Tài liệu Kiến thức và phương pháp giải phương trình ( đầy đủ) docx

NGUYỄN ðỨC TUẤN






TỰ ÔN LUYỆN THI

MÔN TOÁN
MÔN TOÁNMÔN TOÁN
MÔN TOÁN








Hà nội, 1 - 2005
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
1

Chương 1: Phương trình và bất phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Cách giải
1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b
∈

IR.
• Nếu a
≠
0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -
a
b
.
• Nếu a = 0, b
≠
0 thì phương trình vô nghiệm.
•
Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm ñúng với mọi x
∈
IR.
2) Phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0.
•
Nếu
∆
= b
2
– 4ac < 0 phương trình vô nghiệm.
•
Nếu
∆
= 0 phương trình có nghiệm kép
=

=
21
xx
-
a
2
b
.
•

N
ế
u
∆
> 0 ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
=
2,1
x

a
2
b ∆±−
.
II. ðịnh lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm

1) ðịnh lí Viét
: N
ế
u ph
ươ
ng trình ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có hai nghi
ệ
m
21
x,x
thì
S =
=
+
21
xx
-
a
b
và P =
=
21
x.x

a
c

.

2) Hệ quả:
Ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai ax
2
+ bx + c = 0, a
≠
0 có hai nghi
ệ
m:
Trái d
ấ
u
⇔

0
a
c
< Cùng d
ấ
u
⇔







>
≥∆
0
a
c
0


Cùng dương









>−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c

0
Cùng âm









<−
>
≥∆
⇔
0
a
b
0
a
c
0


III. ðịnh lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c, a
≠
0 ta có

1. ðịnh lí thuận:
• Nếu
∆
= b
2
– 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với
∀
x.
• Nếu
∆
= 0 thì a.f(x) > 0 với
∀
x
≠
-
a
2
b
.
• Nếu
∆
> 0 khi ñó f(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
và
a.f(x) > 0 với x ngoài ]x;x[
21
.
a.f(x) < 0 với

21
xxx
<
<
.
2. ðịnh lí ñảo: Nếu tồn tại số
α
sao cho a.f(
α
) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt
và số
α
nằm trong khoảng hai nghiệm ñó:
21
xx
<
α
<
.





Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
2

IV. Ứng dụng
1. ðiều kiện ñể f(x) = ax

2
+ bx + c không ñổi dấu với mọi x
f(x) > 0 với
∀
x










<∆
>



>
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x)
≥
0 v

ớ
i
∀
x










≤∆
>



≥
==
⇔
0
0a
0c
0ba


f(x) < 0 v
ớ

i
∀
x










<∆
<



<
==
⇔
0
0a
0c
0ba
f(x)
≤
0 v
ớ
i

∀
x










≤∆
<



≤
==
⇔
0
0a
0c
0ba

2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α

•
ð

i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và
21
xx
<
α
<
là: a.f(
α
) < 0.
•
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi

ệ
t và
α
n
ằ
m ngoài kho
ả
ng hai
nghi
ệ
m:



>α
>∆
0)(f.a
0

- N
ế
u
α
n
ằ
m bên ph
ả
i hai nghi
ệ
m:

α
<
<
21
xx
⇒







<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

- N
ế
u
α
n
ằ

m bên trái hai nghi
ệ
m:
21
xx
<
<
α








>−=
>α
>∆
⇒
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0

•
ð

i
ề
u ki
ệ
n
ñể
f(x) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và m
ộ
t nghi
ệ
m n
ằ
m trong, m
ộ
t nghi
ệ
m
n
ằ
m ngoài
ñ
o
ạ
n [
β
α

;
] là: f(
α
).f(
β
) < 0.

3. ðiều kiện ñể f(x) có nghiệm thỏa mãn x >
α
:
•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 1: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx
<
α
<
⇔
a.f(
α
) < 0.
•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 2: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx
<
<
α
⇔








<α
>α
≥∆
2
S
0)(f.a
0

•

Tr
ườ
ng h
ợ
p 3: f(x) có nghi
ệ
m
21
xx
<
=
α





<α
=α
⇔
2
S
0)(f

( Làm t
ươ
ng t
ự
v

ớ
i tr
ườ
ng h
ợ
p x <
α
và khi x
ả
y ra d
ấ
u b
ằ
ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm
ñị
nh lí sau: Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y = f(x) liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó
ñ
i
ề

u ki
ệ
n
ñể

ph
ươ
ng trình f(x) = m có nghi
ệ
m là minf(x)
≤
m
≤
maxf(x).


Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
3

Bảng tóm tắt ñịnh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai


N
ế
u
0
<
∆

N
ế
u 0
=
∆


N
ế
u 0
>
∆




a.f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x


a.f(x) > 0 v
ớ
i
∀
x
≠

-
a
2
b


a.f(x) > 0 v
ớ
i x ngoài
]x;x[
21

a.f(x) < 0 v
ớ
i
21
xxx
<
<




Bảng tóm tắt so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực
α


ð
i
ề

u ki
ệ
n
ñể

f
(x) = ax
2
+ bx + c có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và


α
n
ằ
m gi
ữ
a kho
ả
ng hai nghi
ệ
m
21
xx
<
α
<

α
n
ằ
m ngoài kho
ả
ng hai nghi
ệ
m




>α
>∆
0)(f.a
0

α
<
<
21
xx

α
<
<
21
xx

a.f(
α
) < 0












<−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0









>−=
>α
>∆
a
a2
b
2
S
0)(f.a
0


Ví dụ 1
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 08mx)4m(2x
22
=+++− có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng.
Ví dụ 2
. Xác
ñị

nh a
ñể
bi
ể
u th
ứ
c 3a3x)1a(2x)1a(
2
−+−−+ luôn d
ươ
ng
Ví dụ 3
. Tìm m
ñể
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
m
2
x
x
2
≥
−
+
nghi
ệ
m

ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x.
Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
m
2
mx
x
2
+
+
= 0 có hai nghi
ệ
m
21
x,x th
ỏ
a mãn
-1<
21
xx
<

Ví dụ 5
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình
01m2mx2x
22
=−+−
có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
4xx2
21
≤
≤
≤
−

Ví dụ 6
. Cho ph
ươ
ng trình 2m3x)2m(x
2
−+++ =0
Tìm m
ñể

ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t nh
ỏ
h
ơ
n 2
Ví dụ 7
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình 02mmx2x
2
=++− có nghi
ệ
m l
ớ
n h
ơ
n 1
Ví dụ 8.
Tìm m
ñể
ph
ươ

ng trình 02m2m9mx6x
22
=+−+− có nghi
ệ
m 3xx
21
≤
≤




Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
4

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
I. Phương trình trùng phương
0a,0cbxax
24
≠=++
(1)
ðặ
t t =
2
x

≥
0 ph

ươ
ng trình (1) tr
ở
thành: at
2
+ bt + c = 0 (2)
•

PT (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi (2) có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m không âm.

•

PT (1) có
ñ
úng hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ

khi (2) có
ñ
úng m
ộ
t nghi
ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 0 và m
ộ
t
nghi

ệ
m d
ươ
ng.

•

PT (1) có
ñ
úng 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân
bi
ệ
t.


Ví dụ 1
. Cho ph
ươ
ng trình: x
4

+ (1-2m)x
2
+ m
2
– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
b)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trrình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.

Ví dụ 2.
Tìm m sao cho
ñồ
th
ị
hàm s
ố
y = x
4
-2(m+4)x
2
+ m
2
+ 8
c
ắ
t tr
ụ
c hoành l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i 4
ñ
i
ể
m phân bi
ệ

t A, B, C, D v
ớ
i AB = BC = CD.
II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối
1) Các dạng cơ bản:
| a | = b



±=
≥
⇔
ba
0b

| a | = | b |
ba
±
=
⇔

| a |
≤
b



≤
≥
⇔

22
ba
0b

| a |
≥
b








≥
≥
<
⇔
22
ba
0b
0b

| a |
≥
| b |
22
ba ≥⇔

Ví dụ 1. Giải phương trình | x
2
– 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x
2
- | 4x – 5 | < 0.
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x.
Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x
2
-3x – m |
≤
| x
2
– 4x + m |.

2)Phương pháp ñồ thị:
a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x).
- Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và
phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2).
- Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị
(3).
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa
vẽ.
b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng
nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp
dụng ñịnh lí trên ñể biện luận.

Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.


Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
5

Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Các dạng cơ bản
Dạng 1:
)x()x(f
1n2
ϕ=
+
, n
∈
N
*

⇔
f(x) = [
)x(
ϕ

]
2n+1

Dạng 2:
)x()x(f
n2
ϕ=
, n
∈
N
*

⇔




ϕ=
≥ϕ
n2
)]x([)x(f
0)x(

D
ạ
ng 3:






ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,





ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f

D
ạ
ng 4:











ϕ>
≥ϕ



<ϕ
≥
⇔ϕ>
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,











ϕ≥
≥ϕ



≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f

Ví dụ 1
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1x23x2x
2
+=+−

Ví dụ 2.

Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x12xx
2
<−−

Ví dụ 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x26x5x2
2
−>−+

Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ

m
3mxx2mx
2
−+=−

II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản
1) Phương pháp lũy thừa hai vế:
-
ðặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n tr
ướ
c khi bi
ế
n
ñổ
i
- Ch
ỉ

ñượ
c bình ph
ươ
ng hai v
ế

c
ủ
a m
ộ
t ph
ươ
ng trình
ñể

ñượ
c ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng
(hay bình ph
ươ
ng hai v
ế
c
ủ
a m
ộ
t b
ấ
t ph
ươ
ng trình và gi

ữ
nguyên chi
ề
u)
nếu
hai v
ế
c
ủ
a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi
ế
n
ñổ
i c
ă
n th
ứ
c
AA
2
= .
Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

4x31x +−=+

Ví dụ 6
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x78x23x −+−≥+

Ví dụ 7
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
15x5x3 >+−

Ví dụ 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình

x1x2x ≤+−+

Ví dụ 9
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2x21x6x8x2
22
+=−+++

Ví dụ 10
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
1x1x3x23x4x
22
−≥+−−+−

2)Phương pháp ñặt ẩn phụ:
- Nh
ữ
ng bài toán có tham s
ố
khi

ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
ph
ả
i tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a
ẩ
n m
ớ
i.
- Chú ý các h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
222
bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba
22
−+=− , …
Ví dụ 11

.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x2x71x10x5
22
−−≥++

Ví dụ 12.
i
ả
i ph
ươ
ng trình
47x1x7x28x
=+−+++++

Ví dụ 13
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
4x415x42x2x
2
−+−=−++

Ví dụ 14
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
x
2x2x3
x
4
x9
2
2
2
−+
=+

Ví dụ 15
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
4
x2
1
x2
x2

5
x5
++<+

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
6

Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1
1)Khái niệm
: Là h
ệ
mà m
ỗ
i ph
ươ
ng trình không
ñổ
i khi ta thay x b
ở
i y và thay y b
ở
i x.

2)Tính chất
: N
ế
u (x

o
, y
o
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.
3)Cách giải:
Bi
ế
n
ñổ
i h

ệ
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng: H
ệ

ñ
ã cho
⇔



=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi
ñ
ó x, y là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:

0PStt
2
=+−
(2)
N
ế
u
∆
= S
2
– 4P > 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi
ệ
m t
1

≠
t
2
nên h
ệ
ph
ươ
ng trình (1) có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t (t

1,
t
2
), (t
2
, t
1
).
N
ế
u
∆
= 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m kép t
1
= t
2
nên h
ệ
(1) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (t
1,
t
2

).
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
h
ệ
(1) có ít nh
ấ
t m
ộ
t c
ặ
p nghi
ệ
m (x, y) th
ỏ
a mãn x
≥
0, y
≥
0






≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S
2

Ví dụ 1
.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình



=+
=+
26yx
2yx
33







=+
=+
35yyxx
30xyyx




=++
=−−
1xyyx
3xyyx
22

Ví dụ 2.
Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi
ệ
m





+−=+
=−++
6m4myx

m1y1x
2




=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22


II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2
1)Khái niệm:
Là h
ệ
ph
ươ
ng trình mà trong h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñổ
i vai trò x, y cho nhau
thì ph
ươ
ng trình n
ọ

tr
ở
thành ph
ươ
ng trình kia.


2)Tính chất:
N
ế
u (x
o
, y
o
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ

m c
ủ
a h
ệ
.

3)Cách giải:

Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(x – y).f(x,y) = 0

⇔
x – y = 0 ho
ặ
c f(x,y) = 0.
Ví dụ 3
.Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=+
x40yxy
y40xyx
23
23






=−

=−
22
22
x4xy
y4yx








+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2
2

Ví dụ 4
.Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi

ệ
m:





=−+
=−+
m1xy2
m1yx2






+−=
+−=
mxxy
myyx
2
2

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
7

Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC

I. Hệ vô tỷ

Ví dụ 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=++
4yx
28xy2yx
22

Ví dụ 2.
Gi

ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n





=−
=++
ayx
axyyx

Ví dụ 3
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=−−+

=−++
1xyxy
2yxyx

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình





=+−
=−−
2yx2
2y2x

Ví dụ 5. Tìm m ñể hệ có nghiệm





=++
=++
1x1y
my1x

II. Hệ hữu tỷ
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình








=++
=+
−+
22
y
x4
yx
1
x
y2
1yx
3
22
22

Ví dụ 7
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình




=−
=−
2)yx(xy
7yx
33

Ví dụ 8.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
+=+
)x1(5y1
x16yy4x
22
33

Ví dụ 9
. Tìm a
ñể

h
ệ
có nghi
ệ
m



=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx

Ví dụ 10
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2

22
22

Ví dụ 11
.Tìm m
ñể
h
ệ
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:



=+−
=+
2x2yx
myx
22

Ví dụ 12.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình






=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22

Ví dụ 13
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình





+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33

33

==========================================================




Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
8

Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản

Khi gi
ả
i các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác cu
ố
i cùng d
ẫ
n
ñế
n phép gi
ả

i các ph
ươ
ng trình
l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n. Ta c
ầ
n ghi nh
ớ
b
ả
ng sau
ñ
ây:

Ph
ươ
ng trình
ð
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m

ðư
a v
ề
d
ạ
ng Nghi
ệ
m
sinx = m
1
m
1
≤
≤
−

sinx = sin
α




π+α−π=
π+α=
2kx
2kx

cosx = m
1
m

1
≤
≤
−

cosx = cos
α

α
±
+ k2
π

tgx = m m
ọ
i m
tgx = tg
α

α
+ k
π

cotgx = m m
ọ
i m
cotgx = cotg
α

α

+ k
π


Ở
b
ả
ng trên k nh
ậ
n m
ọ
i giá tr
ị
nguyên (
Z
k
∈
) .
ðơ
n v
ị
góc th
ườ
ng dùng là radian.
ðể
thu
ậ
n l
ợ
i cho vi

ệ
c ch
ọ
n
α
ta c
ầ
n nh
ớ
giá tr
ị
c
ủ
a hàm l
ượ
ng giác t
ạ
i các góc
ñặ
c bi
ệ
t.
ðườ
ng
tròn l
ượ
ng giác s
ẽ
giúp ta nh
ớ

m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.









Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
9

Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
a) sin3x =
2
2
; b) sin(2x -
5
π

) = 1; c) sin(
π
x
) = 0.
Ví dụ 2
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
a) cos2x = cos
5
π
; b) cos(3x -
3
π
) = cos(x +
2
π
); c) cosx = sin(2x +
4
π
).
Ví dụ 3
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0)

3
8
xcos
3
(cos
2
=
π
−
π
.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)xsin3cos()xsincos(
π
=
π

Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1)x2(sinxcos
22

=−


II
.
Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx:

asinx + bcosx = c
(1) ,
0ba
22
≠+

Chia hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) cho
22
ba +
, ta
ñượ
c:
(1)
⇔

222222
ba

c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
(2)

ðặ
t
22
ba
a
+
= sin
ϕ
;
22
ba
b
+
= cos
ϕ
.

Khi
ñ
ó ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác có d
ạ
ng: cos(x -
ϕ
) =
22
ba
c
+
(3)
Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi:
222
22
cba1
ba
c
≥+⇔≤
+

Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i
[
]
π
∈
α
;0
sao cho
22
ba
c
cos
+
=α
nên ta có:
(1)
⇔

α
=
ϕ
−
cos)xcos(

⇔

π
+
α
±
ϕ
=
2kx
;
Z
k
∈


Ví dụ 6
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví dụ 7
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx + mcosx = 1
a)

Gi
ả

i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 3 .
b)

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 8
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos
22
=++

Ví dụ 9
. Tìm
α

ñể
ph
ươ

ng trình sau có nghi
ệ
m x
∈
IR:

2)xsin(xcos3
=α++

Ví dụ 10
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin
+=−

Ví dụ 11
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m







π
∈
2
;0x
:
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
Ví dụ 13
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos
22
=+−−

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
10

III.

Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx


1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx:

Khái niệm:
M
ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà
ở
t
ấ
t c
ả

các s
ố

h
ạ
ng có t
ổ
ng s
ố
m
ũ
c
ủ
a cosx và c
ủ
a sinx ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n ho
ặ
c
ñề
u là s

ố
t
ự

nhiên l
ẻ
thì ph
ươ
ng trình
ñ
ó
ñượ
c g
ọ
i là “
ñẳ
ng c
ấ
p”
ñố
i v
ớ
i cosx và sinx. G
ọ
i k là s
ố
l
ớ
n
nh

ấ
t trong các t
ổ
ng s
ố
m
ũ
nói trên
ñượ
c g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình.

Cách giải
: - Xét tr
ườ
ng h
ợ
p cosx = 0 th
ử
vào ph
ươ
ng trình
- Khi 0xcos

≠
chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho cos
k
x sau
ñ
ó
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
t = tgx.

Ví dụ 14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x = cosx
Ví dụ 15
. Gi
ả
i ph
ươ

ng trình: xsin2)
4
x(sin
3
=
π
+

Ví dụ 16
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
msin2x + cos2x + sin
2
x +m = 0.
Ví dụ 17:
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có
ñ
úng hai nghi
ệ
m x n
ằ

m trong kho
ả
ng






ππ
−
2
;
2
:
3sin
4
x – 2(m+2)sin
2
x.cos
2
x + (1 – m
2
)cos4x = 0.


2) Phương trình ñối xứng sinx và cosx:

Khái niệm:
M

ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà các s
ố
h
ạ
ng có
ch
ứ
a t
ổ
ng (cosx
±
sinx ) ho
ặ
c ch
ứ
a tích cosx.sinx
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ

ng trình
ñố
i x
ứ
ng
ñố
i
v
ớ
i cosx và sinx. Ví d
ụ
ph
ươ
ng trình:
0cxsin.xcosb)xsinx(cosa
=
+
+
±
.


Cách giải: ðặ
t t = sinx + cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
1t

2
−


N
ế
u
ñặ
t t = sinx - cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
t1
2
−


Ví dụ 18
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).

a)

Gi
ả
i h
ệ

ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 1.
b)

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Ví dụ 19
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin
2
3
xcosxsin1
33
=++

Ví dụ 20.
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1
33
=++
Ví dụ 21
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m






ππ
∈
4
3
,
4
x
:

.mxsinxcos
33
=+










Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
11

IV. Phương trình ñưa về dạng tích
Các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác

không có d
ạ
ng nh
ư
nh

ữ
ng ph
ươ
ng trình
ñ
ã trình bày
ở
các
m
ụ
c tr
ướ
c, ng
ườ
i ta th
ườ
ng ngh
ĩ
t
ớ
i phân tích chúng thành nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n.
Vi

ệ
c phân tích thành tích th
ự
c ch
ấ
t là
ñ
i tìm th
ừ
a s
ố
chung c
ủ
a các s
ố
h
ạ
ng có trong
ph
ươ
ng trình.
ðể
làm
ñượ
c
ñ
i
ề
u
ñ

ó, chúng ta c
ầ
n ph
ả
i thành th
ạ
o các công th
ứ
c l
ượ
ng giác, các
h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
ñạ
i s
ố

ñ
áng nh
ớ
và c
ũ
ng c
ầ
n ph

ả
i có kinh nghi
ệ
m nhìn nh
ậ
n m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a
các s
ố
h
ạ
ng có trong ph
ươ
ng trình.
•

Th
ử
các nghi
ệ
m
ñặ
c bi
ệ
t nh

ư

1xsin
±
=
,
2
1
xsin
±=
,
1xcos
±
=
,
2
1
xcos
±=

và ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a th
ừ
a s
ố
(cosx
±

sinx). S
ử
d
ụ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c sin
2
x + cos
2
x
= 1.

•

Dùng các công th
ứ
c bi
ế
n
ñổ
i nh
ư
h
ạ
b
ậ
c, bi

ế
n
ñổ
i t
ổ
ng thành tích , bi
ế
n
ñổ
i tích
thành t
ổ
ng, hàm s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a hai góc có liên quan
ñặ
c bi
ệ
t. Chú

thêm m
ộ
t
s
ố
bi

ế
n
ñổ
i sau
ñ
ây:

x
2
sin
2
tgxgxcot =+ ,
x2gcot2tgxgxcot
=
−
,
x
2
sin
1
x2gcotgxcot =−
•
ðặ
t các nhân t
ử
chung (nhân t
ử
chung suy ra t
ừ
nghi

ệ
m
ñ
ã th
ử

ñượ
c).
Tham kh
ả
o thêm b
ả
ng h
ọ
các bi
ể
u th
ứ
c có nhân t
ử
chung.

f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x,
cosx sin2x, tg2x, cotgx,
1+cosx
2
x
cos
2

,
2
x
gcot
2
, sin
2
x, tg
2
x
1-cosx
2
x
sin
2
,
2
x
tg
2
, sin
2
x, tg
2
x
1+sinx
cos
2
x, cotg
2

x, )
2
x
4
(cos
2
−
π
, )
2
x
4
(sin
2
+
π

1-sinx
cos
2
x, cotg
2
x,
)
2
x
4
(cos
2
+

π
,
)
2
x
4
(sin
2
−
π

sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx

Ví dụ 1
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
Ví dụ 2
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin
2
x + sin
2
2x + sin

2
3x =
2
3

Ví dụ 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x =
2
1
( cos2x + cos4x).
Ví dụ 4
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x + cos2x + cosx = 0
Ví dụ 5
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
Ví dụ 6.
Gi

ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+

Ví dụ 7
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình






−
π
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin

22
.




Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
12

Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT

I. Các kết quả cơ bản
1) Hàm số mũ:
y = a
x
,
.1a0
≠
<

•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR.
•

T
ậ
p giá tr
ị
: IR
+
. (
ñồ
th
ị
luôn n
ằ
m phía trên tr
ụ
c hoành)
•

Khi a > 1 hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế

n.
•

D
ạ
ng
ñồ
th
ị
:

2) Hàm số logarit:
y = log
a
x ,
.1a0
≠
<

a) Các tính ch
ấ
t:
•

T
ậ
p xác
ñị
nh: IR
*

(x > 0 ).
•

T
ậ
p giá tr
ị
: IR
•

Khi a > 1 hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n.
•

D
ạ
ng
ñồ

th
ị
:


Chú ý:
Trong các b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
, logarit, c
ơ
s
ố
a l
ớ
n h
ơ
n hay bé
h
ơ
n 1 quy
ế
t
ñị
nh chi
ề
u c

ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình. Vì v
ậ
y ph
ả
i chú ý
ñế
n chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
trong quá trình bi
ế
n
ñổ
i.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
13

b)Các công thức chú ý:
•


blog
a
có ngh
ĩ
a



≠<
>
⇔
1a0
0b

•

alog
blog
blog
c
c

a
=
( Công th
ứ
c
ñổ
i c
ơ
s
ố
v
ớ
i
0b
>
,
1a0
≠
<
,
1c0
≠
<
).
•

blog
n
m
blog

a
m
a
n
=
( V
ớ
i b > 0 và
1a0
≠
<
)
•

|b|log.k2blog
a
k2
a
=
v
ớ
i
Z
k
∈
.
II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản
1) Phương trình mũ:
Cho
.1a0

≠
<

D
ạ
ng 1:



=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f

D
ạ
ng 2:
ba
)x(f
<
(v
ớ
i b > 0)











>
<<



<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a

D
ạ
ng 3:
ba
)x(f
>

-

N
ế
u
0b
≤
b
ấ
t ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x thu
ộ
c t
ậ
p xác
ñị
nh
c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ

ng trình.
-
N
ế
u b > 0, khi
ñ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:










<
<<




>
>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a

D
ạ
ng 4:










>
<<



<

>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f







Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
14

2)Phương trình logarit
D
ạ
ng 1:
b
a
a)x(fb)x(flog
=⇔=
.
D
ạ

ng 2:










>
<<



<<
>
⇔<
b
b
a
a)x(f
1a0
a)x(f0
1a
b)x(flog

D
ạ

ng 3:










<<
<<



>
>
⇔>
b
b
a
a)x(f0
1a0
a)x(f
1a
b)x(flog

D
ạ

ng 4:










<<
<<



<<
>
⇔<
)x(f)x(g0
1a0
)x(g)x(f0
1a
)x(glog)x(flog
aa

Ví dụ 1.
Cho ph
ươ
ng trình:

1mm
5
1
24
3x4x
2
+−=






+−

a)Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi m = 1.
b)Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 2

. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2)3x8x5(log
2
x
>+−

Ví dụ 3.
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
x)m99(log
3x
2
=+

Ví dụ 4
. Gi
ả

i ph
ươ
ng trình:

0)x2cosx(coslog)xsinx(coslog
x
1x
=
+
+
−

Ví dụ 5.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
[
]
1)729(loglog
x
3x
≤−
Ví dụ 6.
Gi
ả
i b

ấ
t ph
ươ
ng trình: )x3(log)x5(log
3
1
3
1
−<−








Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
15

III. Các phương trình, bất phương trình không cơ bản
•

Ph
ả
i
ñặ
t
ñ

i
ề
u ki
ệ
n.
•

Nh
ữ
ng bài toán có tham s
ố
,
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
ph
ả
i tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a
ẩ
n m
ớ
i.

•

Nh
ữ
ng bài toán ph
ươ
ng trình, b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
, logarit mà
ẩ
n x v
ừ
a
ở
s
ố

m
ũ
c
ủ
a l
ũ
y th
ừ
a, v

ừ
a
ở
h
ệ
s
ố
, th
ườ
ng chuy
ể
n v
ề
vi
ệ
c phân tích thành th
ừ
a s
ố
,
nh
ẩ
m nghi
ệ
m và ch
ứ
ng minh nghi
ệ
m duy nh
ấ

t
ñố
i v
ớ
i ph
ươ
ng trình; xét d
ấ
u
c
ủ
a tích
ñố
i v
ớ
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
•

Khi bài toán ph
ứ
c t
ạ
p, có nh
ữ
ng ph
ầ

n t
ử
gi
ố
ng nhau hay nhân t
ử
gi
ố
ng nhau
ta có th
ể

ñặ
t
ẩ
n ph
ụ

ñể

ñư
a bài toán tr
ở
lên
ñơ
n gi
ả
n h
ơ
n.

Ví dụ 7
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1x1x2xx
9
4
1
4.69
3
1
4.3
+++
−=+
Ví dụ 8.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxx
6242.33.8 +=+

Ví dụ 9.
Gi
ả
i b
ấ

t ph
ươ
ng trình:
3
)x5(log
)x35(log
a
3
a
>
−
−
(v
ớ
i
1a0
≠
<
).
Ví dụ 10
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
9
3
32
27

)3x(log
2
1x
log)6x5x(log −+






−
=+−

Ví dụ 11
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 0)2xlg(lg)xlg(lg
3
=−+
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:

x2x)3x2x5(log.x3x2x5log.x
22

6
1
2
6
2
+=−−−−−

Ví dụ 13.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
)3x(log
2
1
2xlog6x5xlog
3
1
3
1
2
3
+>−++−

Ví dụ 14.
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình: 1)x7(log)1x(log)1x(log
2
1
2
1
2
1
=
−
−
+
+
−

Ví dụ 15
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
25)1x(lg)1x(lg
3224
=−+−

Ví dụ 16.
Gi
ả
i ph

ươ
ng trình:
4)21x23x6(log)x4x129(log
2
3x2
2
7x3
=+++++
++

Ví dụ 17
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u:

01m4)4m2(16)3m(
xx
=++−++

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
16

Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Sơ ñồ khảo sát hàm số
1) Tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố
(Xét tính ch
ẵ
n l
ẻ
, tính tu
ầ
n hoàn (n
ế
u có)).
2) Kh
ả

o sát s
ự
bi
ế
n thiên hàm s
ố

a) Xét chi
ề
u bi
ế
n thiên c
ủ
a hàm s
ố

•

Tính
ñạ
o hàm
•

Tìm các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h

ạ
n
(
ð
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n thu
ộ
c TX
ð
và t
ạ
i
ñ
ó )x(f
′
không xác
ñị
nh ho
ặ
c b
ằ
ng 0)
•

Xét d

ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm trong các kho
ả
ng xác
ñị
nh b
ở
i các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n.
(Gi
ữ
a hai
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ

n k
ề
nhau thì
)x(f
′
gi
ữ
nguyên m
ộ
t d
ấ
u)
•

Suy ra chi
ề
u bi
ế
n thiên hàm s
ố
trong m
ỗ
i kho
ả
ng
(
ðồ
ng bi
ế
n n

ế
u
)x(f
′
>0, ngh
ị
ch bi
ế
n n
ế
u
)x(f
′
<0).
b) Tính các c
ự
c tr
ị
(suy ra ngay t
ừ
ph
ầ
n xét chi
ề
u bi
ế
n thiên)
c) Tìm các gi
ớ
i h

ạ
n c
ủ
a hàm s
ố

•

Khi x d
ầ
n t
ớ
i vô c
ự
c (
+∞
→
x
và
−∞
→
x
)
•

Khi x d
ầ
n t
ớ
i bên trái và bên ph

ả
i, các giá tr
ị
c
ủ
a x t
ạ
i
ñ
ó hàm s
ố
không
xác
ñị
nh (
o
xx
+
→
,
o
xx
−
→
)
•

Tìm ti
ệ
m c

ậ
n (n
ế
u là hàm s
ố
phân th
ứ
c)
- N
ế
u
∞→
x
lim
∞
=
)x(f
thì x = x
o
là m
ộ
t ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng c
ủ
a hàm s

ố

- Ti
ệ
m c
ậ
n xiên: y = ax + b . Trong
ñ
ó
x
)x(f
lima
x
∞→
=
;
]ax)x(f[limb
x
−
=
∞→

(khi
+∞
→
x
(
−∞
→
x

),
o
xx
+
→
(
o
xx
−
→
) thì
ñ
ó là ti
ệ
m c
ậ
n bên ph
ả
i (trái))
d) Xét tính l
ồ
i, lõm và tìm
ñ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(n
ế
u là hàm s
ố

ñ
a th
ứ
c)
•

Tính
ñạ
o hàm c
ấ
p 2
•

Xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm c

ấ
p 2
•

Suy ra tính l
ồ
i, lõm và
ñ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(l
ậ
p b
ả
ng l
ồ
i lõm)
( n
ế
u
0)x(f
<

′
′
v
ớ
i
)b;a(x
∈
∀
thì
ñồ
th
ị
hàm s
ố
l
ồ
i trên kho
ả
ng
ñ
ó)
e) L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ghi t
ấ
t c

ả
các k
ế
t qu
ả
tìm
ñượ
c vào b
ả
ng bi
ế
n thiên)
3)V
ẽ

ñồ
th
ị

•

Chính xác hóa
ñồ
th
ị
(tìm giao
ñ
i
ể
m c

ủ
a
ñồ
th
ị
v
ớ
i các tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ
và nên
l
ấ
y thêm m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị

, nên v
ẽ
ti
ế
p tuy
ế
n
ở
m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m
ñặ
c bi
ệ
t)
•

V
ẽ

ñồ
th
ị
(

ñọ
c l
ạ
i các ví d
ụ
m
ẫ
u SGK t
ừ
trang 80
ñế
n trang 97).
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
17

BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Tìm giao ñiểm của hai ñường

Gi
ả
s
ử
hàm s
ố

)x(fy
=
có
ñồ

th
ị
là (C) và hàm s
ố

)x(gy
=
có
ñồ
th
ị
là
)C(
1
. Rõ ràng
)y;x(M
ooo
là giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(
1
khi và ch
ỉ
khi )y;x(
oo

là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình




=
=
x(gy
)x(fy

Do
ñ
ó
ñể
tìm hoành
ñộ
các giao
ñ
i
ể
m c
ủ

a (C) và
)C(
1
ta gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)x(g)x(f
=
(1)
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình chính là s
ố
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a hai
ñồ
th

ị
(C) và
)C(
1
.
N
ế
u
, x,x
1o
là các nghi
ệ
m c
ủ
a (1) thì các
ñ
i
ể
m
)) x(f;x(M)),x(f;x(M
111ooo
là các
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (C) và
)C(

1
.
Bài toán:
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng t
ạ
i m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m th
ỏ
a mãn yêu c

ầ
u bài toán.
Ví dụ 1
. Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s
ố
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñồ
th
ị
các hàm s
ố


2
x
3x6x
y
2
+
+−

=
và
m
x
y
−
=

Ví dụ 2.
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
m2x3x
23
=−+

Ví dụ 3
. V
ớ
i giá tr

ị
nào c
ủ
a k thì
ñườ
ng th
ẳ
ng
2kkxy
+
−
=
c
ắ
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố

1
x
1xx
y
2
−
−+
=

t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 4
. Tìm k
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng y = kx + 1 c
ắ
t
ñồ
th
ị

2
x
3x4x
y
2
+
++

= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
Ví dụ 5
. Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
m
x
y
+
−
=
c
ắ
t
ñồ
th
ị

1
x
1xx
y
2
−
−+
= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t
Ví dụ 6
. Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố

1
x
mxmx
y

2
−
++
= c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành

ñộ
d
ươ
ng.
Ví dụ 7
. Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng y = m c
ắ

t
ñồ
th
ị
hàm s
ố

)1x(2
3x3x
y
2
−
−+−
= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m A và B
sao cho
ñộ
dài
ñ
o
ạ
n AB = 1.
Ví dụ 8
. Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
1mxx3xy
23
+++= c
ắ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng y = 1 t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 9
. Tìm m
ñể

ñồ
th
ị

3

2
mxmxx
3
1
y
23
++−−= c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 10.
Tìm a
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
1)1x(ay
+
+

=
c
ắ
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
x
1
1xy
+
++= t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m
có hoành
ñộ
trái d
ấ
u.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
18

II. Viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm s
ố
y = f(x) có
ñồ
th
ị
(C)
a) Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñườ
ng cong (C) t
ạ
i
ñ
i
ể
m ))x(f;x(M
ooo

)xx)(x(fyy

ooo
−
′
=
−

b) Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua
ñ
i
ể
m )y;x(M
111
và ti
ế
p xúc v
ớ
i (C)
ðườ
ng th
ẳ
ng d
ñ

i qua
)y;x(M
111
có d
ạ
ng
)xx(kyy
11
−
=
−
11
y)xx(ky
+
−
=
⇔

ðể
cho
ñườ
ng th
ẳ
ng d ti
ế
p xúc v
ớ
i (C), h
ệ
ph

ươ
ng trình sau ph
ả
i có nghi
ệ
m:




=
′
+−=
k)x(f
y)xx(ky
11

H
ệ
ph
ươ
ng trình này cho phép xác
ñị
nh hoành
ñộ

o
x c
ủ
a ti

ế
p
ñ
i
ể
m và h
ệ
s
ố
góc
)x(fk
′
=

Chú ý:
Hai
ñồ
th
ị
hàm s
ố

)x(fy
=
và
)x(gy
=
ti
ế
p xúc v

ớ
i nhau n
ế
u và ch
ỉ
n
ế
u h
ệ

ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có nghi
ệ
m:




′
=
′
=
)x(g)x(f
)x(g)x(f

c) Ph
ươ

ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng có h
ệ
s
ố
góc k và ti
ế
p xúc (C).
Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng có h
ệ
s
ố
góc k có d
ạ
ng
bkxy
+
=
ti
ế
p xúc v

ớ
i
ñồ
th
ị
(C), ta gi
ả
i
ph
ươ
ng trình
k)x(f
=
′
tìm
ñượ
c hoành
ñộ
các ti
ế
p
ñ
i
ể
m , x,x,x
21o
T
ừ

ñ

ó suy ra ph
ươ
ng
trình các ti
ế
p tuy
ế
n ph
ả
i tìm:

)xx(kyy
ii
−
=
−
( i = 0, 1, )
Bài toán :
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a hàm s
ố

khi bi
ế
t ph
ươ
ng c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n ho
ặ
c
ñ
i qua
m
ộ
t
ñ
i
ể
m cho tr
ướ
c nào
ñ
ó.

Ví dụ 1
. Vi
ế

t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố

22
)x2(y −=
bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n
ñ
ó
ñ

i qua
ñ
i
ể
m A(0 ; 4)
Ví dụ 2
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các
ñườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng 3x
4
1
y += và ti
ế
p xúc
v
ớ
i
ñồ

th
ị
hàm s
ố

2x4x3x)x(fy
23
+−+−==

Ví dụ 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
1x3xy
3

++−= bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

ñ
ó song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1x9y
+
−
=

Ví dụ 4.
T
ừ
g
ố
c t
ọ
a
ñộ

có th
ể
k
ẻ

ñượ
c bao nhiêu ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố

1x3xy
23
++=
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các ti
ế
p tuy
ế

n
ñ
ó.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
19

Ví dụ 5
. Cho hàm s
ố

2
3
x3x
2
1
y
24
+−−= có
ñồ
th
ị
là (C)
a)

Vi
ế
t ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C) t
ạ
i các
ñ
i
ể
m u
ố
n.
b)

Tìm ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
ñ
i qua

ñ
i
ể
m
)
2
3
;0(A

Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

2
x
2x3
y
+
+
= có
ñồ
th
ị
là (C).
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng, không có ti
ế

p tuy
ế
n nào c
ủ
a
ñồ
th
ị
(C)
ñ
i qua giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

ñ
ó.
Ví dụ 7

. Cho hàm s
ố

1
x
1
xy
+
−= có
ñồ
th
ị
là (C)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trên (C) t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng c
ặ
p
ñ
i
ể
m mà ti

ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
ñ
ó song song v
ớ
i nhau.
Ví dụ 8
. Cho hàm s
ố

2
x
4m2mxx
y
2
+
−−+
=
có
ñồ
th
ị
(C)
Gi
ả
s

ử
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
)C(M
∈
c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i P và Q. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng MP=MQ
Ví dụ 9
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế

p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố

2
x
5x4x
y
2
−
+−
= bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
i
qua

ñ
i
ể
m A(1;1).
Ví dụ 10.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị

1
x
1xx
y
2
+
−−
= bi
ế
t ti

ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y =
x
−
.
Ví dụ 11.
Cho hàm s
ố

1
x
1xx
y
2
+
−−
=
có
ñồ
th
ị
là (C)

Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể
m trên tr
ụ
c tung mà t
ừ

ñ
ó có th
ể
k
ẻ

ñượ
c 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị

(C)
Ví dụ 12.
Tìm a
ñể

ñồ
th
ị

1
x
ax3x
y
2
+
++
=
có ti
ế
p tuy
ế
n vông góc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y = x.
Ví dụ 13
. Tìm m

ñể

ñồ
th
ị

2223
m4x)1m4(mx2y
++−=
ti
ế
p xúc v
ớ
i tr
ụ
c hoành.
Ví dụ 14.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị

2
x
1m2mx3mx
y
2
+

+++
=
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng y = m.
Ví dụ 15.
Tìm a
ñể
ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
ñồ
th
ị


a
x
3x)1a(x2
y

2
+
−++
=

ti
ế
p xúc v
ớ
i parabôn
5xy
2
+=
.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
20

III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Cho hàm s
ố
y = f(x) có
ñạ
o hàm trên kho
ả
ng (a;b)
a)

Hàm s
ố
f(x)
ñồ
ng bi
ế
n trên (a;b)
0)x(f
≥
′
⇔
v
ớ
i
)b;a(x
∈
∀

b)

Hàm s
ố
f(x) ngh
ị
ch bi
ế
n trên (a;b)
0)x(f
≤
′

⇔
v
ớ
i
)b;a(x
∈
∀


Bài toán :
Yêu c
ầ
u tìm m
ñể
cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n trong m
ộ
t kho
ả
ng nào
ñ

ó
Chú ý:
C
ầ
n n
ắ
m v
ữ
ng các
ñị
nh lý v
ề
d
ấ
u c
ủ
a tam th
ứ
c b
ậ
c hai

Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố
1x)1m2(3mx3xy
23
+−+−=

Xác

ñị
nh m sao cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
ñị
nh.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

1mmx2x2y
2
−++=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong kho
ả

ng
);1(
+∞
−

Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

m4x)1m(x3xy
23
++++=

Tìm m
ñể
hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (-1,1)
Ví dụ 4.
Cho hàm s
ố

1
x
2x)1m(2x
y

2
+
+++
=

Tìm m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong kho
ả
ng
);0(
+∞

Ví dụ 5.
Cho hàm s
ố

2mx)1m2(mxx
3
1
y
23
+−−+−=

Tìm m
ñể
hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (-2;0).
Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

1
x
mx3x2
y
2
−
+−
=

Tìm m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế

n trên
),3(
+∞

Ví dụ 7.
Cho hàm s
ố
1x)2m(m3x)1m(3xy
23
+−+−−=

Tìm m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p h
ợ
p các giá tr
ị
c
ủ
a x sao cho
2x1
≤≤

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
21

IV.Cực ñại và cực tiểu

Cho hàm s
ố
y = f(x) , x
o
thu
ộ
c t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố

. N
ế
u khi x
ñ
i qua x
o

ñạ
o hàm
ñổ
i
d
ấ
u thì x
o

là m
ộ
t
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

.
o
N
ế
u
ñổ
i d
ấ
u t
ừ
+ sang – thì x
o
là
ñ
i
ể
m c
ự
c
ñạ
i c
ủ
a hàm s
ố
.
o
N
ế
u
ñổ

i d
ấ
u t
ừ
- sang + thì x
o
là
ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.
ðể
tìm các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ

a hàm s
ố
ta có hai quy t
ắ
c:
o
Tìm các
ñ
i
ể
m t
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ó xét d
ấ
u c
ủ
a
ñạ
o hàm )x(f
′

o
Gi
ả
i ph
ươ

ng trình )x(f
′
= 0. G
ọ
i
i
x là các nghi
ệ
m. Xét d
ấ
u c
ủ
a )x(f
′
′

Bài toán :
Tìm m
ñể
hàm s
ố
y = f(x) có c
ự
c tr
ị
và các
ñ
i
ể
m c

ự
c tr
ị
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n nào
ñ
ó.
- Tìm
ñ
i
ề
u ki
ệ
n m
ñể
cho
ñạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
có
ñổ

i d
ấ
u (s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u b
ằ
ng s
ố
c
ự
c tr
ị
)
-
Tìm t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a các
ñ
i
ể

m c
ự
c tr
ị
r
ồ
i
ñặ
t ti
ế
p
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a m
ñể
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n mà
bài toán yêu c

ầ
u.

Ví dụ 1.
Tìm m
ñể
hàm s
ố

m
x
1mxx
y
2
+
++
=

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i x = 2.
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

mmxx3x)2m(y
23
++++=

V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a m, hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u.
Ví dụ 3.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố

2

x
mx2x
y
2
2
+
++
=
luôn có m
ộ
t c
ự
c
ñạ
i và m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u.
Ví dụ 4.
Cho hàm s
ố
1x)1m2(3mx3xy
23
+−+−=

Xác
ñị

nh m sao cho hàm s
ố
có m
ộ
t c
ự
c
ñạ
i và m
ộ
t c
ự
c ti
ể
u. Tính t
ọ
a
ñộ
c
ủ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c
ti
ể
u.

Ví dụ 5.
Cho hàm s
ố
1m2mx2xy
24
+−+−=

Bi
ệ
n luân theo m s
ố
c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
.
Ví dụ 6.
Cho hàm s
ố

1
mx
1m2mxx
y
2
+

+++
=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
và ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
ñồ
th
ị

ñ
i qua g
ố
c t
ọ
a
ñộ
.

Ví dụ 7.
Cho hàm s
ố

2
x
4m2mxx
y
2
+
−−+
=

Xác
ñị
nh m
ñể
hàm s
ố
có hai c
ự
c tr
ị
.
Ví dụ 8.
Tìm a và b
ñể
các c
ự
c tr

ị
c
ủ
a hàm s
ố


bx9ax2xa
3
5
y
232
+−+=


ñề
u là nh
ữ
ng s
ố
d
ươ
ng và
9
5
x
o
−=
là
ñ

i
ể
m c
ự
c
ñạ
i.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
22

Ví dụ 9.
Cho hàm s
ố

1mmx2x2y
2
−++=

Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
trong kho
ả
ng

),1(
+∞
−

Ví dụ 10.
Xác
ñị
nh m sao cho hàm s
ố


1
x
1m4x)m42(mx
y
2
−
−+−+
=

Có c
ự
c tr
ị
trong mi
ề
n x > 0.
Ví dụ 11.
Cho hàm s
ố

m
x
mxmx
y
2
+
++
=
.
Tìm m
ñể
hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
.
Ví dụ 12.
Cho hàm s
ố

4x)3m2m(mx3xy
223
+−++−=
.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m
ở
hai phía tr
ụ
c tung.
Ví dụ 13.
Cho hàm s
ố

1
x
mxx
y
2
+

++
=
.
Tìm m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti
ể
u n
ằ
m
ở
hai phía tr
ụ
c tung
Ví dụ 14.
Tìm t
ấ
t c

ả
các giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ñể
hàm s
ố

m
x
m4mx)3m2(x
y
22
+
++++
=
có hai
c
ự
c tr
ị
và giá tr
ị
c
ủ
a

ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng trái d
ấ
u nhau.
Ví dụ 15.
Cho hàm s
ố

m
x
1mx)1m(x
y
2
−
+−++
=
có hai c
ự
c tr
ị

và giá tr
ị
c
ủ
a
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ươ
ng
ứ
ng cùng d
ấ
u nhau.

Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
23