Tài liệu Giải tích cổ điển cao học docx

I. CHUỖI ĐAN DẤU (DẨU HIỆU LEPNIT):
Nếu b
n
đơn điệu, giảm về 0 thì chuỗi hội tụ.
Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi:
Giải:
Đây là chuỗi đan dấu với b
n
=
Ta có: lnx đơn điệu tăng (x>0) đơn điệu giảm và 0
Ta chứng minh: ln(n + 1) > ln(n) ln(n + 1) - ln(n) > 0 mà
Theo dấu hiệu Lepnit thì hội tụ
Miền hội tụ:
= a
o
(x) + ……… + a
n
(x) + …………
.hội tụ
.hội tụ
Giải bpt tìm đựơc 1 miền R
1
<x<R
2

Xét xem tại R
1
, R
2
chuỗi có hội tụ không?
Ví dụ: tìm miền hội tụ

Giải
Ta có: nếu thì chuỗi hội tụ
Xét f(x)= lnx
Giải bpt
Tại ta có chuỗi phân kỳ
Tại x = e ta có chuỗi phân kỳ
Vậy miền hội tụ của chuỗi là
II. CHUỖI LŨY THỪA:
Tìm l ở 1 trong 2 dạng sau: hoặc
Miền hội tụ sẽ là (-R, R)
Xét thêm tại –R và R
Ví dụ: tìm miền hội tụ của chuỗi
Giải:
.là chuỗi lũy thừa với a
n
=
Xét;
Tại x = -2 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có b
n
= đơn điệu)
Tại x = 2 ta có chuỗi (chuỗi điều hòa p = 1) phân kỳ
Vậy miền hội tụ D = [-2, 2)
III. CHUỖI ĐIỀU HÒA:
.p > 1: hội tụ
.p 1: phân kỳ
Ví dụ:
Chuỗi phân kỳ
Chuỗi hội tụ
Chuỗi phân kỳ
Chứng minh rằng:

Giải
Ta có: (đpcm)
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
Giải
Ta có:
Nếu thì chuỗi hàm hội tụ
Tại x = 0 ta có chuỗi hội tụ
Tại x = -2 ta có chuỗi phân kỳ
Vậy miền hội tụ của chuỗi là D =
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải
Ta có:
Khi thì chuỗi hội tụ
Xét tại x = 1 ta có chuỗi phân kỳ
Xét tại x = 3 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có b
n
đơn điệu)
Miền hội tụ của chuỗi là D = (1, 3]
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm:
Giải
Đây là chuỗi hàm với
Xét
Chuỗi hàm hội tụ khi
Miền hội tụ chính
Tại x = ta có chuỗi
Áp dụng định lý Diriclet với và
Xét:
S
n
= a

1
+ …………… + a
n

=
Ta cần chứng minh rằng
Thật vậy,
Với n chẳn, ta có: vì
Với n lẻ, ta có
Vậy
Theo định lý Diriclet ta suy ra hội tụ
Suy ra
Miền hội tụ của chuỗi là D = (tại x = ½ ta có chuỗi cũng là chuỗi hội
tụ)

IV. ĐỊNH LÝ DIRICHLET:
Nếu chuỗi bị chặn (tức là và) thì chuỗi hội tụ.
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải
Chuỗi trên có dạng chuỗi lũy thừa với a
n
=
Xét:
Miền hội tụ chính
Tại x = - 1/3 ta có chuỗi phân kỳ
Tại x = 1/3 ta có chuỗi phân kỳ
Vậy miền hội tụ của chuỗi là
Cho chuỗi hàm
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải

Đặt X = x + 2
Ta có chuỗi lũy thừa với a
n
=
Xét
Miền hội tụ chính của chuỗi là (-2, 2)
Miền hội tụ chính của chuỗi là -2< x + 2<2
-4 < x < 0
Tại x = -4 ta có chuỗi phân kỳ
Tại x = 0 ta có chuỗi phân kỳ
Vậy miền hội tụ của chuỗi là D = (-4, 0)
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải
Đây là chuỗi lũy thừa với a
n
= n(n + 1)
Xét
Miền hội tụ chính (-1, 1)
Xét tại x = -1 ta có chuỗi phân kỳ
Tại x = 1 ta có chuỗi phân kỳ
Miền hội tụ của chuỗi là D = (-1, 1)
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải:
Ta có:
Xét:
Chuỗi hội tụ khi
Miền hội tụ chính
Tại x = 0 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có )
Tại x = -2 ta có chuỗi phân kỳ (p = 1)
Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D =

Cho chuỗi hàm
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
Giải
Đặt X = 2x – 1 thì ta có chuỗi là chuỗi lũy thừa với a
n
=
Xét
Miền hội tụ chính của chuỗi là -1 < X < 1
Miền hội tụ chính của chuỗi là (-1, 1)
Tại x = -1 ta có chuỗi phân kỳ
Tại x = 1 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có b
n
đơn điệu)
Miền hội tụ của chuỗi là D = (-1, 1]