Tài liệu Tài liệu toán " Bất phương trình chứa căn " pptx

158
E. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Dạng cơ bản:
.
A0
AB
AB
≥
⎧
<⇔
⎨
<
⎩

.
2
A0
AB B0
AB
⎧
≥
⎪
<⇔>
⎨
⎪
<
⎩

.

2
B0
A0
AB
B0
AB
≥
⎧
≥
⎧
⎪
>⇔ ∨
⎨⎨
<
>
⎪
⎩
⎩

.
33
ABAB<⇔<
2. Các dạng khác:
Đặt điều kiện, nâng cả 2 vế lên luỹ thừa tương ứng để khử
căn. lưu ý điều kiện khi lũy thừa bậc chẵn.
. Đặt ẩn phụ.
. Cần nhớ:
+ Nếu
a0≥
và

b0≥
, ta có:
22
ab a b>⇔ >

+ Với mọi a,b R∈ , ta có:
33
ab a b>⇔ >
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1:
Giải bất phương trình:
22 2
x3x2 x4x33x5x4−++ −+≥ −+
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997).
Giải
Điều kiện
2
2
2
x3x20
x1 x2
x 4x30 x1 x3 x4 x4 (1)
x1 x4
x5x40
⎧
−+≥
≤∨≥
⎧
⎪
⎪⎪

−+≥⇔≤∨≥⇔≤∨≥
⎨⎨
⎪⎪
≤∨≥
−+≥
⎩
⎪
⎩

*x 4 :≥ Ta có:
22 2
x3x2 x4x32x5x4 (2)−++ −+≥ −+

159
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 2 (x 1)(x 4) (*)⇔−−+−−≥ −−

x2 x32x4 (3)⇔−+−≥ − (chia 2 vế cho x1 0
−
> )
vì
x4 x2x40 x2 x4
x2 x32x4
x 3 x 4 0 x 3 x 4
⎫
≥⇒−>−≥⇔ −> −
⎪
⇒−+−> −
⎬
−>−≥⇔ −> −
⎪

⎭
x4⇒≥ là nghiệm của (3) x 4⇒≥là nghiệm của (2).
* x = 1: (2) thỏa.
* x < 1: (*)
2x 3x24x⇔−+−≥ − (4)
(chia 2 vế (*) cho
1x 0
−
>
)
Với x 1
<
⇒
02x4x 2x 4x
2x 3x24x
03x4x 3x 4x
⎫
<−<−⇒ −< −
⎪
⇒−+−< −
⎬
<−<−⇒ − < −
⎪
⎭

⇒ (4) không thỏa ⇒ (2) không thỏa.
Tóm lại, nghiệm của bất phương trình cho là: x 4 x 1
≥∨=
Ví dụ 2:

Tìm a để bất phương trình :
xx1a
−
−> có nghiệm với a là tham
số dương.
(ĐH Y DƯC TPHCM năm 1996).
Giải
xx1a
−
−> Điều kiện
x0
x1
x10
≥
⎧
⇔
≥
⎨
−≥
⎩

Đặt
yxx1
=
−−
11
y' 0, x 1
2x 2x1
⇒= − < ∀>
−

BBT:

Vì
xx x
1
lim y lim ( x x 1) lim 0
xx1
→+∞ →+∞ →+∞
=−−= =
+−


160
Dựa vào BBT để bất phương trình:
xx1a−−>
có nghiệm
0a1⇔<<

Ví dụ 3:

Giải bất phương trình:
22
(x 3) x 4 x 9−+≤−
↑(ĐH DÂN LẬP VĂN LANG năm 1997).
Giải
Ta có:
22
(x 3) x 4 x 9−+≤−
2

(x 3) x 4 (x 3)(x 3) (1)⇔− +≤− +
TH 1:
2
x30 x3:(1) x 4 x3−≥⇔ ≥ ⇔ + ≤+
22
x4x6x9⇔+≤++
5
x
6
⇔≥−
(2)
Kết hợp với x 3≥ ta được: x 3≥
TH 2: x 3 0 x 3 (3)−≤⇔ ≤
2
(1) x 4 x 3 (4)⇔+≥+
. Nếu x 3 0 x 3+≤⇔≤− thì (4) thỏa x 3∀≤− (5)
. Nếu
x30 x 3+≥⇔≥−
thì (4)
22
5
x4x6x9x
6
⇔+≥++⇔≤−
(6)
5
3x
6
⇒− ≤ ≤− (7)
(5) và (6)

5
x
6
⇒≤−

Tóm lại, nghiệm của bất phương trình là:
5
xx3
6
≤− ∨ ≥
Ví dụ 4:

Giải bất phương trình:
x3 x1 x2−− −< − (1)
(Trường TH Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997).
Giải
Điều kiện
x30
x10 x3
x20
−≥
⎧
⎪
−≥ ⇔ ≥
⎨
⎪
−≥
⎩

(1) x 3 x 1 x 2⇔−<−+−

161
x3x1x22(x1)(x2)
x 2 (x 1)(x 2) (2)
⇔
−<−+−+ − −
⇔− < − −

(2) thỏa với
x3≥

Vậy nghiệm bất phương trình là x 3≥ .
Ví dụ 5:

Cho bất phương trình:
22 2
(x 1) m x x 2 4
+
+≤ ++
1. Giải bất phương trình trên khi m = 3
2. Xác đònh tham số m để bất phương trình đã cho được thỏa với mọi x
trên đoạn
[
]
0,1
.
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997 đợt 3, Khối A).
Giải
1.
22 2

(x 1) m x x 2 4
+
+≤ ++ (*)
Với m = 3:
22 2
(*) (x 1) 3 x x 2 4⇔++≤ ++
42 2
x2xxx2
⇔
+≤ + (**)
. x < 0: (**) không thỏa ⇒ bất phương trình VN.
. x = 0: (**) thỏa.
. x > 0: (**)
22
x(x 2) x 2⇔+≤+
22 2 2 22
x(x 2) x 2 x(x 2) 1
⇔
+≤+⇔ +≤
42 2
x2x100x 21
⇔
+−≤⇔≤≤− 0x 21
⇔
≤≤ −
Vậy nghiệm :
0x 21
≤
≤−
2. Xác đònh m để bất phương trình cho thỏa

[
]
x0,1∀∈

22 2
(*) m (x 1) x x 2 4
⇔
≤− + + + +
42 2
22 2
mx2xxx23
mx(x2)xx23 (**)
⇔≤−− + ++
⇔≤− ++ ++

Đặt
2
txx 2
=
+ với 0x1 0t 3≤≤⇒≤≤
2
(**) m t t 3
⇔
≤− + + (***)
Đặt
2
f(t) t t 3,=− + +

t0,3
⎡

⎤
∈
⎣
⎦
; f '(t) 2t 1,⇒=−+
1
f'(t) 0 t
2
=
⇔=

162
BBT:

(*) đúng
[
]
x0,1∀∈ thì (****) đúng t0,3
⎡⎤
∀∈
⎣⎦
m3⇔≤ .
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ.
4.1. Cho bất phương trình:
mx x 3 m 1−−≤+

1. Giải bất phương trình với m = 1
2. Với giá trò nào của m thì bất phương trình có nghiệm.
(ĐH HÙNG VƯƠNG KHỐI A năm 1999).

4.2. Giải bất phương trình:
22
x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−<
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1999 Đợt 1 Khối D).

4.3. Đònh m để bất phương trình:
2
2x 1 m x+< −có nghiệm (1)

4.4. Đònh m để bất phương trình:
2
4(4 x)(2 x) x 2x m 18−−+≤−+−
nghiệm đúng với mọi
[
]
x2,4∈−
.

4.5. Giải bất phương trình:
x2 3x 52x+− −< −
(ĐH THỦY LI năm 2001).

4.6. Giải bất phương trình:
22
112
xx
x
xx
++−≥
(ĐH AN GIANG - KHỐI A năm 2001).

4.7. Giải bất phương trình:
x3 2x8 7x+≥ −+ −

(ĐH Ngoại Thương Khối A năm 2001)

163
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT
4.1.
1.
mx x 3 m 1 (1)−−≤+
Với m = 1:
(1) x x 3 2⇔− −≤
2
x2 x3
x5x70
VN
x3
x3
⎧
⎧
−≤ −
−+≤
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≥
≥
⎪
⎪

⎩
⎩


2.
(1) mx m 1 x 3
⇔
−−≤ −
Đặt
yf(x)mxm1
=
=−−
là đường thẳng ( )
∆

quay quanh
điểm I (1, -1).
Vẽ đồ thò hàm
yx3
=
−
x3 y0
=
⇒=
x4 y1
=
⇒=
x7 y2
=
⇒=

⇒ đồ thò (C) của
yx3
=
− như hình vẽ.
Khi đường thẳng
()
∆
: y = mx - m - 1 tiếp xúc với đồ thò (C) phương
trình hoành độ giao điểm của ( )
∆
và (C).
2
x3
mx m 1 x 3
(mx m 1) x 3
≥
⎧
⎪
−−= −⇔
⎨
−
−=−
⎪
⎩

22 2 2
x3
m x (2m 2m 1)x m 2m 4 0
≥
⎧

⎪
⇔
⎨
−+++++=
⎪
⎩

2222
2
(2m2m1)4m(m2m4)
8m 4m 1
∆
=++− ++
=−−

Khi( )
∆
tiếp xúc với (C)
13
0m (m0)
4
+
⇔
∆= ⇔ = >

⇒ hệ số góc của
1
()
∆
tiếp xúc với (C) là

13
m
4
+
= .

164
⇒ Bất phương trình có nghiệm khi
13
m
4
+
<
.

4.2.
22
x(x 4) x 4x (x 2) 2−−++−< (1) Điều kiện
2
x4x00x4−+ ≥⇔≤≤
Đặt
2
tx4x=− +

(t 0)≥
.
(1)
32 32
tt42tt20⇔− − + < ⇔ + − >
2

x4x1023x2 3⇔−+<⇔− <<+

4.3.
2
2x 1 m x (1)+< −
Đặt
2
f(x) 2x 1 x,=++

xR,∈

2
22
2x 2x 2x 1
f'(x) 1
2x 1 2x 1
+
+
=+=
++

2
f(x) 0 2x 1 2x=⇔ +=−
22
x0
2x 0
2
2x 1 4x
x
2

≤
⎧
−≥
⎧
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
+=
=−
⎪
⎪
⎩
⎩

22
f
22
⎛⎞
⇒− =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

2
xx x
lim f(x) lim ( 2x 1 x) lim ( 2 x x)
→∞ →∞ →∞
=++=+
xx
lim f(x) lim ( 2 1)x

→+∞ →+∞
=+=+∞
xx
lim f(x) lim (1 2)x
→−∞ →−∞
=−=+∞
BBT:


165
⇒ Phương trình có nghiệm
2
m
2
⇔>
.

4.4. Đặt
2
t(4x)(2x) x2x8=− +=−++

'
x
2
x1
t
x2x8
−+
=
−

++
,
'
x
t0x1
=
⇔=
BBT:

Phương trình cho
2
f(t) t 4t 10 m
⇔
=−+≤

f'(t) 2t 4,
=
− f'(t) 0 t 2
=
⇔= (với
[
]
t0,3∈
BBT:

mmaxf(t)10
⇒≥ =


4.5.

x2 3x 52x+− −< − (1)
Điều kiện
5
2x
2
−≤ ≤
(1) x2 52x 3x x252x3x2(52x)(3x)
⇔
+< − + −⇔+<− +−+ − −
2
2x 3 2x 11x 15
⇔
−< − +
(*) Ta nhận thấy bất đẳng thức đúng với
3
x2,
2
⎡
⎤
∀∈−
⎢
⎥
⎣
⎦
với
35
x:
22
≤≤ Hai vế của (*) đều không âm, nên bình
phương 2 vế:

166
22
4x 12x 9 2x 11x 15−+<−+
2
3
2x x 6 0 x 2
2
⇔−−<⇔−<<

Vậy bất đẳng thức cho
3
2x
2
35
2x2
x
22
3
x2
2
⎡
−≤ <
⎢
⎢
⎧
⎢
⇔⇔−≤≤
≤≤
⎪

⎢
⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
−<<
⎢
⎪
⎩
⎣


4.6. Điều kiện
3
22
1x1
x0 0x1
xx
−
−≥⇔ ≥⇔≥

Bất đẳng thức
33
x1 x12⇔++−≥

33 6 6 3
x1x12x14 x12x⇔++−+ −≥⇔ −≥− (*)
Bất đẳng thức (*) đúng
3

x2∀≥
(1)
với
3
1x 2≤<
thì (*)
636
x144xx⇔−≥− +

3
33
55
xx2
44
⇔≥ ⇒ ≤< (2)
(1) và (2)
3
5
x
4
⇒≥


4.7.
x3 2x8 7x+≥ −+ −
(1) Điều kiện
4x7≤≤
(*)
2
(1) x 3 ( 2x 8 7 x )⇔+≥ −+ −

2
x3x12(2x8)(7x)
2(2x8)(7x)
4(2x8)(7x)
x11x300 x5x6 (**)
⇔+≥−+ − −
⇔≥ − −
⇔≥ − −
⇔− +≥⇔≤∨≥

(*) và (**) 4 x 5 6 x 7⇒≤≤∨≤≤