Khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học một số nội dung môn Toán lớp 11 ở trường THPT

Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

I.

MỞ ĐẦU
Trong công cuộc đổi mới giáo dục và sự bùng nổ của công nghệ thông tin hiện

nay, các hoạt động dạy học của giáo viên (GV) có tích hợp cơng nghệ thông tin vào
giảng dạy ngày càng phổ biến. Tuy nhiên, việc lựa chọn và sử dụng các phần mềm
tin học vào quá trình dạy học như thế nào để đạt được hiệu quả là một vấn đề khó.
Khi đó, mỗi phần mềm dạy học được coi là một “phần cứng”, cách thức xây dựng và
tổ chức các tình huống dạy học mới được coi là “phần mềm” [3].
Mặt khác, trong chương trình Tốn Trung học phổ thơng (THPT), nội dung
hình học khơng gian thường được xem là nội dung khó học nhất đối với học sinh.
Khi dạy chủ đề này, nhiều giáo viên cảm thấy khó dạy, khơng mấy hứng thú như các
chủ đề khác của mơn Tốn. Ngun nhân quan trọng dẫn đến thực trạng nêu trên là
do hình học khơng gian địi hỏi mức độ tư duy và tưởng tượng cao; học sinh đang
quen với tư duy về hình học phẳng nên gặp nhiều khó khăn khi làm quen và tư duy
về hình học khơng gian.
Một trong những phương tiện dạy học trong giải pháp nâng cao kết quả học
tập và góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thơng qua dạy học chủ đề
hình học khơng gian lớp 11, đó là sử dụng phương tiện trực quan. Trong dạy học chủ
đề hình học khơng gian lớp 11, có những tình huống dạy học nếu chỉ sử dụng các
phương tiện truyền thống, GV khó có thể giúp HS hiểu và hình dung được một số tri
thức trừu tượng khám phá các tính chất, định lí toán học…
GeoGebra là phần mềm toán học động đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực khác nhau ở các nước trên thế giới. Trong dạy học Toán, phần mềm
GeoGebra là PTTQ có nhiều ưu điểm, nếu được sử dụng phù hợp, GeoGebra sẽ hỗ
trợ tốt cho GV. Gần đây, đã có một số cơng trình ở trong và ngoài nước nghiên cứu
về việc sử dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.
Tác giả Bùi Minh Đức đã nghiên cứu các biện pháp sử dụng phần mềm GeoGebra

trong dạy học chủ đề Hình học không gian ở trường THPT. Trần Trung nghiên cứu
việc sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ giải bài toán quỹ tích ở trường phổ thơng.
Lê Minh Cường quan tâm tới việc rèn luyện cho sinh viên sư phạm ngành Toán kĩ
năng ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học mơn Tốn (trong đó có ứng dụng
của phần mềm GeoGebra). Một số tác giả nước ngoài tập trung nghiên cứu việc vận
1


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học so sánh phân số, những yếu tố của Giải
tích,… ở trường phổ thơng và nghiên cứu về mức độ thành thạo khi sử dụng phần
mềm GeoGebra trong dạy học mơn Tốn [1].
Xuất phát từ những tiềm năng của phần mềm GeoGebra nêu trên, tôi chọn đề
tài “Khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học một số nội dung mơn Tốn lớp
11 ở trường THPT” với mong muốn học sinh hứng thú học hình học khơng gian
hơn, giáo viên có phương pháp, phương tiện dạy học hiệu quả và nâng cao chất
lượng giáo dục THPT nói chung và của Trường THPT Gio Linh nói riêng.

II. NỘI DUNG
1. Thực trạng dạy và học hình học khơng gian và ứng dụng phần mềm
GeoGebra trong dạy học hình học ở trường THPT
Hình học khơng gian là mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, là
môn học địi hỏi học sinh có tính trừu tượng, trí tưởng tượng khơng gian, địi hỏi tính
sáng tạo cao. Hiện nay, có nhiều GV sử dụng phương pháp dạy học chưa phù hợp với
từng nội dung và năng lực HS. GV còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng
phương tiện, chất lượng công cụ, thiết bị đồ dung dạy học bộ mơn, nhất là phần mềm
Hình học động GeoGebra. Từ các nguyên nhân trên dẫn đến học sinh chưa hứng thú
học tập mơn hình học khơng gian, kết quả học tập của HS còn hạn chế.
Qua việc dự giờ trao đổi với đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường về dạy

học mơn hình học khơng gian với những nội dung cơ bản để vận dụng giải toán, cho
thấy trong q trình dạy học bộ mơn, phần lớn GV mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý
thuyết và giao nhiệm vụ HS với một bài tập cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở
nhiều dạng khác nhau. Do khả năng sử dụng, khai thác các phần mềm (nhất là phần
mềm GeoGebra và một số phần mềm hình học khác) còn hạn chế nhất định. GV đã
cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt HS tìm hiểu các vấn đề nêu
ra, HS tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát hiện và
giải quyết các vấn đề theo yêu cẩu câu hỏi, nhưng GV không khai thác các phần mềm
2


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

dạy học hình học động như phần mềm GeoGebra. Do đó, tuy kết quả là HS thuộc
bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ năng vận dụng vào thực tế chưa cao,
đặc biệt sau một thời gian không thường xuyên ôn tập hoặc tiếp tục học thêm các nội
dung tiếp theo thì HS khơng cịn nắm vững được các kiến thức đã học trước đó.
Trong q trình dạy học mơn Tốn, nhất là mơn Hình học khơng gian thì q
trình học tập của HS còn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của môn
học là môn u cầu các em có trí tưởng tượng phong phú. Cách trình bày chặt chẽ,
suy luận logic của một bài tốn Hình học làm cho HS khó đạt điểm cao trong bài tập
hình khơng gian.
Ở trường các em HS học sách Hình học cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản
so với sách nâng cao nhưng khi làm bài tập trong các đề thi kiểm tra, đánh giá thì bài
tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho HS. Nhiều em khơng
biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến thức hình học đã học chưa thuần thục,
lộn xộn trong bài giải của mình. Cá biệt có một vài em vẽ hình q xấu, không đáp
ứng được yêu cầu của một bài giải hình học.
Khi giải các bài tốn hình học khơng gian. Các giáo viên và học sinh thường
gặp khó khăn với ngun nhân sau:

+ Do đặc thù mơn hình khơng gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử
dụng các kiến thức hình khơng gian là vấn đề khó đối với HS.
+ HS quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình khơng gian
hay nhầm lẫn. Khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụng trong
hình học khơng gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình
khơng gian. GV khơng sử dụng phần mềm hình học động GeoGebra, mà chỉ vẽ hình
biểu diễn tĩnh trên bảng nên HS khó quan sát nhìn hình vì khơng nhìn được hình dưới
nhiều góc, nhiều hướng khác nhau.
+ Một số bài tốn khơng gian thì mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõ
ràng làm cho HS lúng túng trong việc định hướng cách giải.
3


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

+ Bên cạnh đó cịn có ngun nhân như các em chưa xác định đúng đắn động
cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng
chuyên đề mà GV đã cung cấp cho HS.
Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11, tôi đã
mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp dạy học trong tiết bài tập xác định khoảng
cách bằng việc khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học hình học khơng gian
lớp 11. Tơi nhận thấy các em HS linh hoạt tích cực chủ động phát hiện và giải quyết
vấn đề, phát triển được tư duy logic và tính sáng tạo của mình.
2. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.1. Một số giải pháp
Để giải các bài tốn xác định khoảng cách trong hình học khơng gian tốt thì tơi
đã thực hiện một số giải pháp tăng cường kỹ năng giải tốn hình học khơng gian cho
HS, đó là:
+ GV sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý, khai thác hiệu quả phần mềm
GeoGebra trong quá trình dạy học.

+ Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ
khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp HS hiểu sâu các kiến thức
mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
+ Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề từ dễ đến khó. Trong hệ thống bài
tập, các bài tập được xây dựng và phát triển dần từ mức độ thấp đến cao. Trong quá
trình dạy học giải bài tập, GV hướng dẫn học sinh thực hiện theo quy trình các bước
của Polya nhằm giúp HS phát triển tư duy, GV tăng cường vấn đáp nhằm giúp HS
nắm vững các mối quan hệ giữa các đối tượng hình học khơng gian như quan hệ song
song của hai đường thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng và mặt phẳng; quan
hệ vuông góc của hai đường thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng với mặt
phẳng... hiểu được các khải niệm khoảng cách trong không gian. Cũng thông qua vấn
đáp, GV thay đổi dữ kiện giả thiết bài toán với sự hỗ trợ hợp lý của phần mềm
GeoGebra để nâng dần mức độ khó của bài tốn và cũng từ hỗ trợ trực quan của phần
4


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

mềm GeoGebra, GV tổ chức điều khiển nhằm giúp HS phát hiện hướng giải bài toán
và phát triển, mở rộng được bài toán đã cho.
+ Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh
2.2.

Một số ưu điểm của phần mềm GeoGebra trong dạy học mơn Tốn
Phần mềm tốn học động GeoGebra tích hợp nhiều nội dung hình học (2 chiều

và 3 chiều), đại số, xác suất, thống kê, đồ thị và bảng tính, là một trong những phần
mềm toán học động hàng đầu, hỗ trợ hiệu quả cho quá trình dạy học. Đến nay,
GeoGebra đã nhận được rất nhiều giải thưởng có giá trị nhờ các thành tựu về giáo
dục, công nghệ, phần mềm,…

GeoGebra là phần mềm có nhiều thế mạnh: Vẽ hình tiện lợi và được dùng
miễn phí, dễ sử dụng, dễ dàng chuyển đổi được ngơn ngữ sử dụng nên đã có khơng ít
những kết quả nghiên cứu sử dụng phần mềm này cho việc dạy và học mơn Tốn
trong các nhà trường [2]. Có thể nói GeoGebra là một trong những phần mềm toán
học động xuất hiện đầu tiên (Cabri 2D, Cabri 3D, Geometer’s Sketchpad,… được coi
là những phần mềm Hình học động). Người dùng có thể chuyển đổi giữa các mơi
trường làm việc (hình học phẳng và mặt phẳng tọa độ, hình học khơng gian, bảng
tính điện tử, xác suất,…) hoặc hiển thị nhiều môi trường làm việc tại cùng một thời
điểm. GeoGebra có thể chạy trực tiếp trên Internet hoặc cài đặt vào máy tính. Người
dùng có thể dùng máy tính, máy tính bảng, điện thoại thơng minh,… khi chạy phần
mềm. Phát triển phần mềm này có thể cho nhiều các biểu diễn trực quan các khái
niệm Toán học. Nhiều GV đã kết hợp dạy học với công nghệ để HS tự phát hiện hoặc
thấy rõ những tri thức [1].
2.3.

Khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học một số nội dung mơn Tốn
lớp 11 ở trường THPT
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa

đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức
năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra). Những chức năng này đều
hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học. Thơng qua giải bài tập, HS thực hiện
5


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

các hoạt động như nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp,
những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn
học. u cầu của lời giải là: Khơng có sai lầm, phải có căn cứ chính xác, phải đầy đủ.

Ngồi ra, trong dạy học giải bài tập còn yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất,
cách trình bày rõ ràng và hợp lý.
Theo Polya, giải bài toán được tiến hành theo các bước sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
Bước 2. Tìm cách giải
Bước 3. Trình bày lời giải
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải
Phần mềm GeoGebra có thể hỗ trợ dạy học giải bài tập ở tất cả các bước trên,
đặc biệt là bước 2 và bước 4.
2.3.1. Thiết kế tình huống dạy học giải bài tập xác định khoảng cách từ chân
đường cao tới mặt bên của hình chóp (hình chóp có cạnh bên vng góc với
đáy)
Ví dụ 1. Bài tốn I. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vng tại
B,

SA  ( ABC ) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Phần mềm GeoGebra có thể hỗ trợ dạy học giải bài toán trên ở bước 2: Tìm

cách giải và bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải - Minh họa kết quả.
Trong bước 2: Để tìm được hình chiếu của A lên mặt phẳng ( SBC ) , thơng
thường học sinh phải cố gắng tìm giao điểm của đường thẳng qua A và vng góc
với mặt phẳng ( SBC ) , giáo viên mất thời gian đặt câu hỏi gợi ý học sinh tìm tịi. Nếu
sử dụng phần mềm GeoGebra, GV chỉ cần làm lệnh dựng đường thẳng qua A và
vng góc với mặt phẳng ( SBC ) , sau đó làm lệnh tìm giao điểm, trên phần mềm cho

6


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

kết quả trực quan. Từ đó biết được đường thẳng qua A và vng góc với mặt phẳng

( SBC ) nằm trong mặt phẳng ( SAB) .
Trong bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải, GV sử dụng phần mềm GeoGebra với
tính năng rê chuột để thay đổi hình dạng tam giác ABC để nghiên cứu mở rộng bài
tốn.
Tiến trình dạy học:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài: - GV:
Yêu cầu HS xác định giả thiết, kết luận của
bài toán và vẽ hình; nêu các bước xác định
hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng.
Bước 2. Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm
hình chiếu của A lên mặt phẳng ( SBC )
theo các bước sau:
- GV: yêu cầu HS nhận xét mối quan hệ
giữa mặt phẳng ( SAB) và ( SBC ) .
- HS: ( SAB)  ( SBC )
- GV: Trong mp ( SAB) kẻ AH  ( SBC ), H �SB và yêu cầu HS chứng minh

AH  ( SBC ) . Khi đó d ( A,( SBC ))  AH

Bước 3. Trình bày lời giải: Học sinh đã thấy được AH  ( SBC ) nên dễ dàng trình
bày lời giải.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải. GV sử dụng phần mềm GeoGebra với tính năng rê
chuột để thay đổi hình dạng tam giác ABC (Tức là thay đổi giả thiết tam giác ABC có
ba góc nhọn) để nghiên cứu mở rộng bài toán. Đề xuất bài toán mở rộng, giáo viên
có thể đưa ra các câu hỏi sau:
- GV: Nếu ABC có ba góc nhọn thì điểm H �SB ?
- GV: Nếu ABC có ba góc nhọn thì mp ( SAB) có vng góc với mp ( SBC ) ?

7


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

- GV: Nếu ABC có ba góc nhọn thì
quy trình tìm hình chiếu của A lên
mặt phẳng ( SBC ) như thế nào?
Hãy phát biểu bài toán!
- HS: Bài toán I.1: Cho hình chóp
S . ABC có đáy là tam giác ABC có

ba góc nhọn, SA  ( ABC ) . Xác
định khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( SBC ) .
-GV hướng dẫn học sinh giải bài toán
mở rộng (Bài toán I1) theo quy
trình tương tự và tiếp tục kéo rê
chuột thay đổi giả thiết tam giác
ABC vuông tại A hoặc tù tại B .

Tuy nhiên, nếu tam giác ABC
không vuông tại B thì H �SB .
Bài tốn ở ví dụ 1 là bài tốn tìm
khoảng cách từ một điểm (điểm đó là
chân đường cao của hình chóp có đáy
là tam giác) đến mặt bên của hình chóp
(loại hình chóp có cạnh bên vng góc
với đáy). Từ bài tốn ở ví dụ 1, GV tiếp
tục mở rộng bằng cách thay đổi giả thiết

đáy của hình chóp như sau:
Ví dụ 2. Bài tốn II: Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,

SA  ( ABCD) . Xác định khoảng cách
từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
8


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

Tiến trình dạy học: Bằng cách sử dụng phần mềm GeoGebra có thể hỗ trợ dạy
học giải bài toán II tương tự như tiến trình dạy học giải bài tốn I ở trên và mở rộng
bài toán II bằng cách thay đổi giả thiết của đáy ABCD như sau:
Bài toán II.1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Bài tốn II.2: Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách
từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

Bài tốn II.3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại

A , AD / / BC , SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Qua hai ví dụ 1 và ví dụ 2 ở trên, bằng cách sử dụng phần mềm GeoGebra với
tính năng rê chuột để thay đổi hình dạng đáy của hình chóp, giáo viên đã giúp học
sinh rút ra được quy trình chung để giải một lớp bài tốn xác định khoảng cách từ
một điểm (điểm đó là chân đường cao của hình chóp) đến một mặt bên của hình chóp

có cạnh bên vng góc với đáy. Quy trình GV nêu như sau:
Quy trình 1: Để xác định khoảng cách d ( M ,( )) từ điểm M ( M là chân
đường cao của hình chóp) đến mp ( ) ( ( ) mặt bên của hình chóp có cạnh bên
vng góc với đáy), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định mp (  ) chứa đường cao của hình chóp sao cho (  )  ( ) .
Bước 2: Tìm giao tuyến c ( c  ( ) �(  ) )
Bước 3: Trong mặt phẳng (  ) , kẻ MK  c, K �c . Chứng minh MK  ( ) .
9


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

Bước 4: Kết luận d ( M ,( ))  MK .
2.3.2. Thiết kế tình huống dạy học giải bài tập xác định khoảng cách từ chân
đường cao tới mặt bên của hình chóp (hình chóp có mặt bên vng góc với
đáy)
Ví dụ 3. Bài tốn III: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SAD
cân tại S , ( SAD)  ( ABCD) . Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SBC ) ,
với M là trung điểm AD .
Tiến trình dạy học:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài: - GV: Yêu cầu HS xác định giả thiết, kết luận của
bài toán và vẽ hình.
Bước 2. Tìm cách giải. Giáo viên dẫn dắt học sinh theo các bước sau:
- GV: Em hãy nhận xét mối quan hệ giữa đường thẳng SM và mp ( ABCD) .
- Sau khi học sinh nhận thấy và chứng minh được SM  mp ( ABCD) , GV tiếp tục
gợi ý việc xác định d ( M ,( SBC )) được tiến hành như Quy trình 1.
Bước 3. Trình bày lời giải: GV yêu
cầu HS trình bày lời giải theo Quy
trình 1.
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải. GV

sử dụng phần mềm GeoGebra với tính
năng rê chuột để nhìn hình vẽ với
nhiều hướng khác nhau và đặt câu
hỏi:
- GV: Em hãy so sánh d ( A,( SBC )) và d ( M ,( SBC )) ? Nếu học sinh khơng so sánh
được thì GV tiếp tục rê chuột để nhìn hình vẽ với nhiều hướng khác nhau và đặt
câu hỏi: Em hãy nhận xét mối quan hệ giữa đường thẳng AM và mp ( SBC ) (Có
10


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

thể hỏi sát hơn: đường thẳng AM và mp ( SBC ) có song song với nhau khơng? Vì
sao?). Sau khi phát hiện AM / / mp ( SBC ) , GV yêu cầu HS so sánh d ( A,( SBC ))
và d ( M ,( SBC )) . HS sẽ phát hiện d ( A,( SBC ))  d ( M ,( SBC )) . Từ đó ta có Bài
tốn III.1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SAD cân tại
S , ( SAD )  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

- GV: Dựa vào nghiên cứu bước 4 ở trên, ta có các bước giải Bài toán III.1 như
sau:

+ Gọi M là chân đường cao của hình chóp, xác định d ( M ,( SBC ))
+ Nối AM . Vì AM / /( SBC ) nên d ( A,( SBC ))  d ( M ,( SBC )) .
- GV: Nêu Quy trình tổng quát giải Bài toán III.1: Để xác định khoảng cách

d ( A,( )) từ điểm A ( A không là chân đường cao của hình chóp) đến mp ( ) ( ( )
mặt bên của hình chóp), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi M là chân đường cao của hình chóp, nối AM .
Bước 2: Nếu AM / /( ) thì d ( A,( ))  d ( M ,( )) .
Bước 3: Thực hiện xác định d ( M ,( )) theo Quy trình 1.

- GV tiếp tục sử dụng phần mềm GeoGebra với tính năng rê chuột, thay đổi hình
dạng đáy ABCD của hình chóp để mở rộng Bài toán III.1 thành các bài toán sau:
Bài tốn III.2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAD
cân tại S , ( SAD)  ( ABCD) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

11


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

Bài toán III.3: Cho hình chóp
S . ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành,

SAD

cân

tại

S,

( SAD)  ( ABCD) . Xác định khoảng
cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Bài toán III.4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SAD cân tại
S , ( SAD )  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .

GV: Mở rộng bài toán hơn nữa bằng cách rê chuột thay đổi vị trí đỉnh S của

SAD sao cho SAD bất kỳ (tức là khơng cịn cân tại S ). Điều này rèn luyện HS
kỹ năng tìm chân đường cao của hình chóp. (H1)

(H1)
- GV: Ở bài tốn III.1, thay đổi giả thiết đáy ABCD thành tam giác ABC ta có
bài tốn ở ví dụ 4 sau đây:
Ví dụ 4. Bài tốn IV: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác ABC có ba góc đều
nhọn, SAC cân tại S , ( SAC )  ( ABC ) . Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng

( SBC ) .
Tiến trình dạy học:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài: - GV: Yêu cầu HS xác định giả thiết, kết luận của
bài tốn và vẽ hình. Bài tốn này vừa nhìn thì HS có thể nhầm với Bài toán I.1.
12


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

Nhưng GV có thể chỉ ra cho học sinh sự khác nhau giữa hai Bài toán này là: Ở Bài
toán I.1 (giả thiết cạnh bên vng góc với đáy), ở Bài tốn IV này (giả thiết mặt bên
vng góc với đáy). Dẫn đến, chân đường cao không phải là đỉnh A
Bước 2. Tìm cách giải. Giáo viên dẫn dắt học sinh theo các bước sau:
- GV: Bài toán yêu cầu xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) . Ở đây A
không phải là chân đường cao. Trong lời giải bài toán Bài toán III.1, chân đường
cao M của hình chóp đóng vai trị rất quan trọng. Việc xác định d ( A,( SBC ))
được quy về xác định d ( M ,( SBC )) . Kết quả của Bài toán III.1 là

d ( A,( SBC ))  d ( M ,( SBC )) vì AM / /( SBC ) . Tuy nhiên, ở Bài toán IV, gọi M
là chân đường cao của hình chóp thì AM có song song với mặt phẳng ( SBC )
không? GV rê chuột thay đổi hình vẽ dưới nhiều góc nhìn khác nhau để học sinh

thấy được AH �( SBC )  C .
- GV: Làm lệnh tìm các giao điểm:

I,K

( I  d1 �( SBC ), I �( SBC ) ),

( K  d 2 �( SBC ), K �( SBC ) ), với d1 , d2 lần lượt là các đường thẳng đi qua A , M
và vng góc với mặt phẳng ( SBC ) . Yêu cầu học sinh nhận xét mối quan hệ giữa
hai đường thẳng d1 , d 2 và so sánh d ( A,( SBC )) và d ( M ,( SBC )) .
- Sau khi học sinh nhận thấy được mối quan hệ giữa hai đường thẳng d1 , d 2 và so
sánh được d ( A,( SBC )) và d ( M ,( SBC )) , GV chuyển sang bước 3.
Bước 3. Trình bày lời giải:

13


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

+ Gọi M là trung điểm AC . Vì

SAC cân tại S nên SM  AC
(1).

Theo

giả

thiết

( SAC )  ( ABC )

và

SM �( SAC ) (2). Từ (1) và (2)
suy ra SM là đường cao của
hình chóp.
+ GV: u cầu học sinh xác
định d ( M ,( SBC )) theo Quy
trình 1.
+ Theo phân tích ở bước 2, HS
sẽ

phát

hiện

được

d ( A,( SBC ))  2d ( M ,( SBC )) .
Bước 4. Nghiên cứu sâu lời giải.
GV:

Có

được

kết

quả

d ( A,( SBC ))  2d ( M ,( SBC )) là vì

M là trung điểm của AC và tỉ số
d ( A,( SBC )) AC

2
d ( M ,( SBC )) MC
.

14


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

GV: Mở rộng bài toán hơn nữa
bằng cách rê chuột thay đổi vị trí
điểm M trên AC sao cho
AC
k
MC
, tức là tam giác SAC
không cân tại S nhưng không
thay

đổi

giả

thiết

( SAC )  ( ABC ) .
Bài tốn IV.1: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác ABC có ba góc đều nhọn,

( SAC )  ( ABC ) . Gọi M là chân đường cao của SAC kẻ từ đỉnh S sao cho M
AC
 k 1
thuộc cạnh AC và MC
. Xác định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) .
Bài tốn IV.2: Cho hình chóp S . ABC , đáy là
tam giác

ABC

có ba góc đều nhọn,

( SAC )  ( ABC ) . Gọi M là chân đường cao
của SAC kẻ từ đỉnh S sao cho M thuộc
AC
 k ,(0  k  1)
MC
AC
cạnh
kéo dài và
. Xác
định khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC )
.
Qua hai ví dụ 3 và ví dụ 4 ở trên, bằng cách sử dụng phần mềm GeoGebra với
tính năng rê chuột để thay đổi hình dạng đáy của hình chóp và rê chuột đỉnh của tam
giác nằm trong mặt bên vng góc với đáy, giáo viên đã giúp học sinh giải bài toán

xác định khoảng cách và rút ra được quy trình chung để giải một lớp bài tốn xác
định khoảng cách từ một điểm đến một mặt bên của hình chóp (hình chóp có mặt
bên vng góc với đáy).
15


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

Quy trình 2: Để xác định khoảng cách d ( A,( )) từ điểm A ( A không là chân đường
cao của hình chóp có mặt bên vng góc với đáy) đến mp ( ) ( ( ) mặt bên của hình
chóp), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi M là chân đường cao của hình chóp, nối AM . Thực hiện xác định

d ( M ,( )) theo Quy trình 1 (Ở ví dụ 1 và ví dụ 2).
Bước 2:
+ Nếu AM / /( ) thì d ( A,( ))  d ( M ,( )) .

+ Nếu

d ( A,( SBC )) AC

AM �( )  C thì tính tỉ số d ( M ,( SBC )) MC . Ta có được kết quả

d ( A,( SBC )) 

AC
.d ( M ,( SBC ))
AM
.

2.3.3. Hệ thống các bài toán nâng dần mức độ khó từ các bài tốn Bài tốn I, II,
III, IV
Sau khi tổ chức các hoạt động dạy học các Ví dụ 1 và Ví dụ 2 đã nêu ở trên,
GV nâng dần mức độ của Bài toán I, GV cho HS làm các Bài toán sau:
Bài toán I.1.2. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B ,

SA  ( ABC ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I là trung điểm
của cạnh AC .
Bài tốn I.1.3. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC có ba góc nhọn,

SA  ( ABC ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I là trung điểm
của cạnh AC .
Bài toán I.1.4. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác ABC có góc tù tại B ,

SA  ( ABC ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I là trung điểm
của cạnh AC hoặc I là trọng tâm tam giác ABC …
16


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

Nâng dần mức độ của Bài toán II, GV cho HS làm các Bài tốn sau:
Bài tốn II.1.1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng,

SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I �A (Ở đây
I là trung điểm

AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC hoặc I là giao

điểm của hai đường chéo…).

Bài tốn II.1.2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I �A (Ở đây
I là trung điểm

AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC hoặc I là giao

điểm của hai đường chéo…).
Bài tốn II.1.3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,

SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I �A (Ở đây
I là trung điểm

AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC hoặc I là giao

điểm của hai đường chéo…).
Bài tốn II.1.4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

SA  ( ABCD ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . Với I �A (Ở đây
I là trung điểm

AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC hoặc I là giao

điểm của hai đường chéo…).
Sau khi tổ chức các hoạt động dạy học các Ví dụ 3 và Ví dụ 4 đã nêu ở trên,
GV nâng dần mức độ của Bài toán III, GV cho HS làm các Bài tốn sau:
Bài tốn III.1.1: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SAD
cân tại S , ( SAD)  ( ABCD) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . (Ở
đây I là trung điểm AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC hoặc I là giao
điểm của hai đường chéo…).

Bài tốn III.1.2: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,

SAD cân tại S , ( SAD)  ( ABCD) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng
17


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

( SBC ) . (Ở đây I là trung điểm AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC
hoặc I là giao điểm của hai đường chéo…).
Bài toán III.1.3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SAD
cân tại S , ( SAD)  ( ABCD) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( SBC ) . (Ở
đây I là trung điểm AB hoặc AD hoặc I là trọng tâm tam giác ABC hoặc I là giao
điểm của hai đường chéo…).
Nâng dần mức độ của Bài toán IV, GV cho HS làm các Bài tốn sau:
Bài tốn IV.1.1: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác ABC có ba góc đều
nhọn, SAC cân tại S , ( SAC )  ( ABC ) . Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng

( SBC ) . Với I là trung điểm của cạnh AC hoặc I là trọng tâm tam giác ABC …
Bài tốn IV.1.2: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác ABC có ba góc đều
nhọn, ( SAC )  ( ABC ) . Gọi M là chân đường cao của SAC kẻ từ đỉnh S sao cho
AC
 k 1
M thuộc cạnh AC và MC
. Xác định khoảng cách từ I đến mặt phẳng

( SBC ) . Với I là trung điểm của cạnh AC hoặc I là trọng tâm tam giác ABC …
Bài toán IV.1.3: Cho hình chóp S . ABC , đáy là tam giác ABC có ba góc đều
nhọn, ( SAC )  ( ABC ) . Gọi M là chân đường cao của SAC kẻ từ đỉnh S sao cho
AC

 k ,(0  k  1)
M thuộc cạnh AC kéo dài và MC
. Xác định khoảng cách từ I đến
mặt phẳng ( SBC ) . Với I là trung điểm của cạnh AC hoặc I là trọng tâm tam giác

ABC …
Sau khi GV yêu cầu HS giải các bài toán trên, GV đưa ra sơ đồ từ duy để tổng
hợp quy trình xác đinh khoảng cách trong khơng gian như sau:
*) Sơ đồ tư duy xác định khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
18


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

2.4.

Những điểm mới của sáng kiến

Điểm mới thứ nhất: Như tôi đã giới thiệu ở phần mở đầu, hiện nay đã có nhiều
nghiên cứu về việc sử dụng phần mềm GeoGebra trong dạy học mơn Tốn ở trường
phổ thơng. Tuy nhiên, những nghiên cứu đó tập trung vào những nội dung khác.
Chưa có tác giả nào khai thác phần mềm GeoGebra nhằm thiết kế tình huống dạy học
giải bài tập xác định khoảng cách trong không gian.
Điểm mới thứ hai: Hiện nay cũng đã có nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra giải
pháp rèn luyện tư duy cho HS giải toán khoảng cách trong không gian. Tuy nhiên,
các tác giả không tách rời việc tính khoảng cách và việc xác định khoảng cách. Các
bài toán mà các tác giả đưa ra gộp chung lại yêu cầu tính khoảng cách. Việc gộp
chung như vậy làm cho GV khó tổ chức, khó gợi ý cho HS thấy được rõ ràng quy
trình xác định khoảng cách. Trong hệ thống Bài toán với việc khai thác phần mềm
GeoGebra mà tôi đã xây dựng, thiết kế để tổ chức các hoạt động dạy học, tôi chỉ đặt

ra yêu cầu HS xác định khoảng cách. Mục đich đầu tiên của tôi là rèn luyện cho học
sinh tư duy và xây dựng được quy trình xác định khoảng cách một cách nhuần

19


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

nhuyễn, khi HS đã có kỹ năng tốt trong việc xác định khoảng cách, việc cịn lại là
tính tốn thì rất dễ dàng.
Điểm mới thứ ba: Trong các bài tốn tính khoảng cách từ chân đường cao của hình
chóp đến các mặt bên của hình chóp, các tác giả đã vội vàng đưa ra kỹ thuật “dời
điểm” trong việc tính khoảng cách, trong khi HS chưa có được kỹ năng xác định
khoảng cách khi ta thay đổi các đáy trong các hình. Việc này sẽ gây nhiễu và HS sẽ
khó nhận dạng được Bài toán. Trong hệ thống Bài toán với việc khai thác phần mềm
GeoGebra mà tôi đã xây dựng, thiết kế để tổ chức các hoạt động dạy học, ban đầu tơi
chú trọng đến việc thay đổi hình dạng của đáy và thay đổi vị trí chân đường cao cũng
như chỉ yêu cầu xác định khoảng cách từ chân đường cao. Sau khi học sinh đã nắm
rõ quy trình xác định khoảng cách từ chân đường cao tới mặt phẳng trong hình chóp,
tơi mới mở rộng bài tốn có sử dụng kỹ thuật “dời điểm”, tức là yêu cầu HS giải các
bài tốn khoảng cách từ điểm (khơng phải chân đường cao) tới mặt phẳng trong hình
chóp. Từ đó mới tổng hợp quy trình tổng quát bằng sơ đồ tư duy.
2.5.

Tính thực tiễn của sáng kiến
Việc sử dụng, khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học một số nội dung

môn Toán lớp 11 ở trường THPT là thực hiện được ở trường THPT Gio Linh. Bởi vì
ở trường THPT Gio Linh hiện nay, cơ sở vật chất đảm bảo cho việc sử dụng công
nghệ thông tin trong hỗ trợ dạy học (tất cả các phịng học đều có màn hình ti vi).

Việc sử dụng, khai thác phần mềm GeoGebra trong dạy học một số nội dung
mơn Tốn lớp 11 ở trường THPT đáp ứng được mục đích dạy học Tốn ở trường
THPT Gio Linh. Qua 4 ví dụ với hệ thống bài tập tương tự, mở rộng, từ đơn giản đến
phức tạp gắn với việc sử dụng, khai thác phần mềm GeoGebra mà tơi đã thiết kế có
tính thực tiễn cao. Việc khai thác phần mềm GeoGebra gắn với việc xây dựng hệ
thống bài tập và phân tích tìm hướng giải bài tập mà tôi đã nêu trên là dựa vào định
hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, tạo mơi trường học tập tích cực, tự
giác. Q trình xây dựng, sử dụng và khai thác phần mềm đã chú trọng đến việc cho
HS tự lực khám phá, độc lập tìm tịi phát hiện và giải quyết vấn đề.
20


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

2.6.

Tính hiệu quả của sáng kiến
Việc sử dụng phần mềm GeoGebra đem lại hiệu quả trong lao động, giảm chi

phí, tiết kiệm thời gian và kinh phí vì phần mềm GeoGebra có rất nhiều ưu điểm như:
Vẽ hình tiện lợi và được dùng miễn phí, dễ sử dụng, dễ dàng chuyển đổi được ngôn
ngữ sử dụng. Giáo viên chỉ thiết kế một lần, lưu lại và dùng cho nhiều lần dạy học
sau.
Thông qua việc khai thác phần mềm GeoGebra gắn với việc thiết kế các tình
huống dạy học giải bài tập hình học khơng gian đã cho thấy tính hiệu quả và tính khả
thi. Việc khai thác phần mềm GeoGebra đã giúp GV tổ chức các tình huống dạy học,
các hình vẽ sinh động, cụ thể, có thể rê chuột để nhìn hình khơng gian dưới nhiều góc
nhìn khác nhau, thu hút sự chú ý của HS trong tiết học, HS tự nguyện tham gia vào
các hoạt động học tập và có ý thức xây dựng bài học, các em có thể nhanh chóng tìm
ra các thuộc tính, mối quan hệ bản chất của đối tượng và từ đó nhận thấy được các

tính chung, khái qt của nó. Qua 4 ví dụ với hệ thống bài tập tương tự, mở rộng, từ
đơn giản đến phức tạp gắn với việc sử dụng, khai thác phần mềm GeoGebra mà tôi
đã thiết kế, đã giúp HS tổng hợp được quy trình xác định khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng, HS khơng cịn gặp khó khăn khi gặp các bài tốn về khoảng
cách, thậm chí nhìn ra hướng giải rất nhanh khi gặp các bài tốn khoảng cách.
Chất lượng học tập của nhóm thực nghiệm cao hơn hẳn nhóm đối chứng, đặc
biệt HS nhóm thực nghiệm rất có hứng thú đối với những giờ dạy có ứng dụng phần
mềm GeoGebra, góp phần hình thành những thao tác tư duy, tích cực tìm tịi, khám
phá những tri thức tốn học và ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống.
III.

KẾT LUẬN
Phần mềm toán học ngày càng đóng vai trị quan trọng trong việc mơ tả

bản chất các ý tưởng cơ bản của toán học. Sáng kiến này chỉ ra rằng mơi
trường “tốn học động” GeoGebra hỗ trợ rất hiệu quả trong dạy học Tốn.
Thơng qua tương tác với các đối tượng trong bài toán, HS có thể “thực
nghiệm”, khám phá các tính chất tốn học, lập và kiểm tra các giả thuyết toán
21


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

học, tìm hiểu cách giải Tốn. Từ đó kích thích sự tìm tịi, khám phá của HS trong học
tập mơn Tốn.
Sáng kiến đã thu được kết quả sau:
1. Phân tích làm rõ vai trị và thực trạng của việc dạy học Tốn ở trường THPT,
trong đó phần mềm tốn học động GeoGebra có nhiều tiềm năng lớn trong kiến tạo
mơi trường tương tác động để HS khám phá tri thức toán học.
2. Chỉ ra những hạn chế của GV trong việc giúp HS giải một sơ Bài tốn khoảng

cách trong khơng gian lớp 11. Từ đó đề xuất được các phương án khai thác phần
mềm Geoeobra trong dạy học giải một số sơ Bài tốn khoảng cách trong khơng gian
lớp 11, trong đó chỉ rõ các bước tổ chức dạy học giải bài tập tốn Hình học khơng
gian với sự hỗ trợ của phần mềm Geoeobra.
3. Đề xuất được hệ thống các bài tốn mở rộng, nâng dần mức độ khó khăn của
bài tốn gốc và tổng hợp quy trình xác định khoảng cách bằng sơ đồ tư duy.
4. Tổ chức dạy thực nghiệm và khẳng định được tính khả thi và tính hiệu quả của
các phương án khai thác trên. Kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau:
Lớp
thực
nghiệm

Tổng
số

11B1

35

11B2

37

Lớp đối
chứng

40

Điểm 8 trở lên
Số

Tỷ lệ
lượng
48,57
17
%
48,64
18
%
10

25%

Điểm từ 5 đến 8
Số
Tỷ lệ
lượng

Điểm dưới 5
Số lượng

Tỷ lệ

15

42,85%

3

8,58%

19

51,36%

0

0%

20

50%

10

25%

Mặc dù tơi đã cố gắng tìm tịi, nghiên cứu, song chắc chắn cịn nhiều thiếu sót.
Tơi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp, bổ sung và góp ý cho tơi.
Tơi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Quảng Trị, ngày 05 tháng 3 năm
22


Sáng kiến– Trần Trọng Hà- Trường THPT Gio Linh

ĐƠN VỊ

2021

Tôi xin cam đoan đây là Sáng kiến
của mình viết, khơng sao chép nội
dung của người khác.

Trần Trọng Hà

23