Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán sinh viên Phần Giải tích

Trường Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh
Bộ mơn Tốn Kinh tế

Hướng dẫn ơn thi
Olympic Tốn sinh viên
Phần Giải tích

TS. Lê Phương (chủ biên)
ThS. Bùi Thị Thiện Mỹ


Tài liệu tham khảo - Lưu hành nội bộ


Lời nói đâu
Olympic Tốn sinh viên là cuộc thi học thuật thường niên được phối hợp tổ chức bởi
Hội toán học Việt Nam và Bộ Giáo dục đào tạo dành cho sinh viên các trường đại học và
cao đẳng trong cả nước. Ke từ lần đầu được tổ chức vào nam 1993, cuộc thi đã trải qua
chặng đường hơn 25 nam. Cuộc thi đã góp phần quan trọng trong việc thúc đẩy phong
trào dạy và học toán trong các trường đại học, cao đẳng trong cả nước với một tỉ lệ không
nhỏ các sinh viên đạt giải đến từ các trường khơng có chun ngành tốn.
Đã có khá nhiều sách và giáo trình được biên soạn nhằm phục vụ cho cuộc thi. Có thể
kể đến các cuốn “Tốn Olympic cho sinh viên” của Trần Lưu Cường [2, 3], “Những bài
toán giải tích chọn lọc” của Tơ Van Ban [4], “Bài tập giải tích” của Kaczkor - Nowak [5,
6],... cùng với đó là các cuốn kỷ yếu chính thức từ Ban tổ chức cuộc thi [8]. Tuy nhiên
nhìn chung các tài liệu này chỉ phù hợp với đối tượng là các sinh viên học ngành toán
hoặc đã kinh qua các cuộc thi học sinh giỏi ở phổ thông. Khi đọc lời giải của các bài toán
trong những tài liệu trên, phần đơng sinh viên sẽ khơng hiểu vì sao tác giả lại tìm được
những lời giải như vậy. Do đó rất khó để sinh viên có thể tự đọc các tài liệu trên mà
khơng có sự phân tích, giảng giải từ phía các giảng viên có kinh nghiệm.
Tài liệu tham khảo này được đúc kết từ kinh nghiệm thực tế của các tác giả với tư

cách là người từng tham gia dự thi và tham gia huấn luyện đội tuyen Olympic Tốn của
trường Đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu ra đời với hi vọng giúp sinh
viên có thể tự học, tự ơn luyện để nắm bắt được phương pháp giải các bài tốn giải tích.
Thơng qua các ví dụ cụ thể, sinh viên sẽ được tiếp cận với các dạng toán thường xuất hiện
trong cuộc thi. Với mỗi bài tốn, chúng tơi khơng chỉ cung cấp lời giải chi tiết mà cịn
phân tích ý tưởng cũng như cách thức suy nghĩ đe tìm ra lời giải một cách tự nhiên nhất.
Từ đó giúp sinh viên rèn luyện được phương pháp suy nghĩ logic và tư duy sáng tạo vốn
rất cần thiết cho sinh viên không chỉ trong phạm vi cuộc thi mà còn trong học tập và trong
cơng việc tương lai.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 6 nam 2019

Các tác giả

3


Mục lục • •
1


2
3
4
5
6
7

Chương 1

8

Kiến thức cơ sở
1.1 Giải b ài toán Olympic như thế n ào

9

Phân tích bài tốn

10
Giải một bài tốn là thông qua các suy luận logic, ta biến đổi các giả thiết ban đầu
thành kết luận của bài toán. Do đó, đinh hướng chính khi giải tốn là biến đổi bài toán P
ban đầu lần lượt thành các bài toán đơn giản hơn P1, P , ..., P để từ đó thu được kết luận
của 11
bài tốn P.
n

2

Bài tốn P

Bài toán P1

Bài toán P

n

Kết luận

12 Các bài toán trung gian, ví dụ bài tốn (P1), có 1 trong 2 dạng:
1. Tưìng đưìng với bài tốn P ban đầu (P1 , P): khi đó bài tốn P chỉ giải được khi và

chỉ khi bài tốn P1 giải được. Ta có thể tự tin tập trung vào việc giải bài toán P1
đìn giản hìn bài tốn ban đầu.
2. Bài tốn ban đầu là hệ quả của bài toán P1 (P1 ) P): trong trường hợp này ta cần
dự phịng tình huống bài tốn P1 này là sai (khơng thể giải được), khi đó ta phải đi
tìm một cách tiếp cận khác.
13 Trong q trình tìm lời giải bài tốn, ta có thể vận dụng linh hoạt 3 phưìng pháp
suy luận cì bản sau:
1. Phương pháp phản chứng: Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta hãy giả sử rằng P sai
và từ đó suy ra một điều vơ lí.


2. Phương pháp qui nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, ta
có thể chứng minh rằng: P(0) đúng và nếu P(n) đúng thì P (n + 1) đúng.
3. Phương pháp chia trường hợp: Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta có the viết mệnh
đề P thành tích của các mệnh đề đơn giản hơn: P = PiP ■ ■ ■ P rồi chứng minh tất
cả các mệnh đề P1, P , ..., P đều đúng.
2

2

n

n

14 Mục tiêu chính của tài liệu tham khảo này là hướng dẫn sinh viên cách suy luận
để tìm ra lời giải của các bài tốn giải tích thường xuất hiện trong cuộc thi Olympic Tốn
sinh viên.
15

Trình bày lời giải

16
Q trình phân tích bài tốn để tìm lời giải thường khơng phải là một q trình suy
luận logic chặt chẽ, mà còn dựa nhiều trên kinh nghiệm và trực giác. Do đó ta sẽ khơng
ghi những gì ta phân tích vào trong lời giải mà ta chỉ ghi những suy luận chặt chẽ về mặt
logic mà thôi.
1. Ta viết ra một lời giải đúng chứ ta không cần viết ra lí do tại sao ta lại tìm được lời
giải như vậy. Ví dụ: để giải bài tốn tìm công thức tổng quát của một dãy số truy
hồi, ta có thể tính tốn thử một số phần tử đầu tiên của dãy để dự đốn cơng thức
tổng qt, sau đó sẽ cố gắng chứng minh dự đốn đó bằng qui nạp tốn học. Bước
tính tốn thực nghiệm để dự đốn cơng thức tổng qt là bước phân tích được tiến
hành ngồi nháp, khơng đưa vào bài giải. Trong bài giải ta chỉ cần ghi “Bằng
phương pháp qui nạp ta sẽ chứng minh cơng thức ...” và sau đó ghi ra phần chứng
minh mà khơng cần lí giải bằng cách nào ta tìm được cơng thức đó.
2. Một lời giải tốt cần cơ đọng, súc tích nhưng đầy đủ các bước suy luận. Để lời giải
đỡ nặng nề và dễ đọc, ta khơng nên q lạm dụng các kí hiệu V, 3, , mà nên sử
dụng các mệnh đề logic thay thế như “với mọi”, “tồn tại”, “khi và chỉ khi” . . .

1.2 Hằng đẳng thức
17

Cho các số thực a, b và số tự nhiên n, ta có các hằng đẳng thức sau:
1. Khai triển nhi thức Newton:


18

(a + b)n =
k=0

X

ck a b ~ .
k

n k


Chương 11.3. Bất đẳng thức

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

2. Hiệu của 2 lũy thừa cùng bậc:
19

an - bn = (a - b) n^ a b ~ ~ .
k

n 1 k

ìk=

3. Tổng các lũy thừa cùng bậc của n số tự nhiên đầu tiên:
(a) P k =

21 20
k=1
22

Pk

23 (c) P k
(b)

8

.

k=1

k=1
n(n+1)(2n+1)
3

24
25

6

n(n+1)

8

Lê Phương,
8 Bùi Thi Thiện
LêMỹ
Phương,
- Hướng
Bùidẫn
Thiơn
Thiện

thi Olympic
Mỹ - Hướng
Tốndẫn ơn thi Olympic
8 Toán


Chương 1

1.3. Bất đẳng thức

26

1.3 Bất đẳng thức
27

Dưới đây là các bất đẳng thức cơ bản có thể sử dụng trong cuộc thi.

28

Định nghĩa 1.1. Hàm số f : D ! R được gọi là lồi trên D nếu với mọi x,y 2 D và với

mọi a 2 (0; 1) ta có

29

f (ax

+ (1 - a)y) <

af (x)

+ (1 - a)f (y).

30
31

Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y thỉ f được gọi là lồi chặt trên (a, b).
Hàm số f được gọi là lõm (chặt) trên D nếu —f là lồi (chặt) trên khoảng đó.

32

Định lí 1.1. Cho f là một hàm số khả vi hai lần trên (a,b) thỉ f lồi (chặt) trên (a,b) khi và

chỉ khi f"(x) > 0 (tương ứng f"(x) > 0) với mọi x 2 (a,b).

33

Định lí 1.2. Nếu f : [a,b] ! R là một hàm lồi thỉ nó liên tục trên (a,b).

34
35

Định lí 1.3 (Bất đẳng thức Jensen).

Cho hàm số lồi f, các số thực a , a ;...; n
a và các số thực dương x ; x ;...; X thỏa
mãn 52 x = 1. Ta có bất đẳng k=1
1

n

1

2

n

2

k

36

thức

37

!

(n

38

n

y.Xk ak

39

I < X f (a ).

k

k=1

k

k=1

40

Nếu f là lồi chặt thỉ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = a = ■ ■ ■ = a .

41

Ắp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f (x) = — In x, ta có:

1

42

n

2

Định lí 1.4 (Bất đẳng
thức trung bình tổng
quát). Cho các số thực

dương n
a ,a ,... ,a và các số thực

dương A , A ;...; An thỏa mãn
^2 A = 1. Ta có k=1

43

1

n

2

1

2

k

44

bất đẳng thức

45

46

47

X

nn

n

a k
k k>
k.
k=1 k=1

A a

48

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = a = ■ ■ ■ = a .

49

Đặt biệt khi A = A = ■ ■ ■ = An = n hoặc n = 2 ta có các bất đẳng thức quen thuộc

1

1

2

n

2

Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn

9


Chương 11.3. Bất đẳng thức

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

sau:
50

Định lí 1.5 (Bất đẳng thức AM-GM). Trung bình cộng của các số thực không âm a ; ■
1

■ ■ ,a không bé hơn trung bình nhãn của các số đó, nghĩa là
n

51
52
53

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = a = ■ ■ ■ = a .

54

Bất đẳng thức AM-GM cịn được gọi là bất đẳng thức Cauchy.

55

Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Young). Cho các số thực dương a, b;P và q thỏa mãn p + q

1

n

2

= 1. Ta có
q
56- -aa->
, bab.
_
------1-

57

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b .
p

q

58

Định lí 1.7 (Bất đẳng thức Holder). Cho các số thực không âm a ,a ;...; a , b ;b ;... ;b ,
và các số thực dương p và q thỏa p + q = 1, ta có
1

59k=1
60

Ẻ ak=1

k kb

< (± ap

y

/p

n

2

1

2

n

)

(±
■
k=1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các bộ số a và b tỉ lệ với nhau.
k

k

61

Chứng minh. Nếu vế phải của bất đẳng thức bằng khơng thì a = b = 0 với mọi k =
1;... ; n và bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp vế phải của
k

k

bất đẳng thức khác không. Đặt
62

( ^k. \1/ ;

Ck

63
64
65

( nk
P

dk

p

P a kl
p

k=1

\

1/q.

k=1

Ắp dụng bất đẳng thức Young ta có
66
68

XX C d

k k

<

XX f c+' ì=1XX c +1XX d =1+1=1.
k

67
k=1

\ p q) p
,P 1 v

/

1

k=1

k

q

pq
k=1

1

69
ra điều phải chứng minh.

Từ đó suy
□

70

Đặc biệt khi p = q = 2 ta có bất đẳng thức quen thuộc

71

Định lí 1.8 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Cho các số thực a ,a ,...; a , bi,b ,... ,bn,
1

2

n

2

ta có

Lê Phương,
10 Bùi Thi Thiện
LêMỹ
Phương,
- Hướng
Bùidẫn
Thiơn
Thiện
thi Olympic
Mỹ - Hướng
Tốndẫn ơn thi Olympic
10 Tốn


Chương 1

1.3. Bất đẳng thức

72

(\ 2

73
74
75

X

akbki <
k=1

X

ak

X

bk.

k=1

k=1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các bộ số a và b tỉ lệ với nhau.
k

k

76
Ngoài cách chứng minh tổng quát như trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz một cách đơn giản hơn bằng cách sử dụng đồng nhất thức Lagrange:
77
78
79
80

(n

k=1

!

2
a b
(a a a a )
X k k) X i j _ j i 2.
/

1
Định lí 1.9 (Bất đẳng thức Minkovski). Cho p > 1 và các số thực khơng âm

a,1,a,2,...,ữn, b1; b2;... ;bn, ta có

81
82

Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn

11


Chương 11.3. Bất đẳng thức

Suy ra

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

.

1

X

(a + bk r)

,k=1

84

83

1
p

<

k

+

/

Định lí 1.10 (Bất đẳng thức Chebyshev). Cho các số thực a và b thỏa mãn a < a < ■
k

k

1

2

■ ■ < a và b < b < ■ ■ ■ < b , ta có
n

1

n

2

1
n
0<

.
'akbn+1—k

\n

k=1

ỵ^(aj

85

1
<1

-

ak)(bi

1 X bk) < 1 X ak bk: n / n

86 k=1

' ak
k=1

87 Chứng minh. Ta có
a b

bk) = 2nỴ^

-

k=1

Z1 k=1

k k

2

k=1

b

k:

J>k

k=1

k=1

Do đó

89

88

Vế cịn lại chứng minh tương tự bằng cách xét khai triển của
90
91

0>

(ai - ak)(bn+1-i bn+1—k):

i=1 k=1

92

Chương 2

93

Dãy số
2.1 Tóm tắt lí thuyết
2.1.1Dãy số và tính chất

94

Định nghĩa 2.1 (Dãy số). Dãy số là một tập hợp vô hạn đếm được các số thực được

sắp thứ tự. Dãy số được kí hiệu là (u ) hoặc {u } trong đó u là phần tử thứ n của dãy. Phần tử
thứ n của dãy số (u ) có thể được cho bởi công thức tường minh
n

ra

n

n

95

u

n=

ỉ (n);

Lê Phương,
12 Bùi Thi Thiện
LêMỹ

Phương,
- Hướng
Bùidẫn
Thiơn
Thiện
thi Olympic
Mỹ - Hướng
Tốndẫn ơn thi Olympic
12 Tốn


Chương 1

96

1.3. Bất đẳng thức

hoặc một công thức truy hồi

97
98

Un = ỉ (n,Un-1,Un-2, ■■■ ).

Định nghĩa 2.2 (Dãy đơn điệu). Dãy số (u ) được gọi là
n

• tăng (tăng chặt) nếu u < u (u < u ) với mọi n 2 N,
n

n+1

n

n+1

• giảm (giảm chặt) nếu u > u (u > u ) với mọi n 2 N.
n

n+1

n

n+1

99

Dãy tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.

100

Định nghĩa 2.3 (Dãy bi chặn). Dãy số (u ) được gọi là
n

• bị chặn trên nếu tồn tại C 2 R sao cho u < C với mọi n 2 N,
n

• bị chặn dưới nếu tồn tại C 2 R sao cho u > C với mọi n 2 N.
n

101

Dãy bị chặn trên và bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.

102

Định nghĩa 2.4 (Dãy Cauchy). Dãy số (u ) được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0 0,
tồn tại n(e) 2 N sao cho \u — u \ < với mọi m,n > n(e).
n

m

103

n

Định nghĩa 2.5 (Dãy con). Cho dãy số (u ) và dãy các số tự nhiên n thỏa 1 < n < n <
n

k

1

2

• • • . Khi đó dãy số (u ) được gọi là một dãy con của dãy (un).
nk

2.1.2 Giới hạn của dãy số
104

Định nghĩa 2.6 (Giới hạn). Dãy (u ) được gọi là hội tụ đến l (hay có giới hạn là l) nếu
với mọi " > 0, tồn tại n(") 2 N sao cho \u — l\ < " với mọi n > n("). Kí hiệu lim u = l hay u !
l khi n ! 1.
105
nu
106
Dãy (u ) được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại l 2 R sao cho lim u = l, nu ngược lại
(u ) được gọi là dãy phân kĩ.
n

n

n

n

n

n

n

107

Định nghĩa 2.7 (Giới hạn vơ cùng). Dãy (u ) được gọi là
n

• tiến đến +1 (hay có giới hạn là +1) nếu với mọi M > 0, tồn tại n(M) 2 N sao cho u >
M với mọi n > n(M).

n

108

Kí hiệu lim u = +1 hay u ! +1 khi n ! 1. nu
n

n

• tiến đến —1 (hay có giới hạn là —1) nếu (—u ) tiến đến +1.
n

109

Kí hiệu lim u = —1 hay u ! —1 khi n ! 1. nu
n

n

• tiến đến 1 (hay có giới hạn là 1) nếu (\u \) tiến đến +1.
n

110
111

Kí hiệu lim u = 1 hay u ! 1 khi n ! 1. nu
n

n

Định nghĩa 2.8 (Giới hạn trên, giới hạn dưới). Giá trị l 2 R u { — 1, —1} được

gọi là
• giới hạn trên của dãy (u ) nếu tồn tại dãy con (u ) của dãy (u ) thỏa mãn lim u = l và với
dãy con (u ) bất kĩ ta có lim u > l nếu
n

mk

nk

n

nk

mk

Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn

13


Chương 11.3. Bất đẳng thức

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

112

113
114

kn kn

lim u tồn tại. Kí hiệu lim sup u = l.
mk

n

k!1

nu

• giới hạn dưới của dãy (u ) nếu —l là giới hạn trên của dãy (—u ). Kí hiệu lim inf u = l.
115
nu
n

116

n

n

Định nghĩa 2.9 (Vô cùng bé). Cho hai dãy số (a ) và (b ). Dãy (a ) được gọi là
n

n

n

• vơ cùng bé so với dãy (b ) nếu lim a- = 0. Kí hiệu a = o(b ).
n

n

n

• cùng bậc so với dãy (b ) nếu lim 0' = k 2 R\{0}. Kí hiệu a = O(b ).
n

n

n

• tương đương với dãy (b ) nếu lim an = 1. Kí hiệu a ~ b .
n

117

n

n

Định lí 2.1 (Tính chất của giới hạn).

1. (Thơng qua hàm số) Nếu các dãy so (un) (1 < i < k) có giới hạn tương ứng là ú và (u ; u ;
R
R
• • • ,u ) thuộc tập xác định của một hàm sơ cấp f : k !
thì lim f (un,uịl; •• • \uk) = f

(u
; ú ; •• • ;uk),
1

2

k

1

2

118

nu

2. (Thứ tự và nguyên lí kẹp) Nếu lim u = u, lim v = v và u < v
n

n

119

120
121
122

n

n

nu

nu

thỉ
Hệwquả
u < vnu< w và
limuu<= v.lim
= l là,
thì nếu
nu
n

n

lim v = l.

n

n

n

n

nu

3. (Dãy đơn điệu, bị chặn) Dãy tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thỉ hội tụ. Dãy tăng (giảm)
và không bị chặn trên (dưới) thỉ tiến đến +1 (-1).

4. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy (u ) là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
n

5. (Dãy con) Dãy số (u ) có giới hạn là l khi và chỉ khi mọi dãy con cũng có giới hạn là l.
Nếu (u ) và (u ) có cịng giới hạn là l thỉ (u ) cũng có giới hạn là l. Tong quát nếu k dãy
con của (u ) có cịng giới hạn là l và hội các chỉ số của các dãy con đó bằng N thỉ (u ) có
giới hạn là l.
n

2n

2n+1

n

n

n

6. (Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều có một dãy con hội tụ.

123

Định lí 2.2 (Tính chất của giới hạn trên, giới hạn dưới).
1. limsup u = lim sup{u : k > n}, lim inf u = lim inf {u : k > n}.
n

124

k

n

n^^

k

nu

nu

nu

2. Nếu (u ) bị chặn trên bởi M thỉ limsup u < M. Nếu (u ) không bị
n

n

n

125
126

nu

chặn trên thỉ limsup u = +1.
n

Lê Phương,
14 Bùi Thi Thiện

LêMỹ
Phương,
- Hướng
Bùidẫn
Thiôn
Thiện
thi Olympic
Mỹ - Hướng
Tốndẫn ơn thi Olympic
14 Tốn


Chương 1

1.3. Bất đẳng thức

127
128
129

nu

chặn dưới thỉ lim inf u = —1.

Nếu
(u )) không
bị chặn
bởi M thỉ lim inf u > M.
Nếu (u
bị dưới

nu
n
n

n

n

130

nu

3. lim u = l , lim sup u = lim inf u = l.
n

n

131

2.1.3
132

n

nu

n^tt>

nu

Sai phân của dãy số

Định nghĩa 2.10 (Sai phân). Cho số tự nhiên k > 1. Sai phân cấp k của một dãy số

(u ) là dãy số (N u ) được xác định bởi cơng thức
k

n

n

133
134

trong đó Nu = u
n

n+1

—

Ak un ,\.\' u ,

u và N°u = u .
n

n

n

135 Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được

136
137

Ak u =
n

V (-if-'Ck u i.
n+

Định nghĩa 2.11 (Phương trình sai phân). Phương trình có dạng
138

139

G(n, un; A//n. ■ * * * ; A un)

0;

trong đó G : N X Rk ! R là một hàm số cho trước và (un) là dãy số cần tìm được gọi là
một phương trình sai phân cấp k.
140 Phương trình sai phân cấp k có thể được viết dưới dạng
+1

141

F(n

; un; un+1; * * *

;u

n+k)

0.

142 Phương trình sai phân có thể được nhìn nhận ở 2 góc độ:
1. Phương trình sai phân là phương trình hàm một biến số trên tập hợp N. Giải một
phương trình sai phân sẽ giúp ta xác đinh được số hạng tổng quát của dãy số cho
bởi một công thức truy hồi.
2. Khái niệm sai phân mơ phỏng khái niệm đạo hàm cịn khái niệm phương trình sai
phân mơ phỏng khái niệm phương trình vi phân của hàm số thực.

Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn

15


Chương 11.3. Bất đẳng thức

2.2

Các dạng toán về dãy số

2.2.1
143
sau:

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

Số hạng tổng quát của dãy số

Dạng tốn tìm số hạng tổng qt của dãy số thường được giải theo đinh hướng

1. Đưa công thức truy hồi có cấp vơ hạn về cơng thức truy hồi có cấp hữu hạn.
2. Đổi biến (lập dãy mới) để giảm dần cấp của công thức truy hồi cho đến khi tìm
được cơng thức của dãy mới.
3. Truy ngược lại cơng thức của dãy số ban đầu.
144Trong quá trình biến đổi cần linh hoạt thay đổi chỉ số n bởi n+1; n+2;... để thấy
được mối liên hệ giữa các số hạng của dãy.
145Trong đa số các trường hợp, việc tìm được công thức tổng quát cũng giúp ta khảo
sát được các tính chất khác như giới hạn, tính đơn điệu... của dãy số.
146

B ài 2.1 (Đề thi 2006). Cho dãy số (x ) xác đinh theo hệ thức sau
n

147
148

X1 = 2; X1 + X2 +------X3

+ +

Xn = n2Xn, 8n >

2.

Tính X2006.

149
Hướng dẫn. Hiển nhiên 2006 khơng có vai trị gì đặc biệt, ta cần phải tìm được
cơng thức của số hạng tổng qt nếu muốn giải được bài tốn. Theo cơng thức truy hồi ở
đề bài, để tính được x ta cần biết tất cả n — 1 số hạng đầu tiên của dãy. Nói cách khác đây
là cơng thức truy hồi có cấp vơ hạn, ta cần đưa nó về dạng đơn giản hơn (có cấp hữu hạn)
để xử lí dễ hơn. Ta nhận xét rằng nếu thay n bởi n +1 ở cơng thức của đề bài thì vế trái sẽ
có thêm số hạng x , trong khi vế phải được thay đổi thành (n + 1) x . Do đó ta phải có
Xn+1 = (n + 1) Xn+1 - n Xn hay Xn+1 = n+2Xn.
150
Ta đã nhận được công thức truy hồi cấp hữu hạn. Do số cấp chỉ là 1 nên
chỉ cần vận dụng công thức trên liên tiếp ta sẽ tìm ra cơng thức tổng qt của (x ). Từ lập
luận trên, ta có thể trình bày bài giải như sau:
n

2

n+1

2

n+1

2

n

151

Giải. Thay n bởi n +1 trong cơng thức truy hồi đã cho ta có

152

x +x +x +

1

2

153
Suy ra x = (n + 1) x
n lần ta được

3

n+1

2

n+1

— n2xn

154
155

• • •

xn+1 =

+x

x

n+1 = n+1 =

(n + 1)2x

n+1.

hay x = n+2x . Áp dụng công thức này liên tiếp
n+1

n

n n(n — 1)
xn =

x'n- 1 =

Lê Phương,
16 Bùi Thi Thiện
LêMỹ
Phương,
- Hướng
Bùidẫn
Thiơn
Thiện
thi Olympic
Mỹ - Hướng

Tốndẫn ơn thi Olympic
16 Tốn


Chương 1

1.3. Bất đẳng thức

156

157
158
159

2006’2007

Bài 2.2 (Đề thi 2008). Dãy số (a ) được xác đinh bởi a = a = 1 và Un+2 = 7-^- + an với
n > 1. Tính a2008.
160 n + 1
n

1

2

a

161
Hướng dẫn. Để đơn giản hóa cơng thức truy hồi, ta nghĩ tới việc quy đồng mẫu số
2 vế để được

162
an+2 an+1 = an+1an + 1.
163
Từ đây thấy ngay a a + 1 là dãy truy hồi tuyến tính cấp 1 và ta có lời giải như bên
dưới.
n+1

164

n

Giải. Nhân 2 vế của công thức truy hồi với a ta được
n+i

165
166

ra

ra

Do đó với mọi n > 1,
169

n+2

n +1 n+1

~

170

a

n

n+i

n:

a

~

Ắp dụng liên tiếp công thức này ta suy ra
172

173

n

an+2a„+i = a„+ia„ + 1 = a a -i + 2 = • • • = a2 ai + n = n +1.

a

171

n+ỉ

với mọi n > 1. Ắp dụng liên tiếp n lần ta được

167

168

an+2an+i = a a + 1

_ 2007
_ 2007 • 2005
a2008

_2007 •2005 ••• 3 _

2007!!

= 20 06 a =2006 • 2004a2 = • • • = 2006 • 2004 • • •
2a2
= 2006!!.
2006

004

174
175

□

Bài 2.3 (Đề thi 2009). Cho dãy số (x ) được xác đinh bởi x = x = 1 và Xn = (n - 1)(xni + xn—2) với n > 3. Tính X2009.
n

i

2

176
Hướng dẫn. Để đơn giản hóa cơng thức truy hồi, ta tìm cách đưa 1 phần của x _
sang vế trái để được biểu diễn dạng

n i

177

Xn - f (n)xn-i = -(x -i - f (n - 1)x -2).
ra

ra

178
Nếu làm được như vậy thì x — f (n)x _ là dãy truy hồi tuyến tính bậc nhất và ta có
thể giải tiếp bài tốn. Bằng tính tốn trực tiếp, ta thấy có thể chọn f (n) = n
n

179

n i

Giải. Từ điều kiện đã cho, ta có

Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ơn thi Olympic Tốn

17

Chương 11.3. Bất đẳng thức

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

180
181

Xn - nxn-i = -(xn-i - (n - 1)Xn-2).

Ắp dụng liên tiếp n — 2 lần ta có

182

xn - nxn-i = -(xn-i - (n - 1)xn-2) = (-1) (xn-2 - (n - 2)xn-s) = • • • = (-1)n-2(x2 - 2xi).
2

183

Vậy x — nxn- = (—1) . Suy ra Xn =
+ ~ 2?+ . Lại áp dụng công
n

i

n+i

( i

184
185

186

i=i

Lê Phương,
18 Bùi Thi Thiện
LêMỹ
Phương,
- Hướng
Bùidẫn
Thiơn
Thiện
thi Olympic
Mỹ - Hướng
Tốndẫn ơn thi Olympic
18 Tốn


Chương 1

187

1.3. Bất đẳng thức

B ài 2.4 (Đề thi 2014). Cho dãy số (u ) thỏa mãn u = 1 và u 1 = v' u 2 + a
n

n+

1

n

với mọi n > 1, trong đó a > 0. Tìm a sao cho (u ) hội tụ và tìm giới hạn đó.
n

Hướng dẫn. Để đơn giản hóa cơng thức truy hồi, ta khử can bậc 2 để được
u£ = an~ỵ + u2n_1.

188

Do đó un là dãy truy hồi tuyến tính cấp 1.

189

Giải. Với mọi n > 2 ta có u > 0 và un = an + un_ . Ấp dụng liên tiếp ta được

190

un = an“ + un_ = an“ + a" + u2n_2 = ■■■ = a" + an“ + • • • + a + 1.

191

Do đó

1

n

1

1

1

1

2

1

192
u
193
n

2

:

194
195

2

I pn
1

!a

1

nếu a = 1

nếu 0 < a = 1
Suy ra (u ) hội tụ khi và
n

1.

chỉ khi 0 < a < 1, khi đó lim u =
n

196
197

n!i

V1 a

B ài 2.5. Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số (u ) thỏa mãn
n

198
199

{u = 5; u = 1;

1

0

un+2 = un+1 + 3un; với mọi n > 0.
2

200
Hướng dẫn. Để đơn giản hóa cơng thức truy hồi, ta sẽ chuyển một phần của u
sang vế trái để được biểu diễn dạng

n+1

201

un+2 - aun+1 = - — (un+1 - aun).
202
3a
203
Nếu làm được như vậy thì u — au là dãy truy hồi tuyến tính bậc nhất và ta có thể
giải tiếp bài tốn. Bằng tính tốn trực tiếp, ta có a = 1.
n+1

204
Giải. Theo giả thiết ta có u
+1 lần ta được

n+2

205___,,

n

—

u = — 3 (u
n+1

,, . . — _!/',,

\

n+1

—

u ). Ấp dụng hệ thức này liên tiếp n
n

n+1

n+1

______.

206

u

n+2

u

n+1

207 3

„ (un+1

u

n)

Lê Phương, Bùi Thi Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán

19


Chương 11.3. Bất đẳng thức

1.3. Bất đẳng thứcChương 1

Do đó
n

un = y^(u - uk-1) + uo =

k— 1

fc

k=1

/

n—1

1

k=1

208
209

Vậy lim u

= 2.

n

□

210

n!i

Lê Phương,
20 Bùi Thi Thiện
LêMỹ
Phương,

- Hướng
Bùidẫn
Thiơn
Thiện
thi Olympic
Mỹ - Hướng
Tốndẫn ơn thi Olympic
20 Toán


211
sau

Bài 2.6. Cho số thực a, tìm cơng thức số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số (u )
n

212

u = a,
1

213

u = p3u£ , với mọi n > 0.
n+1

n+1

2n+

214
Hướng dẫn. Cùng ý tưởng như các bài trên, ta đơn giản hóa cơng thức truy hồi
bằng cách phá bỏ can thức
215 u

72n+3
3u = 3,2n+1
n+1 = n .

216
Tiếp theo, một phần của hệ số 3 cần chuyển sang vế trái để cơng thức truy hồi có
dạng bậc nhất như sau
217
(aUn+1)
Tính toán trực tiếp, ta thấy a = Ự3.

2(n+1)+1

218

219
220

/

\

= (aUn) n .
2 +1

/

2(n+1)+1

\

Giải. Ta có ( '"'"'.',

222
223

/\

221 Do33đó 0) 2n+1

= ựpl)

2n+1

= ( pn ) với mọi n > 0.

\

/\ /

\

/
2n-1. Suy ra U
3 n=

= •••
= (1) = (py

3

■■■ P3n P, .
224
\/3
nếu a > 0;
225 Vậy lim Un = < -ựă nếu a < 0; nu
226 0 nếu a = 0.

227

3

Bài 2.7 (Đề thi 2009). Cho hai dãy số (x ) và (y ) xác đinh bởi công thức
n

n

228------------------------------------------------------------X1 = y1 = p3; Xn+1 = Xn +
Vn+1 = —--------------------------------------------------------- ?
y

„

229
230

p1 + x ;
n

2

; n > 1.
■ yn

Chứng minh rằng x y 2 (2; 3) với n > 2 và lim y = 0.
231
nu
n

n

n

232
Hướng dẫn. Từ các công thức lượng giác ta nghĩ tới việc đặt x = cot a và y = tan b .
Xem xét mối quan hệ của (a ) và (b ) để tìm được a = . . và b = Z-1. Từ đó ta có thể trình
bày lời giải một cách ngắn gọn bằng qui nạp như sau:
n

n

233
đó

n

32

n

32.

và y = tan

Giải. Bằng qui nạp ta chứng minh được x = cot .
n

234
235

n

n

n

n

n

3 2

.

3 2n_1

với mọi n > 1. Do

K K
2 tan 32n
2
tan
cot
“ ”=
3-2” 3-2 = 3.2 1 - wM = 1 - talqjn ■

x y

cot

236

3-2

n

3-2

n


237

Vì 0 < tan

2

'

3 2.

< tan 6 = 3 nên từ đó suy ra 2 < x y < 3. Ta cũng có lim y = lim tan ._ 1 = tan 0 = 0. □
2

238

n

nu

n

n

nu 3'2

239

Bài 2.8 (Đề thi 2012). Cho dãy số (a ) thỏa mãn điều kiện a = a và a = + a — n với
n > 1. Tìm a để dãy (a ) hội tụ.
n

1

n+1

n i

n

n

240
2

Hướng dẫn. Tách riêng 2 yếu tố n và n +1 bằng cách chia

241
242
243

Ta lại tiếp tục viết —
a

n

a

n+1

a

vế cho n + 1

2

n

n + 1 n n(n + 1)

( ) thành dạng sai phân f (n + 1) — f (n), tìm được f (n) = n.
2

n +1

2

= a2 .
nn
n+1 n+1

n+1

Áp dụng liên tiếp ta được n — n = T - Dãy
này hội tụ khi và chỉ khi a = 2.
s

1

= a — 2. Suy ra a = (a — 2)n + 2
n

Cuối244
cùng ta được
245
B ài 2.9 (Đề thi 2013). Cho X = a 2 R và dãy (x ) xác đinh bởi (n + 1) x = n x +

2n +1. Tìm lim x .
246
nu
1

2

n

n+1

2

n

n

247
Hướng dẫn. Quan sát dạng của công thức truy hồi ta nhận thấy cần phải biểu diễn
được 2n +1 dưới dạng sai phân f (n +1) — f (n). Thử tìm f ở dạng tam thức bậc 2 ta được
248
249

2

Vậy
250

251
252

2n + 1 = (n + 1)2 — n .

(n + 1) Xn+1 - (n + 1) = n Xn - n .
2

2

Áp dụng liên tiếp ta được n x — n = X
Suy ra lim xn = 1.
253 nu
2

2.2.2

n

2

1

—1

2

2

= a — 1. Vậy x = 1 + Q..1.
n

Giới hạn của dãy số

254
Trong mục này ta xem xét bài tốn chứng minh và tìm giới hạn của các dãy số
truy hồi trong trường hợp khơng thể tìm được cơng thức số hạng tổng qt ở dạng tường
minh.


255

Phương pháp ánh xạ co

256

Phương pháp ánh xạ co được áp dụng với các dãy số (a ) thỏa mãn
n

257

a

|a

n|

n+1

<

C |a ơ

n n1

258

với 0 < C < 1. Cơ sở của phương pháp ánh xạ co là đinh lí sau:

259

Định lí 2.3. Cho dãy số (a ) xác định bởi a = f (a ) trong đó f là ánh xạ co, nghĩa là
n

n+1

n

If(x) — f(y) I < C|x — y| với C < 1. Khi đó (a ) sẽ hội tụ về điểm bất động duy nhất của f.
n

260

Hướng dẫn. Ta sẽ vân dụng tiêu chuẩn Cauchy để chứng minh đinh lý trên.

261
có

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng (a ) là dãy Cauchy. Thật vậy, xét m > n > 1, ta
n

262

263
264
*

+

ja

a j If (a

m

n

m—1

) f (a

n—1)|

C |a

m,—1 an—1|-

<

Ắp dụng liên tiếp ta được
ja

a j

n < C|am,—1

m

a

C ja

n— 1| <

m

265------------------------------------M°t khác |am—n+1 a1j <
m n+1

m n

|ơ2 - ơ1| < (C ~

+ C ~ +----+ C + 1)|ơ2 - ơ1| =
(1 Cm—n+1)c
—2

a

n— 2j

<

C

m—n+1 am—n

C" C

1

m—n+1

j + |a

|a
1

-

a j

|a

m—n am—n— 1

1 +

|ơ2 - Ơ11 nên

* *

266 Cn~ 1
267

1C

|a

m

1- C

|a

a j

2_ 1

-

268
Với mọi " > 0, nếu ta chọn n 2
N n {0} sao cho n°c1 |a — a | < " thì |a — a | < " khi m > n > n . Vậy (a ) là dãy
Cauchy. Do đó (a ) hội tụ đến x .
269
Hiển nhiên
ánh xạ co là ánh xạ liên tục. Lấy giới hạn 2 vế trong đẳng thức truy hồi ta được x = f (x ),
nghĩa là x là điểm bất động của f. Nếu x là một điểm bất động bất kì của f thì ta có |x —
x | < If (x ) — f (x ) I < C|x — x |. Do C < 1 nên ta phải có x = x , nghĩa là điểm bất
động của f là duy nhất.
□

0

C

2

n

1

m

n

0

n

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

270
Nếu f là hàm số khả vi thỏa If (x)I < C;8x 2 R trong đó C < 1 thì từ đinh lí
Lagrange suy ra với x, y bất kì ta tìm được z nằm giữa a và b sao cho If(x) — f(y)I = If (z)(x
— y)I < CI(x — y)I nên f là ánh xạ co. Do đó theo đinh lí trên ta có kết quả sau:
0

0

271
Bài 2.10 (Đề thi 2006). Cho dãy số (a ) xác đinh bởi a = f (a ) trong đó f (x) khả vi
trên R và thỏa mãn If (x)| < C;8x 2 R với C < 1. Khi đó (a ) sẽ hội tụ về điểm bất động
duy nhất của f.
n

0

n+1

n

n


272 Ta có thể vận dụng hai kết quả trên trong việc chứng minh dãy số có giới hạn với
một số lưu ý sau:
1. Để trình bày lời giải ngắn gọn, có thể tìm trước điểm bất động l của f rồi đưa ra
đánh giá
273 |un+1 - l\ = I/(«n) - f(l)\ < C\un - l\<---< Cn\m - l\ ! 0.
2. Để chứng minh / là ánh xạ co, có thể chỉ ra \/ (x)I < C < 1 rồi sử dụng đinh lí
Lagrange.
0

3. Nếu chỉ có I/ (x)\ < 1, hãy thử kiểm tra xem / o / có phải ánh xạ co khơng, nếu
có hãy xét 2 dãy con (a ) và (a ).
0

2n

274

2n+1

Bài 2.11 (Đề thi 2019). Cho (x ) là dãy số được xác đinh bởi các điều kiện
n

275

x = 2019, x = ln(1 + x )
n+1

1

n

2x

n

2

+ xn

1. Chứng minh rằng (x ) là một dãy số
không âm.
n

2. Chứng minh rằng tồn tại số thực c 2 (0; 1) sao cho
276

|Xn+1 - Xn\ < c\xn - x„-1| 8n > 2.

3. Chứng minh rằng (x ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
n

277

Giải. Dãy số có dạng u = /(u ) với /(x) = ln(1 + x) — 2+X.
n+1

n

1. Ta có
278
279
280

/0(x) = „ . í . „ > 0 8x > 0.
Jv7
(1 + x)(2 + x) > >
2

Vậy /(x) > /(0) = 0 với mọi x > 0. Mà x > 0 nên bằng qui nạp ta có x > 0.
1

n

2. Với x > 0, ta có
281
282
283

x2

x2

1

f

I '(x)l = (1+ x^ + x)2 < xxx) = 4

Do đó theo đinh lí Lagrange
284

\xn+1

n\

x

\f (xn)

f (x

n—1)\

< 4 \xn xn—1\.


3. Ta có |u„+i| = I/(un) - / (0)1 < \un - 0\ = \un\.
1

285

1

Ắp dụng liên tiếp n lần ta có

286

287
288

Do đó (u ) hội tụ đến 0.
n

□

289
290

Bài 2.12 (Đề thi 2002). Cho dãy số (u ) được xác đinh bởi
n

291

Un+1 = 2ln(1 + un) - 2002.

292

Chứng minh rằng dãy số (u ) có giới hạn.

293

Giải. Dãy số có dạng u = /(u ) với /(x) = 2 ln(1 + x2) — 2002. Ta có

n

n+1

n

294
295

I f'MI = IL < 1.
\ (x)\ 1+ x < 2.
2

296

Vì lim (/(x) — x) = +1 và lim (/
1 nên tồn tại l 2 R

(x) — x) =

298

297
thỏa mãn /(l) = l. Do đó

x! — 1

x!+1

\un+1 - l\ = \f (un) - f (l)\ < 2 \un - l\.

299

300 Ắp dụng liên tiếp n lần ta có
302

301
u,( 1
\un - l\ < I 2 ) |u0 - l\.

303
hội tụ đến l.

Do đó (u )
n

□

304
Bài 2.13. Cho dãy số (a ) được xác đinh bởi a1 > 0 và a =
rằng dãy số (a ) có giới hạn.
n

n+1

ỵ/2an

+ 1. Chứng minh

n

305

Giải. Hiển nhiên a > 1 với n > 2. Dãy số có dạng a = /(a ) với /(x) = p2x + 1. Ta có
n

n+1

306

\/0(x)\ =

307

7|

,1

_

n

< p với x > 1.
2x ■ 1 < P3 >

p