MAU TRINH BAY PHIEU LAM BAI TCC1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
.............................................................................................Mơn thi: TỐN
CAO CẤP 1

Họ và tên sinh viên: Lê Ngọc Huyền Trân
Lớp học phần: AMA301_2111_9_GE20

MSSV: 050609212282

THÔNG TIN BÀI THI
Bài thi có: (bằng số): 10 trang
(bằng chữ): mười trang

YÊU CẦU
Câu 1 (4 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau
a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.
b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình trên. Mỗi trường hợp hãy cho 1 ví dụ
minh họa.
c) Xét hệ phương trình sau đây:

Trong đó a là ngày sinh, b là tháng sinh và c là năm sinh của bạn. Hãy giải phương
trình trên.
Câu 2. (3 điểm)
a) Trình bày 2 cách tính định thức của ma trận vng cấp 3. Mỗi cách cho một ví dụ
minh họa?
b) Hãy cho 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các
phương trình ma trận sau: AX=B, XA=B, AXB= C.

Câu 3. (3 điểm) Hãy trình bày theo sự hiểu biết của em về các nội dung sau

1


a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vector. Cho 2 ví dụ minh
họa?
b) Không gian sinh bởi một hệ vector SpanH? Hãy cho 2 ví dụ minh họa và xác định
số chiều cũng như cơ sở của nó.

BÀI LÀM
Câu 1:
a) Thuật tốn Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính AX=B.
Bước 1: Lập ma trận mở rộng (A|B) của hệ (A là ma trận hệ số, B là cột số tự do).
Bước 2: Biến đổi sơ cấp (trên các hàng) của ma trận mở rộng. Đưa ma trận mở rộng
về ma trận bậc thang.
Từ đó ta tính được hạng của ma trận A và (A|B).
+ Nếu rank(A) ≠ rank(A|B), suy ra hệ phương trình vơ nghiệm (Dừng bước làm).
+ Nếu ranh(A) = rank(A|B) = r. suy ra hệ phương trình có nghiệm (Chuyển sang bước
3).
Bước 3: Từ ma trận bậc thang viết lại hệ phương trình mới tương đương với hệ
phương trình đã cho nhưng đơn giản hơn.
Giữ lại vế trái r ẩn ứng với các hệ số đầu tiên khác 0 ở mỗi hàng của ma trận bậc
thang. Đó là các ẩn chính (chỉ có r ẩn chính).
Các ẩn cịn lại chuyển sang về phải gọi là ẩn tự do (chỉ có n - r ẩn tự do)
Sau đó xem ẩn tự do như tham số và gán cho chúng các giá trị tùy ý rồi giải hệ phương
trình ngược từ cuối lên đầu bằng cách thế dần các ẩn từ phải sang trái, từ dưới lên trên.
Bước 4: Tóm tắt kết quả và kết luận nghiệm của hệ phương trình.
2

b) Định lý về số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính AX=B. Mỗi trường hợp
cho 1 ví dụ minh họa.
Hệ phương trình tuyến tính AX=B, trong đó A là ma trận cấp mxn.
- Nếu rank(A) < rank(A|B) ⇔ Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm.
- Nếu rank(A) = rank(A|B) ⇔ Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm.
 Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ rank(A) = rank(A|B) = n.
 Hệ có vơ số nghiệm ⇔ rank(A) = rank(A|B) < n.
Đặc biệt: Nếu A là ma trận vng cấp n
• Nếu |A| ≠ 0 thì HPT có nghiệm duy nhất .
• Nếu |A| = 0 thì HPT có thể vơ nghiệm hoặc vơ số nghiệm.

Ví dụ:
Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất:

�1 2 11 �
�
� d2 = -2d1 + d2
�2 1 1 2 �
�1 1 1 0 � d3 = d1 + d2
�
�

�
1 2 1 1 �
�
�
0 3 3 0 �
�
�
0 3 2 1 �

�
�

d3 = d2 +d3

�
1 2 11 �
�
�
0 3 3 0 �
�
�
0 0 1 1�
�
�

Ta thấy: Rank(A)=Rank(A|B) = n → hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm:

3


d1 <=> d2

d2 = -3d1 + d2

d3 = -d2 + d3

d3 = -4d1 + d3

Ta thấy: rank(A) < rank(A|B)

Hệ phương trình vơ nghiệm.

Hệ phương trình có vơ số nghiệm:

d2 = d1 + d2
d3 = -2d1 + d3
d4 = -1d1 + d4

Tham số hóa: x3 = a; x4 = b;
2 phương trình, 5 ẩn
Ta thấy: Rank(A) = Rank(A|B) < số ẩn

Hệ phương trình có vơ số nghiệm.

c)
Thay a là ngày sinh, b là tháng sinh, c là năm sinh vào phương trình ta được:

d2 = d1 + d2
d3 = d1 + d3

d3 = d2 + d3

4


.

Nghiệm tổng quát: X=
Câu 2:
a) Hai cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3:
Cách 1: Quy tắc Sarius:
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a23a32a11
Ví dụ:
= 1.1.2 + 0.(-1).0 + (-2).3.4 - 0.1.(-2) - 4.(-1).1 - 2.3.0
= -18
Cách 2: Tính định thức bằng khai triển theo 1 dòng hoặc 1 cột của định thức.
Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij)n , định thức cấp n của A là |A|, khi đó |A| có thể
được tính bởi một trong hai cơng thức dưới đây:
|A| = (-1)1+1a11|M11| + (-1)1+2a12|M12| +…..+ (-1)1+na1n|M1n|
Ví dụ:
= (-1)1+1.1. + (-1)1+2.4. + (-1)1+3.7.
= 1.1.(-3) + (-1).4.(-7) + 1.7.(-4) = -3
b) 3 ví dụ để vận dụng tính khả nghịch của ma trận trong việc giải các phương
trình ma trận:
* XA=B
X. =
Gọi A là , B là
Ta có:
5


X.A.A-1 = B.A-1

X = B.A-1
|A| ≠ 0

detA = 20 + 30 + 42 - 45 - 16 -35 = -4

A khả nghịch.

 A* =
.

 A-1 =. A*T =

X = B.A-1 = . .
= . =

*AX=B
.X =

Gọi A là , B là
Ta có: A-1.A.X = A-1.B
detA = 2 + 1 + 0 - 4 - 2 = -3

X = A-1.B
|A| ≠ 0

A khả nghịch.

 A* =
 A-1 =. A*T = .

X= .. = .
X=

*A.X.B = C

.X. =

Gọi A là , B là , C là

6


Ta có: A-1.A.X.B.B-1 = A-1.C.B-1

X = A-1.C.B-1

 detA = 1 ; detB = -2
 A* = ; B* =

 A-1 = ;

B-1 = .

 A-1.C = . =

X = A-1.C.B-1 = . .
=

Câu 3:
a) Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của họ các vecto. 2 ví dụ
minh họa.
Sự phụ thuộc tuyến tính:
Trong khơng gian vector Rn, cho hệ vector H = { x1; x2; x3;….;xm }
 Hệ vector H là hệ phụ thuộc tuyến tính
⇔ Tồn tại λi ≠ 0 sao cho λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = 0

⇔ Hệ thuần nhất tương đương với λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = 0 có nghiệm khơng tầm
thường (có vơ số nghiệm).
Sự độc lập tuyến tính:
Trong khơng gian vector Rn, cho hệ vector H = { x1; x2; x3;….;xm }
 Hệ vector H là hệ độc lập tuyến tính
7


⇔ λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = 0 ⇔ λi = 0, ∀i =
⇔ Hệ thuần nhất tương đương với λ1.x1 + λ2.x2 + … + λm.xm = 0 chỉ có nghiệm tầm
thường (có nghiệm duy nhất).
Ví dụ minh họa:
- Hệ phụ thuộc tuyến tính:
S = { } ⊂ M2x2
detA = = 0

Hệ phụ thuộc tuyến tính.

- Hệ độc lập tuyến tính:
S = { (1;0;1;0), (2;0;1;2), (2;0;2;4) } ⊂ R4
(A|0) = =
detA = = 4 + 4 - 8 - 4 = -4 ≠ 0

Hệ độc lập tuyến tính.

b) Khơng gian sinh bởi một hệ vector SpanH:
Trong Rn cho hệ H = { α1;α2; …; αm }. Không gian sinh bởi H, được ký hiệu là
Span(H)
Span(H) = { x ∈ Rn : x = λ1.α1 + λ2.α2 + … + λm.αm ; ∀λi ∈ R }
Ví dụ 1: A0 = { a1 = (0; 1; 1), a2 = (1;2;2), a3 = (1;0;1) } ⊂ R3

 detA0 = = 0 + 0 + 2 - 2 - 0 -1 = -1
 detA ≠ 0
 Dim R3 = 3

Hệ độc lập tuyến tính.
A0 là cơ sở của R3 vì có mỗi vector đều biểu diễn được qua A0 và

là hệ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2: S = { (1;3;0), (4;1;2), (-2;5;-2) } ⊂ R3
Số phần tử S = dim R3 = 3
detS = = - 2 - 12 + 24 - 10 = 0
detS = 0

Hệ phụ thuộc tuyến tính.

S khơng phải là cơ sở của R3.
8


9