Tài liệu Chương 7: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc pdf

Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
1
Chương 7
MÔ TẢ TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1. Khái niệm
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong
đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuổi xung, không phải là hàm
liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hoá tín hiệu mà
ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hoá
theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử
lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lượng tử hoá được
tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu
số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và
hệ thống số, thông số điều khiển – biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các
thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì
có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn đònh hệ thống trở nên phức tạp
hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc
biệt.
Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật
máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng
để điều khiển các đối tượng. Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với
hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng thay đổi
thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp
bằng cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng
một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ
tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống
điều khiển số trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử
dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ,
điều khiển động cơ DC, AC,… đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều

khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công
nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau.
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
2
Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thường gặp,
trong hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục c(t), u
R
(t) và tín hiệu số
r(kT), c
ht
(kT), u(kT). Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có
chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến, và xuất ra tín hiệu điều
khiển đối tượng. Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử
dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính. Do đó để phân
tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được
quá trình chuyển đổi A/D và D/A. Tuy nhiên hiện nay không có phương pháp
nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số
lượng tử hoá biên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo
sát hệ rời rạc ở hình 7.2.
Hình 7.1: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số
Hình 7.2: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các phương pháp phân tích
và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc. Nếu
độ phân giải của phép lượng tử hoá biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số
qua thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghóa là lý
thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong quyển sách này hoàn toàn có thể áp
dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số.
Máy tính số D/A
Đ
ối tượng

A/D
r(kT) c(t)
u(kT)
u
R
(t)
c
ht
(kT)
Cảm biến
Xử lý rời rạc Giữ dữ liệu
Đ
ối tượng
Lấy mẫu
r(kT) c(t)
u(kT)
u
R
(t)
c
ht
(kT)
Cảm biến
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
3
7.1.2. Đặc điểm lấy mẫu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời
rạc theo thời gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu
ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (xem hình 7.3). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi
biểu thức toán học sau:

)().()(
*
tstxtx
(7.1)
trong đó s(t) là chuổi xung dirac:
¦
f
f

k
kTtts )()(
G
(7.2)
Thay (7.2)vào (7.1), đồng thời giả sử rằng e(t) = 0 khi t < 0, ta được:
¦
f


0
*
)()()(
k
kTttxtx
G

¦
f


0

*
)()()(
k
kTtkTxtx
G
(7.3)
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
¦
f



0
*
)()(
k
kTs
ekTxsX (7.4)
Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu.
Hình 7.3: Quá trình lấy mẫu dữ liệu
x(t) x
*
(t)
T
x(t)
t
0
s(t)
1
x

*
(t)
0
t
t
0
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
4
Đònh lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bò
méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:
c
f
T
f 2
1
t
(7.5)
trong đó f
c
là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số
lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu.
7.1.3. Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín
hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử
dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0
(Zero-Order Hold – ZOH), xem hình 7.4.
(a) (b)
Hình 7.4: Khâu giữ bậc 0 (ZOH)

Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu
ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (hình
7.4b). Ta có:
1)( s
R
(vì r(t) là hàm dirac)
x
*
(t) x
R
(t)
ZOH
x
*
(t)
t
0
x
R
(t)
t
0
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T
r(t)
t
1
c(t)
t
0

T
1
0
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
5
^` ^ `
s
e
e
ss
TtututcsC
Ts
Ts



 
111
)()()()( LL
Theo đònh nghóa:
)(
)(
)(
sR
sC
sG
ZOH

Do đó:
s

e
sG
Ts
ZOH



1
)(
(7.6)
Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong các hệ
thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các
khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH).
Nhận xét:
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy
mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên các
biểu thức toán học này lại chứa hàm e
x
nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời
rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả
toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi
Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này.
7.2. PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Đònh nghóa:
Cho x(k) là chuổi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:
^`
¦
f
f


k
k
zkxkxzX )()()(
Z
(7.7)
Trong đó:
Ts
ez (s là biến Laplace)
Ký hiệu:
)()( zXkx om
Z
Nếu
0)(
k
x
, 0
k
thì biểu thức đònh nghóa trở thành:
^`
¦
f



0
)()()(
k
k
zkxkxzX

Z
(7.8)
x
Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trò z sao cho X(z) hữu hạn.
x
Ý nghóa của phép biến đổi Z:
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu
kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT).
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
6
Biểu thức lấy mẫu x(t):
¦
f



0
*
)()(
k
kTs
ekTxsX (7.9)
Biểu thức biến đổi Z:
¦
f



0

)()(
k
k
zkxzX (7.10)
Vì
Ts
ez nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do
đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó.
x
Phép biến đổi Z ngược:
Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là:
³


C
k
dzzzX
j
kx
1
).(
2
1
)(
S
với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao
gốc tọa độ.
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z:
1. Tính tuyến tính:
Nếu:

)()(
11
zXkx om
Z
)()(
22
zXkx om
Z
Thì:
)()()()(
22112211
zXazXakxakxa om
Z
(7.11)
2. Dời trong miền thời gian:
Hình 7.5: Làm trể tín hiệu k
0
mẫu
x(k)
k
0
1 2 3 4 5 6 7
}
x(k

k
0
)
k
0

1 2 3 4 5 6 7 8 9
k
0
}
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7
Nếu: )()( zXkx om
Z
Thì :
)()(
0
0
zXzkkx
k
om
Z
(7.12)
Nhận xét:
Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với
0
k
z

thì tương đương với trong miền
thời gian ta là trể tín hiệu x(k) k
0
chu kỳ lấy mẫu.
Vì
)()1(
1

zXzkx

om
Z
nên z
1
được gọi là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu.
3. Tỉ lệ trong miền Z:
Nếu:
)()( zXkx om
Z
Thì :
)()(
1
zaXkxa
k 
om
Z
(7.13)
4. Đạo hàm trong miền Z:
Nếu:
)()( zXkx om
Z
Thì :
dz
zdX
zkkx
)(
)( om
Z

(7.14)
5. Đònh lý giá trò đầu:
Nếu:
)()( zXkx om
Z
Thì : )(lim)0( zXx
z fo
(7.15)
7. Đònh lý giá trò cuối:
Nếu:
)()( zXkx om
Z
Thì : )()1(lim)(
1
1
zXzx
z

o
 f (7.16)
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
7.2.3.1. Hàm dirac
¯
®

z


00
01

)(
k
k
k
nếu
nếu
G
Theo đònh nghóa:
0
k
G
(k)
1
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
8
^`
1)0()()(
0


f
f

¦
zzkk
k
k
GGG
Z
Vậy: 1)( om

Z
k
G
(ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)
7.2.3.2. Hàm nấc đơn vò:
Hàm nấc đơn vò (liên tục trong miền
thời gian)
¯
®


t

00
01
)(
t
t
tu
nếu
nếu
Lấy mẫu
u(t) với chu kỳ lấy mẫu là
T, ta được:
¯
®


t

00
01
)(
k
k
ku
nếu
nếu
Theo đònh nghóa:
^`
f
f


f
f


¦¦
zzzzkuzkuku
k
k
k
k

21
0
1)()()(
Z
Nếu 1

1


z thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp
dung công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra:
^`
1
1
1
)(
1





z
z
z
ku
Z
Vậy:
1
1
1
)(
1




om

z
z
z
ku
Z
(ROC: 1!z )
7.2.3.3. Hàm dốc đơn vò:
Hàm dốc đơn vò (liên tục trong miền
thời gian)
¯
®


t

00
0
)(
t
tt
tr
nếu
nếu
Lấy mẫu
r(t) với chu kỳ lấy mẫu là
T, ta được:
¯
®



t

00
0
)(
k
kk
kr
nếu
nếuT

)()(
k
kTu
k
r

0
k
u(k)
1
}
0
t
u
(t)
1
0

k
r
(k)
1
}
0
t
r
(t)
1
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
9
Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tín chất tỉ lệ trong miền Z:
Ta có:
1
1
1
)(


om
z
ku
Z

21
1
1
)1(1
1

)(





¿
¾
½
¯
®


om
z
z
z
dz
d
zkku
Z

221
1
)1()1(
)(



om



z
Tz
z
Tz
kkTu
Z
Vậy
221
1
)1()1(
)()(



om


z
Tz
z
Tz
kkTukr
Z
(ROC:
1!
z
)
7.2.3.4. Hàm mũ:

Hàm mũ liên tục trong miền thời gian:
¯
®


t


00
0
)(
t
te
tx
at
nếu
nếu
Lấy mẫu
r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T,
ta được:
¯
®


t


00
0
)(

k
ke
kx
ka
nếu
nếu
T
 )()( kuekx
kaT

Theo đònh nghóa:
^`


f


f
f

¦¦
221
0
1)()()( zezezkxzkxkx
aTaT
k
k
k
k
Z


 21
)()(1 zeze
aTaT
Nếu
1)(
1


ze
aT
thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Áp dung công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra:
^`
aTaT
ez
z
ze
kx





1
)(1
1
)(
Z
Vậy:

aTaT
kaT
ez
z
ze
kue





om
1
)(1
1
)()(
Z

(ROC:
1!ze
aT

aT
ez

!
)
0
t
x

(t)
1
0
k
x(k)
1
}
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
10
Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
az
z
az
kua
k



om
1
1
1
)(
Z
7.2.4. Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến đổi Z
ngược, ta có:
³


C
k
dzzzX
j
kx
1
).(
2
1
)(
S
với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng
các cách sau:
x
Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến
đổi Z.
Thí dụ 7.1:
Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải:
Phân tích X(z), ta được:
)3()2(

)(





z
z
z
z
zX
Tra bảng biến đổi Z:
az
z
kua
k

om
Z
)(
Suy ra:
)()32()( kukx
kk
 
x
Cách 2: Phân tích X(z) thành chuổi lũy thừa:
Theo đònh nghóa biến đổi Z:
).3().2().1().0()()(
3210
0



f


¦
zxzxzxzxzkxzX
k
k
Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuổi lũy thừa ta sẽ được giá
trò
x(k) chính là hệ số của thành phần
k
z

.
Thí dụ 7.2: Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải:
65
)3)(2(
)(
2





zz
z
zz
z
zX
Chia đa thức, ta được:
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
11

 3321
65195)( zzzzzX
Suy ra: 0)0(
x
; 11 )(
x
; 5)2(

x
; 193 )(
x
; 65)4(
x
,… 
x
Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui
Thí dụ 7.3:

Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải: Ta có
21
1
2
65165
)3)(2(
)(








zz
z
zz
z
zz
z

zX

121
)()651(

 zzXzz

122
)(6)(5)(

 zzXzzXzzX
Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền
thời gian), ta được:
)1()2(6)1(5)(  
k
k
x
k
x
k
x
G
 )1()2(6)1(5)( 
k
k
x
k
x
k
x

G
Với điều kiện đầu: 0)1( 
k
x
0)2( 
k
x
Thay vào công thức trên ta tìm được:
0)0(
x
; 1)1(
x
; 5)2(
x
; 19)3(
x
; 65)4(
x
,… 
x
Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
>
@
củacựccáctại
Res
)(
1
1
)()(
zXz

k
k
zXzkx


¦

Nếu z
0
là cực bậc 1 thì:
>
@
0
0
)()()(Res
1
0
zz
1
zz
kk
zXzzzzXz





Nếu z
0
là cực bậc p thì:

>@ >@
0
0
)()(
)!1(
1
)(Res
1
0
1
1
zz
1
zz
kp
p
p
k
zXzzz
dz
d
p
zXz










Thí dụ 7.4: Cho
)3)(2(
)(


zz
z
zX
. Tìm x(k).
Lời giải: Áp dụng công thức thặng dư, ta được:
>
@
>
@
z2z
ResRes
3
11
)()()(




 zXzzXzkx
kk
Mà:
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
12

x
>
@
2
1
2z
1
)()2()(Res





z
kk
zXzzzXz

2
1
)3)(2(
)2(




z
k
zz
z
zz

k
z
k
z
z
2
)3(
2




x
>
@
3
1
3z
1
)()3()(Res





z
kk
zXzzzXz

3
1
)3)(2(
)3(




z
k
zz
z
zz
k
z
k
z
z
3
)2(
3




Do đó:
kk
kx 32)(  
7.3. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả
bằng phương trình sai phân:


)()1( )1()(
110
kcakcankcankca
nn
)()1( )1()(
110
krbkrbmkrbmkrb
mm


(7.17)
trong đó
mn t
, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Biến đổi
Z hai vế phương trình (7.17) ta được:



)()( )()(
1
1
10
zCazzCazCzazCza
nn
nn

)()( )()(
1
1
10
zRbzzRbzRzbzRzb
mm
mm



 )(] [)(] [
1
1
101
1
10
zRbzbzbzbzCazazaza
mm
mm
nn
nn
 





nn
nn

mm
mm
azazaza
bzbzbzb
zR
zC







1
1
10
1
1
10


)(
)(
Đặt:
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzb

zR
zC
zG







1
1
10
1
1
10


)(
)(
)(
(7.18)
G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.
Hệ thống rời rạc
r(k) c(k)
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
13
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng:
n
n

n
n
m
m
m
m
mn
zazazaa
zbzbzbbz
zR
zC
zG










1
1
1
10
1
1
1
10

)(

] [
)(
)(
)(
(7.19)
Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm
truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
)()2(2)(3)1(5)2(2)3( k
r
k
r
kckckckc  
Tìm hàm truyền của hệ thống.
Lời giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được:
)()(2)(3)(5)(2)(
223
zRzRzzCzzCzCzzCz  

352
12
)(
)(
)(
23
2



zzz
z
zR
zC
zG


321
21
3521
)2(
)(
)(
)(





zzz
zz
zR
zC
zG

7.3.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và
bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm
hàm truyền hệ rời rạc theo biến

z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét
một số sơ đồ thường gặp sau đây:
7.3.2.1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.6: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu

)()(
)(
)(
)(
21
zGzG
zR
zC
zG (7.20)
Trong đó:
^`
)()(
11
sGzG
Z

^`
)()(
22
sGzG
Z

R(s)
C
*

(s)
G
1
(s) G
2
(s)
R
*
(s)
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
14
Thí dụ 7.6: Cho
as
sG


1
)(
1
và
bs
sG


1
)(
2
. Tìm hàm truyền tương đương
của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6.
Lời giải

Tra bảng biến đổi Z, ta có:
^`
aT
ez
z
as
sGzG



¿
¾
½
¯
®



1
)()(
1
1
ZZ
^`
bT
ez
z
bs
sGzG




¿
¾
½
¯
®



1
)()(
2
2
ZZ
Do đó dễ dàng suy ra:
))((
)()(
2
21
bTaT
ezez
z
zGzG




7.3.2.2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.7: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu

)(
)(
)(
)(
21
zGG
zR
zC
zG (7.21)
Trong đó:
^
`
)()()(
21
21
sGsGzGG
Z

Cần chú ý là:
^`^`^ `
)()()()()()()(
21212121
zGGsGsGsGsGzGzG
z

Z
Z
Z
Thí dụ dưới đây sẽ minh họa điều này.
Thí dụ 7.7: Cho

as
sG


1
)(
1
và
bs
sG


1
)(
2
. Tìm hàm truyền tương đương
của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Lời giải
Tra bảng biến đổi Z, ta có:
^`
¿
¾
½
¯
®



))((
1

)()()(
11
21
bsas
sGsGzGG
ZZ
R(s)
G
1
(s)
C
*
(s)=C(z)
G
2
(s)
R
*
(s)
TT
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
15

¿
¾
½
¯
®






)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
bsbaasab
Z
¿
¾
½
¯
®


¿
¾
½
¯
®




)(

1
)(
1
)(
1
)(
1
bsbaasab
ZZ
)(
)(
1
)(
)(
1
bTaT
ez
z
ba
ez
z
ab









))()((
)(
)(
21
bTaT
aTbT
ezezab
eez
zGG





Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở thí dụ
7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau.

7.3.2.3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
Hình 7.8:
Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
)(1
)(
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
zG

k


(7.22)
Trong đó:
^`
)()( sGzG
Z


^`
)().()( sHsGzGH
Z

Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vò) ta có:
)(1
)(
)(
)(
)(
zG
zG
zR
zC
zG
k


(7.23)
Thí dụ 7.8: Cho

as
sG


1
)(
và
bs
sH


1
)(
. Tìm hàm truyền tương đương
của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Lời giải
Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm ở thí dụ 7.6 và 7.7, ta dễ
dàng tính được:
R(s)
G(s)
C(s)
+

H(s)
T
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
16
^`
aT
ez

z
as
sGzG



¿
¾
½
¯
®



1
)()(
ZZ
^`
))()((
)(1
.
1
)()()(
bTaT
aTbT
ezezab
eez
bsas
sHsGzGH






¿
¾
½
¯
®



ZZ
Thay vào công thức (7.22) ta được:
))()((
)(
1
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
bTaT
aTbT
aT
k
ezezab
eez
ez

z
zGH
zG
zR
zC
zG











)())()((
))((
)(
aTbTbTaT
bT
k
eezezezab
zezab
zG






7.3.2.4. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp
Hình 7.9: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp
Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín
hiệu vào và tín hiệu ra như sau:
)()(1
)(
)(
zHzG
zRG
zC


(7.24)
Trong đó:
^`
)()()( sGsRzRG
Z


^`^`
)()()()( sHsGzHzG
Z
Z

7.3.2.5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận
Hình 7.10:
Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận
R(s)

C(s)
G(s)
+

H(s)
T
R(s)
G(s)
C(s)
+

H(s)
T T
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
17
)()(1
)(
)(
)(
)(
zHzG
zG
zR
zC
zG
k


(7.25)
Trong đó:

^`
)()( sGzG
Z


^`
)()( sHzH
Z

7.3.2.6. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp
ở nhánh thuận
Hình 7.11:
Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng
bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận
)()(1
)()(
)(
)(
)(
21
21
zHGzG
zGzG
zR
zC
zG
k


Trong đó:

^
`
)()(
1
1
sGzG
Z


^
`
)()(
2
2
sGzG
Z


^
`
)()()(
2
2
sHsGzHG
Z

7.3.2.7. Sơ đồ dòng tín hiệu – Công thức Mason cho hệ rời rạc
Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương
2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử
dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dưới sau đây:

x Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong
vòng thuận (ví dụ như G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào
và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z). Do đó trong trường hợp này
không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín
hiệu vào của hệ thống.
x Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với
đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu
vào và đầu ra của nó thì nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z.
R(s)
G
1
(s)
C(s)
+

H(s)
T T
G
2
(s)
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
18
x Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với
các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực
hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó
với đầu vào.
Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, đọc giả có
thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục
7.3.2 này.
7.4. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG

THÁI
7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân
7.4.1.1. Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín
hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả
bởi phương trình sai phân:
)()()1( )1()(
011
krbkcakcankcankc
nn


(7.26)
Chú ý: ở phương trình trên hệ số 1
0
a . Nếu 1
0
za ta chia hai vế cho
0
a
để được phương trình sai phân có dạng (7.26).
Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để
biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc
n ở trên thành hệ n phương
trình sai phân bậc 1.
Đặt các biến trạng thái như sau:
)()(
1
kckx
)1()(

12
 kxkx

)1()(
2

kckx
)1()(
23
 kxkx

)2()(
3

kckx
…
)1()(
1


kxkx
nn
 )1()(  nkckx
n
 )()1( nkckx
n
 
Thay vào phương trình (7.26) ta được:
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
19

)()()( )()1(
01211
krbkxakxakxakx
nnnn


 )()()( )()1(
01211
krbkxakxakxakx
nnnn


 

Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được
hệ phương trình sau:
°
°
°
¯
°
°
°
®

 






)()()( )()1(
)()1(
)()1(
)()1(
01211
1
32
21
krbkxakxakxakx
kxkx
kxkx
kxkx
nnnn
nn

Viết lại dưới dạng ma trận:
)(
0
0
0
)(
)(
)(
)(
10000
00100
00010
)1(
)1(

)1(
)1(
0
1
2
1
1221
1
2
1
kr
bkx
kx
kx
kx
aaaaakx
kx
kx
kx
n
n
nnnn
n
»
»
»
»
»
»
¼

º
«
«
«
«
«
«
¬
ª

»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»

»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª















Đáp ứng của hệ thống:
>@
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«

¬
ª


)(
)(
)(
)(
0001)()(
1
2
1
1
kx
kx
kx
kx
kxkc
n
n


Đặt:
»
»
»
»
»
»
¼

º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
kx
kx
kx
kx
k
n
n

x
»
»

»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


 1221
10000
00100
00010
aaaaa
nnn
d





A
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

20
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª

0
0
0
0
b
d

B
>@
0001 
d
D

Ta được hệ phương trình biến thái:
¯
®


 
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
dd
xD
B
x
A
x
Thí dụ 7.9: Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân
)(3)(4)1(5)2()3(2
k
r
k
c
k
c
k
c
k
c 
Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.

Lời giải:
Ta có:
)(3)(4)1(5)2()3(2
k
r
k
c
k
c
k
c
k
c



)(5.1)(2)1(5.2)2(5.0)3(
k
r
k
c
k
c
k
c
k
c 


Đặt biến trạng thái như sau:

)()(
1
kckx
)1()(
12
 kxkx
)1()(
23
 kxkx
Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:
¯
®


 
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
dd
xD
B
x
A
x
Trong đó:
x
»
»

»
¼
º
«
«
«
¬
ª

)(
)(
)(
)(
3
2
1
kx
kx
kx
k
x
x
»
»
»
¼
º
«
«
«

¬
ª


»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª


5.05.22
100
010
100
010
123
aaa
d
A
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
21
x
»
»

»
¼
º
«
«
«
¬
ª

»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª

5.1
0
0
0
0
0
b
d
B
x

>@
001
d
D

7.4.1.2
Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả
bởi phương trình sai phân:


)()1( )1()(
11
kcakcankcankc
nn
)()1( )1()(
110
krbkrbnkrbnkrb
nn


(7.27)
Chú ý: ở phương trình trên hệ số 1
0
a . Nếu 1
0
za ta chia hai vế cho
0
a
để được phương trình sai phân có dạng (7.27).

Đặt các biến trạng thái như sau:
)()()(
01
krkckx
E

)()1()(
112
krkxkx
E

)()1()(
223
krkxkx
E

…
)()1()(
11
krkxkx
nnn 

E
Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:
 )()()()()1(
1211
krkxakxakxakx
nnnnn
E


 


Trong đó:
00
b
E
0111
E
E
ab 
021122
E
E
E
aab 
03122133
E
E
E
E
aaab 
0413223144
E
E
E
E
E
aaaab 
…

01144332211
E
E
E
E
E
E
E
nnnnnnnn
aaaaaab






Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
22
Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:
¯
®


 
)()()(
)()()1(
krkkc
krkk
dd
dd

ExD
B
x
A
x
Trong đó:
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


)(
)(
)(
)(
)(
1

2
1
kx
kx
kx
kx
k
n
n

x
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


 1221

10000
00100
00010
aaaaa
nnn
d





A
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª



n
n
d
E
E
E
E
1
2
1

B

>@
0001 
d
D
0
E

d
E
Thí dụ 7.10: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
)(3)2()(4)1(5)2()3(2
k
r
k
r
k
c

k
c
k
c
k
c  
Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.
Lời giải:
Ta có:
)(3)2()(4)1(5)2()3(2
k
r
k
r
k
c
k
c
k
c
k
c  
 )(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3(
k
r
k
r
k
c
k

c
k
c
k
c  
Đặt các biến trạng thái:
)()()(
01
krkckx
E

)()1()(
112
krkxkx
E

)()1()(
223
krkxkx
E


)()()()()1(
33122133
krkxakxakxakx
E
 
Trong đó:
0
00

b
E
5.005.05.0
0111
u 
E
E
ab
25.005.25.05.00
021122
 uu 
E
E
E
aab
375.05.05.2)25.0(5.05.1
03122133
uu 
E
E
E
E
aaab
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
23
Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:
¯
®



 
)()()(
)()()1(
krkkc
krkk
dd
dd
ExD
B
x
A
x
Trong đó:
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª

)(
)(
)(
)(
3
2

1
kx
kx
kx
k
x
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª


5.05.22
100
010
d
A
»
»
»
¼
º
«
«

«
¬
ª

375.0
25.0
5.0
d
B
>@
001
d
D
0

d
E

7.4.2. Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc
Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

nn
nn
mm
mm
azazaz
bzbzbzb
zR
zC
zG








1
1
1
1
1
10
)(
)(
)(


(7.28)
Chú ý: ở hàm truyền trên hệ số
1
0
a
. Nếu
1
0
za
ta chia tử số và mẫu số
cho
0

a để được hàm truyền có dạng (7.28).
Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân:
(7.28)
 )()(
1
1
1
zCazazaz
nn
nn




)()(
1
1
10
zRbzbzbzb
mm
mm







)()1()1()(
11

kcakcankcankc
nn

)()1()1()(
110
krbkrbmkrbmkrb
nn







Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ
phương trình biến trạng thái.
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
24
Thí dụ 7.11: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có
hàm truyền là:
452
3
)(
)(
)(
23
2



zzz
z
zR
zC
zG
Lời giải:
Cách 1
: Hàm truyền đã cho tương đương với:
25.25.0
5.15.0
)(
)(
)(
23
2



zzz
z
zR
zC
zG

)()5.15.0()()25.25.0(
223
zRzzCzzz  
 )(5.1)2(5.0)(2)1(5.2)2(5.0)3(
k
r

k
r
k
c
k
c
k
c
k
c  
Xem tiếp lời giải đã trình bày ở thí dụ 7.10.
Cách 2
: Do
nn
nn
mm
mm
azazaz
bzbzbzb
zR
zC
zG







1

1
1
1
1
10
)(
)(
)(


nên ta có thể đặt biến phụ )(z
E
sao cho:
)()()(
1
1
10
zEbzbzbzbzC
mm
mm



 (7.29)
)()()(
1
1
1
zEazazazzR
nn

nn



 (7.30)
(7.30)

)()()1()1()(
11
krkeakeankeanke
nn



Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái:
)()(
1
kekx
)1()(
12
 kxkx  )1()(
2

kekx
)1()(
23
 kxkx  )2()(
3

kekx

…
)1()(
1


kxkx
nn

)1()( 

nkekx
n

)()1( nkekx
n
 
Ta được phương trình:
)(
1
0
0
0
(
)(
)(
)(
10000
00100
00010
)1(

)1(
)1(
)1(
1
2
1
1221
1
2
1
kr
kx
kx
kx
kx
aaaaakx
kx
kx
kx
n
n
nnnn
n
»
»
»
»
»
»
¼

º
«
«
«
«
«
«
¬
ª

»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
»
»
»
»

»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª
















(7.29)  )()1()1()()(
110
kebkebmkebmkebkc
mm







 )()()()()(
121110
kxbkxbkxbkxbkc
mmmm




Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
25

>@
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª



)(
)(
)(
)(

00)(
1
2
1
011
kx
kx
kx
kx
bbbbkc
n
n
mm


Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:
¯
®


 
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
dd
xD
B
x

A
x
Trong đó:
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
kx

kx
kx
kx
k
n
n

x
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª


 1221
10000
00100
00010

aaaaa
nnn
d





A
»
»
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
«
«
¬
ª

1
0
0
0


d
B
>@
00
011
 bbbb
mmd 

D

Thí dụ 7.12: Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:
452
3
)(
)(
)(
23
2



zzz
z
zR
zC
zG
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái.
Lời giải: Hàm truyền đã cho tương đương với:
25.25.0

5.15.0
)(
)(
)(
23
2



zzz
z
zR
zC
zG
Đặt biến phụ
)(
z
E
sao cho:
¯
®



)()25.25.0()(
)()5.15.0()(
23
2
zEzzzzR
zEzzC