta cần phải chia một tập hợp các phần tử thành những nhóm theo
một số tính chất nào đó, và tính số nhóm tạo thành.
Xét 2 nhóm có cùng số phần tử, ta nói rằng 2 nhóm đó khác nhau nếu giữa chúng
có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc cách sắp xếp giữa các phần tử trong chúng là

khác nhau. Những nhóm nhƣ vậy ta gọi là nhóm có phân biệt thứ tự (gọi tắt là nhóm
có thứ tự).
Xét 2 nhóm có cùng số phần tử, ta nói rằng 2 nhóm đó khác nhau nếu giữa chúng
có ít nhất một phần tử khác nhau, cịn cách sắp xếp giữa các phần tử trong chúng có
thể là khác nhau. Những nhóm nhƣ vậy ta gọi là nhóm không phân biệt thứ tự (gọi tắt
là nhóm không có thứ tự).
1.1.1 Quy tắc đếm
Quy tắc cộng
Để hồn thành cơng việc A, ta có k khả năng (KN). Trong đó:
KN 1: có n1 cách hồn thành cơng việc A.
KN 2: có n2 cách hồn thành cơng việc A.
KN 3: có n3 cách hồn thành cơng việc A.
..................................................................
KN k: có nk cách hồn thành cơng việc A.
Suy ra: Số cách để hồn thành cơng việc A là (n1 + n2 + n3 + . . . + nk ) cách
Lƣu ý: Chỉ cần thực hiện 1 trong các khả năng trên thì cơng việc A đã đƣợc hồn
thành.
Ví dụ 1: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ
nhóm đó ra một sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?


Giáo trình Xác suất thống kê

4

Giải:
Cơng việc của ta là chọn 1 sinh viên, công việc này có 2 khả năng để hoàn thành:
- KN 1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn.
- KN 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn.
Rõ ràng, cơng việc chính của ta là chọn ra 1 sinh viên, do đó chỉ cần 1 trong 2

khả năng trên xảy ra thì cơng việc của ta đã hồn thành. Vậy, ta sử dụng quy tắc cộng:
Số cách để hồn thành cơng việc trên là: n = 15 + 10 = 25 cách
Quy tắc nhân
Để hồn thành cơng việc A, ta phải trải qua k bƣớc ( k giai đoạn). Trong đó:
Bƣớc 1: có n1 cách hoàn thành bƣớc 1.
Bƣớc 2: có n2 cách hoàn thành bƣớc 2.
Bƣớc 3: có n3 cách hoàn thành bƣớc 3.
..................................................................
Bƣớc k: có nk cách hoàn thành bƣớc thứ k.
Suy ra: Số cách để hồn thành cơng việc A là (n1 . n2 . n3 . . . nk ) cách
Lƣu ý: Để hồn thành cơng việc A, ở đây ta phải thực hiện tất cả các bƣớc trên
thì cơng việc A mới hồn thành.
Ví dụ 2: Để đi từ A tới C, bắt buộc ta phải đi qua B. Có 2 cách đi từ A đến B và
có 3 cách đi từ B tới C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C ?
A

B

C

Nhƣ vậy, cơng việc cần hồn thành là đi từ A tới C, công việc này có thể chia
làm 2 bƣớc:
- Bƣớc 1: đi từ A tới B, có 2 cách đi.
- Bƣớc 2: đi từ B tới C, có 3 cách đi.


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

5

Rõ ràng, khi một trong 2 bƣớc trên xảy ra thì cơng việc chƣa hồn thành, mà chỉ
hồn thành một phần của cơng việc thơi. Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân:
Số cách đi từ A đến B là n = 2 * 3 = 6 cách
Ví dụ 3: Một nhóm có 15 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên từ
nhóm đó ra 2 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 2 sinh viên đƣợc chọn có
1 sinh viên nam và 1 sinh viên nữ ?
Giải
Công việc của ta là chọn 1 sinh viên và 1 sinh viên nữ, công việc này đƣợc chia
làm 2 bƣớc:
- Bƣớc1: Chọn 1 sinh viên nam, có 15 cách chọn.
- Bƣớc 2: Chọn 1 sinh viên nữ, có 10 cách chọn.
Rõ ràng, khi một trong 2 bƣớc trên hồn thành thì cơng việc của ta vẫn chƣa
hoàn thành, mới chỉ hoàn thành 1 phần công việc. Do đó, ta sử dụng quy tắc nhân:
Số cách để hồn thành cơng việc trên là: n = 15 * 10 = 150 cách
1.1.2 Chỉnh hợp. Hoán vị
a) Chỉnh hợp
Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự
gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là Ank :
Ank = n.(n – 1).(n – 2). . .(n – k +1) =

n!
(n  k )!

Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: Akn = PERMUT(n;k)
Lƣu ý: n! = n.(n-1).(n-2). . . 3.2.1 và 1! = 0! = 1
Ví dụ 4: Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách

xếp thời khóa biểu trong mỗi ngày.
Giải:

Giáo trình Xác suất thống kê

6

Vì mỗi cách xếp thời khóa biểu trong một ngày là việc ghép 2 môn trong số 6
mơn học. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trƣớc
sau giữa hai mơn.
Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 từ 6 phần tử.
Do đó có tất cả: A62 

6!
 30 cách
 6  2 !

Sử dụng hàm trong MS Excel là: A26 = PERMUT(6;2) = 30
b) Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự
gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho (trong đó có thể có một số phần tử được lặp lại
nhiều lần).
~ k

Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là a (hoặc là A n ):
k
n

~ k

a = A n = nk

k
n

Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: akn = POWER(n;k)
Ví dụ 5: Có 8 sinh viên vào phịng thực hành máy tính gồm 4 dãy, mỗi dãy có 8
máy tính. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính.
b) Có bao nhiêu cách để sắp xếp các sinh viên ngồi vào các dãy máy tính mà dãy
thứ nhất có 1 sinh viên.
c) Có bao nhiêu cách sắp xếp sinh viên ngồi các vị trí khác nhau trong phịng.
Giải:
a) Mỗi sinh viên có 4 cách sắp xếp vào 4 dãy nên số cách sắp xếp vào các dãy là
chỉnh hợp lặp chập 8 của 4.
Ta có: a84 = 48 = 65536
Sử dụng hàm trong MS Excel là: a84 = POWER(4;8) = 65536


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

7

b) Dãy thứ nhất có 1 sinh viên nên có 8 cách sắp xếp, còn lại 7 sinh viên mỗi
sinh viên có 3 cách sắp xếp vào 3 dãy nên số cách sắp xếp 7 sinh viên vào 3 dãy là
chỉnh hợp lặp chập 7 của 3.
Ta có: 8 * a73 = 8 * 37 = 17496
Sử dụng hàm trong MS Excel là: 8 * a73 = 8 * POWER(3;7) = 17496
c) Tổng số chỗ ngồi khác nhau trong phòng là: 8 x 4 = 32, Số cách sắp xếp chỗ
ngồi khác nhau là chỉnh hợp không có lặp chập 8 của 32.
Ta có: A832 = 32! / 24! = 424097856000
Sử dụng hàm trong MS Excel là: A832 = PERMUT(32;8) = 424097856000

Ví dụ 6: Với các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết đƣợc bao nhiêu số có 3 chữ số thỏa
mãn:
a) Các chữ số tuỳ ý
b) Các chữ số khác nhau.
Giải:
a) Số các số có 3 chữ số tuỳ ý là chỉnh hợp lặp chập 3 của 4.
Ta có:

a34 = 43 = 64

b) Số các số có 3 chữ số khác nhau là chỉnh hợp khơng lặp chập 3 của 4.
Ta có:

A34 = 4! / 3! = 24

c) Hoán vị
Định nghĩa: Hoán vị của n phần tử là một nhóm có phân biệt thứ tự gồm n phần
tử đó.
Số các hoán vị của n phần tử, kí hiệu là Pn :
Pn =

n!

=

n.(n-1).(n-2). . .3.2.1

Chú ý: Một hoán vị của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Hàm thƣờng dùng trong MS Excel là: Pn = FACT(n) hoặc Pn = PERMUT(n;n)

Giáo trình Xác suất thống kê

8

Ví dụ 7: Có 5 bông hoa khác nhau tặng cho 5 ngƣời, hỏi có thể có mấy cách tặng hoa.
Giải:
Số cách tặng hoa cho 5 ngƣời là hoán vị của 5 phần tử: P5 = 5! = 120
Sử dụng hàm trong Excel:
P5 = FACT(5) = 120 hoặc P5 = PERMUT(5;5) = 120
Ví dụ 8: Một hội đồng có 7 thành viên đƣợc phân công 7 nhiệm vụ khác nhau.
Hỏi có thể có bao nhiêu cách phân công ?
Giải:
Số cách phân công cho 7 ngƣời là hoán vị của 7 phần tử: P7 = 7! = 5040
Sử dụng hàm: P7 = FACT(7) = 5040

hoặc

P7 = PERMUT(7;7) = 5040

Ví dụ 9: Có bao nhiêu số có 4 chữ số, các chữ số khác nhau và đƣợc lập từ các
chữ số 0, 1, 2, 3
Giải:
Giả sử số có 4 chữ số là abcd . Để xếp đƣợc số abcd , chia làm 2 bƣớc:
Bƣớc 1: Chọn 1 số khác khơng xếp ở vị trí a, có 3 cách.
Bƣớc 2: Hoán vị 3 số còn lại vào các vị trí cịn lại, có 3! = 6 cách
Số các số có 4 chữ số là: 3 * 6 = 18 cách
1.1.3 Tổ hợp
Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự
gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là C kn :
C kn =

Chú ý:


C 0n = C nn = 1

a kn
n!

k! k!(n  k )!


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

9



C kn = C nn  k



C kn 11 + C kn 1 = C kn



Hàm thƣờng dùng trong Excel là Cnk = COMBIN(n,k)

Ví dụ 10: Có mƣời đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lƣợt

(tức hai đội bất kỳ trong mƣời đội bóng này phải thi đấu với nhau một trận). Hỏi phải
tổ chức bao nhiêu trận đấu.
Giải:
Ta thấy mỗi trận đấu giữa hai đội bóng là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (vì
hai đội thi đấu với nhau thì khơng cần phân biệt thứ tự).
Do đó số trận đấu cần tổ chức là: C210 = 45 trận đấu.

1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1.2.1. Khái niệm phép thử và biến cố
Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tƣợng đều gắn liền với các điều kiện cơ bản,
và các hiện tƣợng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền với nó
đƣợc thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tƣợng, ta cần thực hiện nhóm
các điều kiện cơ bản ấy.
Chẳng hạn: nếu muốn quan sát việc xuất hiện mặt sấp hay mặt ngửa của một
đồng xu, ta phải tung đồng xu xuống đất; còn để xét xem viên đạn có trúng bia hay
trƣợt, ta phải bắn các viên đạn; khi muốn nghiên cứu chất lƣợng của một lô sản phẩm,
ta phải lấy ngẫu nhiên một hoặc một số sản phẩm của lô sản phẩm đó . . .
Việc thực hiện nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó
xảy ra hay khơng được gọi là thực hiện một phép thử, còn hiện tượng đó có thể xảy
ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (sự kiện).
Trong thực tế ta có thể gặp các loại biến cố sau đây:
* Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến
cố chắc chắn đƣợc ký hiệu là U hoặc 


Giáo trình Xác suất thống kê

10

* Biến cố khơng thể có: là biến cố khơng thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến
cố không thể có đƣợc ký hiệu là V hoặc .
* Biến cố ngẫu nhiên: là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện
phép thử. Các biến cố ngẫu nhiên thƣờng đƣợc ký hiệu là A, B, C . . . hoặc là A 1, A2,
A3, . . .
* Biến cố sơ cấp: cũng là một biến ngẫu nhiên, là kết quả nhỏ nhất có thể xảy ra
của phép thử.
Ví dụ 1:
1) Tung một đồng tiền xu xuống đất là một phép thử, còn việc xuất hiện mặt nào
đó là biến cố.
2) Đo nhiệt độ ngoài trời: đó là một phép thử. “Nhiệt độ ngoài trời là to C” đó là
một biến cố
3) Quan sát ghi nhận tuổi thọ của một chi tiết máy, hay của một loại bóng đèn, là
một phép thử. Sự kiện của nó có thể là giá trị bất kỳ trong khoảng [0,+∞), hoặc một
khoảng (a,b)  [0,+∞) nào đó mà tuổi thọ rơi vào.
Ví dụ 2:
1) Khi thực hiện phép thử: tung một con xúc xắc, gọi U là biến cố “xúc xắc xuất
hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng sáu” thì U là biến cố chắc chắn.
2) Gọi U là biến cố “ nước sôi ở nhiệt độ 1000C, dưới áp suất 1 atm” thì U là
một biến cố chắc chắn.
3) Khi tung một con xúc xắc. Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt 7 chấm” V là
biến cố khơng thể có.
4) Biến cố nƣớc sôi ở nhiệt độ 500C, với 1 atm là biến cố không thể có.
5) Gieo một con xúc xắc: đó là một phép thử.


Gọi Ak = “Xuất hiện mặt k chấm”. Khi đó: A1, A2, . . . A6 là các biến cố sơ
cấp.

Trƣờng ĐHSPKT Nam Định



11

Gọi A = “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”. Khi đó: A là biến cố ngẫu
nhiên.

Tất cả các biến cố ta gặp trong thực tế đều thuộc một trong bốn loại biến cố trên. Tuy
nhiên biến cố ngẫu nhiên là loại biến cố thƣờng gặp hơn cả.
1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố.
a) Tổng của các biến cố A1 + A2 + . . . + An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi
có ít nhất một trong các biến cố đó xảy ra.
Chú ý:
* Biến cố sơ cấp là biến cố khơng thể phân tích thành tổng của các biến cố khác.
* Mọi biến cố ngẫu nhiên A đều có thể biểu diễn thành tổng của các biến cố sơ cấp.
Các biến cố sơ cấp trong tổng này đƣợc gọi là các biến cố thuận lợi cho biến cố A.
* Biến cố chắc chắn  là tổng của mọi biến cố sơ cấp có thể có, nghĩa là mọi
biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố . Do đó  cịn đƣợc gọi là khơng gian các
biến cố sơ cấp.
Ví dụ 3:
1) Chọn ngẫu nhiên từ 2 lớp Tin A, B mỗi lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “bạn
chọn từ lớp A là nam”, B là biến cố “ bạn chọn từ lớp B là nam” và C là biến cố “
chọn được sinh viên nam”.
Rõ ràng biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.
Vậy: C = A + B.
2) Gieo một con xúc xắc: đó là một phép thử.
Gọi Ak biến cố “Xuất hiện mặt k chấm”, B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm

chẵn”, C là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7”
Rõ ràng: A1, A2, . . . A6 là các biến cố sơ cấp;
B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn.
Khi đó: B = A2 + A4 + A6 ;

C = A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6


Giáo trình Xác suất thống kê

12

b) Tích của các biến cố A1. A2 . . . An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi tất cả
các biến cố đó đồng thời xảy ra.
Ví dụ 4: Hai lớp A, B đều có sinh viên sống tại Nam Định. Chọn ngẫu nhiên mỗi
lớp 1 sinh viên. Gọi A là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Nam Định ở lớp A”, B
là biến cố “chọn được sinh viên sống ở Nam Định ở lớp B”, C là biến cố “cả hai sinh
viên sống ở Nam Định”.
Rõ ràng C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra. Vậy: C = A.B
Ví dụ 5: Cho sơ đồ mạch điện trên hình 1.1, gồm 3 bóng đèn. Gọi A là biến cố
mạng mất điện, Ai là các biến cố đèn thứ i bị cháy. Hãy biểu diễn A theo các Ai
1

2
3

Hình 1.1
Ta thấy, mạng mất điện khi và chỉ khi cả 2 nhánh đều có ít nhất một bóng đèn bị
cháy. Do đó: A = A3(A1 + A2)
c) Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B gọi là xung khắc nếu A và B không

đồng thời xảy ra, tức là:

A.B = 

Nhóm n biến cố A1, A2, . . . An đƣợc gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất
kỳ trong n biến cố này xung khắc với nhau
Ví dụ 6:
1) Hai sinh viên A và B cùng giải một bài toán và cho 2 kết quả khác nhau.
Gọi A là biến cố “Sinh viên A giải đúng”, B là biến cố “Sinh viên B giải đúng”
Rõ ràng, nếu sinh viên A giải đúng thì sinh viên B giải sai, hoặc nếu sinh viên B
giải đúng thì sinh viên A giải sai, hoặc cả 2 sinh viên đều giải sai.
Vì vậy, hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra hay chúng xung khắc với
nhau.
2) Tung một con xúc xắc. Gọi Ai (i = 1..6) là biến cố: “xúc xắc xuất hiện mặt i

chấm“. Nhóm 6 biến cố A1, A2, . . . A6 là xung khắc từng đôi.


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

13

d) Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập nếu sự xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hƣởng tới sự xảy ra hay không xảy
ra của biến cố kia và ngƣợc lại.
Ví dụ 7: Một cơ quan có 3 ô tô, gọi Ai là biến cố “Ơ tơ thứ i bị hỏng” (i = 1..2).
Rõ ràng, ô tô này bị hỏng không ảnh hƣởng gì tới ơ tơ khác và ngƣợc lại
Vậy: A1, A2, A3 là các biến cố độc lập.
Ví dụ 8: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên từ bình
lần lƣợt ra 2 quả cầu. Lấy có hoàn lại, tức là quả cầu lấy ra lần 1 đƣợc ghi kết quả lại,

rồi đƣợc bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu ở lần thứ 2. Gọi A là biến cố “lấy
đƣợc quả cầu xanh ở lần 1”; B là biến cố “lần thứ 2 lấy đƣợc quả cầu xanh”
Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay không
xảy ra và ngƣợc lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau.
e) Biến cố đối: Biến cố A đƣợc gọi là biến cố đối của biến cố A nếu nó xảy ra
khi và chỉ khi A khơng xảy ra và ngƣợc lại.
Ví dụ 9:
1) Khi tung một con xúc xắc. Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt chẵn“,” B là biến
cố “xuất hiện mặt lẻ“. Rõ ràng A và B là hai biến cố đối lập nhau.
2) Tung một đồng tiền xu. Khi đó:
A = “Xuất hiện mặt sấp”
A = “Xuất hiện mặt ngửa”

Chú ý:
1) A + A = 
2) Nếu A và B là hai biến cố đối lập thì A và B xung khắc nhau.
f) Quy tắc đối ngẫu De Morgan:
A  B  C  A . B.C

A.B.C  A  B  C


Giáo trình Xác suất thống kê

14

1.2.3. Nhóm đầy đủ các biến cố
Nhóm các biến cố A1 , A2 , . . . , An (n  2) của một phép thử gọi là nhóm đầy đủ
nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:
(i)

Chúng xung khắc với nhau từng đôi một, tức là: Ai . Aj = 

(ii)

Tổng A1 + A2 + . . . + An là một biến cố chắc chắn.

Ví dụ 10: Gieo một con xúc xắc.
a) Ai = “Xuất hiện mặt i chấm” , i = 1,6


{A1 , A2, A3 , A4 , A5 , A6 } là một hệ đầy đủ.

b) A = “Xuất hiện mặt 3 chấm”


A , A là một hệ đầy đủ.

c) A = “Xuất hiện mặt chẵn” ; B = “Xuất hiện mặt lẻ”


{A, B} là một hệ đầy đủ.

Ví dụ 11: Một sinh viên phải thi hai môn: Toán và Lý. Gọi T, L lần lƣợt là các
biến cố sinh viên đó đậu Toán, Lý. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây qua T và L.
a) Sinh viên đó rớt Toán.
b) Sinh viên đó chỉ đậu Toán.
c) Sinh viên đó đậu cả hai môn.
d) Sinh viên đó rớt cả hai môn.
e) Sinh viên đó chỉ đậu một môn.

f) Sinh viên đó đậu khơng quá một mơn.
g) Sinh viên đó đậu ít nhất một mơn.
h) Sinh viên đó rớt ít nhất một môn.
i) Sinh viên đó rớt nhiều nhất một môn.


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

15

Giải
a) Ta có biến cố rớt Toán đối lập với biến cố đậu Toán nên, nếu gọi A là biến cố
sinh viên đó rớt Toán, thì A = T .
b) Gọi B là biến cố sinh viên đó chỉ đậu Toán, thì B xảy ra khi T xảy ra và L
không xảy ra. Vậy B = T L .
c) Gọi C là biến cố sinh viên đó đậu cả 2 môn. Ta có C xảy ra khi T và L cùng
xảy ra. Vậy C = TL.
d) Tƣơng tự, biến cố sinh viên đó rớt cả 2 môn là D = T L .
e) Gọi E là biến cố sinh viên đó chỉ đậu 1 môn. Ta có E xảy ra khi sinh viên đó
chỉ đậu Toán (biến cố B) hoặc sinh viên đó chỉ đậu Lý (biến cố B’ = T L).
Vậy E = B + B’ hay E = T L + T L.
f) Gọi F là biến cố sinh viên đó đậu không quá một môn.
- Cách 1: Ta có F xảy ra khi sinh viên đó rớt cả 2 môn (biến cố D) hoặc chỉ đậu
một môn (biến cố E). Do đó F = D + E hay F = T L + T L + T L.
- Cách 2: Ta có biến cố đối lập của F là sinh viên đó đậu quá 1 môn, tức là đậu cả
hai môn (biến cố C). Vậy F = C hay F = TL .
- Cách 3: Biến cố F xảy ra khi sinh viên đó rớt Toán hoặc rớt Lý.
Vậy F = T + L .
g) Gọi G là biến cố sinh viên đó đậu ít nhất 1 môn. Tƣơng tự, ta có ba cách biểu
diễn G.

- Cách 1: G = E + C = T L + T L + TL
- Cách 2: G = D = ( T L ).
- Cách 3: G = T + L
h) Gọi H là biến cố sinh viên đó rớt ít nhất 1 mơn.
Ta có

H = F. Vậy :


Giáo trình Xác suất thống kê

16

H = T + L,
H = C = TL ,
H = T L + TL + TL
i) Gọi I là biến cố sinh viên đó rớt nhiều nhất 1 môn. Ta có I = G. Vậy
I = T L + T L + TL,
I = ( T L ),
I = T + L.

1.3. XÁC SUẤT
1.3.1. Khái niệm xác suất
Nhƣ ta đã thấy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả
của phép thử là điều không thể đoán trƣớc đƣợc. Tuy nhiên bằng trực quan ta có thể
nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xảy ra khác nhau.
Chẳng hạn: biến cố “Xuất hiện mặt sấp” khi tung một đồng xu sẽ có khả năng
xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố “ Xuất hiện mặt có 2 chấm” khi tung một con xúc
xắc.
Hơn nữa, khi ta lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện

nhƣ nhau, ngƣời ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy
ra của biến cố sẽ đƣợc thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó, ta thấy khả năng
định lƣợng (đo lƣờng), khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.
Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất
hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.
Ta chú ý rằng đây là khả năng khách quan, do những điều kiện xảy ra của phép
thử quy định chứ không tuỳ thuộc vào ý muốn chủ quan của con ngƣời.
Nhƣ vậy, bản chất xác suất của một biến cố là một con số xác định. Để tính xác
suất của một biến cố, ngƣời ta xây dựng các định nghĩa và định lí sau đây:


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

17

1.3.2. Các định nghĩa xác suất
a) Định nghĩa cổ điển về xác suất
Định nghĩa: Cho một phép thử với n kết cục đồng khả năng, trong đó có m kết
cục thuận lợi cho biến cố A. Khi đó:
Xác suất của biến cố A là 1 số không âm, kí hiệu P(A), biểu thị khả năng xảy
ra của biến cố A và được xác định như sau:
P(A) =

m Số kết cục thuận lợi cho biến cố A
=
n
Tổng sô các kết cục có thể xảy ra

Ví dụ 1: Một bộ bài có 52 quân, rút ngẫu nhiên ra 3 quân. Tìm xác suất để trong
3 quân rút ra có duy nhất một quân Cơ.

Giải:
Mỗi cách rút 3 quân từ 52 quân là một tổ hợp chập 3 từ 52 phần tử, do đó tổng số
khả năng có thể xảy ra là: n = C352 .
Gọi A là biến cố “có duy nhất một quân Cơ”
Rõ ràng, biến cố A xảy ra khi rút được một quân Cơ và 2 qn cịn lại khơng là
qn Cơ khi rút ra 3 quân bài. Bộ bài có 13 quân cơ và 39 quân không là quân cơ.
2
Số trƣờng hợp thuận lợi cho A xảy ra là: m = C113 C39

2
m C113C39
13.19.39


 0, 4359
Vậy: P(A) =
3
n
C52
25.17.52

Ví dụ 2: Một lơ sản phẩm có 10 sản phẩm, trong đó có 8 chính phẩm và 2 phế
phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm đó ra 3 sản phẩm. Tìm xác suất để:
a) Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm.
b) Trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm.
Giải:
3
Tổng số kết quả cùng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là: n = C10
= 120

Giáo trình Xác suất thống kê

18

a) Gọi A là biến cố “lấy được 3 chính phẩm”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A xảy ra là m = C83 =56
Do đó: P(A) = 56/120 = 7/15
b) Gọi B là biến cố “trong ba sản phẩm lấy ra có 2 chính phẩm”
Số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là: m = C82 C12 = 56
Do đó: P(B) = 56/120 = 7/15
Ví dụ 3: Đề cƣơng thi mơn Triết có 70 câu hỏi. Một sinh viên chỉ ôn 40 câu.
Cho biết đề thi tự luận gồm 3 câu thuộc đề cƣơng và nếu sinh viên trả lời ít nhất 2 câu
thì đậu. Tìm xác suất để sinh viên đó đậu môn Triết.
Giải:
Phép thử là việc trả lời 3 câu từ 70 câu hỏi của đề cƣơng (không cần sắp thứ tự),
do đó tổng số các kết quả có thể xảy ra là n = C 370 .
Gọi A là biến cố sinh viên đó đậu môn Triết.
Muốn A xảy ra ta có hai phƣơng án :
- Cả ba câu hỏi của đề thi đều nằm trong số 40 câu mà sinh viên đã ôn, có
C 340 cách.

- Có hai câu nằm trong số 40 câu đã ôn và một câu cịn lại nằm trong số 30 câu
anh ta khơng ôn, có C 240 C130 cách.
Theo quy tắc cộng, số kết quả thuận lợi cho A là m = C 340 + C 240 C130
Vậy, theo định nghĩa, xác suất sinh viên đậu môn Triết là

C 340  C 240 .C130 33280 1664



 0,6 .
P(A) =
54740 2737
C 370
Chú ý: Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có một số hạn chế:
- Nó chỉ xét cho hệ gồm hữu hạn các biến cố sơ cấp.
- Không phải lúc nào việc “đồng khả năng” cũng xảy ra.


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

19

b) Định nghĩa thống kê về xác suất
Nếu số các kết quả có thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhƣng khơng đồng khả năng,
cách tính xác suất cổ điển nhƣ trên khơng cịn dùng đƣợc nữa.
Giả sử số phép thử có thể đƣợc lặp đi lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện
giống hệt nhau.
Nếu trong n lần thực hiện phép thử đó, biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số:
fn(A) =

k
n

đƣợc gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử đó.
Bằng thực nghiệm, ngƣời ta chứng tỏ đƣợc khi số phép thử n tăng ra vô hạn thì
tần suất fn(A) ln dần tới 1 giới hạn nhất định.
Ta gọi giới hạn đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê.
P(A) = lim fn(A)
n 

Ví dụ 4: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền xu,
ngƣời ta tiến hành tung một đồng tiền xu nhiều lần và thu đƣợc kết quả sau đây:
Ngƣời làm

Số lần

Số lần đƣợc

thí nghiệm

tung (n)

mặt sấp (k)

Buffon

4040

2048

0.5069

Pearson

12000

6019

0.5016

Pearson

24000

12012

0.5005

Tần suất fn(A) =

k
n

Qua ví dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ
dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5.
Định nghĩa thống kê về xác suất có ƣu điểm lớn là nó không đòi hỏi những điều
kiện áp dụng nhƣ đối với những định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa trên các quan
sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.


Giáo trình Xác suất thống kê

20

Tuy nhiên trong thực tế không thể tiến hành vô hạn phép thử, nhƣng đối với số
phép thử đủ lớn ta có thể xem xác suất xấp xỉ bằng tần suất:
P(A)  fn(A)
1.3.3. Tính chất của xác suất
a)

0  P(A)  1

b)

P() = 0 ; P() = 1

c)

P( A ) = 1 – P(A)

1.3.4. Các cơng thức tính xác suất
a) Xác suất có điều kiện
Cho 2 biến cố A và B. Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, kí hiệu

 B , là xác suất của biến cố A đƣợc tính trong điều kiện biến cố B đã được xảy.

P A

 B

P A

trong đó:

=

m AB
mB

(1)

* mAB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố AB
* mB là số các khả năng thuận lợi cho biến cố B

Ta có:

m AB
m
AB
n  P(AB)
P A 

B
mB
mB
P(B)
n

 

Suy ra:

 B

P A

=

P (A.B )

P(B )

(2)

Chú ý:
 P( A B ) = 1 – P(A/B)

 

 

 Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì P A B  P A = P(A)
B


Trƣờng ĐHSPKT Nam Định

21

 Xác suất có điều kiện P(A/B) có thể tính trực tiếp từ bối cảnh của bài
toán. Khi đó, ta cần xác định sau khi biến cố B đã xảy ra thì có tất cả bao nhiêu
khả năng có thể xảy ra, trong đó có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A, từ
đó suy ra P(A/B).
 Khi biến cố B đã xảy ra, mà ta không xác định đƣợc rõ bối cảnh của bài
toán nhƣ thế nào thì ta nên áp dụng cơng thức trên để tính P(A/B).
Ví dụ 5: Rút ngẫu nhiên một con bài từ bộ tú lơ khơ. Tính xác suất để con đó là
con Át biết rằng con đó có chất màu đen?
Giải:
Cách 1: tính theo cơng thức
Gọi A là biến cố “con bài đó là con Át”

B là biến cố “con bài đó có chất màu đen”
Ta cần tìm P(A/B) = ?
Ta có: AB = “con bài đó là con Át đen”
Một bộ bài có 52 quân bài, có 26 con có chất màu đen và 2 con Át đen


n = 52, mB = 26, mAB = 2



P(AB) = 2/52,

P(B) = 26/52

P  AB 2 26 2
1
Suy ra: P A B 
 :


P  B 52 52 26 13

 

Cách 2: suy luận trực tiếp từ bối cảnh của bài toán
Ta thấy, sau khi biến cố B đã xảy ra, tức là đã biết con bài đó có chất màu đen,
một bộ tú chỉ có 26 con có chất màu đen trong đó có 2 con Át đen.
Do đó: P(A/B) = 2/26 = 1/13
Ví dụ 6: Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của ngân hàng ACB và 4 thẻ ATM của
ngân hàng Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt 2 thẻ (lấy khơng hồn lại). Tìm xác