MỘT số DẠNG GIẢI NHANH cực TRỊ KHÔNG GIAN

Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng

MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN
ÔN TẬP NGÀY 24/06/2021
Cho  P  và hai điểm A, B.

Tìm M   P  để MA  MB 

+ Nếu A và B trái phía so với  P 
min

?

 M, A, B thẳng hàng  M  AB  P 

+ Nếu A và B cùng phía so với  P 
Tìm B ' là đối xứng của B qua  P 

 M, A, B ' thẳng hàng  M  AB '  P 

Cho  P  và hai điểm A, B.

Tìm M   P  để MA  MB

+ Nếu A và B cùng phía so với  P 
max

?

 M, A, B thẳng hàng  M  AB  P 

+ Nếu A và B trái phía so với  P 

Tìm B ' là đối xứng của B qua  P 
 MA  MB '  AB '

Cho điểm M x M ; yM ; z M  không thuộc
các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết
phương trình  P  qua M và cắt 3 tia

P  : 3xx



M

y
z

1
3yM 3z M

Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho
VO .ABC nhỏ nhất?

Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa
đường thẳng d , sao cho khoảng cách
từ điểm M  d đến  P  là lớn nhất?

Qua  A  d


P :



n P    u d , AM  , u d 

 

Viết phương trình mặt phẳng  P 
qua A và cách M một khảng lớn nhất
?
Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa
đường thẳng d , sao cho  P  tạo với
 (  không song song với d ) một
góc lớn nhất là lớn nhất ?
Cho  / / P  . Viết phương trình

đường thẳng d song song với  và
cách  một khoảng nhỏ nhất ?
Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A cho trước và nằm trong
mặt phẳng  P  cho trước
sao cho khoảng cách từ điểm M cho
trước đến d là lớn nhất ( AM không

Qua  A

P  : n    AM



P

Qua  A  d

P :



n P    u d , u   , u d 

 

Lấy A   gọi A là hình chiếu
vng góc của A trên  P 
Qua  A
d:
ud  u 
Qua  A  d

d:


u d  n P  , AM 


vng góc với  P  ) ?
Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A cho trước và nằm trong
mặt phẳng  P  cho trước

Qua  A  d

d:



u d   n P  , AM  , n P  

sao cho khoảng cách từ điểm M cho
trước đến d là nhỏ nhất
( AM khơng vng góc với  P  ) ?
Viết phương trình đường thẳng d đi
qua điểm A   P  cho trước, sao cho
d nằm trong

P  và

Qua  A  d

d:



u d   n P  , AM  , n P  

tạo với đường

thẳng  một góc nhỏ nhất (  cắt
nhưng khơng vng góc với  P  )?

x  1  t

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1;1; 2  , B  3; 1;0  và đường thẳng  :  y  2  t .
z  2t

Tìm điểm M trên  sao cho MA2  MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

1
3

4 4
3 3

A. M  ;  ;  .

1 4 4
3 3 3

B. M  ; ;  .

 1 4 4
 3 3 3

C. M   ; ;  .

1 4
3 3

4
3

D. M  ; ;   .

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  2; 1;3 , B  4;7;5  . Tìm điểm M trong mặt phẳng (Oxy)
sao cho MA  MB ngắn nhất.

 1
 4




A. M   ;2;0  .

1
4




B. M  ;2;0  .

1
4





C. M  ; 2;0  .

 1
 4




D. M   ; 2;0  .

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 1 , B  5;0;3  và C  7; 2; 2  . Tọa độ của điểm S
trong mặt phẳng (Oyz) sao cho SA vng góc với mặt phẳng (ABC) là:
A. S  0; 4;1 .
B. S  0; 4;1 .
C. S  0;4; 1 .
D. S  0; 4; 1 .
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B  0; 2; 4  và C  5;3; 2  . Có hai điểm S trên
trục Ox sao cho thể tích khối tứ diện SABC bằng 6. Khi đó tổng các hồnh độ của hai điểm đó bằng:
A. 12.
B. 10.
C. 14.
D. 15.

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B  0; 2; 4  và C  5;3; 2  . Gọi S là một điểm
trên trục Ox sao cho thể tích tứ diện SABC bằng 6. Khi đó đường cao SH của tứ diện bằng:
A. 12 3 .
B. 10 3 .
C. 12 2 .
D. 10 2 .


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A  0;0;3 , B 1;1;5  , C  3;0;0  , D  0; 3;0  . Xét các
khẳng định sau:
(I) Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

(II) Diện tích tam giác ABC bằng

3 3
.
2

(III) ABCD là hình bình hành. Chọn câu trả lời đúng
A. Chỉ (I) và (II) đúng.
B. Chỉ (I) và (III) đúng.
C. Chỉ (II) và (III) đúng.
D. Cả (I), (II) và (III) đều đúng.

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 7. Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  : 2x  y  3z  7  0 sao cho  P 
hợp với ba mặt phẳng tọa độ tạo thành tứ diện có thể tích bằng 6.
A. 2x  y  3z  6  0 .
B. 2x  y  3z  2  0 .
C. 2x  y  3z  4  0 .
D. 2x  y  3z  5  0 .
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 4;9  . Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M và cắt các
tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 36x  9y  4z  108  0 .
B. 36x  9y  4z  108  0 .
C. 36x  9y  4z  18  0 .
D. 36x  9y  4z  18  0 .
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;0;1 và mặt cầu S :  x  4   y  1   z  1  25 .
2

2

2

Các mặt phẳng qua gốc tọa độ O và qua điểm M đồng thời cắt mặt cầu  S theo một đường trịn có bán
kính bằng 4 có phương trình là:

 2x  y  2z  0
.
 4x  7y  4z  0

B. 

 2x  y  2z  0
.
 4x  7y  4z  0

 2x  y  2z  0
.
 4x  7y  4z  0

D. 

A. 

 2x  y  2z  0
.
 4x  7y  4z  0

C. 

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 10. Cho hai mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng
 P  : 2x  y  z  6  0;  Q  : x  2y  z  3  0 . Khi đó, tỉ số hai bán kính là:
A. 3 :1 .

B. 5 : 3 .
C. 5 :1.
D. 4 : 3 .
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 . Hỏi đường thẳng
 thay đổi nằm trên  P  tạo với mặt phẳng  Oyz  góc lớn nhất?

2 2
2 2
.
C. arccos
.
3
3
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..

A. 90 .

B. arcsin

D. 30 .


………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và điểm A 1;1;1 và

x2 y z
 
. Đường thẳng  qua A , nằm trong  P  và cách đường thẳng d một
1
2 1
khoảng lớn nhất bằng:
1
A. 3 .
B.
.
C. 2 2 .
D. 2 .
3
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  4 z  0 , đường thẳng
đường thẳng d :

x 1 y  1 z  3
và điểm A 1;3;1 thuộc  P  . Đường thẳng  đi qua A , nằm trong  P  và cách d


2
1
1
một khoảng lớn nhất. Gọi u   a; b;1 là một véctơ chỉ phương của  . Giá trị biểu thức a  2b bằng
d:

A. 3 .
B. 0 .
C. 4 .
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 14.

D. 7 .

[2H3-2.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng

x 1 y  2 z 1


. Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cách điểm A một khoảng lớn nhất.
1
1
2
Hỏi vec tơ nào dưới đây là một vec tơ pháp tuyến của  P  ?
d:

A. n1  1;4;1 .

B. n2   1; 4;1 .

C. n3  1;4; 1 .

D. n4  1; 4;1 .

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2; 0; 2  , B  2;1;3 và đường thẳng
x 1 y  2 z 1
. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng  . Giá trị nhỏ nhất của MA2  MB 2 là?


1
1
2
455
425
185
165
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
12
4
4
Giải:…………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
:

Câu 16. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

điểm

A  0; 1; 2  ,

B  2;1;1

và

đường thẳng

x 1 y z  2
. Gọi d là đường thẳng đi qua A cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến
 

2
1
1
đường thẳng  lớn nhất. Khoảng cách lớn nhất đó là?
1
A. 3 2 .
B. 11 .
C. 3 .
D.
.
11
Giải:…………………………………………………………………..
:


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
x  2 y 1 z  2
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt phẳng


4
4
3
 P  : 2 x  y  2 z  1  0 . Đường thẳng  qua điểm E  2;1; 2  , song song với  P  đồng thời tạo với

d góc bé nhất. Biết rằng  có một vec tơ chỉ phương u   m; n;1 . Tính T  m2  n2 .

A. 5 .
B.  4 .
C. 4 .
D. 3 .
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 18. Cho hình chóp đều S.ABC có AB  a , SB  2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
3 a 2
3a 2
12 a 2
12a 2
B. S 
C. S 
D. S 
11
11
11
11
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
A. S 

Câu 19 Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình
nón theo h .
h
h

h
2h
A. x  .
B. x  .
C. x 
.
D. x 
.
2
3
3
3
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 20. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là
một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này
để thể tích của nó lớn nhất, biết 0  x  h .

h 3
h
2h
.
B. x  h 3 .
C. x 
.
D. x 
.
3

3
3
Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O và BD a. Hình chiếu vng góc của
S trên mặt phẳng đáy là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng

A. x 


A. a.

B.

a
.
2

a
3

C. .

D.

a
.

4

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a . Đường thẳng SA vng góc với
đáy ABCD và SA a 2. Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời
song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E , F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S , A, E , M , F bằng
A. a .

B. a 2.

C.

a
.
2

D.

a 2
.
2

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..

Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Đường thẳng SA vng góc đáy
ABCD . Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD bằng
A. a . B. a 2.

C.

a
.
2

D.

a 2
.
2

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng
A.

a3
.
3

B.

2 a3
.
3

C.

a3
.
6

D.

11 11 a3
.
162

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 25. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng

2a 3
. Gọi D là
3

điểm đối xứng của B qua C. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABD bằng
A.

a 37

.
6

B.

a 35
.
7

C.

a 36
.
7

D.

a 39
.
7

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD DC CB 1, AB 2. Gọi O là
giao điểm của AC và BD, hình chiếu vng góc của S xuống mặt ABCD là trung điểm của OA. Đường
thẳng SC tạo với mặt đáy ABCD một góc bằng 60 . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng
A.

17

59
54

.

B.

31

61
81

.

C.

31 51
.
162

D.

61 61
.
162

Giải:…………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..

Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
ĐÁP ÁN

x  1  t

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1;1; 2  , B  3; 1;0  và đường thẳng  :  y  2  t .
z  2t

Tìm điểm M trên  sao cho MA2  MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

1
3

1 4 4
3 3 3

4 4
3 3

 1 4 4
1 4 4
D. M  ; ;   .
 3 3 3
3 3 3
2
 2  50 50

HD: Ta có MA 2  MB2  12t 2  16t  22  12  t   

. Vậy MA2  MB2 nhỏ nhất khi
3
3
 3
2
1 4 4
t   M ; ;  .
3
3 3 3
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  2; 1;3 , B  4;7;5  . Tìm điểm M trong mặt phẳng (Oxy)
sao cho MA  MB ngắn nhất.
 1

 1

1

1

A. M   ;2;0  .
B. M  ;2;0  .
C. M  ; 2;0  .
D. M   ; 2;0  .
 4

 4

4

4


HD: Gọi M  x; y;0  . Vì A và B ở cùng phía đối với mặt phẳng (Oxy). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua
mặt phẳng (Oxy) thì ta có B  4;7; 5  . Khi đó MA  MB  MA  MB  AB do đó MA  MB nhỏ
A. M  ;  ;  .

C. M   ; ;  .

B. M  ; ;  .

nhất khi dấu bằng xảy ra  A, M, B thẳng hàng  AM   x  2; y  1; 3 và AB   6;8; 6  cùng

1
4

phương. Từ đó x   , y  2 .
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 1 , B  5;0;3  và C  7; 2; 2  . Tọa độ của điểm S
trong mặt phẳng (Oyz) sao cho SA vng góc với mặt phẳng (ABC) là:
A. S  0; 4;1 .
B. S  0; 4;1 .
C. S  0;4; 1 .
D. S  0; 4; 1 .
HD: Gọi S  0; y; z  . SA   ABC  nên vectơ AS   1; y  2;z  1 cùng phương với vectơ

 AB;AC   6;12;12  suy ra S  0; 4;1 .



Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B  0; 2; 4  và C  5;3; 2  . Có hai điểm S trên
trục Ox sao cho thể tích khối tứ diện SABC bằng 6. Khi đó tổng các hồnh độ của hai điểm đó bằng:
A. 12.

B. 10.
C. 14.
D. 15.

1
 AB;AC  .AS  6  x  6  36  x  42 hoặc x  30 .

6
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 3 , B  0; 2; 4  và C  5;3; 2  . Gọi S là một điểm
HD: Gọi S  x;0;0  , ta có VSABC 

trên trục Ox sao cho thể tích tứ diện SABC bằng 6. Khi đó đường cao SH của tứ diện bằng:
A. 12 3 .
B. 10 3 .
C. 12 2 .
D. 10 2 .

3VSABC
1
3
,SABC   AB;AC  
. Vậy SH  12 3 .
SABC
2
2
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A  0;0;3 , B 1;1;5  , C  3;0;0  , D  0; 3;0  . Xét các
1
3

HD: Ta có VSABC  SH.SABC  SH 

khẳng định sau:
(I) Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
(II) Diện tích tam giác ABC bằng
(III) ABCD là hình bình hành.
Chọn câu trả lời đúng

3 3
.
2


A. Chỉ (I) và (II) đúng.
C. Chỉ (II) và (III) đúng.

B. Chỉ (I) và (III) đúng.
D. Cả (I), (II) và (III) đều đúng.

HD: Ta có AB  1;1;2  , AC   3;0; 3 , AD   0; 3; 3 , AB;AC    3; 3;3 . Do đó





3 3
 AB;AC  .AD  0 nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Mặt khác SABC 
, DC   3;3;0  không


2

bằng AB suy ra (III) sai.
Câu 7. Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  : 2x  y  3z  7  0 sao cho  P 
hợp với ba mặt phẳng tọa độ tạo thành tứ diện có thể tích bằng 6.
A. 2x  y  3z  6  0 .
B. 2x  y  3z  2  0 .
C. 2x  y  3z  4  0 .
D. 2x  y  3z  5  0 .

 m

;0;0  ,
 2


HD: Mặt phẳng  P  : 2x  y  3z  m  0,  m  7  . Mp  P  cắt ba trục tọa độ tại A  

3
1
1 m
m m
m

.m. 
 6  m  6 .
B  0;m;0  ,C  0;0;   . VOABC  OA.OB.OC 
6
6 2
3
36
3


Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 4;9  . Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M và cắt các

tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 36x  9y  4z  108  0 .
B. 36x  9y  4z  108  0 .
C. 36x  9y  4z  18  0 .
D. 36x  9y  4z  18  0 .
HD: Gọi A  a;0;0  , B  0; b;0  ,C  0;0;c  với a, b,c  0 . Mp  P  có dạng

x y z
   1. Mp  P  qua
a b c

1
abc
1 4 9
   1 . VOABC  OA.OB.OC 
. Ta có
6
6
a b c
1 4 9
1 4 9
27.36
abc
1     33    1 
V
 162 .
a b c

a b c
abc
6
a  3
1 4 9 1 
x y
z
Dấu bằng xảy ra khi     b  12  

 1  36x  9y  4z  108  0 .
a b c 3 
3 12 27
c  27
2
2
2
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1;0;1 và mặt cầu S :  x  4   y  1   z  1  25 .
Các mặt phẳng qua gốc tọa độ O và qua điểm M đồng thời cắt mặt cầu  S theo một đường trịn có bán
M 1; 4;9  nên

kính bằng 4 có phương trình là:

 2x  y  2z  0
.
4x

7y

4z


0


B. 

 2x  y  2z  0
.
4x

7y

4z

0


 2x  y  2z  0
.
4x

7y

4z

0


D. 

A. 

 2x  y  2z  0
.
4x

7y

4z

0

HD: Mặt cầu (S) có tâm I  4;1; 1 và bán kính R  5 . Đường trịn giao tuyến có bán kính r  4 , do đó
C. 

khoảng cách từ I đến (P) là d  R 2  r 2  3 .
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax  by  cz  0 vì M   P   a  c  0  c  a (1) .
Ta

có

d  I,  P    3 

2

2

4a  b  c

 3 (2) .

Thế

(1)

vào

(2):

5a  b  3 2a 2  b 2

a b c
 7a  10ab  8b  0  a  2b hay 7a  4b . Suy ra ta được hai mặt phẳng 2x  y  2z  0 hoặc
4x  7y  4z  0 .
2

2

2


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
Câu 10. Cho hai mặt cầu có tâm nằm trên trục Oy đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng
 P  : 2x  y  z  6  0;  Q  : x  2y  z  3  0 . Khi đó, tỉ số hai bán kính là:
A. 3 :1 .

B. 5 : 3 .

C. 5 :1.

HD: Tâm I  0; b;0  cách đều hai mặt phẳng 

R

b  6
22  12  12

D. 4 : 3 .



 b  9
suy ra
R
b

1
12  22  12

2b  3

15
5
hay R 
. Vậy tỉ số hai bán kính là 3 :1 .
6
6

Câu 11. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 . Hỏi đường thẳng
 thay đổi nằm trên  P  tạo với mặt phẳng  Oyz  góc lớn nhất?

A. 90 .

B. arcsin

2 2
.
3

C. arccos

2 2
.
3

D. 30 .

Lời giải
Chọn B

Mặt phẳng  Oyz  có véctơ pháp tuyến 1;0;0  , gọi  a; b; c  là véctơ chỉ phương của đường thẳng
 , ta có a  2b  2c  0  a  2  b  c  .

Sin
sin  

a
a 2  b2  c 2



2 bc
4  b  c   b2  c 2
2



2 bc
5  b  c   2bc
2



2 bc
5 b  c  
2

1
 b  c 2
2



2 2
3

2 2
.
3
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z  3  0 và điểm A 1;1;1 và

Do đó  max  arcsin

x2 y z
 
. Đường thẳng  qua A , nằm trong  P  và cách đường thẳng d
1
2 1
một khoảng lớn nhất bằng:
1
A. 3 .
B.
.
C. 2 2 .
D. 2 .
3
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy A   P  .
đường thẳng d :

d có VTCP ud  1; 2;  1 .

P

có VTPT n  1;1;1

Dễ thấy d cắt  P  và B  2; 0; 0   d .
Giả sử  có VTCP u   a; b; c   a 2  b 2  c 2  0  .

   P   u .n  0  a  b  c  0 1 .

ud ; u    2c  b;  c  a; b  2a  .



AB  1;  1;  1


ud ; u  . AB


d d;  

ud ; u 



 3.

2c  b  c  a  b  2a

 2c  b    c  a    b  2a 
2

2

2



3c  3a

 c  a    c  a    3a  c 
2

2

2

c 2  2ac  a 2
.
3c 2  6ac  11a 2

Xét a  0  d  d ;    3

c2
 3 (với c  0 )
3c 2

Xét c  0  d  d ;    3

a2
3
.

2
11a
11

Xét a  0 và đặt t 
Xét f  t  

c
t 2  2t  1
, d d;   3
.
3t 2  6t  11
a

16t  16
t 2  2t  1
f   t   0  t  1 .
, f  t  
2 ,
2
2
3t  6t  11
3
t

6
t

11



Ta có BBT:
t

f  t 

f t 

1
0






0

1
3

Dựa vào bảng biến thiên, ta được f  t  

1
.
3

1
.
3

Suy ra d  d ;    3 .
1

Vậy max d  d ;    3 , khi a  0 , chọn c  1  b  1 .
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

 P  : x  y  4z  0 ,

đường thẳng

x 1 y  1 z  3
và điểm A 1;3;1 thuộc  P  . Đường thẳng  đi qua A , nằm trong  P 


2
1
1
và cách d một khoảng lớn nhất. Gọi u   a; b;1 là một véctơ chỉ phương của  . Giá trị biểu
d:

thức a  2b bằng
A. 3 .

B. 0 .

C. 4 .

D. 7 .

Lời giải
Chọn

A.

Vì    P   u. n  0  a  b  4  0  b  4  a  u   a;4  a;1 .

Và điểm B 1; 2;3  d  AB   0;  4;2  . Bấm máy với a  1000 để có

ud , u  . AB
6a  24


 f a 
 f 11  14 .
2
2
2
ud , u 
a

5

a

2

8

a

 
  


Dấu bằng đạt tại a  11, b  7  a  2b  3 .
d d,  

Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
Câu 14.

[2H3-2.8-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng
x 1 y  2 z 1


. Gọi  P  là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cách điểm A một khoảng
1
1
2
lớn nhất. Hỏi vec tơ nào dưới đây là một vec tơ pháp tuyến của  P  ?
d:

A. n1  1;4;1 .

B. n2   1; 4;1 .

C. n3  1;4; 1 .

D. n4  1; 4;1 .

Lời giải
Chọn D
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên d và  P  .
Ta có d  A;  P    AK  AH  d  A;  P  max  K  H   P   AH
Điểm H thuộc d nên H 1  2a; t ; 2  2t  , d có vec tơ chỉ phương u   2;1; 2  .
Vì vậy AH .u  0  2  2t  1   t  5  2  2t  1  0  t  1  H 3;1;4  .

Suy ra AH  1; 4;1  nP  1; 4;1 .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2; 0; 2  , B  2;1;3 và đường thẳng
x 1 y  2 z 1
. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng  . Giá trị nhỏ nhất của
:


1
1
2
MA2  MB 2 là?
455
425
185
165
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
12
4
4
Lời giải
Chọn B
Ta có: M   nên M  1  t ; 2  t ; 1  2t  .

MA   3  t; 2  t;3  2t  ; MB   1  t; 1  t; 4  2t 
MA2  MB 2   3  t    2  t    3  2t   1  t   1  t    4  2t 
2

2

2

2

 12t 2  26t  40.
Xét y  f  t   12t 2  26t  40  f '  t   24t  26 .
f ' t   0  t 

13
.
12

Giá trị nhỏ nhất của MA2  MB 2 là

311
12

2

2


Câu 16. Trong

không

gian

Oxyz ,

cho

hai

điểm

A  0; 1; 2  ,

B  2;1;1

và

đường thẳng

x 1 y z  2
. Gọi d là đường thẳng đi qua A cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ
 
2
1
1
B đến đường thẳng  lớn nhất. Khoảng cách lớn nhất đó là?
1
A. 3 2 .

B. 11 .
C. 3 .
D.
.
11
Lời giải
Chọn C
:

M  1  2t ; t ; 2  t     AM   2t  1; t  1; t  ,

Gọi

AB   2; 2; 1

và

 AB; AM   1  t;1; 4  2t  .


Do đó d  B, d  

 AB; AM 


AM

1  t   1   4  2t 
2
2

 2t  1   t  1  t 2
2



2



5t 2  18t  18

6t 2  2t  2

f t  .

49t  t  2 
t  0
5t 2  18t  18
f
'
t

0

Trong đó f  t  
;

f
'
t






t  2
2
6t 2  2t  2

2  3t 2  t  1

Bảng biến thiên:
t

f 't 

0
0
9



f t 



2

0



5
6


5
6

1
11

Do đó max f  t   f  0   9  max d  B, d   9  3 .
x  2 y 1 z  2
và mặt phẳng


4
4
3
 P  : 2 x  y  2 z  1  0 . Đường thẳng  qua điểm E  2;1; 2  , song song với  P  đồng thời

Câu 17. Trong không gian

Oxyz , cho đường thẳng

d:

tạo với d góc bé nhất. Biết rằng  có một vec tơ chỉ phương u   m; n;1 . Tính T  m2  n2 .
A. 5 .

B.  4 .
C. 4 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Ta có 
Góc

cos  

 P   u.n  0  2m  n  2  0  n  2m  2  u   m; 2m  2;1 .
giữa

hai

đường

4m  4  2 m  2   3
42  42  32 . m2   2m  2   1
2

thẳng



tính

4m  5
41 5m2  8m  5

bởi

 f  0 

công

thức:

5
.
41

Dấu bằng đạt tại m  0  n  2  T  4 .
Câu 18. [2H2-3.5-2] Cho hình chóp đều S.ABC có AB  a , SB  2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC là:
3 a 2
3a 2
12 a 2
12a 2
A. S 
B. S 
C. S 
D. S 
11
11
11
11
Hướng dẫn giải
Chọn C

Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Xác định tâm mặt cầu
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,
do S.ABC là hình chóp đều nên SO là trục đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC .Trong tam giác SOA dựng đường trung
trực  của cạnh bên SA ,  cắt SO tại I và cắt SA tại trung điểm J .
 I  SO  IA  IB  IC
 IA  IB  IC  IS
Ta có: 
 I    IA  IS
Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
Tính bán kính mặt cầu
Gọi M  AO  BC thì M là trung điểm của BC .
Ta có: AM 

2
a 3
AB 3 a 3
.
 AO  AM 

3
3
2
2

Trong tam giác vng SOA ta có SO  SA2  AO 2  4a 2 

3a 2 a 33

9
3

Xét hai tam giác vng đồng dạng SJI và SOA ta có:
SI SJ
SA2

 R  SI 

SA SO
2SO

4a 2
2a 33

11
a 33
2.
3
Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
2

 2a 33  12 a 2
Diện tích mặt cầu là: S  4 R  4 
.
 
11

 11 
2

Câu 19. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình nón theo h .
h
h
h
2h
A. x  .
B. x  .
C. x 
.
D. x 
.
2
3
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B


Gọi r, R theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là
tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh của hình nón,
r hx
R
B là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có: 
 r  (h  x ) .
R

h
h

R2
Thể tích khối trụ là: V   xR   x 2 (h  x )2
h
2

Xét hàm số V ( x )   x
Ta có V '( x )  

R2
(h  x )2 , 0  x  h .
2
h

R2
h
(h  x )(h  3x )  0  x  hay x  h.
2
h
3

Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là x 

Vmax 
Câu 20.

h

;
3

4 R 2 h
.
27

[2H2-1.6-3] Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và
có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều
cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0  x  h .

A. x 

h
.
3

B. x  h 3 .

2h
.
3
Hướng dẫn giải

C. x 

Chọn A

Từ hình vẽ ta có

JB OJ h  x
R(h  x )
.


 JB 
IA OI
h
h

1 R2
Thể tích khối nón cần tìm là: V   2 (h  x )2 x .
3 h
1 R2
Xét hàm số V ( x )   2 (h  x )2 x , 0  x  h .
3 h

D. x 

h 3
.
3


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng

1 R2
h
Ta có V '( x )   2 (h  x )(h  3x )  0  x  h hay x  .
3 h

3
Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là x 

h
;
3

4 R 2 h
.
Vmax 
81
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O và BD a. Hình chiếu vng góc của
S trên mặt phẳng đáy là trung điểm OD . Đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng
A. a.

a
.
2

B.

a
3

C. .

Lời giải. Xác định được 60 0

Tính được SH

a 3
; SD
4

a
2

SD, ABCD

và SB

D.

a
.
4

SDH .

a 3
.
2

Ta có SB 2 SD 2 a2 BD 2 . Suy ra tam giác SBD vuông
tại S . Vậy các đỉnh S , A, C cùng nhìn xuống BD dưới
1
BD
2

một góc vng nên R

a
.
2

Chọn B.

Câu 22. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a . Đường thẳng SA vng góc với
đáy ABCD và SA a 2. Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời
song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại E , F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S , A, E , M , F bằng
A. a .

B. a 2.

Lời giải. Dễ thấy EF
BD
Mà BD SAC

C.

SC

EF

AM

Từ 1 và 2 , suy ra SC

BC
BC

AB
SA

Từ đó suy ra AE

D.

a 2
.
2

BD.

Tam giác SAC cân tại A

Lại có

a
.
2

BC

SC

SAB

SBC

AE

Tương tự ta cũng có AF

SD.

BC

SC. 1

SC.

2

AE .

AE .

SB.

Vậy các đỉnh E , M , F cùng nhìn SA dưới một góc vng nên R

SA
2

a 2
.
2

Chọn D.
Câu 23. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Đường thẳng SA vng góc đáy
ABCD . Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HBCD bằng


A. a .

B. a 2.

C.

a
.
2

D.

a 2
.
2

Lời giải. Gọi O AC BD. Vì ABCD là hình vng
nên OB OD OC. 1
Dễ dàng chứng minh được AH HC nên tam giác
AHC vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền
2
AC nên suy ra OH OC.
Từ 1 và 2 , suy ra R

OH

OB

a 2
.
2

Chọn D.

Câu 24. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Tam giác SAB vuông tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng
a3
.
3

A.

2 a3
.
3

B.

Lời giải. Gọi O

AC

BD.

a3
.
6

C.

D.

11 11 a3
.
162

Suy ra OA OB OC OD. 1

Gọi M là trung điểm AB, do tam giác SAB vuông tại S
nên MS MA MB.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB. Từ giả thiết suy ra
SH

ABCD .

OM
OM

Ta có

AB
SH

OM

nên OM là trục của tam

SAB

giác
SAB ,

suy ra OA OB OS . 2

Từ 1 và 2 , ta có OS
R

a 2
2

OA

OA

OB

OD.

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD , bán kính

2 a3
. Chọn B.
3

4
R3
3

nên V

OC

Câu 25. Cho hình chóp đều S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng

2a 3
. Gọi D là
3

điểm đối xứng của B qua C. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABD bằng
A.

a 37
.
6

B.

a 35
.
7

C.

a 36

.
7

D.

a 39
.
7

Lời giải. Dễ thấy C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABD nên r CB a. Tam giác vng SHC có
SC

Vậy r

a

2a 3
và HC
3
a và SC

a, h

3

nên suy ra SH

2a 3
nên R

3

a.

37
. Chọn A.
6

Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AD DC CB 1, AB 2. Gọi O là
giao điểm của AC và BD, hình chiếu vng góc của S xuống mặt ABCD là trung điểm của OA. Đường
thẳng SC tạo với mặt đáy ABCD một góc bằng 60 . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng
A.

17

59
54

.

B.

31

61
81

.

C.

31 51
.
162

D.

61 61
.
162


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
Lời giải. Gọi E là trung điểm AB. Dễ thấy ABCD
là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn tâm E nên
r EA 1. Tam giác ABC vng tại C suy ra
AC

3

BO
2

Ta có HE

2

HC

60 0

SC , ABCD

SH

3

AC
3

3
3

SHE

Vậy ta có r 1, h 2 và SE

13

SE

13
3

2.

3

.

61
6

nên suy ra R

61 61
. Chọn D.
162

V

Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB
bên SA
bằng
A.

a 6

BC

1
AD
2

a.

Cạnh

và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của AD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S .ECD

114
a.
2

B.

114
a.
4

C.

Lời giải. Tam giác ECD vuông tại E nên r

114
a.
6

D.

1
CD
2

114
a.
8

a 2
.

2

Chiều cao h SA a 6.
Gọi N là trung điểm AB. Khi đó
SA 2

SO

AO 2

SA 2

AN 2

NO 2

a 34
.
2

114
a. Chọn C.
6

Suy ra R

Câu 28. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh 2 a. Mặt bên tạo với
đáy góc 600. Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên SD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện HADC
bằng
A.

a 21
.
3

B.

a 21
.
6

C.

11a 5
.
20

D.

Lời giải. Dễ thấy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC nên r

Gọi K là trung điểm AB. Xác định được 60
Suy ra SO
Kẻ HI

a 3

SD

OD suy ra HI

a 2, h

AO

SKO.

a 5.

ADC .

Trong tam giác vuông SOD có
Vậy ta có r

SAB , ABCD

11a 5
.
50

Ta có

1
OH 2

2a 3
và OH
5

HI

SO

HD
SD

OD 2
SD 2

1
SO 2

1
OD 2

OH

a 6
5

nên suy ra R

2
5

suy ra HI

a 6
5

2a 3

.
5

.

a 21
. Chọn A.
3

a 2.