Toan roi rac Quan hẹ hai ngoi

5/29/2009

Giảng viên : Phạm Phúc Thịnh

Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và quan hệ hai ngôi
R xác định trên X như sau: x,yX, xRy  x+y2 (ký
hiệu  diễn tả ý “chia hết cho”).
1. Tập R có những phần tử nào?
2. Quan hệ hai ngơi R có những tính chất gì?
3. R có phải là quan hệ tương đương trên X?
Nếu phải thì hãy tìm lớp tương đương của các
phần tử 1, 2. Tập thương X/R có những phần
tử nào?

1. Tập R có những phần tử nào?
R={(x,y)/xymod(2)}
 R={(0;0); (0;2); (0;4); (0;6); (1;1); (1;3); (1;5);
(1;7); (2;0); (2;2); (2;4); (2;6); (3;1); (3;3); (3;5);
(3;7); (4;0); (4;2); (4;4); (4;6); (5;1); (5;3); (5;5);
(5;7); (6;0); (6;2); (6;4); (6;6); (7;1); (7;3); (7;5);
(7;7)}

1


5/29/2009

2. Quan hệ hai ngơi R có những tính chất gì?
- Ta có x+x = 2x chia hết cho 2 với xX xRx
R có tính phản xạ.
- Xét x,yX với xRy  x+y2  y+x 2  yRx

R có tính đối xứng.
- Xét x,y,zX với xRy và yRz x+y2 và y+z 2
 x+2y+z 2, mà 2y 2  x+z 2 xRz R
có tính bắc cầu.

3. Nhận xét quan hệ R có các tính chất phản xạ, đối
xứng, bắc cầu nên R là quan hệ tương đương.
Ta có lớp tương đương của 1 là

1  {x  X / x  2k  1}
Ta có lớp tương đương của 2 là

2  {x  X / x  2k}
Tập thương X/R là

{1; 2}

Giải bài tập sau
X = { 1,2,3,4,5} x { 1,2,3,4,5} . Xét quan hệ 2 ngôi R
trên X được định nghĩa như sau:
(a,b) R (c,d) Û a+b = c+d
a. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương
đương trên X.
b. Tìm các lớp tương đương.

2


5/29/2009

X = { 1,2,3,4,5} x { 1,2,3,4,5}
Quan hệ R : (a,b) R (c,d) Û a+b = c+d
a. Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương
trên X.
- Chứng minh tính phản xạ : Xét (a,b)X ta có
a+b=a+b  (a,b) R (a,b).
- Chứng minh tính đối xứng : Xét (a,b) và (c,d)X
với (a,b) R (c,d)  a+b=c+d  c+d=a+b 
(c,d)R(a,b).
- Tính bắc cầu : Xét (a,b), (c,d), (e,f)X với (a,b) R
(c,d) và (c,d)R(e,f).

- Từ (a,b) R (c,d)  a+b=c+d (1)
- Từ (c,d) R (e,f)  c+d = e+f (2)
- Từ (1) và (2)  a+b = e+f  (a,b) R (e,f)
Vậy quan hệ (X,R) là quan hệ tương đương.

X = { 1,2,3,4,5} x { 1,2,3,4,5}
Quan hệ R : (a,b) R (c,d) Û a+b = c+d
b. Tìm các lớp tương đương.

X = { 1,2,3,4,5} x { 1,2,3,4,5}
Quan hệ R : (a,b) R (c,d) Û a+b = c+d
b. Tìm các lớp tương đương.

(1,1)  {( x, y ) / ( x, y)  X  x  y  2}
(1, 2)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  3}

(2,5)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  7}
(3,5)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  8}

(4,5)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  9}

(1,3)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  4}

(5,5)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  10}

(1, 4)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  5}
(1,5)  {( x, y ) / ( x, y )  X  x  y  6}

Vậy tập thương X/R có tất cả 8 phần tử
( X / R)  {(1;1); (1; 2); (1;3); (1; 4); (1;5); (2;5);
(3;5); (4;5); (5;5)}

3


5/29/2009

Giải bài tập sau
a) Chứng minh quan hệ chia hết là một quan hệ thứ
tự trên N* (tập các số tự nhiên khác không).
(Chú ý : quan hệ chia hết được định nghĩa như
sau : a chia hết b  a là ước của b)
b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất
của tập A= {2,3,4,5,6,12,30,60} đối với quan hệ
chia hết trên N*

a) Chứng minh quan hệ chia hết là một quan hệ thứ tự
trên N* (tập các số tự nhiên khác không).
- Gọi quan hệ chia hệ trên tập N* đang xét là R ta

có xRy  x là ước của y
- Xét xN* ta có x là ước của x  xRX  R có
tính phản xạ.
- Xét x,y N* sao cho xRy và yRx,
Từ xRy  x là ước của y  y=xk. (kN*) (1)
Từ yRx  y là ước của x  x=yq. (qN*) (2)
(1), (2)  y=yqk  qk=1  q=k=1  x=y  R có
tính phản xứng.

- Xét x,y, z N* sao cho xRy và yRz,
Từ xRy  x là ước của y  y=xk. (kN*) (1)
Từ yRz  y là ước của z  z=yq. (qN*) (2)
(1), (2)  z=xkq  x là ước của z  xRz  R có
tính bắc cầu.
R có tính phản xạ, phản xứng, bắc cầu  R là
quan hệ thứa tự trên N*
Tuy nhiên R là quan hệ khơng tồn phần vì 2, 3 là
các phần tử thuộc N* nhưng (2,3)R

4


5/29/2009

b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất
của tập A= {2,3,4,5,6,12,30,60} đối với quan hệ
chia hết trên N*

b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất
của tập A= {2,3,4,5,6,12,30,60} đối với quan hệ

chia hết trên N*

 Nhắc lại khái niệm tối tiểu : Phần tử aA là một phần
tử tối tiểu của A  không tồn tại xA sao cho xa và
xa
- Phần tử tối tiểu : 2; 3; 5; vì khơng có phần tử nào
của A khác 2, 3, 5 mà chia hết 2 , 3, 5.

 Nhắc lại khái niệm nhỏ nhất : Phần tử aA là phần
tử nhỏ nhất của A  xA ta có a  x.
- Phần tử nhỏ nhất : khơng có vì khơng có phần tử
nào của A chia hết các phần tử còn lại.
 Nhắc lại khái niệm lớn nhất : Phần tử aA là phần tử
lớn nhất của A  xA ta có x  a.
- Phần tử lớn nhất : 60 vì các phần tử cịn lại trong
tập đều chia hêt 60

b) Tìm các phần tử tối đại, tối tiểu, lớn nhất, nhỏ nhất
của tập A= {2,3,4,5,6,12,30,60} đối với quan hệ
chia hết trên N*
 Nhắc lại khái niệm tối đại : Phần tử aA là một phần
tử tối đại của A  không tồn tại xA sao cho xa và a
x
- Phần tử tối đại : 60 vì khơng có phần tử x nào
của A khác 60 mà 60 chia hết x.

5


5/29/2009

Cho tập X={a,b,c,d}.
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập tất cả các tập hợp
con của X ( kí hiệu là P(X))
b) Chứng minh quan hệ bao hàm là quan hệ thứ tự
trên P(X).
c) Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu
của tập Y={{a}; {a,b}; {a,b,c}; {a,b,d}}
d) Tương tự câu hỏi c) đối với tập P(X); P(X)\X

Liệt kê các phần tử của tập tất cả các tập hợp con
của X ( kí hiệu là P(X)).
P(X)={{}; {a}; {b}; {c}; {d}; {a;b}; {a;c}; {a;d}; {b;c};
{b;d}; {c;d}; {a,b;c}; {a,b;d}; {a;c;d}; {b;c;d};X}

Liệt kê các phần tử của tập tất cả các tập hợp con
của X ( kí hiệu là P(X)).
P(X)={{}; {a}; {b}; {c}; {d}; {a;b}; {a;c}; {a;d}; {b;c};
{b;d}; {c;d}; {a,b;c}; {a,b;d}; {a;c;d}; {b;c;d};X}

Tìm các phần tử lớn nhất, nhỏ nhất, tối đại, tối tiểu
của tập Y={{a}; {a,b}; {a,b,c}; {a,b,d}}
 Phần tử tối tiểu của Y là {a} vì khơng có phần tử y
nào trong Y khác {a} mà là con của {a}.
 Phần tử nhỏ nhất của Y là {a} vì {a} là con của các
phần tử cịn lại trong Y.
 Phần tử tối đại của Y là {a,b,c} và {a,b,d} vì khơng
có phần tử y nào trong Y khác {a,b,c} và {a,b,d}
mà {a,b,c} và {a,b,d} là con của y.
 Phần tử lớn nhất của Y khơng có vì khơng có

phần tử y nào trong y sao cho các phần tử còn lại
là con của y.

- Xét 2 phần tử tập con A,B  P(x) với A  B và B A
 A B và B  A  A=B vậy quan hệ bao hàm có
tính phản xứng.
-Xét 3 phần tử tập con A,B, C  P(x) với A  B và B
C  A  B và B  C  (xA  xB) và (yB 
yC)  (xA  xC)  A  C  A  C vậy quan
hệ bao hàm có tính bắt cầu
-Suy ra (P(X); ) là quan hệ thứ tự.

Chứng minh quan hệ bao hàm là quan hệ thứ tự trên
P(X).
Nhắc lại định nghĩa quan hệ bao hàm như sau :
AB  (xA x B)
Ký hiệu quan hệ bao hàm này là “” ta có A B 
AB  (xA x B).
- Xét phần tử tập con A  P(x) ta có A A  A A vậy
quan hệ bao hàm có tính phản xạ

Câu d sinh viên tự giải quyết dựa trên câu c

6


5/29/2009

• Cho A = {1,2,3,4,5} . Cho R và S là hai quan hệ (2
ngơi) trên A có ma trận biểu diễn lần lượt là

1
1

MR  1

0
0

1
0

MS  0

0
1

0 0 0 0
1 0 1 0 
1 1 1 1

0 0 1 0
0 0 0 1 

0 1 1 0
1 1 1 0 
0 1 1 0

0 0 1 0
1 1 1 1 

a) Chứng minh rằng R và S là những quan hệ thứ tự
trên A.
b) Vẽ các biểu đồ Hasse cho (A,R) và (A,S).

• Từ các ma trận MR và MS đã cho ta có các tập R
và S như sau
R={(1;1);(2;1);(2;2);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);
(3;5); (4;4);(5;5)}
S={(1;1);(1;3);(1;4);(2;2);(2;3);(2;4);(3;3);(3;4);(4;4);
(5;1); (5;2);(5;3);(5;4);(5;5)}
a) Chứng minh rằng R là quan hệ thứ tự trên A.
Ta có (1;1); (2;2); (3;3); (4;4); (5;5) R  x A ta
có xRx nên R có tính phản xạ.
Dễ dàng thấy rằng R có tính phản xứng.
Lấy các phần tử 2;3;4 thuộc A ta có (2;3)R;
(3;4)R và (2;4)R  (2R3 và 3R4 2R4)
Vậy R là quan hệ thứ tự trên A

b) Vẽ biểu đồ Hasse cho (A,R)
R={(1;1);(2;1);(2;2);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(3;4); (3;5);
(4;4);(5;5)}

4

1

5
2

3

7


5/29/2009

b) Vẽ biểu đồ Hasse cho (A,S)
R={(1;1);(1;3);(1;4);(2;2);(2;3);(2;4);(3;3);(3;4);(4;4);
(5;1); (5;2);(5;3);(5;4);(5;5)}
4

3

1

2

5

• Từ các ma trận MR và MS đã cho ta có các tập R
và S như sau
R={(1;1);(2;1);(2;2);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(3;4);
(3;5); (4;4);(5;5)}
S={(1;1);(1;3);(1;4);(2;2);(2;3);(2;4);(3;3);(3;4);(4;4);
(5;1); (5;2);(5;3);(5;4);(5;5)}
a) Chứng minh rằng R là quan hệ thứ tự trên A.
Ta có (1;1); (2;2); (3;3); (4;4); (5;5) R  x A ta
có xRx nên R có tính phản xạ.
Dễ dàng thấy rằng R có tính phản xứng.
Lấy các phần tử 2;3;4 thuộc A ta có (2;3)R;

(3;4)R và (2;4)R  (2R3 và 3R4 2R4)
Vậy R là quan hệ thứ tự trên A

8