Tài liệu Chương 7. thanh chịu lực phức tạp doc

Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

63
Chơng 7.
thanh chịu lực phức tạp

I. Khái niệm
Khi trên MCN của thanh xuất hiện từ hai thnh phần nội lực trở lên thì
gọi l thanh chịu lực phức tạp. Ví dụ, một trục truyền vừa chịu xoắn vừa chịu
uốn, một tờng chắn vừa chịu nén vừa
chịu uốn,
Tổng quát nhất khi thanh chịu lực
phức tạp, nội lực trên MCN có thể có 6
thnh phần (hình 7.1).
Phơng pháp tính: áp dụng nguyên
lý cộng tác dụng: ứng suất hay biến dạng
do nhiều yếu tố (ngoại lực, nhiệt độ, độ
lún của gối tựa, ) gây ra đồng thời trên
một thanh thì bằng tổng ứng suất hay
biến dạng do từng yếu tố gây ra trên
thanh đó.
II. Uốn xiên
1. Định nghĩa
Khi trên mọi MCN chỉ có hai thnh phần nội lực l M
x
v M
y
nằm trong
các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của MCN (hình 7.2). Khi chú ý đến
lực cắt trên MCN có thể có các thnh nội lực M
x

, Q
y
, M
y
v Q
x
.

Gọi M l vectơ tổng của các vectơ M
x
v M
y
, nằm trong mặt phẳng V
chứa trục z, nhng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm
no. Giao tuyến của mặt phẳng ny với mặt phẳng cắt ngang gọi l đờng tải
trọng.
Trong uốn xiên đờng tải trọng đi qua trọng tâm nhng không trùng với
một trục quán tính trung tâm no (hình 7.2b ).
M
y
y

x

z

M
x
0

a)

V

b)

M
y
M
x

Hình 7.2

y

x

z

M

M

Mặt phẳng
tải trọng
Đờng tải
trọng

Q
y
Q
x
M
z
M
y

x
y
z
M
x

Q
z
Hình 7.
1

Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

64
2. ứ
ng suất pháp trên MCN
Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên
MCN có toạ độ x, y đợc tính theo công thức:
y
x
z

xy
M
M
yx
JJ
= +
(7.1)
M
x
, M
y
coi l dơng khi lm căng phần chiều dơng của trục y, trục x.
Trong kĩ thuật ngời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu
của M
x
, M
y
v toạ độ x, y:
y
x
z
xy
M
M
yx
JJ
=
(7.2)
Ta sẽ chọn dấu + hoặc dấu - trớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen
uốn M

x
v M
y
gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.
Nếu gọi l góc của đờng tải trọng hợp với trục x (hình 7.2b):
tg = M
x
/M
y
M
x
= Msin; M
y
= Mcos
Góc đợc gọi l dơng khi quay từ chiều dơng trục x đến đờng tải
trọng theo chiều kim đồng hồ.
3. Vị trí đờng trung ho
Từ (7.1) ta thấy phơng trình đờng trung ho:

y
x
xy
M
M
yx0
JJ
+=
(7.3) hay
xx
yy

MJ
y xx.tg
MJ
=
=
(7.4)
trong đó
xx
yy
MJ
tg
MJ
=
hay
x
y
J
1
tg
tg J
=

(7.5)
Đờng trung ho l một đờng thẳng đi
qua trọng tâm của MCN v không vuông góc
với đờng tải trọng nh trong uốn phẳng.
Từ biểu thức (7.5) đối với các MCN
có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm nh
hình tròn, các đa giác đều cạnh, ( J
x

= J
y
nên
tgtg = -1) thì không xảy ra hiện tợng uốn
xiên phẳng. Vì đờng tải trọng sẽ với một
trục quán tính chính trung tâm, còn đờng
trung ho sẽ trùng với một trục quán tính
chính trung tâm thứ hai vuông góc với đờng
tải trọng. Bi toán khi đó chỉ l uốn phẳng.
4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN
Theo (7.1) mặt ứng suất l mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều
trên đờng thẳng song song với đờng trung ho. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ


D

Đờng
trung
ho
0


max
A

B

C

Hình 7.3

min

Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

65
phân bố ứng suất pháp trên MCN trong hệ toạ độ nh hình 7.3. Trục tung l
đờng trung ho, trục honh vuông góc với đờng trung ho.
5. Điều kiện bền
Điểm nguy hiểm l các điểm xa đờng trung ho nhất về phía kéo hoặc
nén trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm l trạng thái ứng suất đơn.
Điều kiện bền có dạng:
- Đối với vật liệu dẻo:
[
]
max

(7.6)
- Đối với vật liệu giòn:
[
]
max
k

(7.7)
[
]
min
n

(7.8)

y
x
max k k
xy
M
M
yx
JJ
= +
;
y
x
min n n
xy
M
M
yx
JJ




= +

(7.9)
Nếu MCN của thanh l những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ
nhật (hình 7.4):
knmax
xxx==

knmax
yyy==


max
=
min
;
y
x
max
xy
M
M
WW
= +
(7.10)
trong đó :
x
x
max
J
W;

y
=

y
y
max
J
W
x
=
(7.11)
Trờng hợp ny điều kiện bền sẽ l:
-Vật liệu dẻo:
[]
y
x
xy
M
M
WW
+
(7.12); Vật liệu giòn:
[]
y
x
k
xy
M
M
WW

+

(7.13)
Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bi toán cơ bản sau:
- Kiểm tra bền theo (7.6) hoặc (7.7) hoặc (7.8).
- Tìm tải trọng cho phép. Gọi [P
i
] l tải trọng suy rộng cho phép, ta có:
[
]
x1i
MkP=
;
[
]
y2i
MkP=
(7.14)

k
1
, k
2
l các hằng số. Từ điều kiện bền, ví dụ theo (7.12) ta suy ra:
[] []
[]
1i 2i
xy
kP kP
WW

+
hay
[][]
12
i
xy
kk
P/
WW

+



(7.15)
- Chọn kích thớc MCN
Vì cha biết trị số J
x
, J
y
, x
k
, x
n
, y
k
, y
n
ta có thể chọn thử tính theo uốn
phẳng do thnh phần mômen đòi hỏi kích thớc lớn, rồi thử dần.

Đối với các mặt cắt (hình 7.4), đầu tiên ta có thể tính theo công thức:

[]
xy
x
MCM
W
+


với
x
y
W
C
W
=
(7.16)
Hình 7.4

Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

66
Đối với hình chữ nhật có chiều cao h v bề rộng b thì C = h/b. Đối với
mặt cắt hình chữ I lúc đầu có thể lấy C = 8, v hình chữ U lấy C = 6, sau đó
kiểm tra tính toán lại.
Ví dụ 7.1: Cho dầm chịu lực nh hình 7.5. Xác định số hiệu mặt cắt dầm
thép chữ I, vị trí đờng trung ho. Cho P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; =
30
0

; [] =16000N/m
2
.
Bi giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngm có:

2
x
q
MPcos
2
=+
l
l
= 12160 Nm

y
MPsin 2400Nm==l

Thử lần thứ nhất ta lấy C = 8.
Theo công thức (7.39):

[]
xy
3
x
MCM
W 196cm
+
=

Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị
nhỏ hơn v gần nhất W
x
=184cm
3
;
W
y
=23,1cm
3
.
Thử lại:
max min
=


y
2
x
max
xy
M
M
17000N /cm
WW
= + =

Vì
[

]
[]
max
17000 16000
100 100 6,2% 5%
16000


==>


Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có W
x
= 203cm
3
, W
y
= 28,2cm
3

Khi đó:

y
2
x
max
xy
M
M 1216000 240000
14500N / cm

W W 203 28,2
= + = + =

ứng suất nhỏ hơn:

[]
[]
max
14500 16000
100 100 9,4%
16000


==


Vì giữa thép có số hiệu 20 v 20a không còn số hiệu no khác nên ta chọn
dầm thép có số hiệu 20a.
Xác định vị trí đờng trung ho. Tra bảng với I(20a) ta có J
x
=2030cm
4
;
J
y
=155cm
4.
Do đó tại mặt cắt ngm, phơng của đờng trung ho l :

min

Hình 7.5

P
q
y



x

A
B


x

y

n


max
Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

67

xymax
yxmax
JM
2030 2400

t
g
2,58
J M 155 12160
ì
= = =+
ì

hay
0
68 50=+

III. Uốn - kéo (nén) đồng thời
1. Định nghĩa
Một thanh đợc gọi l chịu uốn - kéo (nén) đồng thời khi trên MCN của
thanh có các thnh phần nội lực l lực dọc N
z
, mômen uốn M
x
, M
y
(hình 7.6).
Ví dụ ống khói vừa chịu nén do trọng lợng bản thân G, vừa chịu uốn
do tải trọng gió q (hình 7.7).

2. ứ
ng suất pháp trên MCN
ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đợc xác định theo công thức:

y

zx
z
xy
M
NM
yx
FJ J
= + +
(7.18)
hoặc
y
zx
z
22
zx zy
M
NM
.1 y x
FNiNi

= + +



(7.19)
trong đó: F - diện tích MCN;
i
x
, i
y

- bán kính quán tính chính:

xx
iJ/F=
;
yy
iJ/F=
;
J
x
, J
y
- mômen quán tính chính trung tâm của MCN;
x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất.
Quy ớc dấu của N
z
(chơng 2), của M
x
, M
y
nh trong uốn xiên.
Công thức kỹ thuật có dạng:
Hình
7
.
7

q
G
Hình 7.

6

z
N
z

O

M
y

x

y
M
x
Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

68

y
zx
z
xy
M
NM
yx
FJ J
=
(7.20)

Các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu + hoặc - trớc mỗi
số hạng tuỳ theo lực dọc l kéo hay nén v các mômen uốn M
x
, M
y
gây ra
ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.
3. Vị trí đờng trung ho
Từ (7.18) ta suy ra phơng trình đờng trung ho l:

y
zx
xy
M
NM
yx0
FJ J
++=
(7.21)
hay:
y
x
22
zx zy
M
M
1yx0
Ni Ni
++=
(7.22)

Đờng trung ho l một đờng
thẳng không đi qua trọng tâm của
MCN nh trong uốn xiên.
4. Biểu đồ ứng suất pháp trên
MCN
Tơng tự nh trong uốn xiên do
mặt cắt ứng suất l phẳng, nên ứng
suất pháp phân bố đều trên đờng
thẳng song song với đờng trung ho. Biểu đồ phân bố ứng suất đợc vẽ nh
hình 7.8.
5. Điều kiện bền
Điểm nguy hiểm l các điểm ở chu vi, xa đờng trung ho nhất về phía
kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm l trạng thái ứng
suất đơn
điều kiện bền l :
- Đối với vật liệu dẻo:
[
]
max


(7.23)
- Đối với vật liệu giòn:
[
]
max
k


;

[
]
min
n


(7.24)
trong đó:
y
zx
max
xy
M
NM
yx
FJ J
= + +
(7.25)

y
zx
min
xy
M
NM
yx
FJ J
=
(7.26)
x

k
, y
k
l toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đờng trung ho nhất.
x
n
, y
n
l toạ độ của điểm chịu nén cách xa đờng trung ho nhất.

=N/F
Hình 7.
8


B
Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

69
Hình 7.
9
a
)
b
)


min

max

A

B
Nếu MCN của thanh có dạng nh trên hình 7.9 thì lí luận tơng tự nh
trong uốn xiên ta có:

y
zx
max
xy
M
NM
FWW
= + +
(7.27)

y
zx
min
xy
M
NM
FWW
=
(7.28)
Ví dụ 7.2: Cho một thanh chịu lực nh hình 7.9a. Tìm giá trị ứng suất

max
v
min

, vị trí đờng trung
ho v vẽ biểu đồ phân bố
ứng suất pháp trên mặt cắt
nguy hiểm. Cho: P
1
= 160
kN; P
2
= 4kN; P
0
= 240kN;
q=2kN/m; l=2m; b=12cm;
h=16 cm.
Bi giải
Mặt cắt nguy hiểm tại
đầu ngm. Vị trí đờng
trung ho v biểu đồ ứng
suất pháp đợc vẽ trên hình
7.9b.
Lực dọc:

z01
N P P (240 160) 400kN= = + =
.
Mômen uốn:

24
1
x
Ph

ql 2 4 10
M 160 8 1680kNcm
22 1002
ìì
=+=ì+ =
ì


2
12
y
Pb Pl
M 160 6 4 10 1360kNcm
22
=+=ì+ì=

Giá trị ứng suất pháp lớn nhất v bé nhất theo (7.27), (7.28) l:
y
zx
max
22
xy
M
NM
400 1680 6 1360 6
4,75kNcm
F W W 12 16 12 6 16 12
ìì
= + + = + + =
ììì

y
zx
min
22
xy
M
NM
400 1680 6 1360 6
8,91 kNcm
FWW 12161261612
ìì
= = =
ììì

Vị trí đờng trung ho: đờng trung ho cắt trục x v trục y tại các điểm:
Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

70

2
zy
0
y
Ni
x
M
=
;
2

zx
0
x
Ni
y
M
=

trong đó
2
22
x
h
i21,3cm
12
==
;
2
22
y
b
i 12cm
12
==


z
N0<
;
x

M0>
;
y
M0>
.
Khi thay bằng số ta đợc:
0
x3,53cm
=
;
0
y5,07cm
=

IV. Uốn - xoắn đồng thời
1. Định nghĩa
Một thanh gọi l xoắn v uốn đồng thời. Khi trên MCN của thanh có hai
thnh phần nội lực l mômen xoắn v mômen uốn (hình 7.10).
2.
ứ
ng suất trên
MCN tròn - điều
kiện bền
ứng suất pháp
do mômen uốn gây
ra. ứng suất tiếp do
mômen xoắn gây
nên phân bố nh
trờng hợp xoắn
thuần tuý (bỏ qua

ảnh hởng của lực
cắt Q).
Điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm l giao điểm của đờng tải
trọng với chu vi: điểm A hoặc B (hình 7.11). ứng suất pháp v tiếp có giá trị:

22
xy
u
AB
max min
uu
MM
M
WW
+
== =
(7.29)
max
A,B
z
p
M
W
=
(7.30)
Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng:

[
]
tdmax

(7.31)
Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có:
22
td
4

=+

Thay các giá trị của v theo (7.29), (7.30) v chú ý W
p
= 2W
u
, ta có:

222
xyz
td
max
uu
MMM
M
WW
++
= =
;
222
td x y z
MMMM=++
(7.32)

Hình 7.
1
1

Hình 7.1
0
Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

71
Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng :
22 2
xy z
22
td
max
uu
MM0,75M
M
3
WW
++
=+= =
với
22 2
td x y z
M M M 0,75M=++
(7.33)
Theo thuyết bền Mo ta có:
[
]

k
td 1 3

=

trong đó:
2
2
1,3
22


= +


;
[
]
[]
k
n

=


với
22 222
td xy xyz
11
MMMMMM

22
+
=++++
(7.34)
M
td
đợc tính theo các thuyết bền thích hợp (7.32), (7.33), (7.34).
Ví dụ 7.3: Một trục truyền bằng thép chịu lực nh trên hình 7.12. Trọng
lợng Puli G = 3kN, công suất v số vòng quay của môtơ l: W = 50kN, n =
500vg/ph. Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết
[
]
2
12kN /cm=
.

Bi giải: Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 7.12a, trong đó:

n 3,14 500
52,4rad /s
30 30
ì
= = =
;
3
W
M 0,955 10 Nm 95,5kNcm== ì =


Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn:

11 1
TD tD tD
M
222
==

1
2M 2 95,5
t2,38kN
D80
ì
== =
;
11
T 2 t 2 2.38 4,76kN==ì =
;
11
PTt 4,762,387,14kN
=
+= + =

ứng suất tơng đơng tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:
Hình 7.12
Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

72

22 2
xy z

td
td
3
x
MM0,75M
M
W0,1d
++
= =
ì

Mặt cắt nguy hiểm tại C về phía CB, tại đó:

x
Gl
M75kNcm
4
==
;
y
Pl
M 178kNcm
4
==
;
z
M95,5kNcm
=

Các biểu đồ nội lực đợc biểu diễn trên các hình 7.12b, c, d.

Thay số vo ta đợc:

[]
22 2
22
td
3
75 178 0,75 95,5
9,72kN /cm 12kN /cm
0,1 6
++ì
= = <=
ì

Vậy trục thoả mãn điều kiện bền.
3.
ứ
ng suất trên MCN hình chữ nhật - điều kiện bền
Giả sử tại MCN nguy hiểm có các thnh phần nội lực M
x
, M
y
, M
z
biểu
diễn trên hình 7.13. Đối với
trờng hợp đang xét, các điểm B,
D có ứng suất pháp cực trị:

y

x
B
max
xy
M
M
WW
= +


y
x
D
min
xy
M
M
WW
=

Mômen xoắn sinh ra ứng
suất tiếp:

x
A
max
p
M
W
=

z
C
1max
p
M
W
= =
;
với
2
p
Whb=

Chúng ta cha biết đợc trong ba điểm A, B, C điểm no l nguy hiểm.
Vậy ta phải tính ứng suất tơng đơng cho cả ba phân tố lấy ở 3 điểm ny,
sau đó so sánh điểm no có

tđ
l lớn nhất.
- Đối với phân tố ở điểm B:
y
x
BB
td max
xy
M
M
WW

= = +

- Đối với phân tố ở điểm A (vừa có ứng suất pháp vừa có

max
):
y
C
B

A
D
z
x
M
x
M
y
M
z
h

b
Hình 7.1
3

Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp

73
Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

22
y
A22
z
td
yp
M
M
44
WW

=+= +




Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng:
22
y
A22
z
td
yp
M
M
33
WW

=+= +

- Đối với phân tố ở điểm C:
Theo thuyết bền thứ ba, ta có:
2
2
C
xz
td
xp
MM
4.
WW


= +






Theo thuyết bền thứ t, ta có:
2
2
C
xz
td
xp

MM
3.
WW


= +