sang kien kinh nghiem Phương pháp giải toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

A- mở đầu
1 - Lý do chọn đề tài:

Toán học là môn khoa học cơ bản, có vị trí vô cùng quan
trọng trong mọi lĩnh vùc ®êi sèng x· héi, trong khoa häc kü thuËt.
Häc sinh trung học cơ sở học tốt môn Toán, sẽ giúp các em
học tốt hơn ở các môn học khác và ở các cấp học trên, cung cấp
cho các em những kiến thức phổ thông cơ bản để các em b ớc
vào cuộc sống lao động.
Các kiến thức và phơng pháp toán còn giúp các em phát triển
những năng lực vµ phÈm chÊt trÝ t, rÌn lun cho häc sinh khả
năng t duy tích cực, độc lập sáng tạo. Giáo dục cho học sinh t tởng và đạo đức, thẩm mỹ của con ngời mới.
Trên thực tế còn nhiều học sinh học yếu toán. Những học
sinh lời học không nắm vững kiến thức cơ bản đà đành. Còn
những học sinh chịu khó học bài, thuộc bài nhng vẫn không
làm đợc và làm sai bài tập. Làm thế nào để giúp các em học
sinh trung học cơ sở học tốt môn toán. Đây là điều trăn trở của
các thầy giáo, cô giáo và các bậc phụ huynh.
Để giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán. Ngời thầy
giáo, cô giáo ngoài việc giúp các em nắm đợc những kiến thức
lý thuyết toán, thì việc bồi dỡng cho các em về mặt phơng
pháp giải các loại toán là rất quan trọng. Nó giúp các em nhận
dạng, tìm tòi đờng lối giải một cách nhanh chóng, hình thành
kỹ năng phát triển t duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đó
các em yêu toán hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tơng lai.
Trong toán học, khái niệm giá trị tuyệt đối, là một khái
niệm đơn giản. Là một phạm trù kiến thức hẹp. Nhng những
bài tập có liên quan tới giá trị tuyệt đối lại là một vấn đề phức

tạp, tơng đối trìu tợng. Thế nhng nó lại góp phần trong quá
trình giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Khi gặp các bài
Trang 1


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

toán có dấu giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng,
không biết phải bắt đầu từ đâu, hớng giải quyết thế nào.
Điều đó cũng dễ hiểu, trong chơng trình phần lý thuyết
đơn giản. Bài tập không nhiều, không bao quát hết đợc các
dạng. Bài tập phần này không có sức lôi cuốn sự kích thích
hăng say học tập của các em.
Trong những năm giảng dạy ở cấp trung học cơ sở ở cả
bốn khối lớn. Tôi thấy các em phần đa gặp khó khăn khi giải
các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Với trách nhiệm của ng ời thầy giáo, tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn trong
phần này. Tôi đà dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực
tế giảng dạy của bản thân và một số đồng nghiệp. Qua sự
tìm tòi thử nghiệm, đợc sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp.
Đặc biệt là những bài học sau những năm học ở trờng s phạm.
Cùng với sự hớng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo Tống Trần
Hoàn giảng viên khoa toán - tin trờng Đại học s phạm I Hà Nội.
Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Phơng pháp giải một
số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2 - Mục đích nghiên cứu:

- Đề tài này phần nào giúp các em học sinh học tập môn toán
tốt hơn nóichung và giải các bài tập cha dấu giá trị tuyệt đối nói
riêng. Trang bị cho các em học sinh một số phơng pháp giải các

bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bổ sung cho học sinh một số
kiến thức về giá trị tuyệt đối còn thiếu hụt. Giúp các em có công
cụ trong việc giải quyết một số bài toán có liên quan.
- Gây hứng thú cho học sinh khi làm các bài tập sách giáo
khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
3 - Nhiệm vụ của đề tài:

- Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về giá trị
tuyệt đối phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh trung häc
c¬ së.

Trang 2


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

- Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán chứa
dấu giá trị tuyệt đối. áp dụng để làm bài tập.
- Rút ra mét sè nhËn xÐt, chó ý khi ¸p dơng tõng ph ơng
pháp giải.
- Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho từng phơng pháp giải.
4 - Phạm vi đề tài:

Phát triển đợc năng lực t duy và rèn luyện kỹ năng vận dụng
của học sinh thông qua giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt
đối.
5 - Đối t ợng nghiên cứu:

Đề tài này áp dụng có tác dụng nhất đối với học sinh lớp 8, lớp

9 và trong các buổi ôn tập cuối năm, bồi dỡng học sinh giỏi, ôn tập
tốt nghiệp và thi vào phổ thông trung học. Đối với các lớp 6, lớp 7
có đề cập đến nhng chỉ những vấn đề nhỏ đơn giản.
6 - Phơng pháp nghiên cứu:

- Tham khảo, thu thập tài liệu.
- Phân tích tổng kết kinh nghiệm.
- Kiểm tra kÕt qu¶, dù giê, thao gi¶ng, kiĨm tra chÊt lỵng
häc sinh.
- Tỉng kÕt kinh nghiƯm.
7 - Dù kiÕn kÕt quả đề tài:

Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc một số
bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm,
bài làm thiếu chặt chẽ. Ngại làm các bài tập có chứa giá trị tuyệt
đối.
Nếu thực hiện đợc đề tài này thì các em có hứng thú
hơn khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Có phơng
pháp phù hợp với từng loại toán này.

Trang 3


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Hạn chế đợc những sai lầm thờng gặp khi giải toán chứa
dấu giá trị tuyệt đối. Đặc biệt các em tự tin hơn vào bản
thân.

Trang 4


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

b - Nội dung
Ch ơng I:
Giá trị tuyệt đối

-------------

I - Giá trị tuyệt đối:

1 - Định nghĩa:
Giá trị tuyệt đối của một số thực x là một số thực không
âm, ký hiệu x đợc xác định nh sau:
x=

x nếu

x 0

-x nếu

x >0

Nhận xét:
* Giá trị tuyệt đối của một số thực x, thực chất là một ánh
xạ.

f:

IR IR+

x IR y = xx nÕu x  0
-x nÕu x < 0
* Víi mäi số thực x ta luôn biểu diễn x thành tổng của số
x x x x
thực không âm và số thực xkhông
dơng,
tức là:


2
2
Trong đó:
x x

x x



0
;

0
2

2

* Với A (x) lµ mét biĨu thøc t ý ta cịng cã:
A (x) nÕu A(x)  0
A(x)=
-A (x) nÕu A(x) < 0
* Víi mäi x  IR; f(x), g(x) lµ biĨu thøc t ý, ta cã:
1
max (f(x); g(x)) =
[f(x) + g(x) + f(x) - g(x)]
2
1
2
Trang 5


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

min (f(x); g(x)) =

[f(x) + g(x) - f(x) - g(x)]

2. HƯ qu¶:
1) x 0 mäi x  IR; x = 0  x = 0
2) -x = x
3) -x  x  x; x = x  x  0
4) x   > 0  x   hc x  - 
5) x  ( > 0 )  -   x  
6) x.y= x.y
7)

x
x

y
y

8) x2 = x2
9)

x2  x

3. TÝnh chất cơ bản về giá trị tuyệt đối:
1. Định lý 1: Nếu x, y là hai số thực thì:
a) x + y  x + y
b) x + y  x + y  x.y  0
Chøng minh:
Ta cã:
(x+y)2 =x2 +2 x.y+y2 = x2 + 2.x.y+ y2  x2 +
2xy + y2 = (x+y)2
VËy x+y x+y
DÊu b»ng x¶y ra  xy = 0
2. Định lý 2:

Trang 6


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Nếu x, y là hai sè thùc th×: x-y  x - y  x +
y
Chøng minh:
Ta cã: x = (x - y) + y x - y + y (theo định lý 1)
x - y x - y
Vả lại:

x - y = y - x  y - x

Nªn

x - y  -x - y
 -x - y  x - y  x - y
 x-y  x - y

(1)

Ta l¹i cã: x - y = x + (-y)  x + -y = x + y
(2)
Tõ (1) vµ (2) cã: x - y  x - y  x + y
Chó ý: NÕu thay y b»ng -y ta cã:
x - y  x - y  x + y
II - Phơng pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối:

1. Mục đích biến đổi:
Biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối là nhằm
thay đổi chúng bằng những biểu thức tơng đơng không chứa
giá trị tuyệt đối, nói cách khác là nhằm loại trừ các dấu giá trị
tuyệt đối khỏi các biểu thức để có thể tiến hành các phép
tính đại số quen biết. Thông thờng, ta sẽ đợc các biểu thức

khác nhau (không chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong những
khoảng khác nhau.
2. Phơng pháp biến đổi:
Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối
nhằm loại bỏ các dấu giá trị tuyệt đối thì nhất thiết phải căn cứ
vào:
Trang 7


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

a) Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đà nêu ở

trên.
b) Quy tắc về dấu của các nhị thức bậc nhất và các tam
b
thức bậc hai nh sau:
a
* Nhị thức ax + b (a  0) cïng dÊu víi a khi x> , và trái
b
dấu với a khi
a
xThật vậy: Gọi x 0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x 0 = a
ax  b
b
 x   x  x0
XÐt:
a

a
ax  b
NÕu x > x 0 th× x - x 0 > 0 
> 0  ax + b cïng dÊu
a
ax  b
víi a.
a
NÕu x< x0 th× x - x 0 < 0 
< 0  ax + b tr¸i dÊu
víi a.
* Tam thøc bËc hai ax 2 + bx + c (a  0) tr¸i dÊu víi a trong
khoảng giữa hai nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi trờng hợp khác.
3. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho x, y là hai số thoả mÃn xy 0 tính giá trị của
biểu thức.B xy x  y  x    xy  x  y  y 

 

2 2
2 2

 


Gi¶i: BiÕn đổi B, ta có:

B

Đặt B1

xy

x y

2 2

xy 

xy 

x
y


2
2

x y

 x  y
2 2 
xy 

Trang 8

x
y


2
2

0


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Tính B12 ta đợc:
xy
xy x 2 y 2
x2 y2
B xy 

 x xy  y xy 
 xy  x xy  y xy 


4
4
2
2
4
4
2
1

2

 x y
2
2
2
 2 xy  2
 x  2 xy  y ( x  y )
 2 
2
2
2
 x y
 x y
 x y
 2
  2 xy )
(V× 
  xy nªn 2 xy  2
2
2
2







Suy ra: B1 = x + y
VËy B = x + y - (x+y)
Mặt khác do xy 0 nên x, y cùng dÊu, suy ra x + y = x

+ y
Do ®ã: B = 0
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau:
A

Giải:
TXĐ:

x

x 1

x2  4x  4
2x  3

3
2

2
x

1

(
x

2
)
x 1 x 2
Ta cã: A 


2x  3
2x  3

1  x  2  x 3  2x
NÕu x  1 ta cã:
A

 1
2x  3
2x  3

NÕu 1  x  2, x  3
2

Ta
cãx  1  2  x  1
A
2x  3
2x  3

x  1  x  2 2x  3
NÕu x  2 ta cã:
A

1
2x  3
2x  3
 1
 1


Trang 9
A 
2
x

3

 1


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

nếu x 1

Tóm lại:

nếu 1 < x < 2
nÕu x  2
Bµi 3: Rót gän:

2 x  3
B


2 x  1  x  3 2 x  1  x  3  x  1 2   x  3 2
x 1 x 3

2

x 1 x 3

Giải: Đặt x-1 = a; x-3 = b; (a, b  0) Ta cã:

a b
a b
2b2
(a b)2  (a b)2  4b2
B



2(a b) 2(a b) a2  b2
2(a2  b2 )


2x  3
4ab 4b2
4b(a b)
2b
B 2 2 


2(a  b ) 2(a b)(a b) a b x  1  x  3

LËp b¶ng biÕn đổi:
x
-
x-3

x-1
Tử thức
Mẫu thức

1
3-x
1-x
2 (3-x)
-2

+
x-3
x-1
2(x-3)

3

-2

3-x
0
x-1
2(3-x)
2(x-2)
2

3 x
x 2

Kiểm tra lại giá trị của biểu thức

0
0
2

tại hai đầu mút của

đoạn [1; 3] đúng b»ng - 2 vµ 0, ta cã kÕt luËn:
B=

3 x
x 2

Víi

x-3

Víi x  IR\ [1; 3]

1x3

vµ x  2

Bµi 4: Cho a, b, c > 0. Rót gän biĨu thøc:

C  a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc

Gi¶i:

Víi a, b, c > 0 ta cã:

C  ( a  b )  2 ( a  b )c  c  ( a  b )  2 ( a  b )c  c
Trang 10


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối



C

a b c



2

C  a b  c 





a b 

a b

c

2

c

Vì a b c 0 nênC a  b  c 

a b 

NÕu a + b  c C a  b  c  a  b 

c 2 a  b

NÕu a + b < cC a  b  c  c 

c

a  b 2 c

Tãm l¹i:

2 a b
C=

2 c

nÕu a + b  c
nÕu a + b < c

4. Bµi tËp lun tËp:
Bµi 1: Rót gän biĨu thøc:
a)

A  4a 2  20a  25  2a  17

víi a < 3

b) B  x 2  16 x  64  2 x 2  8 x  16  x 2
c) C 

3  2x  x
2x  3  x  2

xx 2
D

d)
x 2  5x  6
e)

E = x + x-1

Bµi 2: Cho A(x) = 2 x  2 2 x  1 

Trang 11

2x  8  6 2x  1

Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

a) Tìm đoạn [a, b] sao cho A(x) có giá trị không đổi trên

đoạn đó.
b) Tìm x sao cho A(x) > 4.
Bài 3: Rút gọn biĨu thøc.
1) A 

2b x 2  1
x

2

víi

x 1

1 
x
2 

a
b 

b
a 

2

1 1

2b
 a  1

4 a


2) B 

2

2

3)

C

1 1
1

 a   1  

4 a
2


1


a


a 


víi 0 < a < 1

y x
y x yx 2
yx 2





xy
xy
z
xy
xy
z

x 2  25
Víi x > 5; y 
;
10 x  25
x
x

Trang 12

x 2  25
z
15 x  25
x
x 5


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
Chơng ii:
phơng trình bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối

-------------

A. Phơng trình bậc nhất dạng A = B
1. Phơng pháp giải:
Để giải phơng trình bậc nhất tuỳ ý có chứa giá trị tuyệt
đối. Ta biến đổi nó thành một phơng trình tơng đơng không
còn chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối với phơng trình bậc nhất dạng A = B trong đó A, B là
các nhị thức bậc nhất thì ta tiến hành giải theo cách sau:
a) Nếu B < 0 thì kết luận phơng trình vô nghiệm.
b) Nếu B 0 thì đa về phơng tình A = B hoặc A = -B
c) Nếu cha biết rõ dấu của B thì biến đổi nh sau:
A = B 

B0
A = B hc A =-B

2. Mét số bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
1) 3x - 1+ 2 = 3x + 4
2) x- 3 = x + 1
3) x - 2005= x - 2005

  3 x  2 0

 3x  1 3x  2
1) 3x - 1+ 2 = 3x + 4  3x - 1= 3x + 2 
 3 x  2 0

  3x  1  3x  2

2
  x  3

(V« lý)
   1 2
 
  x  2

3
1
 x Trang

13
  6 x  1
6


Gi¶i:


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Vậy phơng trình có nghiệm
x là

2) x-3= x + 1

1
6

Nếu x 0 phơng trình ®· cho  x - 3 = x + 1 víi x  0 râ
rµng x + 1 > 0
Khi ®ã: x - 3 = x + 1  x - 3 = x + 1 hc x - 3 = -x - 1

 x 0
 
 x  3 x  1

  x 0

  3 1
 
  x 0

  2 x 2

 x 0
Hc
 x  3  x  1

(V« lý)
=>x = 1

NÕu x < 0 phơng trình đà cho

-x - 3 = x + 1

 x + 3= x + 1

   1 x  0

 x  3 x  1
« lý)  
  1 x  0

  x  3  x  1

  1 x  0

 2 0
 
  1 x  0

 2 x 4

> x=-2 (Loại)
Vậy phơng trình đà cho cã tËp nghiƯm lµ: S = {1}
3) Ta cã:
x - 2005 = x - 2005  x - 2005 0 x 2005
Vậy phơng trình có vô sè nghiƯm tho¶ m·n x  2005
Trang 14

(V

=


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số m: x
- 1 = 3x + 2m
Gi¶i:

 3 x  2m 0
x - 1 = 3x + 2m (1) 
 x  1 3 x  2m

2m

  x   3

  x   2m  1
 
2

 
  x   2m
 
3

  x 1  2 m
4
 

 3 x  2m 0
hc
 x  1  3 x 2m

Nh vậy phơng trình (1) có nghiệm thì phải có:



2m 1
2m

2
3

a) Nếu
b) Nếu

hoặc

1  2m
2m


4
3

2m  1
2m
3

 6m  3 4m  m 
2
3
2

1  2m
2m
3

 3  6m  8m  2m  3  m 
4
3
2

Tãm l¹i:

2m  1
2

NÕu m 

3

2

x
thì phơng trình (1) có nghiệm

Nếu m

3
2

thì phơng trình (1) có nghiệm
x

1 2m
4

Bài 3: Giải theo m: mx - 3= 4 - m (1)
NÕu m > 0 ph¬ng tr×nh (1)  mx - 3= 4 - m

 0  m 4

 mx  3 4  m

 0  m 4

 mx  3 m  4
Trang 15


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị

tuyệt đối



hoặc

0 m 4


7 m
x


m

hc

 0  m 4


m 1
x


m

NÕu m < 0 phơng trình (1) - mx- 3= 4 - m
mx + 3= 4 - m víi m < 0 râ rµng
4-m>0

m  0

 mx  3 4  m

m  0
m  0
m  0


hc

hc


m 7
1

m
x

x

 mx  3 m 4


m

m

Tóm lại:

1 m
m

x
Nếu m < 0 thì phơng trình có nghiệm
là:
7 m

Nếu 0 < m 4 thì phơng trình có nghiệm
là:
x
m
hoặc

x
Nếu m = 4 thì

x

m 7
hoặc
m

x

m 1
m

3

4

Nếu m = 0 hoặc m > 4 thì phơng trình vô nghiệm.
B) Phơng trình bậc nhất dạng A = B.
1. Phơng pháp giải:
Đối với phơng trình bậc nhất dạng A = B trong đó A, B
là những nhị thức bậc nhất đối với ẩn số. Muốn loại bỏ dấu giá trị
tuyệt đối thì phải biến đổi phơng trình đà cho thành phơng
trình tơng đơng sau đây:
A=B A = B hc A = -B

Trang 16


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

2. Bài tập ví dụ:

Bài 1: Giải phơng trình: 2x - 2005= 2005x - 2

2 x  2005 2005 x  2
 
 2 x  2005 2  2005 x

 2003x  2003

2007 x 2007

Vậy phơng trình có nghiệm là x = -1 vµ x = 1

 x  1
 
 x 1

Bài 2: Giải phơng trình: 5x - 1- 2 = 4x - 3

 5 x  1  2 4 x  3
 
 5 x  1  2 3  4 x
  4 x  1 0

(1)
 5 x  1 4 x  1
 
  4 x  1 0

  5 x  1 1  4 x


5
  x  4

 x 2
3


x 5

4

Vậy phơng trình cã nghiƯm lµ
2 
x    x  4
3
2)

-4

 5 x  1 4 x  1 (1)
 
 5 x  1 5  4 x (2)

1
x



4


 x 0 (lo¹i)
 
 x 1

4



2 (lo¹i)
x 


9



  5  4 x 0

 5 x  1 5  4 x
 
  5  4 x 0

  5 x  1 4 x  5



2
x
3

,x=

vµ x = - 4

C - Phơng trình bậc nhất dạng A+B= C
1. Phơng pháp giải:
Đối với loại phơng trình bậc nhất dạng A+B= C trong đó
A, B, C là những nhị thức bậc nhất thì nên dùng phơng pháp lập
bảng biến đổi.
Trang 17

Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

2. Bài tập ví dụ:

Bài 1: Giải phơng trình: x - 2+x - 3= 4 (1)
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu f(x) = x - 2+ x - 3
x
x-2
x-3
f(x)

-
2-x
3-x
5-2x

2
0

+

3
x- 2

x-2
0 x-3
2x-5

3-x
1

1
Nếu x < 2 phơng trình (1)  5 - 2x = 4  22x = 1  x =

tho¶ m·n x < 2

NÕu 2  x 3 Do1 4 nên phơng trình vô nghiệm.

9

Nếu x >3 phơng trình (1) 2x - 5 = 4 2x = 9  x =
9 2
1
(tho¶ m·n x > 3)

2

Tóm lại: Phơng trình (1) có nghiệm là x =

2

và x =

Bài 2: Giải phơng trình: x - 1+x + 2-2x - 3 = 2005
(2)
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu VT (2)
x
-

-2
x-1
1-x
x-1
x+2
-x - 2
0
x+2
-2x-3
2x-6
-2x+6
VT(2)
-7

1
1-x

0

+

3
x-1

x+2

x+2

2x - 6

2x-6

2x-3

4x - 5

0
7

NÕu x - 2 Do -7 2005 nên phơng trình (2) v« nghiƯm.
Trang 18


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Nếu-2 < x < 1 phơng trình (2) 2x - 3 = 2005 2x =
2008.
2008
x = 2

= 1004 (không thoả

2010 1005
4
2

mÃn)
x=

Nếu 1 x < 3 phơng trình (2) 4x-5 = 2005 4x= 2010
=
(Không

thoả

mÃn)
Nếu x 3 do 7 2005 nên phơng trình (2) vô nghiệm.
Tóm lại: Phơng trình (2) vô nghiệm.
Bài 3: Giải phơng trình: (m-1) ( x + x+2 ) = 3m - 4
Gi¶i: XÐt ba trêng hợp.
- Nếu x < - 2 thì (m-1) (-x-x-2) = 3m- 4  (m-1)(-2x-2)
m 2
 5m  6
=3m-4

m 1

2m  2

Với m 1, thì x =
(đúng)

< - 2 hay -

< 0

Víi mäi m  2; m < 1 hc m > 2
- NÕu -2  x  0 th× (m - 1) (-x + x +2) = 3m - 4.

3m 4
Khi m 1 thìm 1 2

nên m = 2 phơng trình vô số

nghiệm.

- Nếu x > 0 th× (m - 1) (2x + 2) = 3m - 4

m 2

0
Khi m  1 th× x =
2m  2
hoặc m > 2.

đúng với mọi m 2; m < 1

Trang 19


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối
D - Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất:

Bài 1: Giải các phơng trình:
a) xx + 3 - x2 + x+ 1 = 1

b) x3 - 3x + 2 =

0
Gi¶i:

2

1
1 3 
1
3
 .2 x    x     0
a) Ta cã: x + x + x1 =
2
4 4 
2
4
2

2

Do ®ã: x2 + x + 1 = x2 + x + 1.
Phơng trình: xx + 3 - x2 + x + 1 = 1  xx + 3 =
x2 + x + 1+1
 xx + 3= x2 + x + 1 + 1  xx + 3 = x2 + x + 2

(1)

Nếu x - 3 phơng trình (1)  x(x + 3) = x2 + x + 2  x2 +
3x = x2 + x + 2
 2x = 2 x = 1 (thoả mÃn điều kiện đang xét)
Nếu x < - 3 phơng trình (1) x(-x-3) = x2 + x + 2  -x2 3x = x2 + x + 2

 2x2 + 4x + 2 = 0  x2 + 2x + 1 = 0  (x + 1)2 = 0  x +
1 = 0 x = -1
(Không thoả mÃn điều kiện đang xét)
Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x = 1
b) Đặt t = x > 0. Khi đó phơng trình x3 - 3x + 2 = 0
Trở thành phơng trình: t3 - 3t + 2 = 0 t3 - t - 2t + 2 = 0
 (t3 - t) - 2(t - 1) = 0  t (t2 - 1) - 2 (t - 1) = 0
 t (t - 1) (t + 1) - 2 (t - 1) = 0  (t - 1) (t2 + t - 2) = 0
 (t - 1) (t2 + 2t - t - 2) = 0  (t - 1) [t (t + 2) - (t + 2) = 0
Trang 20


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

(t - 1)2 (t + 2) = 0  (t - 1)2 = 0 hc t + 2 = 0
* (t - 1)2 = 0  t - 1 = 0  t = 1 (thoả mÃn điều kiện t > 0)
(**) t + 2 = 0 t = - 2 (không thoả mÃn điều kiện t > 0)
t = -2 (loại)
Với t = 1, ta cã: 1 = x  x = 1.
Vậy phơng trình có tập nghiệm là: S = {-1, 1}
Bài 2: Giải phơng trình x3 + 100 x2 = x + 100 (1)
Cách 1: Phơng trình (1)  x2 (x + 100)- x+100 = 0

 (x + 100)(x - 1) = 0
2

x + 100 = 0

x2 - 1 = 0

 x = - 100; x = 1
VËy phơng trình có ba nghiệm là: x = 1; x = - 100
Cách 2: phơng trình (1) x3 +100x2 = x + 100; x3 + 100x2
= -x - 100

 x 2 ( x  100)  ( x  100) 0
  2
 x ( x  100)  ( x  100) 0

 ( x 2  1)( x  100) 0
  2
 ( x  1)( x  100) 0

 x =  1; x = -100
Bài 3: Giải phơng trình:

x 5 4 x  1  x  10  6 x 1 1
ĐKXĐ của phơng trình: x - 1
Phơng tr×nh:



x  1  4 x  1  4  x  1  6 x  1  9 1
Trang 21


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

( x 1 2) 2  ( x  1  3) 2 1



x 1  2 

x  1  3 1

(*)

C¸ch 1: Ta thÊy:

x 1  2  x 1  3  x 1  2  3 

x 1  x 1  2  3 

x  1 1

DÊu b»ng cã







x  1  2 (3 

 2  x  1 3
x  1) 0  
 3 x 8
x

1


Vậy phơng trình đà có nghiệm mọi x [3; 8]
Cách 2: Từ phơng trình (*) có:

x 1  2
  1 x  3
NÕu 
x


1

Ph¬ng tr×nh:  2 

x 1  3 

x  1 1

 5  2 x  1 1 

x  1 2

x = 3 (loại) vì không thoả mÃn (-1  x < 3)

NÕu  2  x  1 3  3  x 8


 x  1

Ph¬ng tr×nh

x 1  2  3 

x  1 1  1 1

v« sè nghiƯm x  [3, 8].



x 1  3
 x 8
 x  1

NÕu 

Trang 22

chøng tá r»ng cã


Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

Phơng trình (*)

x 1  2  x 1  3 1  2 x  1 6
x  1 3  x 8



(lo¹i) vì không thoả mÃn x

> 8.
E - Hệ phơng trình bậc nhất:
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
(A) 2 x  3  5 y  4 4

(1)


 3x  2 2 y 9

(2)

Giải: Muốn giải hệ phơng trình trên ta xét các trờng hợp sau
để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối đa về hệ bậc nhất hai ẩn số rồi
giải chúng.
Xem y là tham số, ta lập bảng biến đổi các giá trị tuyệt
đối có chứa x.
3
2

2

x
-
+
3
2x-3
3x+2

-2x + 3
-3x - 2

-2x + 3
0

0

3x + 2

2x - 3
3x + 2

(1)

5y-4=2x+1

5y-4=2x+1

5y-4=2x+7

(2)

2y=-3x-11

2y=3x-7

2y= 3x-7

(loại)

(loại)

Thuộc phạm vi
7
7
khoảng xétx
3
2

Vậy với

7
7
x
3
2

Ta có 5y - 4 = -2x + 7

 5y - 4 = -2x + 7 hc 5 y - 4 = 2x - 7

Trang 23

Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

5y + 2x = 11 (1) hoặc 5y - 2x = -3 (2)
Lại có: 2y = 3x-7  2y = 3x - 7 hc 2y = -3x + 7
 3x - 2y = 7 (3) hoặc 3x + 2y = 7 (4)
Kết hợp (1) vµ (2) víi (3) vµ (4) Ta cã 4 hƯ phơng trình tơng
đơng với phơng trình đà cho:

7
7
3  x  2

  2 x  5 y 11
  3 x  2 y 7


( A)  
7
7
  x 
2
 3
  2 x  5 y 11

  3 x  2 y 7
 
 7

7
 3  x  2

  x 3; y 1

 7  x  7
  3
2


13
  x 
11

  7
7
  x 
2
  3

29
5
 x  ; y 
11
11

 7
7
  3  x  2


  x  41
 
19

 7
7
 3  x  2

  2 x  5 y 3
  3 x  2 y 7

Hc  
 7
7
  x 
2
 3
  2 x  5 y 3

  3x 2 y 7


(Nghiệm thích hợp)

(Nghiệm không thích hỵp)

(NghiƯm thÝch hỵp)

Trang 24

Đề tài nghiệp vụ: Phơng pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị
tuyệt đối

(Nghiệm không thích hợp)

x 3; y 1
là:29
Vậy hệ phơng trình có nghiệm
x ; y  5
11
 11

Trang 25