Tài liệu Bai1 Chso (Phan1) HK2 0506 doc

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
•
BÀI 1: CHUỖI SỐ
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (2/2006)

NỘI DUNG

1- CHUỖI NHƯ TỔNG VÔ HẠN. CHUỖI CẤP SỐ NHÂN
2- ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CHUỖI HỘI TỤ. T/C PHÂN KỲ
3- CHUỖI SỐ DƯƠNG. TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1 – 2
4- CHUỖI ĐIỀU HOÀ (RIEMAN)
5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI
7- CHUỖI ĐAN DẤU. TIÊU CHUẨN LEBNITZ
6- CHUỖI DẤU BẤT KỲ. T/CHUẨN HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI

CHUỖI SỐ NHƯ TỔNG VÔ HẠN

→ chuỗi số. u
n
: số hạng tổng quát (số hạng thứ n)
∑∑
∞
=
++++
n
n

nn
uuuuu hoặchiệuKý
1
21
:
Cho dãy {u
n
}, n ≥ 1. Tổng các số hạng liên tiếp của dãy
→ Biểu thức có dạng:
Thực tế: Giá trò của tổng chuỗi số (vô hạn số hạng)
∑
∞
=1n
n
u
VD: Cần bao nhiêu thời gian và phép tính để tính
∑
∞
=1
2
1
n
n
VD: Sử dụng tổng S = 1 – 1 + 1 – 1 + … chứng tỏ
!
2
1
10 ==

ĐỊNH NGHĨA TỔNG CHUỖI. CHUỖI HỘI TỤ (PHÂN KỲ)

Xét chuỗi Σu
n
= u
1
+ u
2
+ … + u
n
+ … . Tổng n số hạng đầu
tiên của chuỗi u
1
+ u
2
+ … + u
n
: tổng riêng thứ n. Ký hiệu:
∑
=
=+++=
n
k
knn
uuuuS
1
21


21211
, uuSuS +==→

Nếu ∃ giới hạn hữu hạn:
SS
n
n
=
∞→
lim
⇒ chuỗi hội tụ &
tổng chuỗi là S:
[ ]
n
n
n
n
n
n
uuuSSu +++===
∞→∞→
∞
=
∑

21
1
limlim
Nếu giới hạn không tồn tại hoặc = ∞ ⇒ Σu
n
phân kỳ
(đương nhiên Σu
n

không có giá trò!)
VD: Khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu tồn tại) của:
( ) ( )
1
11
1
1
1
1
/
1
+
−=
++
∑
∞
=
nnnnnn
a
n
:ý Gợi
+−+− 1111/b

CHUỖI CẤP SỐ NHÂN

VD: Tính
 +++++
n
2
1

4
1
2
1
1
VD: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 1 – 1 + 1 – 1 + … = Σ (–1)
n–1

Kết luận: Tính tổng chuỗi ≡ Tính tổng riêng S
n
&
n
n
S
∞→
lim
VD: Tính
−+−
27
1
9
1
3
1
Chuỗi cấp số nhân:
1
1
1
1
2

0
<
−
=+++++=
∑
∞
=
q
q
qqqq
n
n
n
khi:
Ghi nhớ:
Chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi
∑
∞
=
=+++++
0
2
n
nn
qaaqaqaqa 
q
u
q
−
=<

1
1
0
S &

TÍNH CHẤT & PHÉP TOÁN TRÊN CHUỖI HỘI TỤ

Các chuỗi Σu
n
& Σv
n
hội tụ ⇒ Các chuỗi sau cũng hội tụ và
( )
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
±=±
111 n
n
n
n
n
nn
vuvu
∑∑
∞

=
∞
=
=
11 n
n
n
n
uccu
Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi bỏ đi
một số hữu hạn các số hạng đầu (hoặc bất kỳ) của chuỗi:
∑∑
∞
+=
∞
=
++++=
1
21
1
0
0
Nn
nN
n
n
uuuuu
  

đònhcốhạnhữutròGiá

Phần dư: Khi chuỗi Σu
n
hội tụ ⇒
∑
∞
+=
++
=++=
1
21
nk
knnn
uuuR 
nn
n
n
RSuS +==⇒
∑
∞
=1
0lim& =
∞→
n
n
R

ĐIỀU KIỆN CẦN CHUỖI HỘI TỤ – T/C PHÂN KỲ

VD: Kiểm tra lại điều kiện cần với các chuỗi hội tụ đã xét
∑

∞
=1
2
1
/
n
n
a
( )
1/
1
<
∑
∞
=
qqb
n
n
( )
∑
∞
=
+
1
1
1
/
n
nn
c

Sai lầm:
0lim =
∞→
n
n
u
⇒ Chuỗi Σu
n
hội tụ! VD:
∑
∞
=






+
1
1
1ln
n
n
VD: Khảo sát các chuỗi a/ 1 – 1 + 1 – … = Σ(–1)
n

∑
∞
=

+
1
4
/
n
n
n
b
Đkiện cần: Chuỗi Σu
n
hội tụ ⇒
0lim =
∞→
n
n
u




≠
∃
∞→
∞→
0lim
:lim
n
n
n
n

u
u hạngiớicókhông
⇒ Chuỗi phân kỳ
Tiêu chuẩn
PHÂN KỲ

CHUỖI DƯƠNG

VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
∑
∞
=
+
1
12
1
/
n
n
a
∑
∞
=
∞→
2
ln
1ln
/*
n
nn

n
b chuỗisát khảóTừ . lim Tìm
n
∑ dương hội tụ khi và chỉ khi bò chặn:
nMuM
n
k
k
∀≤∃
∑
=1
:
Dấu hiệu so sánh 1: Σu
n
, Σv
n
với 0 < u
n
≤ v
n
, ∀ n ≥ N
0
Σv
n
(chuỗi lớn) htụ ⇒ Σu
n
(nhỏ) htụ:
Σu
n
(nhỏ) ph.kỳ ⇒ Σv

n
(lớn) ph.kỳ:
∞<⇒∞<
∑∑
nn
uv
∞=⇒∞=
∑∑
nn
vu
⇒ Dãy tổng riêng {S
n
}:↑
Chuỗi dương Σu
n
, u
n
> 0 ∀ n ≥ N
0

CHUỖI ĐIỀU HOÀ (CHUỖI RIEMAN)

Tính tổng riêng. Lập bảng giá trò {n S
n
} → Tính chất hội tụ:
“Đoán” tính hội tụ của chuỗi:
∑∑∑
∞
=
∞

=
∞
= 111
2
1
/
1
/
1
/
nnn
n
c
n
b
n
a
Chuỗi điều hoà (Rieman)
∑
∞
=
=+++
1
1
3
1
2
1
1
n

n
ααα

∑
=
n
k
k
1
1



























2000000000 21.99362868
4000000000 22.68677586
6000000000 23.09224097
8000000000 23.37992304
10000000000 23.60306659
n
∑
=
n
k
k
1
1



























2000 87.99354447
4000 125.0386585
6000 153.4654350
8000 177.4306720
10000 198.5446431
n
Chuỗi Rieman hội tụ ⇔ α > 1 So sánh với chuỗi Rieman
∑
=
n
k
k
1
2
1



























10000000 1.644933968
20000000 1.644934018
30000000 1.644934035
40000000 1.644934043

50000000 1.644934048
n

DẤU HIỆU SO SÁNH 2

VD: Khảo sát sự hội tụ và tính tổng (nếu dễ tính!) của:
( )( )
∑
∞
=
++
1
21
1
/
n
nnn
a
∑
∞
=
−
1
5
32
/
n
n
nn
b

[ ]
∑
∞
=
−
1
1
1/
2
n
n
enc
( )
n
n
n
n
n
n
kvuk
v
u
∞→
∞→
⇔∞∈= ~,0lim
:2 chuỗi cùng bản chất hội tụ
Chuỗi dương Σu
n
, Σv
n

(từ chỉ số N
0
). Nếu tồn tại giới hạn
k=0 ⇒ u
n
< v
n
∀n ≥ N
1
& k=∞ ⇒ u
n
> v
n
: p dụng so sánh 1
Nguyên tắc: Dùng tương đương, so sánh Σu
n
với chuỗi Σ1/n
α

(tương tự tích phân suy rộng!). Một số trường hợp có thể áp
dụng khai triển Mac – Laurint theo x = 1/n với u
n