Kỷ yếu Kỳ thi Olympic Toán học sinh viên lần thứ XXI

K y u

à N ng, 04/2013



M cl c
ôi nét v

I

iW

thi d tuy n n m 2013

1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5

is
Không gian véc t - Ánh x tuy
Ma tr n - nh th c . . . . . .
Véc t riêng - Giá tr riêng . . .
H ph ng trình tuy n tính . .
a th c . . . . . . . . . . . . .

2 Gi i

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

II

1
n
.
.
.
.

tính
. . .
. . .
. . .
. . .

tích
Dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . .
Phép tính vi phân hàm m t bi n . .
Phép tính tích phân hàm m t bi n .
Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

3
3
4
11
12
14

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

17
17
19
22
24
25

thi chính th c n m 2013

3

thi

27

is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
29
30

áp án
4.1
is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
33
34

3.1
3.2
4

i h c Duy Tân

iii




Ph n I
thi d tuy n n m 2013

1



1

Ch

ng 1

is

1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính
Bài 1 (C Tuyên Quang). Cho V là m t không gian véc t trên tr ng
K. Gi s u1 , u2 , ..., un là m t h véc - t
c l p tuy n tính c a V , aij œ
K, 1 Ỉ j Ỉ i Ỉ n. Ch ng minh h véct :
v1 = a11 u1 ,
v2 = a21 u1 + a22 u2 ,
v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 ,
...
vn = an1 u1 + an2 u2 + . . . ann un
là

c l p tuy n tính khi và ch khi a11 a22 ...ann ”= 0.

Bài 2 ( H Khoa h c Hu ). Cho f : V ≠æ W là m t ánh x tuy n tính
c a các khơng gian vecto h u h n chi u trên tr ng K. Ch ng minh r ng:
1. N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A fl Kerf là m t
không gian con r-chi u thì dim f (A) = k ≠ r.
2. N u B là m t không gian con c a W sao cho B fl Imf là m t khơng
gian con s-chi u thì dim f ≠1 (B) = dim V + s ≠ rank(f ).

Bài 3 ( H Khoa h c Hu ). Cho V = F[x] và f là m t t
ng c u c a V
xác nh b i f (P ) = xP . Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t
ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f .

3

1

is

Bài 4 ( H Khoa h c Hu ). Cho A là m t ma tr n th c vuông c p n và
ϕA , ψA là các t
ng c u tuy n tính c a khơng gian vecto th c M (n, R)
các ma tr n th c vuông c p n xác nh b i:
ϕA (X) = AX ≠ XA, ψA (X) = AX.
Ch ng minh r ng det(ϕA ) = 0 và det(ψA ) = (det A)n .

1.2 Ma tr n -

nh th c

Bài 5 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 4 s th c a, b, c, d tùy ˝. Ch ng
minh r ng
-1
-1
-1
-1

a
b
c
d

a2
b2

c2
d2

-1
a4 --1
b4 -=
(a
+
b
+
c
+
d)
-1
c4 -4-1
d
-

-

a
b
c
d

a2
b2
c2
d2

a3 -b3 --.
c3 -d3 -

Bài 6 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho W là t p các ma tr n vng c p
3 có các ph n t ch nh n giá tr ±1. Tìm s các ma tr n trong W có nh
th c d ng.
Bài 7 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p n > 1: A = (aij ),
aij œ Z, trong ó aij l v i i ”= j và aii ch n (1 Ỉ i, j Æ n). Ch ng minh
r ng: det(A) ”= 0.
Bài 8 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p 3: A = (aij ) và
aij œYK, 1 Æ i, j Æ n, K là m t tr ng. Ch ng minh r ng: A2 = 0 khi và ch
]rank(A) Ỉ 1,
.
khi
[trace(A) = 0
Bài 9 (C

Tun Quang). Tính

D=

4

- x
-n ≠ 1
- 0
- .
- 0
- 0

1
x
n≠2
.
0
0

nh th c
0
2
x
.
0
0

0
0
3
.
0
0

...
...
...
...
...
...

-

0
0 -0
0 -0
0 -.
.
. -x n ≠ 1-1
x -


1.2 Ma tr n -

nh th c

Bài 10 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A là ma tr n vuông c p 2013.
Ch ng minh r ng n u det (A≠1 ) = 2013 thì t t c các ph n t c a A không
th cùng là s nguyên.
Bài 11 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A và B là hai ma tr n vuông
cùng c p 2013 tho mãn AB 2 A + BA2 B = I v i I là ma tr n n v c p
2013. Tìm t ng các ph n t trên
ng chéo chính c a ma tr n AB 2 A.
Bài 12 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A và B là hai ma tr n vuông
cùng c p 2013 tho mãn rank (AB) = rank (A) rank (B) . Hãy xác nh
ma tr n A n u rank (B) > 2.
Bài 13 (C

Ngô Gia T - B c Giang). Cho
f (x) = a1 + a2 x + . . . + an xn≠1

là a th c h s th c và ω1 , ω2 , . . . , ωn là các giá tr c n b c n c a 1. G i

a1 a2
W
Wan a1
A=W
..
W ..
U .
.
a2 a3
S

và

B=

S
W
W
W
W
U

1
ω1
..
.

. . . an≠1 an
. . . an≠2 an≠1 X
X

..
.. X
..
X
.
.
. V
. . . an
a1

1
ω2
..
.

ω1n≠1 ω2n≠1

T

...
1
1
. . . ωn≠1 ωn X
X
..
.. X
..
X
.
.

. V
n≠1
ωnn≠1
. . . ωn≠1
T

Tính det (A).
Bài 14 (C Ngơ Gia T - B c Giang). Cho A là ma tr n vuông c p 3 có
các ph n t là 0 ho c 1. Tìm giá tr l n nh t c a det (A).
Bài 15 (C

Q

R

1 ≠2 1
d
Ngô Gia T - B c Giang). Cho A = c
a≠1 1 0b. Tìm A100 .
≠2 0 1
5


1

is

Bài 16 (C S ph m Hà N i). Cho A
c p 2 ◊ 3 sao cho
Q

8
2
AB = c
a
≠2

Tìm BA.

là ma tr n c p 3 ◊ 2, B là ma tr n
R

2 ≠2
5 4d
b
4 5

Bài 17 (C S ph m Hà N i). Có t n t i hay không ma tr n vuông A c p
3 sao cho T r(A) = 0 và AT + A2 = I trong ó T r(A) là t ng các ph n t
trên
ng chéo chính c a ma tr n A.
Bài 18 (C
cho

S ph m Hà N i). Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n sao
A2013 = 0, AB = BA, B ”= 0

Ch ng minh r ng rank(AB) Ỉ rank(B) ≠ 1.

Bài 19 (C S ph m Hà N i). Cho A là ma tr n vuông c p n sao cho
A3 = A + I. Ch ng minh r ng det(A) > 0.

Bài 20 ( H An Giang).
1. Tìm t t c các ma tr n giao hoán v i ma tr n
Q

R

0 1 2
d
A=c
a 0 0 3 b.
0 0 0
2. Gi i ph

ng trình X n = A v i n œ Nú .

Bài 21 ( H An Giang). Cho a, b, c là các s th c th a a2 + b2 + c2 = 4, tìm
giá tr l n nh t và nh nh t c a nh th c ma tr n
Q

R

a+b b+c c+a
c
d
A = a c + a a + b b + c b.
b+c c+a a+b

Bài 22 ( H An Giang). Cho A œ M2 (C), t Z(A) = {B œ M2 (C)|AB =
BA}. Ch ng minh r ng | det(A + B)| Ø | det(B)| v i m i B œ Z(A) khi và
ch khi A2 = 0.

6


1.2 Ma tr n Bài 23 ( H An Giang). Cho dãy các s th c (un ), (vn ), (wn )
b i u0 = v0 = 1, w0 = 2 và

nh th c
c xác

nh

Y
_
]

Tìm nỉŒ
lim

un+1 = 4un + vn ≠ wn
vn+1 = 2un + 5vn ≠ 2wn
_
[
wn+1 = un + vn + 2wn .

un
un
và næŒ
lim
.

vn
wn

Bài 24 ( H Th ng Long). Cho A là ma tr n th c c 4 ◊ 2 và B là ma tr n
th c c 2 ◊ 4 th a mãn
1
0 ≠1 0
c 0
1
0 ≠1d
d
d.
c
AB = c
a≠1 0
1
0b
0 ≠1 0
1
Q

Hãy tính BA.

R

Bài 25 ( H Th ng Long). Cho A, B œ M3 (Z) sao cho
Q

R

1 2k k(2k + 1)
c
d
2k
AB = a0 1
b
0 0
1

v i k œ N. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n C œ M3 (Z) sao cho BA = C k .
Bài 26 ( H Bà R a – V ng Tàu). Tính t ng t t c các nh th c c a các
ma tr n vuông c p n, (n Ø 2), mà trên m i hàng, m i c t c a m i ma tr n
ó có úng m t ph n t khác không và các ph n t khác không ôi m t
khác nhau, nh n giá tr trong t p h p {1; 2; ...; n}.
Bài 27 ( H Bà R a – V ng Tàu). Gi s A là ma tr n vuông c p 2013
th a mãn: v t c a A2 b ng 8052 và v i m i ma tr n B vuông c p 2013 u
vi t
c d i d ng B = B1 + B2 , trong ó AB1 = B1 A và AB2 = ≠B2 A.
Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên m Ỉ 2013 sao cho:
det(A ≠ I) = (≠3)m .
Bài 28 ( H Bà R a – V ng Tàu). Có t n t i hay không hai ma tr n vuông
c p 2 A, B sao cho ma tr n C = AB ≠ BA giao hoán v i A, B và C khác
ma tr n không?

7


1

is

Bài 29 ( H Bà R a – V ng Tàu). Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n
th a mãn Im(A) fl Im(B) = {0}, và{u1 , u2 , ..., uk }, {v1 , v2 , ..., vk } là các t p
con tùy ˝ c a Rn . Ch ng minh r ng n u k > r(A) + r(B) (r(A) là h ng c a
ma tr n A) thì ln t n t i các s th c λ1 , λ2 , ..., λk không ng th i b ng
không sao cho:
λ1 Au1 + λ2 Au2 + ... + λk Auk = λ1 Bv1 + λ2 Bv2 + ... + λk Bvk .
Bài 30 ( H Bà R a – V ng Tàu). G i V là t p h p mà m i ph n t c a
nó là m t ma tr n vng c p n có các ph n t ôi m t khác nhau và là các
s trong t p h p {1; 2; ...; n2 }. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a r(A) v i
A œ V (r(A) là h ng c a ma tr n A).
Bài 31 ( H Hàng H i).
S

T

1 0 0
W
1. Cho ma tr n A = U1 1 0X
V và n > 0 là s nguyên. Tìm (An )≠1 .
1 1 1

2. Cho A và B là các ma tr n c n ◊ n khác nhau v i các ph n t th c.
Gi s A3 = B 3 và A2 B = B 2 A, ch ng minh r ng A2 + B 2 khơng kh
ngh ch.

Bài 32 ( H Hàng H i). Tính

nh th c

1
2
3
4
W
1
2
3
W 2
W
W 3
2
1
2
det A = det W
W 4
3
2
1
W
W
U ···
···
···
···
2000 1999 1998 1997
S

···
···

···
···
···
···

2000
1999X
X
X
1998X
X.
1997X
X
X
··· V
1
T

Bài 33 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Cho s th c a0 , dãy {a0 , a1 , a2 , ..., a2013 }
l p thành c p s c ng công sai d = 4. Tìm i u ki n c a a0
ma tr n A
sau là kh ngh ch
Q

A=

8

c
c

c
c
c
c
c
c
c
a

a0
a1
a2
..
.

a1
a0
a1
..
.

a2
a1
a0
..
.

a2012 a2011 a2010
a2013 a2012 a2011

... a2012 a2013
... a2011 a2012
... a2010 a2011
..
..
..
.
.
.
...
a0
a1
...
a1
a0

R
d
d
d
d
d
d
d
d
d
b


1.2 Ma tr n -

nh th c

Bài 34 ( H Khoa h c Hu ). Tìm t t c các ma tr n A vuông c p n
sao cho v i m i ma tr n B vuông c p n ta u có det(A + 2013.B) =
det A + 2013. det B.
Bài 35 ( H Hùng V

ng – Phú Th ).

1. Cho A, B œ M at(n, R) sao cho t n t i (α, β) œ (R ≠ {0})2 th a mãn:
AB + αA + βB = 0.
Ch ng minh AB = BA.
2. Ch ng minh r ng v i m i A, B, C œ M at(2, R) ta ln có:
(AB ≠ BA)2 C ≠ C(AB ≠ BA)2 = O.
Bài 36 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho A là ma tr n th c c 3 ◊ 2, B
là ma tr n c 3 ◊ 2 th a mãn
Q

R

0 ≠1 ≠1
c
≠1
0 ≠1 d
AB = a
b
1
1
2

1. Ch ng minh r ng ma tr n BA kh ngh ch.
2. Tìm ma tr n BA.

Bài 37 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Bi t r ng nh th c c a ma tr n
A = [aij ]n◊n b ng α và t ng các ph n bù i s c a các ph n t c a ma
tr n A b ng β (α, β œ R). Tính nh th c c a các ma tr n sau:
S
W

1. B = W
W
U

2. C =

S
W
W
W
W
W
W
U

a11 + 2013 a12 + 2013
a21 + 2013 a22 + 2013
...
...
an1 + 2013 an2 + 2013

1
1
a21 ≠ a11 a22 ≠ a12
a31 ≠ a11 a32 ≠ a12
...
...
an1 ≠ a11 an2 ≠ a12

... a1n + 2013
... a2n + 2013
...
...
... ann + 2013

...
1
... a2n ≠ a1n
... a3n ≠ a1n
...
...
... ann ≠ a1n

T

T

X
X
X.
V

X
X
X
X.
X
X
V

Bài 38 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n vuông c p
n th a mãn rank(AB) = rank(B). Ch ng minh r ng ABX = ABY …
BX = BY v i m i X,Y.

9


1

is

Bài 39 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n tr c giao vuông
c p n th a mãn det(AB) < 0. Ch ng minh r ng det A + det B = det(A + B).
Bài 40 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho ma tr n A vuông c p n. Ch ng
minh r ng n u trace(AT A) + n = 2.trace(A) thì A kh ngh ch.
Bài 41 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n vuông c p 2013
th a mãn AB +2012A+2013B = 0. Ch ng minh r ng rank(A)+rank(B) ”=
2013.
Bài 42 ( H Khoa h c Hu ). Ch ng minh r ng n u ma tr n vng A c p
n có các ph n t trên
ng chéo chính b ng 0, các ph n t còn l i b ng 1

ho c b ng 2014 thì rank(A) Ø n ≠ 1.
Bài 43 ( H Khoa h c Hu ). Cho các ma tr n vuông th c A, B th a mãn
các i u ki n:
A2013 = 0, AB = 2012A + 2011B.
Ch ng minh r ng B 2013 = 0 và det(A ≠ 2011I) ”= 0.
Q

R

4 ≠5 2
c
d
Bài 44 ( H Khoa h c Hu ). Cho ma tr n th c A = a 5 ≠7 3 b. Tính
6 ≠9 4
f (A) bi t f (A) = 2013x2013 ≠ 2012x2012 + · · · ≠ 2x2 + x.
Bài 45 ( H Khoa h c Hu ). Cho n œ Nú , A œ M (n, R) sao cho A3 = A+In .
Ch ng minh r ng det(A) > 0.
Bài 46 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho A0 , A1 , . . . , Am œ M at (m, R) ,m œ
Z+ , m Ø 1. Ch ng minh r ng t n t i các s a0 , ..., am không ng th i b ng
không sao cho ma tr n
B = a0 A0 + a1 A1 + ... + am Am
là ma tr n suy bi n.
Bài 47 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho An = [aij ]n œ M at (n, R) , n Ø 3,
trong ó aij = ±1 Ch ng minh r ng
|det An | Ỉ (n ≠ 1) (n ≠ 1)!
Bài 48 ( H S ph m Hà N i 2). Cho ma tr n A œ M at (n, R) th a mãn
A3 + 2A2 ≠ A ≠ 2I = 0; tr(A) = n.
10

1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng
Xác

nh ma tr n A.

Bài 49 ( H S ph m Hà N i 2). Cho A, B œ M at (n, R) , n Ø 2 th a mãn
rank (AB ≠ BA) = 1.
Ch ng minh r ng (AB ≠ BA)2 = 0.

1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng
Bài 50 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 2 ma tr n A =
A

A

B

1 2
,B =
3 4

B

4 3
và ma tr n c p 2 X th a mãn AX ≠ mX = B, m œ R. Tìm s th c
2 1
m
X có tr riêng b ng 1.
Bài 51 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho A, B œ Mn (R) giao hoán
c

v i nhau. Ch ng minh r ng n u A có n tr riêng phân bi t thì B chéo hóa
c.
Bài 52 (C SP Hà N i). Cho A là ma tr n vng c p 3 có d ng
Q

Xác

R

1 ≠1 0
d
A=c
a≠1 2 ≠1b
0 ≠1 1

nh các s th c a sao cho lim an An t n t i và khác khơng.
nỉŒ

Bài 53 ( H An Giang). Cho a th c f (t) œ R[t] và A œ M2 (R). Trình bày
cách tính Af (A). TB ó tìm cơng th c tính ma tr n An . Áp d ng tính A2013
2 2
.
bi t A =
1 3
Q

1

c2

Bài 54 ( H Th ng Long). Cho ma tr n B = c
c 31
giá tr riêng và véc t riêng c a B.

a1
4
1

1
2

1
3
2
4
2

1
3
2
3

1
4
3

1R
4
2d
4d

.
3d
b
4

Hãy tìm các

1

11


1

is

Bài 55 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Cho A là ma tr n th c vuông c p 3,
v t (v t là t ng các ph n t trên
ng chéo chính) là 9. T ng các ph n t
trên m i c t c a A b ng 4 và det A = 24. Xác nh các giá tr riêng c a A.
Bài 56 ( H Ngo i Th

ng – Hà N i). Cho A = (aij )nxn v i aij œ Z.

1. Ch ng minh r ng n u m i s nguyên k là m t giá tr riêng c a A thì
det(A) chia h t cho k.
2. Gi s m là m t s nguyên và m i dòng c a A có t ng b ng m
q
( nj=1 aij = m(i = 1, n). Ch ng minh r ng det(A) chia h t cho m.

Bài 57 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho ma tr n A = [aij ] vng c p n ,
có v t khác 0 th a mãn aik akj = akk aij , ’i, j, k. Ch ng minh r ng A chéo
hóa
c.
Bài 58 ( H Khoa h c Hu ). Cho n, p œ Nú , A œ M (n ◊ p, F) và B œ
M (p ◊ n, F). Ch ng minh ng th c v a th c c tr ng: (≠x)n PBA (x) =
(≠x)p PAB (x).
Bài 59 ( H Khoa h c Hu ). Cho A œ M (3, R) sao cho
A3 + A
Q
0 0
c
A ”= 0. Ch ng minh r ng A ng d ng v i ma tr n B = a 0 0
0 ≠1

1.4 H ph

ng trình tuy n tính

Bài 60 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Gi i h ph
Y
_
x1
_
_
_
_
2
_
_

_
]x1

Bài 61 (C

+ x 2 + x3 + . . . + x n = 0
+ x22 + x23 + . . . + x2n = 0
x31 + x32 + x33 + . . . + x3n = 0
_
_
_
_
...
_
_
_
_
[ n
x1 + xn2 + xn3 + . . . + xnn = 0

Ngô Gia T - B c Giang). Cho h ph
Y
_
]úx

+ úy + úz = 0
úx + úy + úz = 0
_
[
úx + úy + úz = 0

12

ng trình

.

ng trình

= R0 và
0
1 d
b.
0


1.4 H ph

ng trình tuy n tính

Hai ng i l n l t i n m i s th c vào m i ch ánh d u *. Ch ng minh
r ng ng i i u bao gi c ng có th làm cho h ph ng trình ch có nghi m
t m th ng. Ng i th hai có ln t
c i u ó khơng?
iv im th
ph ng trình tuy n tính thu n nh t 2013 n, 2013 ph ng trình thì sao?
Bài 62 ( H Th ng Long). Gi i h ph

ng trình

Y

_
_
_x1 + 2x2 + · · · + 2013x2013
_
_
_
_
_
_
]2x + 3x + · · · + 2014x
1

2

_
_
_
···
_
_
_
_
_
_
[2013x

1

Y
_

_
_
_
_
_
]
_
_
_
_
_
_
[

2013

+ 2014x2 + · · · + 4025x2013

Bài 63 ( H Hùng V

2012
x1
2013
2012
x2
=
2013
···
2012
=

x2013
2013
=

ng – Phú Th ). Gi i h ph

ng trình:

x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xn = 6
≠x1 + 3x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xn = 12
≠x1 ≠ x2 + 7x3 ≠ ... ≠ xn = 24
................................
≠x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... + (2n ≠ 1)xn = 3.2n

Bài 64 ( H Hàng H i).

1. Gi i và bi n lu n h ph
Y
_
x5
_
_
_
_
_
_
_
]x1

trong ó m là tham s .

+ x2
+ x3
x 2 + x4
_
_
_
_
x 3 + x5
_
_
_
_
[
x 4 + x1

ng trình

= mx1
= mx2
= mx3 ,
= mx4
= mx5

2. Cho {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } là m t c s c a không gian véc t V trên tr
R. Ch ng minh

ng

{v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 + v5 , v5 + v1 }

c ng là m t c s c a V .

13


1

is

Bài 65 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho 2n s th c d
và b1 , b2 , ..., bn . Xét h ph ng trình tuy n tính sau:

ng a1 , a2 , ..., an

n
2
+ a1x+b
+ ... + a1x+b
=0
n
2
x2
xn
+ a2 +b2 + ... + a2 +bn = 0
a2 +b1
....................................................
x1
n
2
+ anx+b

+ ... + anx+b
=0
an +b1
n
2

Y
x1
_
_
a1 +b1
_
_
] x1
_
_
_
_
[

Tìm i u ki n c n và
h ph
nh t (x1 , x2 , ..., xn ) = (0, 0, ..., 0).

1.5

ng trình tuy n tính trên có nghi m duy

a th c

Bài 66 (C

Tuyên Quang). Tìm a th c P (x) œ R[x] sao cho
P [x] = x(x ≠ 1)P ÕÕ (x) + (x + 2)P Õ (x)

.
Bài 67 ( H An Giang). Cho a th c
P (x) = an xn + an≠1 xn≠1 + · · · + a1 x + a0 œ R[x]
th a P (z) œ Z v i m i z œ Z. Ch ng minh r ng an .n! œ Z.

Bài 68 ( H Hùng V

ng – Phú Th ).

1. Cho n œ Nú , f (x) œ R[x], deg f (x) = n. Ch ng minh r ng t n t i
ng th i b ng 0 sao cho a th c
các s th c a0 , a1 , ..., an không
qn
2i
a
x
chia
h
t
cho
f(x).
i=0 i

2. Cho a th c v i h s th c P (x) b c n (n Ø 1) có m nghi m th c.
Ch ng minh r ng a th c Q(x) = (4x2 + 3)P (x) + P Õ (x) có ít nh t m

nghi m th c.
Bài 69 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho a th c f (x) = 2013x2013 +
a2012 x2012 + ... + a1 x + a0 có 2013 nghi m th c x1 , x2 , ..., x2013 và g(x) là m t
q
g(xi )
a th c có b c nh h n 2012. Ch ng minh r ng 2013
i=1 f Õ (xi ) = 0.

Bài 70 ( H C n Th ). Cho ma tr n A œ M2013 (R) sao cho A2013 +
2012A2012 = 2013A2011 . Ch ng minh r ng T rA Ỉ 2013 (v i T rA là v t
c a A).

14


1.5

a th c

Bài 71 ( H C n Th ). Cho C = (cij ) œ M2013 (R) sao cho cij = 1, v i m i
i, j. H i có t n t i ma tr n A = (aij ) và B = (bij ) thu c M2013 (R) (v i aij ,bij
là các s nguyên) th a i u ki n 2013AB ≠ 2011BA = C? T i sao?
Bài 72 ( H C n Th ). Gi i h ph

ng trình tuy n tính sau:

x1 + x2 + ... + x2013 = ≠1
22012 x1 + 22011 x2 + ... + x2013 = ≠22013
.
_ ..............

_
_
[
20132012 x1 + 20132011 x2 + ... + x2013 = ≠20132013
Y
_
_
_
]

Bài 73 ( H C n Th ). Cho ma tr n vuông c p 2013:
S

A=

W
W
W
W
W
W
W
W
U

m n 0
0 m n
0
0 m
··· ··· ···

0
0
0
n 0
0

··· 0
0
··· 0
0
··· 0
0
··· ··· ···
··· m n
··· 0 m

T
X
X
X
X
X
X
X
X
V

v i m, n là các s t nhiên. Ch ng minh r ng A suy bi n khi và ch khi
A = O.
Bài 74 ( H C n Th ). Cho a th c Q(x) = 1 + 4x + 4x2 + ... + 4x2n

thu c R[x] (n là s t nhiên). Tìm t t c các a th c P(x) trên R[x] sao cho
[P (x)]2 = Q(x).
Bài 75 ( H Khoa h c Hu ). Cho P (x) là m t a th c b c n Ø 1 v i h s
th c và có n nghi m th c. Ch ng minh r ng:
(n ≠ 1)[P Õ (x)]2 Ø nP (x)P ÕÕ (x), ’x œ R.
Bài 76 ( H Khoa h c Hu ). Cho P (x) là a th c b c n v i h s th c có
n nghi m th c phân bi t khác 0. Ch ng minh r ng các nghi m c a a th c
x2 P ÕÕ (x) + 3xP Õ (x) + P (x)
là th c và phân bi t.
Bài 77 ( H Khoa h c Hu ). Tìm t t c các a th c P (x) œ R[x] th a
1
1 + P (x) = [P (x ≠ 1) + P (x + 1)].
2

15


1

is

Bài 78 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho P (x) , Q (x) œ R [x] là các a th c
b c d ng b t k th a mãn
1

2

1

2

1

P x5 + xQ x3 = 1 + x + x2
Ch ng minh r ng: P(1)= Q(1) = 0.

16

22013

.


2

Ch

ng 2

Gi i tích

2.1 Dãy s
Bài 79 ( H Bách Khoa Hà N i). Tính gi i h n c a dãy s {an }, trong ó
1 Ỉ a1 Ỉ 2, a2n+1 = 3an ≠ 2.
Bài 80 ( H Bách Khoa Hà N i). Cho {an } là dãy Fibonacci :
I

Tính t ng sau:

a0 = a1 = 1

.
an+2 = an+1 + an , n Ø 0

q+Œ (≠1)n

n=0 an an+2 .

Bài 81 ( H Hàng H i). Cho dãy xn , n œ N ú , xác
x1 = 2013, x2 = 4026, xn+2 =
Ch ng minh r ng dãy un =
gi i h n c a dãy un .

n+2
x
n+1 n+1

xn+1
xn

xác

+

2(n+2)
xn
n

nh nh sau:

v i m i n Ø 1.

nh v i m i n œ N ú và h i t . Tính

ng
Bài 82 ( H Th y L i Hà N i). Cho {bn }Œ
n=0 là dãy s d
b i:
I
b0 = 1
Ị
Ơ
Ơ
bn = 2 + bn≠1 ≠ 2 1 + bn≠1 , n = 1, 2, 3, ...
t Sn =

qn

k=0

c xác

nh

2k bk . Hãy tìm gi i h n lim = Sn .
næ+Œ

17


2 Gi i tích

Bài 83 ( H Th y L i Hà N i). Xét Q(x) = x2 + 4x + 2013. Gi s

a th c:

P (x) = x2013 + a2012 x2012 + a2011 x2011 + ... + a1 x + a0
có 2013 nghi m th c phân bi t và a th c P (Q(x)) khơng có nghi m th c.
Hãy ch ng minh r ng: P (2013) > 42013 .
Bài 84 (HV Cơng Ngh B u Chính Vi n Thông). Cho x1 = a > 0và dãy
(xn )
c xác nh b i
(n + 3)2 xn+1 = n2 xn + 2n + 3.
Tìm gi i h n: I = lim xn .
næŒ

Bài 85 ( H B c Liêu). Cho xn = a œ (0, π); xn+1 = sin xn , ’n œ N, n > 1.
xn+1 + xn xn+1 ≠ xn
Tính lim
.
nỉŒ
x2n
Bài 86 ( H Bách khoa Hà N i). Tính gi i h n c a dãy {an } sau: 1 Ỉ a1 Ỉ 2,
a2n+1 = 3an ≠ 2.
Bài 87 (C

Tìm lim

nỉ+Œ

Bài 88 (C

1

Tun Quang). Cho dãy s (un ) xác
Y
Ô
] u1 = 2
2
.
[ un+1 = un + unƠ
2013 2

u1
u2

+

u2
u3

+ ... +

un
un+1

2

nh nh sau:

.

Ngơ Gia T B c Giang). Cho dãy s {un } th a mãn i u ki n

n+1
un =
2013n+1

A

2013 20132
2013n
+
+ ... +
, n = 1, 2, 3, . . .
1
2
n
B

Ch ng minh dãy {un } h i t và tính nỉŒ
lim (un ).
Bài 89 (C

S ph m Nam
I

Tính u2013 .

18

nh). Cho dãy s un th a mãn:

un = nun≠1 ≠ 2n + 2,
u1 = 1

’n Ø 2

.


2.2 Hàm s

2.2 Hàm s
Bài 90. V i |q| < 1, tìm t t c các hàm s f : R æ R liên t c t i 0 và th a
mãn f (x) + f (qx) = 0 v i m i x œ R.
Bài 91 ( H Hàng H i). Cho hàm f liên t c trên o n [0, 2], kh vi trên
kho ng (0, 2). Ch ng minh r ng t n t i s c œ (0, 2) sao cho:
f Õ (c) +
trong ó sh(x) là hàm s

1≠c
sh(f (c)) = 0,
c(2 ≠ c)

c

nh ngh a b i: sh(x) =

ex +e≠x
.
2

Bài 92 ( H Th y L i Hà N i). Ch n m t trong hai câu sau:
1. Ch ng minh r ng : không th t n t i m
I t hàm s kh vi liên t c
f (x) > 0
f : R æ R th a mãn các tính ch t :
v i m i
f Õ (x) = f (f (x))
x œ R.

2. Cho f : [0; N ] æ R là hàm kh vi liên t c n c p hai và v i m i
x œ [0; N ] ta luôn có |f Õ (x)| < 2013 và f ”(x) > 0. V i k s t nhiên
m1 , m2 , ..., mk : 0 Ỉ m1 < m2 < ... < mk Ỉ N ta t:
ni = f (mi ),

bi = ni ≠ ni≠1 ,

ai = mi ≠ mi≠1 , i = 1, k

Hãy ch ng minh r ng:
≠2013 <

b2
bk
b1
<
< ... <
< 2013.
a1
a2

ak

Bài 93 ( H Th y L i Hà N i). Xét hàm s f (x) = x2 ≠4026x+2013.2014, x œ
R. nh ngh a f n (x) = f (f n≠1 (x)) v i n œ N, x œ R. Hãy tính tích phân
sau:
ˆ
1

f 2013 (x)dx.

I=

0

Bài 94 ( H Th y L i Hà N i). Cho f œ C n (0; +Œ), n œ N và t n t i
lim f (n) (x) v i n œ N. Gi s r ng lim f (x) = a, a œ R. Hãy tìm

xỉ+Œ

xỉ+Œ

lim f (n) (x) =?.

xỉ+Œ

19