Tài liệu Giải tích hàm một biến biên soạn Viện toán học P5 docx

Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


19
9
4. Chuỗi hội tụ đều
________________________________

Bài 1
Chứng minh rằng để dãy hàm
{ }
)(
xf
n
hội tụ đều trên tập X tới hàm
)(
xf
, điều kiện
cần và đủ là
0)(suplim =


xr
n
Xx
n
, trong đó
)()()( xfxfxr
nn

=
.
Bài 2
Xét sự hội tụ đều của các dãy trên các khoảng tơng ứng
1)
n
n
xxf =)(
,
10);
2
1
0) xbxa ;

2)
10 ,)(
1
=

xxxxf
nn
n
;
3)
10,)(
2
= xxxxf
nn
n

;

4)
10,
1
)(
++
= x
x
n
nx
xf
n

;
5)
<<+= x
n
xxf
n
,
1
)(
2
2
;

6)
<<+= xx
n

xnxf
n
0,)
1
()(

;
7)
<<= x
n
nx
xf
n

,
)sin(
)(
;
8)
<<






= x
n
x
xf

n
,sin)(
;
9)
<<= xnxxf
n
0,)arctan()(

;
10)
<<= xnxxxf
n
0,)arctan()(

;

Bài 3

Chuỗi


=

0
2
)!2(
)1(
n
n
n

n
x
có hội tụ đều trên
),( +
hay không ?
Bài 4

Chuỗi


=

1
2
)1(
n
n
n
x
x
có hội tụ đều trên
[
]
2,2
hay không ?
Bài 5

Chứng tỏ dãy hàm
, 3,2,1,10,
1

1
)( =<<
+
= nx
nx
xf
n
,
hội tụ tới
0)( =xf
trên
(,)01
, nhng không hội tụ đều.
Bài 6

Cho dãy hàm

, 3,2,1,10,
)1(
)(
22
2
=
+
= nx
nxx
x
xf
n
.

Chứng minh rằng
{}
)(xf
n
bị chặn đều trên [0,1] và
,10,0)(lim =

xxf
n
n

nhng không có một dãy con nào hội tụ đều trên [0,1].
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
0
Bài 7

Cho dãy hàm
2
1
)(
nx
x
xf
n
+

=
,
n
=1,2,3, ,
x
là số thực. Chứng minh rằng
{}
)(xf
n
hội
tụ đều tới hàm
f
và ta có
)(lim)('
'
xfxf
n
n
=

đúng với mọi
x
khác 0, nhng không đúng khi
x
= 0.
5. Chuỗi lũy thừa
__________________________________

Bài 1

Phân tích
)1)(1)(1)(1(
1
842
xxxx ++++

dới dạng chuỗi lũy thừa.
Bài 2

Xác định bán kính, khoảng hội tụ và nghiên cứu dáng điệu tại các điểm biên của
khoảng hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:
1)
n
n
nn
x
n
)1(
)2(3
1
+
+


=
; 2)
n
n
x
n

n


=
1
2
)!2(
)!(
; 3)
n
n
n
x
n


=
+
1
2
)
1
1(
.
6. Chuỗi Fourier
___________________________________

Bài 1
Phân tích hàm

=

x
y arcsinsin

dới dạng chuỗi Fourier.
7. Thực hành tính toán
_____________________________

7.1. Thực hành tính giới hạn của dãy hàm hoặc tổng của chuỗi hàm
Đối với một dãy hàm hoặc chuỗi hàm hội tụ, ta có thể dùng MAPLE để tính hàm giới
hạn hoặc tổng của chuỗi hàm. Các thao tác giống hệt nh tính giới hạn của dãy hoặc
tổng của chuỗi số (xem thực hành tính toán chơng 2). Kết quả là một hàm số (nói
chung phụ thuộc vào biến số
x
).
Bài 1

Tính tổng

=
+=
1
!
1)(
n
n
n
x
xf
.
[>
1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);

1 + exp(
x
) (1 - exp(-
x
))
[>
simplify(");

exp(
x
) .
Bài 2
Tính giới hạn
fx

x
n
n
n
() lim( )=+

1
.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
1
[>
limit((1+x/n)^n,n=infinity);

exp(
x
) .
Bài 3

Tính giới hạn
)1(
lim
22
xn
x
n

n
+

.
[>
limit(x*n/(1+n^2*x^2),n=infinity);

0 .
Bài 4
Tính


=

+

1
2
1
)1(
)1(
n
n
n
x
.
[>
sum((-1)^(n-1)/(1+x^2)^n,n=1 infinity);

2

1
2
+
x
.
Bài 5

Tính


=
+
1
2
2
)1(
n
n
x
x
.
[>
sum(x^2/(1+x^2)^n,n=1 infinity);

1 .
Nhận

xét
Tổng trên bằng 0 khi
x

= 0 và bằng 1với mọi
x
khác 0.
7.2. Nghiên cứu các tính chất của dãy hàm hoặc tổng của chuỗi hàm
Nhờ MAPLE, ta có thể kiểm tra tính đúng đắn của các phép toán: lấy giới hạn, lấy đạo
hàm, lấy tích phân thực hiện trên chuỗi.
Bài 1

Nghiên cứu dãy
n
nx
xf
n
)sin(
)( =
.
Tìm hàm giới hạn:
[>
limit(sin(n*x)/sqrt(n),n=infinity);

0
Nh vậy hàm giới hạn bằng
0)( =xf
với mọi
x
.
Lấy đạo hàm của hàm giới hạn:
[>
diff(limit(sin(n*x)/sqrt(n),n=infinity),x);
0 .

Lấy đạo hàm của
)(xf
n
:
[>
diff(sin(n*x)/sqrt(n),x);

nnx)cos(
.
Tính đạo hàm của tại
x
= 0:
[>
subs(x=0,cos(n*x)*n^(1/2));

n)0cos(
.
Đơn giản:
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
2
[>
simplify(");
n
.
Nh vậy, ta đi đến kết luận: Đạo hàm của giới hạn không bằng giới hạn của đạo hàm

(tại điểm
x
= 0).
Chú ý
Nếu tính giới hạn của đạo hàm của hàm tại điểm bất kỳ của hàm
n
nx
xf
n
)sin(
)(
=
thì
máy trả lời
không xác định
:
[>
limit(diff(sin(n*x)/sqrt(n),x),n=infinity);

undefined .
Bài 2

Tính giới hạn


=

1
2
1
1
)1(
)1(
)1(lim
n
n
nn
x
x
x
x
.
[>
limit((1-x)*sum((-1)^(n-1)*x^n/(1-x^(2*n)),
n=1 infinity),x=1,left);

1/2 ln(2) .
7.3. Nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm và chuỗi hàm
Giả sử dãy hàm
{}
)(xf
n
hội tụ (có thể không đều) tới hàm
)(xf
. Hàm
)(xf

nói chung
không mô tả đợc dới dạng biểu thức giải tích thông qua các hàm đã biết, vì vậy ta
khó có thể hình dung ra dáng điệu cũng nh các tính chất của nó. Tuy nhiên, ta có thể
coi công thức
)(lim)( xfxf
n
n

=
nh là
định nghĩa
của hàm
)(xf
, và nh vậy ta có một
phơng pháp mới
để biểu diễn hàm số thông qua khái niệm
giới hạn
, và lớp hàm này
thực sự rộng hơn hẳn lớp các hàm thông thờng (cho bằng các biểu thức giải tích).
MAPLE là một công cụ đắc lực giúp ta nghiên cứu các hàm loại này. Thí dụ, nhờ
MAPLE, ta có thể trả lời các câu hỏi: Hàm
)(xf
có xác định tại một điểm nào đó hay
không (dãy
{}
)(xf
n
có hội tụ tại điểm đó hay không); Tính giá trị của hàm
)(xf
tại

các điểm cụ thể; Vẽ đồ thị của
)(xf
trên một đoạn bất kỳ, Chính chúng ta đã dùng
phơng pháp này để xây dựng
hàm số mũ
exp(
x
) trong Chơng 4, nó chính là
giới
hạn
của
dãy hàm đa thức
khá đơn giản là
n
n
x






+
1
. Với MAPLE, chúng ta có khả
năng nghiên cứu những hàm phức tạp hơn rất nhiều.
Bài 1

Nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi

=
=
1
)(
n
n
n
x
xf
.
Bớc 1:
Khai báo (định nghĩa hàm
)(xf
):
[>
f:=x->sum(x^n/n,n=1 infinity);



=
=
1
:
n
n
n
x
xf
.

Bớc 2:
Tính giá trị của hàm số tại một số điểm (xét sự hội tụ điểm của chuỗi khi
x
nhận các giá trị cụ thể). Thí dụ
[>
f(0.1);

Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
3
.1053605157 .
[>
f(0.5);

.6931471806 .
[>
f(1);


(vô cùng) .
Chứng tỏ, hàm số cho bởi công thức trên không xác định (bằng vô cùng tại
x
= 1 (tổng


=

1
1
n
n
bằng vô cùng).
[>
f(-1);

-ln(2) .
Để kiểm tra, ta có thể tính lại tổng


=

1
)1(
n
n
n
:
[>
sum((-1)^n/n,n=1 infinity);

-ln(2)
Chú ý
Nếu tính giới hạn của tổng riêng của dãy này thì máy trả lời tổng
không xác định
:
[>
limit(sum((-1)^n/n,n=1 k),k=infinity);

undefined .
Bài 2
Nghiên cứu hàm


=
+=
1
!
1)(
n
n
n
x
xf
.
Bớc 1:
Khai báo (định nghĩa hàm
)(xf
):
[>
f(x):=x->1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);


=
+=
1
!
1:)(

n
n
n
x
xxf
.
Bớc 2:
Tính giá trị của hàm số tại một số điểm (xét sự hội tụ điểm của chuỗi khi
x
nhận các giá trị cụ thể).
[>
f(0.1);

1.105170918 .
[>
f(0.2);

1.221402758 .
[>
f(0.999999);

2.718279110 .
[>
f(1);

exp(1) .
Để kiểm tra, ta tính
[>
Sum(1^n/n!,n=0 infinity);

=
0
!
1
n
n

.


[>
value(");

exp(1) .
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
4
[>
evalf(");

2.718281828 .
Tính tổng
fx
x
n

n
n
()
!
=+
=


1
1
.
[>
1+sum(x^n/n!,n=1 infinity);

1 + exp(x) (1 - exp(-x)) .
[>
simplify(");

exp(x) .
Bài 3

Nghiên cứu hàm


=
=
1
sin
)(
k

k
kx
xf
.
Bớc 1:
Khai báo (định nghĩa hàm
)(xf
):
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 infinity);



=
=
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
Bớc 2:
Tính giá trị của hàm số tại một số điểm (xét sự hội tụ điểm của chuỗi khi
x

nhận các giá trị cụ thể).
[>
f(0.2*Pi);

=
1
6283185308.sin
k
k
k
.
[>
evalf(");

1.527278662 .
[>
f(Pi);

sin kPi
k
k =


1
.
[>
evalf(");

0 .
[>
f(0.1*Pi);

=
1
3141592654.sin
k
k
k
.
[>
evalf(");

1.692237735 .
[>
f(Pi/2);


=
1
2/1sin
k
k
kPi
.
[>
evalf(");

.7853981634 .
Việc tính chuỗi (vô hạn) thờng mất nhiều thời gian hơn là tính tổng (hữu hạn).
Cho nên, khi chỉ cần tính
gần đúng

thì nên tính tổng riêng với số số hạng đủ lớn.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 11


20
5
Thí dụ, ta có thể tính giá trị gần đúng của tổng vô hạn tại các điểm cụ thể bằng
cách tính tổng đến số hạng thứ 100 nh sau:
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 100);

=
=
100
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
evalf(f(1));

1.060428939 .
[>
evalf(f(Pi/5));

1.241256676 .
[>
evalf(f(Pi/2));

.7803986631 .
Ta có thể vẽ đồ thị của hàm tổng
)(xf
bằng lệnh
[>
plot(f(x),x=-0.5 0.5);
Muốn chính xác hơn, ta tính tổng đến số hạng thứ 1000:
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k,k=1 1000);

=
=
1000
1
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
evalf(f(1));

1.070694159 .

[>
evalf(f(Pi/5));

1.255098227 .
[>
evalf(f(Pi/2));

.7848981639 .
Ta có thể vẽ đồ thị của hàm tổng
)(xf
bằng lệnh
[>
plot(f(x),x=-0.2 0.2);
So sánh các kết quả tính toán và đồ thị, ta có thể kết luận về độ chính xác trong tính
toán.
Trong các bài trên, mặc dù ta không có công thức tờng minh của hàm số, nhng ta vẫn có
thể nghiên cứu nó tơng đối tỉ mỉ: tính giá trị gần đúng của hàm số tại các điểm cụ thể, vẽ
đồ thị hàm số (là tổng của một chuỗi hàm). Nh vậy, MAPLE mở ra một khả năng mới
nghiên cứu hàm số một cách trực tiếp mà không cần (và không có) công thức biểu diễn.

Bài 4

Nghiên cứu hàm


=
=
1
2
sin

)(
k
k
kx
xf
.
[>
f:=x->sum(sin(k*x)/k^2,k=1 infinity);



=
=
1
2
sin
:
k
k
kx
xf
.
[>
f(1);

Hình 11.4


Hình 11.5
Bµi tËp vµ tÝnh to¸n thùc hµnh

Ch−¬ng 11


20
6
sin( )k
k
k
2
1=
∞
∑
.
[>
Sum(sin(k)/k^2,k=1 10);
sin( )k
k
k
2
1
10
=
∑
.
[>
evalf(");

1.019570958 .
[>

Sum(sin(k)/k^2,k=1 100);

sin( )k
k
k
2
1
100
=
∑
.
[>
evalf(");

1.013856043
[>
Sum(sin(k)/k^2,k=1 1000);

sin( )k
k
k
2
1
1000
=
∑
.
[>
evalf(");

1.013959029 .
207
Chơng 12
________________
Phơng trình vi phân
12.1. Một vài bài toán
________________________________

12.1.1. Bài toán tăng trởng hoặc suy thoái
Có nhiều đại lợng trong thực tế nh số lợng dân số hoặc động vật, nhiệt độ của vật
thể nóng, lợng hóa chất tan, thay đổi theo tốc độ tỷ lệ với đại lợng tức thời. Ta có
thể biểu diễn sự thay đổi này bởi phơng trình:
)()(' tfktf = , (1)
trong đó f(t) là đại lợng tại thời điểm t, k là hằng số tỷ lệ, còn f(t) là đạo hàm của f
biểu diễn tốc độ thay đổi. Phơng trình (1) là phơng trình vi phân vì trong phơng
trình này có tham gia đạo hàm của hàm f theo t. Ngời ta nói đây là phơng trình vi
phân bậc 1 vì chỉ có đạo hàm bậc một trong đó. Nếu có sự tham gia của đạo hàm bậc k
thì phơng trình đợc gọi là phơng trình vi phân bậc k. Nếu có nhiều phơng trình vi
phân thì ta có hệ phơng trình vi phân.
Nghiệm của phơng trình (1) là một hàm số g(t) mà khi thay g vào f trong (1) ta có
đẳng thức đúng với mọi t. Muốn tìm ra f ta viết phơng trình trên dới dạng:
kf
dt
df
=
.
Hiển nhiên
f
(
t

) = 0 là nghiệm của phơng trình đã cho, nghiệm này đợc gọi là nghiệm
tầm thờng .
Ta giả thiết
0f
và biến đổi
kdt
f
df
=
. Lấy tích phân hai vế ta có:


= kdt
f
df

hay
ckttf +=
)(ln .
Do đó:
kt
etf =)(
,
trong đó

là hằng số lấy giá trị bất kỳ. Cho trớc đại lợng
f(0)
tại thời điểm
t
= 0 ta

xác định đợc hằng số
)0(f=

, vậy:
kt
eftf )0()( =
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


20
8
Để xem đây có phải là nghiệm phơng trình (1) hay không chỉ cần lấy đạo hàm rồi thế
vào (1). Ta chứng minh rằng đây là nghiệm duy nhất. Thật vậy, giả sử
g
(
t
) là một
nghiệm của (1) với
)0()0( fg =
.
Xét hàm
)()( tgeth
kt
=
. Ta có

)(')()(' tgetgketh
ktkt

+=

0)()( =+=

tgetgke
ktkt
.
Chứng tỏ
h
là một hằng số. Thực ra
)0()0()0( fgh ==
.
Vậy
)()0()( tfeftg
kt
==
.
Với
0)0( >f
cho trớc, nếu
0>k
ta có sự tăng trởng và nếu
0<k
ta có sự suy
thoái (đại lợng
f
(
t
) giảm theo thời gian).
12.1.2. Vận tốc ban đầu của vệ tinh

Chúng ta cần xác định vận tốc ban đầu của vệ tinh sao cho vệ tinh này có thể vợt ra
khỏi quỹ đạo trái đất. Gọi
m
là khối lợng vệ tinh và
M
là khối lợng trái đất,
x(t)

là khoảng cách vệ tinh tới tâm trái đất tại thời điểm
t
. Khi đó theo định luật Newton ta
có phơng trình:
22
2
.
x
Mm
k
dt
xd
m =
, (2)
trong đó
k
là hằng số hấp dẫn. Vế trái là lực chuyển động của vệ tinh, vế phải là lực
hút của trái đất ngợc với hớng chuyển động. Đây là phơng trình vi phân bậc hai vì
có đạo hàm bậc hai của
x
tham gia.
Phơng trình (2) có thể viết đơn giản:

22
2
x
a
dt
xd
=
, (3)
trong đó
a = kM
. Để xác định
a
ta dùng công thức
2
.
R
mM
kFmg ==
, trong đó
2
3
sec/
10
81,9
kmg =
là gia tốc rơi tự do,
R
=
6400km
là bán kính trái đất. Dễ nhận thấy

234
sec/10.8.81,9. kmRga ==
. Trở lại phơng trình (3), dùng ký hiệu
dt
dx
v =
là vận
tốc chuyển động của vệ tinh và sử dụng công thức biến đổi
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
dt
xd
=== .
2
2
,
ta thu đợc phơng trình vi phân bậc nhất:
2
x
a
dx
dv
v =

hay

dx
x
a
vdv
2
=
.
Lấy tích phân hai vế ta đợc:
c
x
av
+=
2
2
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

20
9
Khi
x = R
, vận tốc
0
vv =
là vận tốc ban đầu của vệ tinh nên ta xác định
64002

2
0
a
v
c =
.
Suy ra
640022
2
0
2
a
v
v
a
x
+
=
.
Khoảng cách
x
đạt cực đại khi
v = 0
và khi đó:
26400
2
0
v
a
a

x

=
.
Muốn cho
x
tiến tới giá trị thì mẫu số của biểu thức trên phải bằng
0
và ta có
sec/2,11
6400
10.8.8,9.2
6400
2
4
0
km
a
v =


Đây là tốc độ ban đầu mà vệ tinh phải có để rời khỏi trái đất vào vũ trụ với khoảng
cách dần tới vô cùng.
Qua hai bài toán trên chúng ta có thể hình dung đợc tầm quan trọng của phơng trình
vi phân. Nói chung không có một phơng pháp vạn năng nào để giải các phơng trình
vi phân, và không phải phơng trình vi phân nào cũng giải đợc. Mỗi lớp phơng trình
có một phơng pháp giải đặc thù. Trong giáo trình này, nhằm mục đích giúp ngời đọc
làm quen với khái niệm phơng trình vi phân và sử dụng nó trong một số môn học
khác (vật lý, cơ học, môi trờng, sinh thái, ), về mặt lý thuyết chúng tôi chỉ giới thiệu
một số dạng phơng trình vi phân tơng đối đơn giản, mà tập trung nhiều hơn vào việc

thực hành tính toán giải phơng trình vi phân trên máy tính (trong phần bài tập và tính
toán thực hành). Bạn đọc muốn tìm hiểu kỹ hơn về chuyên ngành này xin xem giáo
trình Phơng trình vi phân.
12.2. Phơng trình vi phân có biến tách
__________________

12.2.1. Định nghĩa
Phơng trình vi phân có biến tách là phơng trình dạng:
)()(' yhxgy =
(1)

Dạng tơng đơng là:
0)()( =+ dyybdxxa
. (2)

Thí dụ
(a)
2
xy
dx
dy
=
là phơng trình có biến tách. Rõ ràng y = 0 là nghiệm tầm thờng của
phơng trình. Ta giả thiết
0)( xy
. Khi đó phơng trình trên đợc viết:
xdx
y
dy
=

2
.
(b)
2
1
cos
'.
y
x
yy
+
=
cũng là một phơng trình có biến tách, có thể viết dới dạng:
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
0
dxxdyyy cos1
2
=+
.
12.2.2. Phơng pháp giải
Giả sử ta có phơng trình vi phân có biến tách ở dạng (2). Khi ấy lấy tích phân ta đợc
cdxxadyyb += )()(
,
trong đó hằng số
c
đợc xác định bởi giá trị của

00
)( yxy =
tại một điểm
0
x
cho
trớc,
00
)( yxy =
đợc gọi là điều kiện khởi đầu.
Thí dụ
1) Giải phơng trình vi phân:
1)0(,1')1(
2222
=+= yyxyxyy
.
Để giải phơng trình trên ta thực hiện những bớc sau:

Biến đổi vế phải
)1)(1(1
222222
=+ yxyxyx
và đa phơng trình về
dạng biến tách:
dxx
y
dy
)1(
1
2

=
+
.

Lấy tích phân hai vế ta có
cx
x
y ++=+
3
1ln
3
, hay
1
3
3
=
+ x
x
ey



Xác định hằng số

qua điều kiện khởi đầu:
1)0(1 ==

y
. Vậy
2=

.

Kiểm tra lại nghiệm
12
1
3
3
=
+
x
ey
của phơng trình ban đầu và kết luận đó
chính là nghiệm cần tìm.
Thí dụ
2) Một chất phóng xạ phân rã với với tốc độ tỷ lệ thuận với khối lợng của nó. Hãy
tính chu kỳ nửa phân rã, tức là thời gian để chất phóng xạ còn một nửa.
Để giải phơng trình trên ta thực hiện những bớc sau:

Lập phơng trình của bài toán phân rã (nh bài toán tăng trởng). Gọi
f
(
t
) là
lợng phóng xạ ở thời điểm
t
. Khi đó
)()(' tkftf =
,
trong đó

k > 0
là hằng số tỷ lệ (tùy thuộc vào chất phóng xạ; đối với radium
k
=0,000428/ năm).

Chuyển phơng trình về dạng biến tách:
dtk
f
df
=
.

Tích phân hai vế ta có
cktf +=ln
, hay
ft e
kt
()=


.

Hằng số

đợc xác định bởi
f
(0) lợng chất phóng xạ ở thời điểm
t = 0
:
)0(f=

.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
1

Kiểm tra lại ta thấy
kt
eftf

= )0()(
là nghiệm phơng trình ban đầu.

Tại
2/1

=t
chu kỳ nửa phân rã,
)0(
2
1
)(
2/1
ff =

.
Do đó
)2ln(

1
2/1
k
=

.
12.3. Phơng trình tuyến tính cấp một
__________________

12.3.1. Phơng trình thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp một thuần nhất là phơng trình dạng
0)('
=+ yxpy
. (1)
Đây là một phơng trình có biến tách với
0y
,
dxxP
y
dy
)(
=
.
Do đó nghiệm sẽ là

=
dxxP
cey
)(
.

Ngoài ra
y
= 0
cũng là nghiệm, nó ứng với
c
= 0.
Thí dụ
Giải
1)0(,0)cos('
==+ yxyy
.
Theo phơng pháp trên:
)sin()( xdxxp
cecey

==

Hằng số
c
đợc xác định bởi điều kiện
y
(
0
) = 1
, tức là
c
= 1
. Ta có
)sin(x
ey

=
và khi
thử vào phơng trình thì đó đúng là nghiệm cần tìm.
12.3.2. Phơng trình không thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp 1 (không thuần nhất) là phơng trình dạng
)()('
xqyxpy =+
, (2)
trong đó
0)(
xq
.
Phơng pháp giải:

Trớc hết giải phơng trình thuần nhất ta thu đợc nghiệm
dxxp
Wey
)(
=
,
trong đó
W
là hằng số bất kỳ.

Tìm nghiệm của (2) dới dạng
dxxp
exWy
)(
)(

=
có nghĩa là xem
W
nh một
hàm cần tìm để

y
thỏa mãn (2).
Ta có
dxxpdxxp
Wexpe
dx
dW
dx
dy
)()(
)(

=
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
2
Thay thế vào (2) ta thu đợc phơng trình mà
W
phải thỏa mãn

)(
)(
xq
dx
dW
e
dxxp
=

. (3)

Giải phơng trình có biến tách (3) ta thu đợc
cdxexqW
dxxp
+=
)(
).(

với c là hằng số bất kỳ.

Thay
dxxpdxxp
ecdxexqy
)()(
}).({(

+=
vào phơng trình (2) ta kết luận đây là
nghiệm cần tìm.

Nếu cho trớc điều kiện khởi đầu thì hằng số
c
sẽ đợc xác định cụ thể.
Thí dụ
1) Giải phơng trình
2)
2
(),sin()sin(' =

=+ yxxyy
.
Trớc hết giải phơng thuần nhất
0)sin(' =+ xyy
ta thu đợc
)cos(
x
Wey =
.
Tìm nghiệm phơng trình không thuần nhất dới dạng
dxxp
exWy
)(
)(

=
ta thu đợc
phơng trình đối với hàm
W
:
)sin(

)cos(
x
dx
dW
e
x
=
.
Giải phơng trình này ta có
cdxexW
x
+=
)cos(
)sin(

ce
x
+=

)cos(
.
Suy ra
)cos(
1
x
cey +=
. Thay y và y vào phơng trình ban đầu:
)sin()sin()sin()sin()sin(]1[]'1[
)cos()cos()cos()cos(
xexcxexcxcece

xxxx
=++=+++

Vậy
)cos(
1
x
cey +=
là nghiệm của phơng trình.
Để xác định
c
ta sử dụng điều kiện khởi đầu
21)
2
( =+= cy

, và suy ra c = 1.
Nghiệm cần tìm là
)cos(
1
x
ey +=
.
Thí dụ
2) Hồ Hoàn Kiếm tại thời điểm
t

= 0 chứa
210
8

.
lít nớc sạch. Cứ một giây nớc
chảy vào hồ từ cống rãnh của c dân xung quanh là 60 lít, trong đó có 10 lít chất ô
nhiễm và lợng nớc thoát khỏi hồ là 60 lít. Tìm lợng chất ô nhiễm có trong hồ theo
thời gian. Tính giá trị giới hạn.
Để giải bài toán trên ta gọi y(
t
) là lợng chất ô nhiễm tính theo đơn vị lít có trong hồ
tại thời điểm
t
. Tỷ lệ chất ô nhiễm chứa trong 1 lít nớc hồ sẽ là
8
10.2/)(ty
. Tốc độ
thay đổi của y bằng lợng chất ô nhiễm chảy vào hồ (10 lít/giây) bớt đi lợng ô nhiễm
chảy qua ống thoát(
8
10.2/)(.60 ty
lit/ giây). Vậy ta có phơng trình:
10
10.2
60
'
8
+= yy
. (4)
Đây là phơng trình tuyến tính cấp một không thuần nhất. Nghiệm của phơng trình
thuần nhất
yy
8

10.2
60
' =
là
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
3

t
wey
7
10.3


=
.
Tìm nghiệm của phơng trình (4) dới dạng
t
etw
7
10.3
)(


ta thu đợc phơng trình đối
với
w
là:

10.
7
10.3
=


t
ew
.
Suy ra
cew
t
+=
7
10.38
.10
3
1
, do đó
tt
ecey
77
10.310.38
)10
3
1
(


+=

. Khi
t
= 0,
y = 0
, do
đó
c
xác định đợc từ
c+=
8
10
3
1
0
, tức là
8
10
3
1
=c
. Vậy
)1(10
3
1
7
10.38 t
ey

=
.

Khi
t
, ta có
8
10
3
1
y
. Nh vậy, khi
t
đủ lớn, lợng chất ô nhiễm sẽ chiếm
6
1

lợng nớc trong hồ.
12.4. Một số phơng trình đặc biệt
_____________________

Dới đây chúng ta sẽ xem xét một số phơng trình không tuyến tính dạng đặc biệt
thờng gặp mà có thể giải đợc bằng cách chuyển về phơng trình tuyến tính.
12.4.1. Phơng trình Bernoulli
Phơng trình Bernoulli là phơng trình dạng

yxqyxpy )()( =+

, (1)
trong đó
a
là hằng số,
p(x)

và
q(x)
là những hàm liên tục. Tuy phơng trình này
không tuyến tính nhng bằng phép biến đổi đơn giản ta có thể quy về phơng trình
tuyến tính.
Phơng pháp giải.
Có thể giả thiết



0 và



1 vì nếu không (1) sẽ là phơng trình tuyến tính nh trình
bày ở phần trớc. Khi ấy ngoài nghiệm
y = 0
, để tìm nghiệm
y 0
, ta chia hai vế (1)
cho
y

:
)()( xq
y
y
xp
y
y

=+


. (2)
Đặt


=
1
yw
, ta có


y
y
w

=

)1(
. Do đó (2) tơng đơng với phơng trình tuyến tính
)()1()()1( xqwxpw

=+

.
Giải phơng trình này ta thu đợc nghiệm
w
và suy ra nghiệm của phơng trình
Bernoulli là

=

yw
1
1

và y=0.
Thí dụ
1) Giải phơng trình
x
eyyy
2
=+


Giải
Đây là phơng trình Bernoulli. Đặt
y
w
1
=
ta có
2
y
y
w

=

. Phơng trình trên có dạng
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
4
x
eww =

.
Phơng trình tuyến tính cấp 1 này có nghiệm tổng quát
x
excw )( =
với
c
bất kỳ.
Vậy nghiệm của phơng trình ban đầu là
x
e
xc
y


=
1
và y=0.
2) Bài toán tăng trởng của một quần thể (trong một hệ sinh thái) phức tạp hơn so với
bài toán ở mục 12.1.1 có dạng
2

)( kfftf =


trong đó

và
k
là những hằng số
dơng (thành phần
2
kf
xuất hiện khi có quá nhiều dân số và tỷ lệ tử vong tăng). Cho
trớc
0
)0( yf =
. Hãy tìm dân số
f
(
t
) tại thời điểm
t
bất kỳ và tìm giới hạn khi
t
.
Giải
Đây là bài toán Bernoulli. Đặt
f
w
1
=

và thay vào phơng trình trên ta có
0=+

kww

với
0
1
)0(
y
w =
.
Giải phơng trình tuyến tính này sẽ thu đợc nghiệm
( ) ( )
tt
eyey
k
w


00
/11






+=
.

Nh vậy
)1(1
)(
0
0
+
=
t
t
ey
k
ey
tf



. Khi
t
, ta có
k
t

=

lim
.
12.4.2. Phơng trình Riccati
Phơng trình Riccati là phơng trình dạng
2
321

)()()( yxqyxqxqy ++=

(1)
trong đó
)(
1
xq
,
)(
2
xq
và
)(
3
xq
là những hàm liên tục. Đây cũng là phơng trình
không tuyến tính nhng có thể đa về dạng tuyến tính nếu biết một nghiệm riêng.
Phơng pháp giải.
Giả sử biết trớc nghiệm riêng
)(
1
xy
. Khi ấy đặt
w
xyy
1
)(
1
+=
và thay vào (1) ta thu

đợc phơng trình tuyến tính đối với hàm
w(x):

( )
02)(
3132
=++

qwyqxqw

Giải phơng trình này ta thu đợc nghiệm tổng quát
c
w
và nghiệm tổng quát của (1)
sẽ là
cc
wyy +=
1
.
Thí dụ
Giải phơng trình
22
21 yxyxy ++=

.
Giải
Ta dễ dàng thấy rằng phơng trình có một nghiệm riêng
xxy =)(
1
.

Đặt
w
xy
1
+=
ta có phơng trình đối với
w
là
01)22( =++

wxw
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
5
Giải phơng trình tuyến tính này ta thu đợc nghiệm
w = c - x
với
c
là hằng số bất kỳ. Vậy
nghiệm của phơng trình ban đầu là
,
1
x
c
xy

+=

Rc
.
12.4.3. Phơng trình Clairaut
Phơng trình Clairaut là phơng trình dạng
)(yfyxy

+

=
, (1)
trong đó
f
là một hàm khả vi. Đây cũng là một phơng trình không tuyến tính và có
thể đa về phơng trình tuyến tính.
Phơng pháp giải.

Đặt
yw

=
và lấy đạo hàm 2 vế theo
x
ta có
0)( =

+

wwfwx
.
Từ đây ta thu đợc hai phơng trình

0=

w
, (2)
0)( =

+ wfx
. (3)
Phơng trình (2) cho nghiệm w(x) = c, do đó
1
ccxy +=
. Thay vào phơng trình
(1) ta sẽ xác định
)(
1
cfc =
. Nh vậy
y = cx + f(c)
là một nghiệm của (1).

Phơng trình (3) cho ta phơng trình đối với
w
mà từ đó có thể tìm
w
theo
x
rồi tính

+=
2

cwdxy
.
Thí dụ
Giải phơng trình
2
)(yyxy

+

=
.
Giải
Theo phơng pháp trên, nghiệm thứ nhất của bài toán là
2
ccxy +=
với
c
bất kỳ.
Ngoài ra phơng trình (3) cho ta nghiệm
2
4
1
xy =
. Thay hàm số này vào phơng
trình đầu ta thấy đây đúng là một nghiệm của nó.
12.5. Phơng trình tuyến tính cấp hai
___________________

12.5.1. Phơng trình thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp hai thuần nhất là phơng trình có dạng

0)()( =+

+

yxqyxpy
. (1)
Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét trờng hợp đặc biệt là các hàm
p(x), q(x)
là các
hằng số
p
và
q
.
Để giải phơng trình trên ngời ta tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tức là hai
nghiệm bất kỳ
f(x)
và
g(x)
sao cho không có số



0 để
f(x) =

g(x).
Nghiệm tổng
quát của (1) sẽ có dạng
)()(

21
xgcxfcy +=
với
21
,cc
là hai số bất kỳ.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
6
Mệnh đề
Nếu
y = f(x)
và
y = g(x)
là nghiệm của (1) thì với mọi
21
,cc
hàm
)()(
21
xgcxfcy +=

cũng là nghiệm của (1).
Chứng minh Ta có
0)()()( =+

+

xqfxfpxf
và
0)()()( =+

+

xqgxgpxg
.
Do đó
))()(())()(())()((
212121
xgcxfcqxgcxfcpxgcxfcqyypy ++

++

+=+

+


0))()()(())()()((
21
=+

+

++

+

= xqgxgpxgcxqfxfpxfc
,
có nghĩa là
y
thỏa mãn (1).
Phơng pháp giải.

Lập phơng trình đặc trng dạng
0
2
=++ qp

(2)
và giải để tìm nghiệm
21
,

. (Thật ra, phơng trình đặc trng này thu đợc bằng
cách tìm nghiệm của (1) dới dạng
x
ey

=
).
Nếu
21
,

là những nghiệm thực khác nhau của (2) thì các nghiệm riêng

xx
eyey
21
21
,

==
là độc lập tuyến tính và nghiệm tổng quát của phơng trình sẽ
là
xx
ececy
21
21

+=
với
21
,cc
là hai số bất kỳ.

Nếu
21

=
là nghiệm của (2) thì
x
ey
1
1

=
là một nghiệm riêng. Ngoài ra
x
xey
1
2

=
cũng là nghiệm riêng vì
0)2()()()()(
11111
11
2
1
=++++=+

+

xxxxx
xepxeqpxeqxepxe


.

Khi ấy
xx
xececy
11
21

+=
với
21
,cc
là hai số bất kỳ sẽ là nghiệm tổng quát của (1).

Nếu
21
,

là những nghiệm phức của (2), có dạng
ii

=+=
21
,
, thì bằng
cách thay trực tiếp
x
exy

= )cos(
1
và
x
exy

= )sin(
2
vào (1) ta thấy đây là những

nghiệm riêng của (1). Do
1
y
và
2
y
độc lập tuyến tính, nghiệm tổng quát của (1)
trong trờng hợp này sẽ là
)]sin()cos([
21
xcxcey
x
+=

với
21
,cc
là hai số bất
kỳ.
Thí dụ
1) Giải phơng trình vi phân
054 =+



yyy
.
Giải
Phơng trình đặc trng là
054

2
=+

và có nghiệm
ii =+= 2,2
21

. Vậy
nghiệm tổng quát của phơng trình là
)]sin()cos([
21
2
xcxcey
x
+=
.
Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
7
2) Tìm nghiệm phơng trình
05 =

+

yyy
thỏa mãn điều kiện khởi đầu tại
x = 0

là
y = 1
và
y' = 1
.
Giải
Phơng trình đặc trng là
065
2
=+

và có nghiệm
3,2
21
==

. Nghiệm tổng
quát sẽ là
xx
ececy
3
2
2
1

+=
. Nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện khởi đầu kéo theo các hệ
số
21
,cc

phải thỏa mãn
1)0(
21
=+= ccy
,
132)0(
21
==

ccy
.
Suy ra
5/3,5/8
21
== cc
. Vậy
)38(
5
1
32
xx
eey

=
là nghiệm cần tìm.
12.5.2. Phơng trình không thuần nhất
Phơng trình tuyến tính cấp 2 (không thuần nhất) là phơng trình dạng

+

+ =ypxyqxykx() () ()
. (3)
Cũng nh phần trớc, chúng ta chỉ xét trờng hợp
p(x)
và
q(x)
là những hằng số
(p(x)

p
và
q(x)

q).
Phơng pháp giải

Trớc hết giải phơng trình thuần nhất
0=+

+

qypy
và thu đợc nghiệm tổng
quát
c
y
.

Tìm một nghiệm riêng
p

y
của phơng trình (3).

Nghiệm tổng quát của (3) sẽ có dạng y =
p
y
+
c
y
.
Cách tìm nghiệm riêng
p
y
trong một số trờng hợp
Trờng hợp 1:
)()( xPexk
n
x

=
với

là hằng số và
)(xP
n
là đa thức bậc n.

Nếu

không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng, nghiệm riêng của (3) có
thể tìm đợc dới dạng
)(xQey
n
x
p

=

với
)(xQ
n
là một đa thức cùng bậc với
)(xP
n
. Các hệ số của
)(xQ
n
đợc xác định
bằng cách thay
p
y
vào phơng trình (3) và đồng nhất các hệ số của các lũy thừa
cùng bậc của đa thức ở hai vế của phơng trình sau
)()()()()2()(
2
xPxQqpxQpxQ
nnnn
=+++

++


. (4)

Nếu
a
là một nghiệm đơn của phơng trình đặc trng thì hệ số của
)(xQ
n
trong (4)
bằng 0 còn hệ số
02 + p

. Để (4) đúng thì phải giữ nguyên số hệ số của đa thức
Qx
n
() và tăng bậc lên một bằng cách nhân
x
với
)(xQ
n
. Nghiệm riêng của (3) sẽ
có dạng
)(xQxey
n
x
p

=

. Tơng tự nếu

là nghiệm kép của phơng trình đặc
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


21
8
trng thì cả hai hệ số của
)(xQ
n
và
)(xQ
n

bằng không cho nên phải nhân
2
x
với
)(xQ
n
. Nghiệm riêng của (3) sẽ có dạng
)(
2
xQexy
n
x
p

=
.
Thí dụ
1) Giải phơng trình
x
xeyy =

.
Giải
Phơng trình đặc trng
1
2


= 0 có 2 nghiệm
1
1
=

và
1
2
=

. Nghiệm tổng quát
của phơng trình thuần nhất
0=

yy
là

xx
c
ececy

+=
21

Ta tìm nghiệm riêng dới dạng )( bxaxey
x
p
+= . Các hệ số a,b đợc xác định bằng
cách thay
p
y
và
[
]
x
p
ebxxabbay
2
)4()(2 ++++=


vào phơng trình vi phân đã cho
[
]
xxx
xeebxaxebxxabba =+++++ )()4()(2
22

.
Suy ra
2(a + b)x + (4b + a) x- ax = x ,
tức là
2(a + b) = 0 ,
4b = 1.
Vậy
4
1
,
4
1
== ab
và
x
p
exxy






+=
4
1
4
1
. Nghiệm tổng quát của phơng trình là
xxx

ececexxy

++






+=
21
4
1
4
1

với
21
,cc
là những số thực tùy ý.
Thí dụ
2) Tìm nghiệm phơng trình
)1(2
2
+=+

+

xeyyy
x

thỏa mãn điều kiện khởi đầu
y(0) = 0, y'(0) = 1.

Giải
Phơng trình đặc trng
012
2
=++

có nghiệm kép là

= -1. Nghiệm tổng quát
của phơng trình thuần nhất 02 =+

+

yyy là
xx
c
xececy

+=
21
.
Tìm nghiệm riêng dạng
)(
2
cxbxaey
x

p
++=
.
Các hệ số
a,b,c
đợc xác định bằng cách thay
pp
yy

,
,
và
p
y

vào phơng trình đầu
[
]
[
]
)1()()2(2)2(2
2222
+=+++++++++++++ xeecxbxaecxxbcbaecxxbccba
xxxx

Chơng 12.
Phơng trình vi phân

21
9

Tức là
14))2(3(2)(3
22
+=+++++++ xcxxbbcacba
. Suy ra
3(a + b) + 2c + a = 1 ,
3(2c + b) + b = 0 ,
4c = 1.
Ta có
32
13
,
8
3
,
4
1
=== abc
và
)
4
1
8
3
32
13
(
2
xxey
x

p
+=
. Nghiệm tổng quát của
phơng trình là
xxx
xececxxey

+++=
21
2
)
4
1
8
3
32
13
(

Các hệ số
21
,cc
đợc xác định từ điều kiện khởi đầu
11)0(
1
=+=
1
c hay cy

32

61
11
32
1
)0(
22
==+=

ccy
hay
.
Lời giải của bài toán sẽ là
xxx
xeexxey

++=
32
61
)
4
1
8
3
32
13
(
2
.
Trờng hợp 2
:

)]sin()()cos()([)( xxQxxPexk
x
+=

trong đó

,

là hằng số,
P(x)

và
Q(x)
là những đa thức. Trong trờng hợp này ngời ta có thể tìm nghiệm riêng dạng
)]sin()()cos()([ xxQxxPey
x
p
+=


trong đó
)(),( xQxP
là những đa thức có bậc bằng bậc cao nhất của
P(x)
và
Q(x)
nếu

i

không phải là nghiệm của phơng trình đặc trng hoặc nghiệm riêng dạng
)]sin()()cos()([ xxQxxPxey
x
p
+=


với
)(),( xQxP
nh trên, nếu




i

là nghiệm của phơng trình đặc trng.
Thí dụ
Giải phơng trình
)cos(136 xeyyy
x
=+



.
Giải

Phơng trình đặc trng
0136
2
=+

có nghiệm
i23
1
+=

và
i23
2
=

.
Nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất
0136
=+



yyy
là
)]2sin()2cos([
21
3
xcxcey
x
c

+=
.
Ta tìm nghiệm riêng dạng
)]sin()cos([ xbxaey
x
p
+=
.
Để xác định các hệ số
a
và
b
, tính
pp
yy

, :
)]cos()sin([ xbxaeyy
x
pp
++=


)]cos()sin([2)]cos()sin([ xbxaeyxbxaeyy
x
p
x
pp
+=++

=


rồi thay vào phơng trình đầu ta có
Chơng 12.
Phơng trình vi phân


22
0
[]
)cos()sin()74()cos()47( xeexbaxba
xx
=++
.
So sánh hệ số trong hai vế của phơng trình cho ta hệ phơng trình đối với
a
và
b
:
7a - 4b = 1
4a + 7b = 0.
Suy ra
65
7
=
a
và
65
4

=
b
. Nh vậy nghiệm riêng cần tìm sẽ là
)]sin(4)cos(7[
65
1
xxey
x
p
=

và nghiệm tổng quát của phơng trình đầu là
)]2sin()2cos([)]sin(4)cos(7[
65
1
21
3
xcxcexxey
xx
++=
.

221
______________________________
Bài tập và
Tính toán thực hành Chơng 12
1. Giải phơng trình vi phân
________________________

1.1. Phơng trình vi phân có biến tách

Bài 1
Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình
0
2
=+ dyyxdx

và chọn ra đờng cong tích phân đi qua điểm
)0,0(
.
Bài 2
Giải các phơng trình:
1)
0=+
y
dy
x
dx
; 2)
0)2()2(
33
=+++ dyyydxxx
;
3)
0
11
22
=

+
y

dy
x
dx
; 4)
012
2
=+ ydydxyx
;
5)
1
1
4
+
+
=

y
x
y
; 6)
yx
ey

=

;
7)
x
y
y =

; 8)
0)()(
2222
=++ dyyxxdxxyy
;
9)
x
y
y =

; 10)
0)1())(1(
22
=++ dyydyedxey
yx
;
11)
xyy 2=

; 12)
0)(,0)61()cos(
5
==+

ydyydxxx
;
Bài 3
Một vật có khối lợng m đợc ném thẳng đứng xuống dới từ một độ cao nào đó. Tìm
quy luật thay đổi vận tốc của vật, biết rằng có hai lực tác dụng lên vật: lực hút của trái

đất và lực cản của không khí (tỷ lệ với vận tốc với hệ số tỷ lệ k).
Bài 4
Tốc độ phân rã của một chất phóng xạ tại mỗi thời điểm tỷ lệ thuận với khối lợng của
nó tại thời điểm ấy. Hãy xác định tỷ lệ phần trăm khối lợng
0
m
của chất phóng xạ bị
phân rã sau 200 năm, biết rằng chu kỳ phân rã của chất phóng xạ (thời gian chất phóng
xạ phân rã hết một nửa khối lợng) là 1590 năm.
Bài 5
Một tên lửa đợc phóng thẳng đứng với vận tốc
smv /100
0
=
. Sức cản của không khí
làm giảm chuyển động của tên lửa bằng cách truyền cho nó một gia tốc âm bằng
2
kv
, trong đó v là vận tốc tức thời của tên lửa, còn k là hệ số động học vũ trụ. Tính
thời gian tên lửa đạt vị trí cao nhất.
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 12
222
1.2. Phơng trình vi phân tuyến tính
Bài 1 Giải phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

0
1
2

2
=
+


y
x
x
y

và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện khởi đầu:
2=y
khi
1=x
.
Bài 2
Giải phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
xy
x
y 3
1
=+


và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện khởi đầu:
1=y
khi
1=x
.
Bài 3

Giải các phơng trình sau bằng cách sử dụng công thức nghiệm tổng quát:
1)
1)();sin( ==+


yxyy

; 2)
( )
2
22
12)1( xxyyx +=

+
;
3)
2
2 xxeyy
x
+=+


; 4)
)cos(
)tan(
y
x
yy =+

;

5)
2
62
x
xexy
dx
dy
=
; 6)
x
e
yy
2
1
1
+
=+

;
7)
1)2( =

yxe
y
; 8)
01
2
=++

xyyx

;
9)
0)( =+ xdydxexy
x
; 10)
dydxyxx =+ )(2
2
;
11)
))cos(( xxyxy

=
; 12)
x
exyxyx

=++

2
3)1(
;
13)
yxyx 2)ln()1( =

; 14)
1
2
+=+

xxyy

.
Bài 4
Tìm nghiệm tổng quát sau khi đã đoán trớc một nghiệm riêng:
1)
1+=+

xyy
; 2)
x
eyy 2=+

;
3)
1
2
+=+

xxyy
; 4)
2
11
x
x
yy =+

;
5)
22
2121
xx

x
y
xx
x
y
+
+
=
+
+


;

Bài 5
Tìm nghiệm với giá trị khởi đầu
00
, yx
:
1)
1,1,
23
00
3
===+

yx
x
y
x

y

; 2)
0,0,
2
1
00
==+=

yxyxyx ;
3) 0,0,2
00
==+=

yxyxyx ; 4) 0,0,
00
===

yxyxyx ;
5) 0,0,
00
==+=

yxyxyx ;
Bài 6
Chứng minh rằng phơng trình vi phân tuyến tính
)()( xqyxpy =+


có nghiệm riêng dạng

by =
1
là phơng trình với biến tách.
Bài 7

á
p dụng phơng pháp đổi biến hoặc đạo hàm hai vế, hãy đa phơng trình sau đây về
dạng phơng trình vi phân tuyến tính và giải chúng:
Bài tập và tính toán thực hành

Chơng 12

223
1)
2
)1)(1( yyyx =

+ ; 2) dyyxxdx )12(
2
+= ;
3) 2)( =

yex
y
; 4)
32
22)cos(2)sin()1( xxyxyyx =+

;
5)

++=
x
xdttyxy
0
1)()(
; 6)

+=
xx
dttyxdttytx
00
)(2)()(
;
Bài 8
Tìm quy luật biến thiên của dòng điện trong mạng điện có cuộn tự cảm nếu
0
II =
khi
t
= 0,
)sin( tAU

=
,
constA =
.
Bài 9
Tìm đờng cong mà tiếp tuyến của nó cắt trục
Oy

một đoạn bằng
n
1
tổng các toạ độ
của tiếp điểm.
Bài 10
Tìm đờng cong sao cho tung độ trung bình của nó trong đoạn
],0[
x
, (tức là đại lợng

x
ydx
x
0
1
) tỷ lệ với tung độ của điểm ứng với cận bên phải của đoạn
],0[ x
.

Bài 11
Tìm đờng cong
AM
sao cho hoành độ của trọng tâm của hình
OAMP
bằng
4
3
hoành
độ của điểm

M
.
Bài 12
Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình tuyến tính
)()(
xqyxpy =+

với các giá
trị khởi đầu
00
,
yx
có thể viết dới dạng


deqeyy
x
x
x
dttp
dttp


+

=


)(
)(

0
)(
0
.

2. Thực hành giải
_________________________________

phơng trình vi phân trên máy
Dùng MAPLE V bạn có thể tìm nghiệm chính xác của rất nhiều phơng trình vi phân
thòng (ODE). Hơn nữa, MAPLE cho phép tìm nghiệm xấp xỉ của bất kỳ phơng trình
vi phân nào. Ngoài ra, nó còn vẽ đợc đồ thị nghiệm của các phơng trình vi phân.
Điều này rất có lợi khi ta muốn biết dáng điệu thay đổi của nghiệm khi giải các bài
toán cụ thể.
Để tiến hành giải phơng trình vi phân, ta khởi động chơng trình và nạp
gói công cụ

chuyên dụng cho chuyên mục này bằng các lệnh sau
[>
restart;

[>
with(DEtools);

Sau khi ấn phím [Enter] cho lệnh thực hiện, ta sẽ thấy hiện ra danh mục các công cụ
chứa trong gói:
[DEnormal, DEplot, DEplot3d, Dchangevar, PDEchangecoords, PDEplot, autonomous,
convertAlg, convertsys, dfieldplot, indicialeq, phaseportrait, reduceOrder, regularsp,
translate, untranslate, varparam]