Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 - 2022 sở GD&ĐT Long An - TOANMATH.com

U@VA ĐÀO TẠO
“AN
ế
Cau 1.

[HSG-LO

ĐÈ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NAM HOC 2021 — 2022
MƠN THỊ: TỐN

Thời gian: 90 phút (Khơng kế thời gian phát đê)

2021-2022] Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
tự]

(1)

x+y ` -xy=l

(2).

Lời giải

Điều kiện y' >1.
Ta có:

x+Xx )+l=y+vJy—l©x-y=aAly?—1-x? +1(*)

Bình phương hai vê phương trình trên ta được phương trình hệ quả
xˆ-2xy+y' =yˆ-l+xf $1-2V x +1

y” 1s

xy=Ax? +1ajyŸ —1.

Tiếp tục bình phương hai về ta được xy = xyx + ylôâ yx =1 (3).
Kt hp (3) với (2) ta có
yˆ—x

=x +y -xy<2xˆ

Với x=0

sy =e2

(28-9) 069] °7

thế vào (2) ta được y = +], thử lại phương trình (Š) ta chỉ nhận nghiệm y = ].

Với y=2x thế vào (2) ta được
x*+4xˆ—-22ˆ=1©x/ TT“...v3 an 243 (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (on)
Cau 2.

[HSG-LONG

8.28 |{

5-2]

2x41;
AN 2021-2022] a) Cho ham sé. y=2~*

(4):y= (m? +1)x-2

X—

có

đồ

thi

(H )

và

đường

thăng

với 7 là tham số thực. Tìm tất cả các gid tri cta tham sé m dé (d) cat (1)

tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x,, x, sao cho biểu thức P=12(x,+x,)+1lx,x, đạt giá trị lớn
nhất.

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của đô thị (J7) và đường thắng (đ') là
2x+I =(m°+1)x-2©

x-]
c

2x+1=|(m° +l)x—2 |(x—1)
x41

(mì +1)x”T(m +5)x+1=0 —

(ø” +1)x?—(m?+5)}x+1=0

x#l

-3z0

(*)

|

Do vậy, đường thing (@) cat dé thi (47) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm

phân biệt ©A =(m? +5} —4(m” +1)>0 © m'+6m?+21>0

me R.


xX, +X,

Theo dinh ly Viét ta cé

=

m

+5
2

” +,

X,X, =
Cˆ
+]

Khi đó P=
Do ø

2

12(m* +5

ụ

m

+1

2

),

m

tem
TT yy >?

+1

m

+1

m

+1

59
+1214———
S1.Suyra P=12+——
S71.
m +1
m +1

Dau “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 0.
Vậy m =0 thì biểu thức P đạt giá trị lớn nhất băng 71.
Câu 2. [HSG-LONG AN 2021-2022] b) Cho hàm số y=2x—2—7mAx”—4x+5

với m là tham số thực. Tìm

tât cả các giá trị của tham sơ zz đê hàm sơ có cực tiêu?
Lời giải
Hàm số xác định trên R.

Đạo hàm
h—2
y=

—

x—2

Mm

—

2Vx° —4x+5 -—m(x-2)

\x?—4x+5

\x?—4x+5

Hàm số có cực tiêu khi và chỉ khi y'=0

có nghiệm và đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm đó.

Ta có
|

y'=06 Wr

4x45 —m(x—-2)=0m=-

2

*

oo
x—

vix =2 khơng là nghiệm
của phương

trình.
2

Xét ham sé f (x)= De?
x—

42. Tad

(=?)

/'()=232
Các giới hạn:

x

lim f (x) =-2;

Bang bién thién cua ham so

Ta xét cac truong hop

_ x13

(x-2)-Vx° -4x+5
(x-2)

lim f (x) =-œ;

x2.

=—

2

lim ƒ(x)=+œ;

x—>2"

(x-2)

5

\x?—4x+5

lim ƒ(x)=2.

x—>+00

<0VxeR.

Với me(—œ;~2) với x< 2, phương trình 2\'x?—4x+5 —m(x—2)=0 có nghiệm x=x,. Khi đó
Vx
me

<> m(x—2)>2Vx? — 4x45 < 2x? —4x 45 —m(x-2)
<0.

Nếu Vx
> x, thi

m> eet

©m(x~2)<2Alx)~4x+5
©2Alx)—4x+5 =m(x—2) >0.

Nhu vậy y =0

có nghiệm x=x,

và đối dâu từ âm sang dương qua nghiệm đó.

Với me (2;+s©) với x<2. phương trình 2\jx”—=4x+5 —m(x—2)=0_ có nghiệm x=x;.
Khi đó Vx m<^

==

© m(x—2)<2\x`~4x+5

© 2

x° —4x+5-—m(x-2)>0

Néu Vx
> x, thi
m>2

StS

Vi vay y'=0

eo

<> m(x-2)>2Vx°-4x+5 © 2

x° —4x+5—m(x-2)<0.

co nghiém x =x, va đối dâu từ dương sang âm qua nghiệm đó nên ta loại trường hợp

này.

Vậy mc(—œ;—2) là các giá trị cần tìm.
Cách 2.
Xét y=2x—2—m^xx“ -4x+5
>y

=2x-

m(x—2)

Nx -4x+5

y=002x-

Cho

(

, VxXER.

m(x—2)

> e2'(x)=
)

x=2

2x? —4x +5

—=()<>7m_—=

Vx? —4x 45

2\xˆ-4x+5

Dat g(x)=

có tập xác định trên miễn số thực

+

x—2

(")

2

<0, Vx #2.

(x-2) \x°-4x+5

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau
+

— œ

2

+ œ

Ị

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình (*) có nghiệm <>

Vx’ —4x4+5=>

ÿ"=—m

:

Vx

(x-2)
2

4x+5

x=4x+5

_

:

7

®

^^

”"

^

17

1x

1

(x -4x+5)Na

VớI m>2=> y" <0 tuc ham so khong co cuc tiéu.
xTr

—

L4
^

ay

2
1°A

m> 2

<9
m<-—

:

—4x+5

, VXER.


Vậy với #<—2
Câu 3.

thì hàm sơ ban đâu có cực tiêu.

[HSG-LONG AN 2021-2022] Cho tam giác 4ð8C có các điểm D,#,Ƒ' lần lượt thuộc các đường
thăng ĐC, AC, 4B

sao cho DB

DC

=EC

EA

_FA

FB

_ —k? với k z0. Chứng minh răng hai tam giác

ABC, DEF' có chung tâm đường trịn ngoại tiếp O khi va chi khi hai tam gidc này có chung trực tâm

H.

Lời giải

Cách 1:

Bồ đề Euler: “Với mọi tam giác ABC

lượt là Œ, !,O ta đều có GØ =-2GH
Gọi G là trọng tâm tam giác 48C,

TD

“2 --#?GD=——.GB+~
DC

Tyr

FC

EA

1+k

_

2 SGE=

l+k

DA

FA eo GFFB

l+k?

> GC +

Gir

có trọng tâm, trực tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác lần

theo giả thiết ta có

2

6.

1+k
2

K >GA.

l+k
2

*_GB.

1+k?

Suy ra GD+GE+GF =GA+GB+GC =0 hay Œ' là trọng tâm tam giác DEF.
Vậy hai tam giác 45C, DEF' có chung trọng tâm Œ.
Theo bé dé có GO=—2GH nén hai tam giác ABC, DEF
va chi khi chung c6 chung truc tam H (dpcm).
Cach 2: Xai hé thirc Vector
Đâu tiên ta có hình vẽ như sau:

co chung tâm đường tròn ngoai tiép O khi

Goi G là trong tam cua ADEF khi do ta co:

0=GD+GE+GF
=|

BD —

—GC
5C

= BD
BC

-2GBs SGA

AE
AC

-| CÉ„“š
AC AC
`——_--

+—GB
CB
GC

+

CD
CB

AR

AB

lgc+| S—„ 4ˆ
BA AB

Suy ra GA+GB+GC

aaa

— GA +——GC
CA
AC

Onan

——ŒB+
AB

GB+| ——
CE
BE
CA. BA

a GA
BA

GA

|os+| 4x S” |G4= GÃ+G8+GẺ.
AB BA

=0 ttc G cting chinh la trong tam cua AABC

Theo tinh chat Euler, ta suy ra OH = 20G
suv ra két han vdi (1) suv ra hai tam

øơtiác

(1).

mà do hai tam giác ABC, DEF
ABC.

DEF cé chine tam

co chung truc tam

dirdne tron nơoal Tiên

(}).

A nén


Cach 3:
Gia str ton tai H 1a truc tam cua hai tam eiac ABC, DEF .
DB

EC

FA

DC

EA

FB

Khi đó theo định lí Ceva ta ln có: —C.=—<.=—==_—l=-—#” suy ra k=l.
BD=

DC

Suy ra + #C = h4

tức D,F,F

lân lượt là trung điểm của BC,CA, AB.

FA=FB

Ma do H la truc tam cua AABC nén suy ra AABC déu.
Ching minh tuong tu ta cting suy ra ADEF déu.
Mà do hai tam giác chung trực tâm nên ta suy ra điêu phải chứng minh.
Cau 4.

[HSG-LONG AN 2021-2022] Cho ngũ giác 16i ABCDE trén mặt phăng, biết răng trong tất cả các

đường
đường

đường
vừa kẻ

thăng qua các cạnh và đường chéo khơng có hai đường thăng nào song song, khơng có hai
thăng nào vng góc. Từ một đỉnh bât kì, kẻ tất cả các đường thắng vng góc với những
thăng nỗi hai đỉnh trong tất cả các đỉnh còn lại. Tìm số giao điểm của tất cả các đường thăng
trên (không kế các đường thăng qua các cạnh và đường chéo của ngũ giác).
Lời giải

D

Gọi X là tập hợp các đường thắng đi qua các cạnh và các đường chéo của ngũ giác. Suy ra

n(X)=C; =10.

Gọi X, là tập hợp tất cả các đường thăng đi qua A và vuông góc với những đường thăng nỗi hai đỉnh
trong tật cả các đỉnh cịn lại (khác A).
+ Ta có số đường thăng được tạo thành từ các đỉnh B, CC, D, E là lên =6.
+ Do đó, ø (xX 1) =6,

đó là các đường màu xanh tương ứng với một định bất kỳ.

+ Ta có mọi phân tử trong tập hợp X 4 đêu phân biệt và X {aX =D.

¬ Thật vậy, Lây ae X,

d,||d,

=> 3đ, X:a, L đ, và a,e X, => 3đ, X:a, L đ,. Giả sử a =a, thì

(trai voi gia thiét của đề bài). Vậy các đường thăng trong X„ đều phân biệt.

n Mặt khác, nếu có ae X ;OaX>3dä4eX:aláa

(điêu này trái giả thiết do a và Z cùng thuộc X

nên khơng thể vng góc nhau được). Do đó, X,¬X

=Ø.


Hồn tồn tương tự cho 4 đỉnh cịn lại 8,C, D,E

nên ta có tổng cộng 6.5 = 30 đường thăng thỏa mãn

điều kiện: “Từ một đỉnh bắt kì, kẻ tất cả các đường thăng vng góc với những đường thăng nối hai
đỉnh trong tất cả các đỉnh còn lại”.
Và trong 30 đường thắng này đều phân biệt và khơng có 2 đường thăng nào song song nhau.
n Thật vậy, giả sử có hai đường thắng a,b thuộc 30 đường thăng trên và song song nhau. Khi đó, tồn

tại hai đường thăng phân biệt đ,đ' thuộc X để a L đ,b Lđ' mà z||b nên đ||đ' (trái với giả thiết
của bài tốn).
Vậy sơ giao điểm của tất cả các đường thăng vừa kẻ chính là sơ giao điểm của 30 cạnh là: Củ =435

điểm.

Tuy nhiên, có những trường hợp hai đường song song hoặc các giao điểm trùng nhau.
Cụ thê:
+) Có đường thắng nối 2 trong 5 điểm ban đâu. Mỗi đường như vậy sẽ có 3 đường vng góc kẻ từ 3
điểm còn lại. Các đường này song song nhau nên mất 30 điểm, tức là còn lại 405 điểm.

+) Có tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 5 điểm ban đâu. Mỗi tam giác có ba đường vng góc là ba đường
cao, lẽ ra có 3 giao điểm nhưng trùng lại chỉ còn 1 giao điềm. Như vậy, mỗi tam giác mắt 2 giao điểm
nên 10 tam giác mắt 20 giao điểm. Số giao điểm còn lại là 385.
+) Mỗi điểm thì sẽ có 6 đường thắng vng góc đi qua. Như vậy, lẽ ra có điểm thì tring lai con 1
điểm, mất 14 điểm. Do đó, trường hợp này mắt 70 điểm nên tổng số điểm còn lại là 315.*
Theo giả thiết của đề ta dễ nhận thây các trường hợp là không trùng lặp nhau nên kết quả cuỗi cùng

là 315 điêm.

Trang 6/6 ¬ Điền đàn giáo viên Loan

HET