Tài liệu Lý thuyết trường điên tử P2 doc

Chương 2 - Trang 8
Chương 2: Giải tích véctơ
2.1. Giới thiệu
Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình
Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các
toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái
E
→
,
D
→
,
B
→
,
H
→
và
J
→
. Do vậy
trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan.
2.2. Các hệ tọa độ
Hệ phương trình này thường được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp với hình dạng
của vật thể trong đó người ta nghiên cứu sự phân bố của trường điện từ. Có ba loại hệ
tọa độ: Descartes, trụ và cầu. Tọa độ của mỗi điểm trong không gian, hệ thống véctơ
đơn vị và các hệ số Lame trong các hệ tọa độ này được trình bày ở bảng sau:

Hệ tọa độ Descartes Cầu Trụ
Tọa độ trong không gian
M(x, y, z)

M(r, ϕ, z) M(R, θ, ϕ)
h
1
h
x
= 1 h
r
= 1 h
R
= 1
h
2
h
y
= 1
h
ϕ
= r h
θ
= R
Hệ thống
véctơ đơn vị
h
3
h
z
= 1 h
z
= 1
h

ϕ
= R.sinθ
1
q
→

0
x
→

0
r
→

0
R
→

2
q
→

0
y
→

0
→
ϕ

0
→
θ

Hệ số Lame
3
q
→

0
z
→

0
z
→

0
→
ϕ

2.3. Các toán tử về giải tích véctơ
Gọi ψ là một đại lượng vô hướng và
A
→
là một đại lượng véctơ có các thành phần
theo các trục 1, 2 và 3 (tùy theo hệ tọa độ, xem bảng trên) là A
1
, A
2

và A
3
.
Chương 2 - Trang 9
2.3.1. Gradient
Descartes:
00
0
ddd
gradxyz
dxdydz
→→→
ψψψ
ψ=++
(2.1)
Trụ:
00
0
d1dd
gradrz
drrddz
→→→
ψψψ
ψ=+⋅ϕ+
ϕ
(2.2)
Cầu:
0 0
0
d1d1d

gradR
dRRdRsind
→→→
ψψψ
ψ=+⋅θ+⋅ϕ
θ⋅θϕ
(2.3)
2.3.2. Divergence
Descartes:
y
xz
dA
dAdA
divA
dxdydz
→
=++
(2.4)
Trụ:
rz
dA
1d(rA)1A
divA
rdrrddz
→
ϕ
∂
=⋅+⋅+
ϕ
(2.5)

Cầu:
2
R
2
dA
d(sinA)1d(RA)11
divA
RdRRsindRsind
→
ϕ
θ
θ
=⋅+⋅+⋅
θθθϕ
(2.6)
2.3.3. Rotation
Descartes:
00
0
xyz
xyz
ddd
rotA
drdydz
AAA
→→→
→
=
(2.7)
Trụ:

00
0
rz
11
rz
rr
ddd
rotA
drddz
ArAA
→→→
→
ϕ
⋅ϕ⋅
=
ϕ
(2.8)
Cầu:
0
0
0
2
Rz
111
R
RsinRsinR
ddd
rotA
dRdd
ARARsinA

→→→
→
θ
⋅⋅θ⋅ϕ
θθ
=
θϕ
θ
(2.9)
Chương 2 - Trang 10
Như vậy:
• Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đại
lượng véctơ.
• Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả là một đại lượng
vô hướng.
• Khi tác động toán tử rot lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả cũng là một đại
lượng véctơ.
2.3.4. Nabla
113
111133
1d1d1d
qqq
hdqhdqhdq
→→→
∇=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
(2.10)
gradψ = ∇ψ (2.11)
div
A
→

= ∇.
A
→
(tích vô hướng) (2.12)
rot
A
→
= ∇∧
A
→
(tích hữu hướng) (2.13)
2.3.5. Laplace
∆ψ = div(gradψ) = ∇.∇ψ = ∇
2
ψ (2.14)
Descartes:
222
222
ddd
dxdydz
ψψψ
∆ψ=++
(2.15)
Trụ:
22
222
d
d(r)
11dd
dr

rdrrddz
ψ
ψψ
∆ψ=⋅+⋅+
ϕ
(2.16)
Cầu:
22
22222
d
d(sin)
1d(R)11d
d
RdRRsindRsind
Ψ
θ
Ψψ
θ
∆ψ=⋅+⋅+⋅
θθθϕ
(2.17)
2.3.6. Các hằng đẳng thức
grad(ψ⋅Φ) = ψ⋅gradΦ + Φ⋅gradψ (2.18)
div(ψ⋅
A
→
) =
A
→
⋅gradψ + ψ⋅div

A
→
(2.19)
Chương 2 - Trang 11
div(
A
→
∧
B
→
) =
B
→
⋅rot
A
→
–
A
→
⋅rot
B
→
(2.20)
rot(ψ⋅
A
→
) = ψ⋅rot
A
→
+ gradψ ∧

A
→
(2.21)
rot(rot
A
→
) = grad(div
A
→
) – ∆
A
→
(2.22)
rot(gradψ) = 0 (2.23)
div(rot
A
→
) = 0 (2.24)
2.4. Các định lý biểu diễn các quan hệ tích phân thường gặp
2.4.1. Định lý Green-Stock
Lưu số của véctơ
A
→
dọc theo một vòng kín L bằng thông lượng của véctơ rot
A
→

qua mặt S giới hạn bởi vòng kín L đó:
LS
AdlrotAdS

→→→→
⋅=⋅
∫∫Ñ
(2.25)
2.4.2. Định lý Ostrogradsky-Gauss
Thông lượng của véctơ
A
→
qua một mặt S kín bằng tích phân của véctơ div
A
→
theo
thể tích V chứa trong mặt S đó:
SV
AdSdivAdV
→→→
⋅=⋅
∫∫Ñ
(2.26)