tai lieu on thi tot nghiep mon toan(thaytoan)

NỘI DUNG GỒM CÓ
1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan : 14 tiết
2. Bài toán tổng hợp: 4 tiết.
3. Phương trình, bất phương trình mũ và lôga: 8 tiết.
4. Tích phân và ứng dụng của tích phân: 10 tiết.
5. Hình không gian tổng hợp: 10tiết.
6. Phương pháp toạ độ trong không gian: 16 tiết.
7. Số phức: 6 tiết.
8. Phụ lục.
1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Thời gian: 14 tiết
Tiết 1:
Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
3 2x x m− + =
.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;4M
.
Giải:
1/ HS tự làm
Đồ thị:
f(x)=x ^3-3x +2
f(x)=4

x(t )=-1 , y(t )=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2) Số nghiệm thực của phương trình
3
3 2x x m− + =
chính là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số
3
y x 3x 2= − +
và đừờng thẳng (d):
=y m
.
Dựa vào đồ thị ta có:
+/
0
4
m
m
<



>

: (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có một nghiệm.
+/
0
4
m
m
=


=

: (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm ( 1 đơn, 1 kép)
+/
0 m 4< <
: (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm
3) Gọi M(x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
2; 4x y→ = =
2
' 3 3 '(2) 9y x y= − → =
PTTT cần tìm là: y = 9(x – 2) + 4
⇔
y = 9x - 14
Bài 2 : Cho hàm số

3 2
1 2
3 3
y x x
= − + −
có đồ thị
( )
C
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
,biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 3
3/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
( )
C
,trục hoành và hai đường thẳng
0,x
=

2x
=
.
Lời giải
a/ Đồ thị:
2
x

y
-2
3
2
3
2
1
2/ Gọi M(x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
2
0 0 0
0 0
2
1
3
'( ) 3 2 3
2
3
3
x y
y x x x
x y

= − → =

→ = − ⇔ − + = − ⇔



= → = −


2
' 3 3 '(2) 9y x y= − → =
* PTTT tại
2
1;
3
 
−
 ÷
 
là:
2 7
3( 1) 3
3 3
y x y x− = − + ⇔ = − −
* PTTT tại
2
3;
3
 
−
 ÷
 
là:
2 25

3( 3) 3
3 3
y x y x+ = − − ⇔ = − +
3/ Từ hình vẽ, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
1
3 2
0
1 2 5
2
3 3 6
S x x dx
 
= − + =
 ÷
 
∫

BTVN: Cho hàm số y = x
3
– x
2
+ (m – 1)x – m
2
+ 2 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số với m =2
2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số (C

2
) biết tung độ tiếp điểm bằng -2
3/ Tìm m để hàm số trên có cực trị.
Tiết 2:
Bài 1: Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
-1)x – 3m
2
– 1 (
m
C
)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (
1
C
) của hàm số với m = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (
1
C
) tại giao điểm với trục Oy
3/ Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Giải :
1/ HS tự làm
Với m = 1 ta có: y = -x
3
+3x

2
– 3x
Đồ thị :
f(x)= -x^3+3x^ 2-3x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2/ C
1
giao với Oy tại điểm M(0;0)
y
'
(0) = -3
Vậy PTTT là : y = -3(x – 0) + 0
3y x⇔ = −
3/ Ta có y
'
= -3x
2
+ 6x + 3(m
2
- 1)

HS có cực đại ,cực tiểu
⇔
pt y
'

= 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔
-3x
2
+ 6x + 3(m
2
- 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔
'
0∆ >

2
2
9 9( 1) 0
0
0
m
m
m
⇔ + − >
⇔ >
⇔ ≠
3

Bài 2: Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
–
( )
2
2 1m +
x (C
m
)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số trên với m = 2
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
) tại điểm có hoành độ bằng -2
3/ Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu.
Giải:
1/ HS tự làm
m = 2
3 2
6 9y x x x→ = − + −
2/ Gọi (x
0
;y
0
) toạ độ tiếp điểm, ta có x
0
= -2

⇒
y
0
= y( -2) = 50 f
'
(- 2) = -45
Vậy phương trình tiếp tuyến là : y – 50 = -45(x + 2)
⇔
y = -45x - 40.
3/ y’ = -3x
2
+ 6mx – (2m
2
+ 1)
HS có cực đại ,cực tiểu
⇔
pt y
'

= 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔
-3x
2
+ 6mx - (2m
2
+ 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔
'

0∆ >


2 2
2
2
9 3(2 1) 0
3 3 0
1
1
1
m m
m
m
m
m
⇔ − + >
⇔ − >
⇔ >
>

⇔

< −

Vậy với m > 1 hoặc m < -1 thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
BTVN: Cho hàm s ố y =-x
3
+3(m+1)x
2

-2 (C
m
)
1/ KS sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) v ới m =0
2/ Tìm m để đồ thị (C
m
) có cực đại, cực tiểu.
3/ Tìm m để hsố đạt cực đại tại x =2.
Tiết 3 :
Bài 1 : Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(1 ;3)
3/ Dùng đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm duy nhất :
3x
2
+ 2 – x
3
+ m = 0
Giải :
1/ Hs tự làm
Đồ thị:
f(x) =-x^3+3x^2+1
f(x) =5
x(t )=2 , y(t )=t
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-9

-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
1; 3x y→ = =

2
' 3 6 '(1) 3y x x y= − + → =

4
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;3) là:
3 3( 1) 3y x y x− = − ⇔ =
3/ Ta có
2 3 3 2
3 2 0 (1) 3 1 1x x m x x m+ − + = ⇔ − + + = − −
Vậy số nghiệm của pt(1) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = -m-1
Từ đồ thị ta có:

1 1 2
1 5 6
m m
m m
− − < > −
 
⇔
 
− − > < −
 
: d cắt (C) tại 1 điểm
⇒
pt(1) có nghiệm duy nhất.
Vậy
2
6
m
m
> −



< −

pt(1) có nghiệm duy nhất
Bài 2 : Cho hàm số y = x
3
– (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1 (C
1
)
2/ Viết PTTT với đồ thị hàm số (C
1
) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0
3/ Tìm m để hàm số trên có 2 cực trị
Giải :
1/ HS tự làm
m = 1
3 2
3y x x x⇒ = + + +
Đồ thị
f(x)=x^3+x^2+x+3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2/ đường thẳng x + 2y + 1 = 0 có hệ số góc =
1
2
−
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0
'( ) 2y x→ =

2
0 0

2
0 0
0 0
0 0
3 2 1 2
3 2 1 0
1 2
1 94
3 27
x x
x x
x y
x y
⇔ + + =
⇔ + − =
= − → =


⇔

= → =

* PTTT tại
( )
1;2−
là:
2 2( 1) 2 4y x y x− = + ⇔ = +
* PTTT tại
1 94
;

3 27
 
 ÷
 
là:
94 1 112
2( ) 2
27 3 327
y x y x+ = − ⇔ = −
3/ Ta có :
2
2 (*)
3 2(1 2 ) 2
0 3 2(1 2 ) 2 0
y x m x m
y x m x m
′
= − − + −
′
= ⇔ − − + − =
Để hàm số có 2 cực trị
⇔
pt(*) có 2 nghiệm phân bịêt
5
2
2
(1 2 ) 3(2 ) 0
4 5 0
1
5

4
m m
m m
m
m
⇔ − − − >
⇔ − − >
< −


⇔

>

Vậy với m < -1 hoặc
5
4
m >
thì hàm số đã cho có 2 cực trị
BTVN: Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= - + -
có đồ thị là
( )C
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2
3/ Dựa vào đồ thị
( )C

, hãy tìm điều kiện của tham số k để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân
biệt:
3 2
3 0x x k- + =
Tiết 4 :
Bài 1: Cho hàm số y =
3 2
1
( 1) 1
3
x m x x+ − + −
(C
m
)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số trên với m = 2
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -3
3/ Tìm m để hàm số trên có cực trị
Giải:
1/ HS tự làm
m = 2
3 2
1
1
3
y x x x→ = + + −
Đồ thị:
f(x)=(x^3)/3+x^2+x-1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2/ Gs tiếp điểm là M
0
(x
0
;y
0
) ,ta có x
0
= -3
⇒

y
0
= y( -3) = -4
2
' 2 1 '( 3) 4y x x y= + + → − =
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 4 = 4(x + 3)
4 8y x= +
3/ Hàm số có cực trị
' 0y⇔ =
có nghiệm

2
2( 1) 1 0x m x⇔ + − + =
có nghiệm
6

2
2
' 0
( 1) 1 0
2 0
2
0
m
m m
m
m
⇔ ∆ ≥
⇔ − − ≥
⇔ − ≥

≥

⇔

≤

Vậy HS có cực trị khi
2m ≥
hoặc
0m ≤
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x =
2 khi quay quanh trục Ox.
3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3 2
1
1
3
x x m− = +

Giải :
1/ Đồ thị :
f(x)=x^3/3- x^2
x(t )=2 , y(t)=t

f(x)=-4/3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2/ V =
2
2
3 2
0
1
3
x x dx
π
 
−
 ÷
 
∫
=
7 5
6
2 416

2.2
63 5 0 315
x x
x
π
π
 
− − =
 ÷
 
3/
3 2
1
1
3
x x m− = +
(1)
Số gnhiệm PT (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = m + 1
Từ đồ thị ta có :
+/
1 0 1
3 5
1
2 2
m m
m m
+ > > −
 
 
⇔

 
+ < − < −
 
: (1) có 1 nghiệm duy nhất
+/
1 0 1
3 5
1
2 2
m m
m m
+ = = −
 
 
⇔
 
+ = − = −
 
: (1) có 2 nghiệm (1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)
+/
3 5
1 0 1
2 2
m m− < + < ⇔ − < < −
: (1) có 3 nghiệm phân biệt
BTVN : Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −

+ 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x
3
– 3x
2
– m + 1 = 0
3/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x =
3 khi quay quanh trục Ox
.
7
Tiết 5:
Bài 1: Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 1 (C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1
3/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x
4
– 2x
2
+ 2m = 0
Giải:
1/ HS tự làm
f(x)=x^4-2x^2+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3

-2
-1
1
2
3
4
x
y
2/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0
1y =
x
0
là nghiệm pt
0
4 2 4 2
0 0 0 0 0
0
0 '(0) 0
2 1 1 2 0 2 '( 2) 4 2
2 '( 2) 4 2
x y
x x x x x y
x y
= → =



− + = ⇔ − = ⇔ = → =


= − → − = −

* PTTT tại (0;1) là: y – 1 = 0(x – 0)
1y⇔ =
* PTTT tại
( )
2;1
là:
1 4 2( 2) 4 2 7y x y x− = − ⇔ = −
* PTTT tại
( )
2;1−
là:
1 4 2( 2) 4 2 7y x y x− = − − ⇔ = − +
3/ Ta có: x
4
– 2x
2
+ 2m = 0 (1)
4 2
2 1 2 1x x m⇔ − + = − +
Khi đó số nghiệm PT(1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = -2m + 1
Từ đồ thị ta có:
+/
1
2 1 0

2
m m− + < ⇔ >
: (1) vô nghiệm
+/
1
2 1 0
2
m m− + = ⇔ =
: (1) có 2 nghiệm kép
+/
1
0 2 1 1 0
2
m m< − + < ⇔ < <
: (1) có 3 nghiệm phân biệt
+/
2 1 1 0m m− + = ⇔ =
: (1) có 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 2 nghiệm đơn phân biệt)
+/
2 1 1 0m m
− + > ⇔ <
: (1) có 2 nghiệm phân biệt
Bài 2: Cho hàm số y = -x
4
+ (2m + 1)x
2
- 2 (
m
C
)

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (
1
C
) của hàm số với m = 1.
2/ Tìm điều kiện của a để phương trình x
4
– 3x
2
+ a = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
3/ Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Giải:
1/ m = 1 thì y = -x
4
+ 3x
2
– 2
Đồ thị
8
f(x)=-x ^4+3x^2-2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1

2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2/ x
4
– 3x
2
+ a = 0 (1)
4 2
3 2 2x x a⇔ − + − = −
Để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt thì đồ thị (C
1
) cắt đường thẳng y = a – 2 tại 4 điểm phân biệt
Từ đồ thị ta có :
1 9
0 2 2
4 4
a a< − < ⇔ < <
3/ Ta có y
'
= -4x
3
+ 2(2m + 1)x = -2x(2x

2
- 2m -1)
Để hs có CĐ,CT thì PT y
'
= 0 phải có 3 nghiệm phân biệt

⇔
2x
2
- 2m- 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2 1 0
1
2 1
2
0
2
m
m
m
− − ≠


⇔ ⇔ > −
 +
>


Vậy
1

2
m > −
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu
BTVN :Cho hàm số y = -x
4
+ 2x
2
(C)
1.KS sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )
2.Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : x
4
-2x
2
– m =0
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có tung độ bằng 8
Tiết 6:
Bài 1 : Cho hàm số
4 2
1
2
4
y x x= −
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của tham số m để phương trình

4 2
8 1 0x x m− − + =
có bốn nghiệm thực phân biệt
3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại điểm M(-2 ;-4)

Giải :
1/ Đồ thị
f(x)=x^4/4-2x^2
f(x)=-4
x(t )=2 , y(t )=t
x(t )=-2 , y(t)=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2/
4 2
8 1 0x x m− − + =
(*)
⇔
4 2
1 1
2
4 4
m
x x
−
− =

9
PT (*) cã 4 nghiÖm thùc ph©n biÖt, m ph¶i tho¶ m·n
-4 <
1
0
4
m −
<

⇔
-15 < m < 1
3/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0
2x→ = −
;
0
4y = −
3
' 4 '( 2) 0y x x y= − → − =
PTTT cần tìm là: y = 0
Bài 2 : Cho hàm số y = - x
4
+ 2m
2
x
2

- 1 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên với m = 2 (C
2
)
2/ Dựa vào đồ thị (C
2
) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
4 2
8 2 0x x m− + + =
3/ Tìm m để đồ thị hàm số trên có 3 cực trị.
Giải :
1/ Với m = 2 ta có y = -x
4
+ 8x
2
- 1
Đồ thị :
f(x)=-x ^4+8x^2-1
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5

5
10
15
20
25
x
y
2/
4 2
8 2 0x x m− + + =
(1)
4 2
8 1 1x x m⇔ − + − = +
Khi đó số nghiệm PT (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C
2
) với đường thẳng y = m + 1
Từ đồ thị ta có :
+/
1 15 14m m
+ > ⇔ >
: (1) vô nghiệm
+/
1 15 14m m+ = ⇔ =
: (1) có 2 nghiệm kép
+/
1 1 15 2 14m m
− < + < ⇔ − < <
: (1) có 3 nghiệm phân biệt
+/
1 1 2m m+ = − ⇔ = −

: (1) có 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 2 nghiệm đơn phân biệt)
+/
1 1 2m m
+ < − ⇔ < −
: (1) có 2 nghiệm phân biệt
3/ Ta có
3 2
2
2 (*)
4 4 4 ( )
0 4 ( )
0
y x mx x x m
y x x m
x
x m
′
= − = −
′
= ⇔ −
=

⇔

=

Đồ thị (C
m
) có 3 cực trị khi & chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
0m⇔ >

BTVN: Cho hàm số y = - x
4
– 3x
2
+ 4 (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs trên
2/ Viết PTTT của đồ thị hs trên tại điểm có hoành độ bằng -1
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Tiết 7 :
Bài 1 : Cho hàm số y = (2 – x
2
)
2
(C)
10
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x
4
– 4x
2
+ 4 = 2m
3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục tung.
Giải :
1/ y = (2 – x
2
)
2

4 2
4 4y x x⇔ = − +

Đồ thị :
f(x)=x^4-4x^2+4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2/
4 2
x – 4x 4 2m (1)+ =
Khi đó số nghiệm (1) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2m
Từ đồ thị ta có :
+/
2 0 0m m= ⇔ =
: (1) có 2 nghiệm kép
+/
0 2 4 0 2m m
< < ⇔ < <
: (1) có 4 nghiệm phân biệt
+/
2 4 2m m= ⇔ =
: (1) có 3 nghiệm (2 đơn, 1 kép)
+/
2 4 2m m

> ⇔ >
: (1) có 2 nghiệm phân biệt
+/
2 0 0m m< ⇔ <
: (1) vô nghiệm
Bài 2 : Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
x x− +
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : - x
4
+ 6x
2
+ m – 2 = 0 (1)
3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4
Giải :
1/
f(x)=(1/2) x^4-3x^2+5/2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6

8
x
y
2/
4 2
1 5 3
(1) 3
2 2 2
m
x x
+
⇔ − + =
Khi đó số nghiệm ( 1) chính là số giao điểm của đồ thị hs trên và đường thẳng
3
2
m
y
+
=
+/
3 5
2
2 2
m
m
+
> ⇔ >
: (1) có 2 nghiệm phân biệt
+/
3 5

2
2 2
m
m
+
= ⇔ =
: (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép)
11
+/
3 5
2 7 2
2 2
m
m
+
− < < ⇔ − < <
: (1 có 4 nghiệm phân biệt)
+/
3
2 7
2
m
m
+
= − ⇔ = −
: (1) có 2 nghiệm kép
+/
3
2 7
2

m
m
+
< − ⇔ < −
: (1) vô nghiệm
3/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
3
0 0 0
'( ) 4 2 6 4y x x x→ = ⇔ − =
0 0
0 0
3
2
2
1 0
x y
x y

= → = −

⇔

= − → =

* PTTT tại
( )

1;0−
là:
0 4( 1) 4 1y x y x− = + ⇔ = +
* PTTT tại
3
2;
2
 
−
 ÷
 
là:
3 19
4( 2) 4
2 2
y x y x+ = − ⇔ = −
BTVN : Cho hàm số y =
4 2
1
1
4
x x+ −
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và trục hoành
3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết hoành độ tiếp điểm là -2
Tiết 8:
Bài 1: Cho hàm số y =
1
2
−

−
x
x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3.
Giải:
1/ HS tự giải
2/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
1
3
2
x y= → =
y’ =
2
1 1
'(3)
( 1) 4
y
x
→ =
−
Vậy PTTT cần tìm là:
1 1 1 1
( 3)
2 4 4 4

y x y x− = − ⇔ = −
Bài 2: Cho hàm số y =
2
3 2
−
+
x
x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2.
Giải:
1.TX§: R\
2
3
 
−
 
 
SBT: y
’
=
( )
2
8 2
0
3
3 2
x
x
− −

< ∀ ≠
+
12
HSNB/(
2 2
; ) ( ; )
3 3
−∞ − ∪ − +∞
HS kh«ng cã cùc trÞ
Giíi h¹n:
2
3
lim
x
y
+
 
→ −
 ÷
 
= +∞

2
3
lim
x
y
−
 
→ −

 ÷
 
= −∞

1
lim
3
x
y
→±∞
= −
TC§ lµ ®êng th¼ng x =
2
3
−
, TCN lµ ®êng th¼ng y =
1
3
−
B¶ng biÕn thiªn
x
−∞
-2/3
+∞
y
’
- -

+∞
y

1
3
−

−∞

1
3
−

f(x) =(2-x)/( 3x+2)
x(t )=-2/3 , y( t)=t
f(x) =-1/3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2. ViÕt PTTT t¹i ®iÓm sã tung ®é b»ng 2
XÐt Pt
2
2
2
3

3 2
2 2(3 2)
x
x
x
x x
−

≠
−

= ⇔

+

− = +


⇔
x =
2
7
−
y
’
2 49
7 8
−
 
= −

 ÷
 
PTTT lµ: y =
49 1
8 4
x− +
BTVN : Cho hàm số y =
1
12
+
−
x
x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 3x + 2
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs trên và các trục tọa độ.
Tiết 9 :
13
Bi 1 : Cho hm s
3 2
1
x
y
x
+
=

(C)
1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Tỡm m ng thng y = - 2x - m ct th hm s trờn ti 2 im phõn bit

Gii :
1/ HS t lm
2/ Honh giao im ca (C ) v y = -2x m l nghim phng trỡnh :
3 2
2
1
x
x m
x
+
=

(1)
Đk: x

1
(1)
3x + 2 = ( -2x-m) ( 1-x)


2x
2
+ (m-5)x ( m +2) = 0 (*)
Để thoả mãn yêu cầu bài toán PT (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x

1

2 2
( 5) 8( 2) 2 41 0m m m m m = + + = + >
Đs:

m

Bi 2 : Cho hm s
2 1
2
x
y
x
+
=

1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s trờn, bit tip tuyn cú h s gúc bng 5
Gii :
2/ Gi (x
0
;y
0
) l to tip im
Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5, ta có: y(x
0
) = 5



( )
2
0
5
2 x

= 5

( 2 x
0
)
2
= 1

0 0
2
0 0
0 0
1 3
4 3 0
3 7
x y
x x
x y
= =

+ =

= =

TT thứ nhất là y 3 = 5(x- 1)

y = 5x 2
TT thứ hai là y + 7 = 5(x 3)

y = 5x - 22

BTVN : Cho hm s
3
2
x
y
x

=

1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m ng thng d : y = mx + 1 ct th (C ) ti 2 im phõn bit
Tit 10 :
Bi 1 : Cho hm s
3 2
1
x
y
x

=

(C)
1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Tỡm m ng thng y = mx + 2 ct th hm s trờn ti 2 im phõn bit
Gii :
1/ - TX:
{ }
1\RD =
14
- Sự biến thiên

+ Chiều biên thiên:
2
1
0; 1
( 1)
y x
x
−
′
= < ∀ ≠
−
Hsố luôn nghịch biến trên các khoảng
( ;1) & (1; )−∞ +∞
+ Cực trị: Hsố không có cực trị
+ Tiệm cận:
3 2
2
1
x
x
Lim
x
→±∞
−
= −
−
suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng y=-2
1
3 2
1

x
x
Lim
x
±
→
−
= ±∞
−
Suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng x=1
+ Bảng biến thiên:
x -
∞
1 +
∞
y’ - -
y
-2 +
∞
-
∞
-2
- Đồ thị:
2/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) & đương thẳng d : y = mx +2
2 (*)
3 2
2 ( 4) 5 0
1
x
mx mx m x

x
−
= + ⇔ − − − =
−
Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi & chỉ khi pt(*) có 2 nghiệm phân biệt
2 2
0 0
( 4) 20 0 12 16 0
0
6 2 5
6 2 5
m m
m m m m
m
m
m
≠ ≠
 
⇔
 
− + > + + >
 
≠



⇔
< − −




> − +



Bài 2 : Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x
3
- 3x – 2m + 1 = 0 (1)
3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x - 3
Giải :
1/ Đồ thị :
15
f(x) =-x^3+3x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2/
3

(1) 3 2 1x x m⇔ − + = − +
Vậy khi đó số nghiệm pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = -2m+1.
từ đồ thị ta có :
+/
3
2 1 2
2
2 1 2 1
2
m
m
m
m

=

− + = −

⇔


− + =


= −


: (1) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)
+/
3

2 1 2
2
2 1 2 1
2
m
m
m
m

>

− + < −

⇔


− + >


< −


: (1) có 1 nghiệm duy nhất
+/
1 3
2 2 1 2
2 2
m m
−
− < − + < ⇔ < <

: (1) có 3 nghiệm phân biệt
3/ đường thẳng y = -6x – 3 có hệ số góc = -6
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -6x – 3 nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng -6
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0
'( ) 6y x→ = −

2
0
2
0
0 0
0 0
3 3 6
3 9
1 2
1 2
x
x
x y
x y
⇔ − + = −
⇔ =
= − → = −

⇔


= → =

* PTTT tại
( )
1; 2− −
là:
2 6( 1) 6 8y x y x+ = − + ⇔ = − −
* PTTT tại
( )
1;2
là:
2 6( 1) 6 8y x y x− = − − ⇔ = − +
BTVN: Cho hàm số:
1
x
y
x
=
+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với
( )C
tại điểm có hoành độ bằng 3
3) Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d:
y kx=
cắt
( )C

tại 2 điểm phân biệt.
16
Tiết 11 :
Bài 1 : Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục tung
Giải :
1/ HS tự làm
2/ (C) giao trục tung tại điểm (0 ;-1)
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
0; 1x y→ = = −
2
3
' '(0) 3
( 1)
y y

x
= → =
+
PTTT cần tìm là : y + 1 = 3(x – 0)
3 1y x⇔ = −
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1 3
5
4 2
y x x= − +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
– 6x
2
+ m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại điểm M(2 ;-3)
Giải :
1/ HS tự làm
Đồ thị:
f(x)=(x^3)/4-3(x^2) /2+5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6

8
x
y
2/ XÐt ph¬ng tr×nh x
3
- 6x
2
+ m = 0
⇔
3 2
1 3
5 5
4 2 4
m
x x− + = − +
Ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm thùc ph©n biÖt
⇔
m tho¶ m·n
- 3 < 5 -
4
m
< 0
⇔
0 < m < 32
3/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0

2; 3x y→ = = −
2
3
' 3 '(2) 3
4
y x x y= − → = −
PTTT cần tìm là : y + 3 = -3(x – 2)
3 3y x⇔ = − +
Bài 2 : Cho hàm số
4
1
x
y
x
− −
=
+
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
17
2/ Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số trên tại 2 điểm phân biệt
BTVN : Cho hàm số
4 2
1 3
( ) 3
2 2
y f x x x= = − +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0
3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình x

4
– 6x
2
+ 3 = m
Tiết 12 :
Bài 1 : Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = -5x + 7
3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 1 quanh trục Ox
Giải :
1/ HS tự làm
2/ Giả sử M(x
0
;y
0
) là tiếp điểm
Theo bài ra ta có
0
2

0
2
0 0
0
0
( ) 5
5
5
( 2)
4 3 0
1
3
f x
x
x x
x
x
′
= −
−
⇔ = −
−
⇔ − + =
=

⇔

=

Với x

0
=1 ta có y
0
= -3 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = -5x +2
Với x
0
= 3 ta có y
0
= 7 Phương trình tuyến có dạng: y = -5x +22
3/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) là:
2 1 1
0 2 1 0
2 2
x
x x
x
+
= ⇔ + = ⇔ =
−
Thể tích vât thể cần tìm là:
2
2
1 1
2
1 1
2 2
1
1
2
2 1 12 9

4
2 2 ( 2)
9 3
4 12ln 2 17 12ln
2 2
x
V dx dx
x x x
x x
x
π π
π π
 
+
 
= = − +
 ÷
 ÷
− − −
 
 
   
= − − − = +
 ÷  ÷
−
   
∫ ∫
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = -x
3
+ 3x

2
+ 9x + 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm x
0
là nghiệm phương trình f’’(x
0
) =-6
18
Giải:
1/ HS tự làm
2/ f’(x) = -3x
2
+ 6x + 9
f’’(x) = -6x + 6
f’’(x
0
) = -6
0
6 6 6x⇔ − + = −

0 0
2 24x y⇔ = → =
Vậy PTTT cần tìm là: y – 24 = -6(x – 2)
6 36y x⇔ = − +
BTVN : Cho hàm số:
4 2
( 1) 2 1y x m x m= + + - -
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số khi m = 1.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
3-
.
3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Tiết 13 :
Bài 1 : Cho hàm số
2
x m
y
x
+
=
−
(C
m
)
1/ Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên với m = 1
3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục hoành
Giải :
1/ (C
m

) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1
1
0 1
1 2
m
m
− +
⇔ = ⇔ =
− −
2/ m = 1
1
2
x
y
x
+
→ =
−
Đồ thị
f(x)=(x+1)/(x-2)
f(x)=1
x(t)=2 , y(t)=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3
-2
-1
1
2
3

4
x
y
3/ (C ) giao trục hoành tại điểm (-1 ;0)
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
1; 0x y→ = − =
19
2
3 1
' '( 1)
( 2) 3
y y
x
−
= → − = −
−
PTTT cần tìm là :
1 1 1
( 1)
3 3 3
y x y x
−
= + ⇔ = − −
Bài 2 : cho hàm số y = -x
3

+ 6x
2
– 9x (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tính diện tích hình phẳng giói hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng y = -x
Giải :
1/
- TXĐ : D = R
- Sự biến thiên :
+ chiều biến thiên : y’ = - 3x
2
+12x – 9 = 0
1
3
x
x
=

⇔

=

Hs đồng biến trên khoảng (1 ;3) , nghịch biến trên khoảng
( )
;1−∞
và
( )
3;+∞
+ Cực trị : hs đạt cực đại tại x = 3, y
CĐ

=
0
, hs đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT
= -4
+ Giới hạn :
lim ;lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
+ Bảng biến thiên : x
−∞
1 3 +
∞
y’ - 0 + 0 -

+∞
0
y
-4
−∞
- Vẽ đồ thị : Giao Ox : (0 ;0) ; giao Oy : (0 ;0), (3 ;)
f(x)=-x^3+6x^2-9x
f(x)=-4
x(t)=1 , y (t) =t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4

-2
2
4
6
8
x
y
2/ hoành độ giao điểm của (C) và y = -x là nghiệm pt -x
3
+ 6x
2
– 9x = -x
0
2
4
x
x
x
=


⇔ =


=

20
Từ đồ thị ta có S =
( ) ( )
2 4

3 2 3 2
0 2
6 8 6 8x x x dx x x x dx− + + − + −
∫ ∫

2 4
4 4
3 2 3 2
0 2
2 4 2 4 8
4 4
x x
x x x x
   
= − + + − + − =
 ÷  ÷
   
(đvdt)
BTVN : cho hàm số y = -x
3
+ x
2
- 3x (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -4
Tiết 14 :
Bài 1 : Cho hàm số y = f(x) =
2 1
3
x

x
−
+
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
là nghiệm phương trình f’(x
0
) = 7
Giải :
2/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
( )
( )
0
2 2
0
7 7
'( ) '( )
3
3
f x f x
x
x
= → =
+

+
( )
( )
2
0 0
0 0
2
0 0
0
2 5
7
'( ) 7 7 3 1
4 9
3
x y
f x x
x y
x
= − → = −

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

= − → =

+
* PTTT tại (-2 ;-5) là : y + 5 = 7(x+2)
7 9y x⇔ = +
* PTTT tại (-4 ; 9) là : y – 9 = 7(x + 4)
7 37y x⇔ = +
Bài 2 : Cho hàm số y =

3 2 3
3 1
2 2
x mx m− +
(C
m
)
1/ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên với m = 1
3/ Viết PTTT với đồ thị (C
1
) biết TT vuông góc với đường thẳng d :x + 6y – 6 = 0
Giải :
1/ y’ = 3x
2
– 3mx
Ycbt
⇔
tìm m để y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
3 3 0x mx⇔ − =
có 2 nghiệm phân biệt
3 ( ) 0x x m⇔ − =
có 2 nghiệm phân biệt
0m
⇔ ≠
21
KL :

0m ≠
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
3/ m = 1
3 2 2
3 1
' 3 3
2 2
y x x y x x→ = − + → = −
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
Ta có x + 6y – 6 = 0
1
1
6
y x⇔ = − +

→
d có hệ số góc là
1
6
−
Do tiếp tuyến vuông góc với d nên tiếp tuyến có hệ số góc là 6
0
'( ) 6y x⇔ =
0 0
2 2
0 0 0 0

0 0
1 2
3 3 6 3 3 6 0
5
2
2
x y
x x x x
x y
= − → = −


⇔ − = ⇔ − − = ⇔

= → =

* PTTT tại (-1 ;-2) là : y + 2 = 6(x + 1)
6 4y x⇔ = +
* PTTT tại
5
2;
2
 
 ÷
 
là :
5 19
6( 2) 6
2 2
y x y x− = − ⇔ = −

BTVN : Cho hs y = x
3
+ (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên với m = 1
2/ Viết PTTT với đồ thị (C
1
) biết TT vuông góc với đường thẳng d :x + 2y – 6 = 0
3/ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

22
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN TỔNG HỢP (4 tiết)
Tiết: 1+2
I. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Kiến thức cần nhớ.
Dạng 1: GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn (Thường là nghiệm của phương trình : y’=0) : x
1
,x
2
, , x
n
của f(x) trên
[a,b].
+ Tính f(a), f(x

1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( )
min ( )
a b
a b
M f x
m f x
=
=
Dạng 2: GTLN-GTNN trên (a,b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
+ Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN.
( Chú ý: Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực
tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên khoảng (a,b) ).
2. Ví dụ vận dụng:
Ví dụ 1: (Đề thi TN năm 2008- Hệ Bổ túc Lần 2)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
( ) 3 2f x x x= − −
trên đoạn
[ ]
1;3−

Hướng dẫn
TXĐ: R
2
'( ) 3 3f x x= −
1
'( ) 0
1
x
f x
x
=

= ⇔

= −

Cả hai nghiêm trên đều thuộc
[ ]
1;3−
Ta có:
( 1) 0; (1) 4; (3) 16f f f− = = − =
[ 1,3]
[ 1,3]
ax ( ) 16 min ( ) 4M f x f x
−
−
= = −
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
ln( 1)y x x= − + +

trên [0;2]
Hướng dẫn
TXĐ: R
2
2
' 1
1
x
y
x
= − +
+
' 0 1y x= ⇔ =
Ta có :y(0) =0
y(1)=-1+ln2
y(2)=-2+ln5
Vậy :
[0;2]
[0,2]
ax 0, min 2 ln5M y y= = − +
23
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y 2 / (0; )x
x
= + + +∞

Hướng dẫn
+ TX Đ:R\{0}
2

1
' 1
1
' 0
1 (0; )
y
x
x
y
x
= −
=

= ⇔

= − ∉ +∞

Lập bảng biến thiên trên khoảng
( 1;2)−
x 0 1 +
∞
y’ - 0 +
y
+
∞
+
∞

4
Dựa vào bảng biến thiên trên ta có

(0; )
min 4y
+∞
=
3. Bài tập tự giải
* Tìm GTLN-GTNN trên đoạn:
Bài 1: (Đề thi TN năm 2007- Hệ phân ban)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
( ) 8 16 9f x x x x= − + −
trên đoạn
[ ]
1;3
.
Đáp số:
[1;3]
[1;3]
13
( ) 6, min ( )
27
Max f x f x= − =
Bài 2: (Đề thi TN năm 2008- Hệ không phân ban)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các số
9
( )f x x
x
= +
trên đoạn
[ ]
2;4

.
Đáp số:
[2;4]
[2;4]
13
( ) 6, min ( )
2
Max f x f x= =
Bài 3: (Đề thi TN năm 2008- Hệ phân ban)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 cosf x x x= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Đáp số:
[0; ]
[0; ]
2
2
( ) 2, min ( ) 1
4
Max f x f x
π
π
π

= = +
Bài 4: (Đề thi TN năm 2009)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) ln(1 2 )f x x x= − −
trên đoạn
[ ]
2;0−
.
Đáp số:
[-2;0]
[-2;0]
( ) 0, min ( ) 4 ln5Max f x f x= = −
Bài 5: y = x – 5 +
x
1
trên khoảng (0 ;
+∞
)
Đáp số:
(0; )
min
+∞
y=f(1)= −3)
24
Bài 6:. y =
2
f(x) x 4 x= + -
trên nửa khoảng
[

)
1;2
Đáp số::
[
)
1;2
max ( ) 2 2f x =
4. Bài tập về nhà.
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
5x3x2x
3
1
y
23
++−=
trên đoạn [
2
3
;5]
Đáp số:
3
[ ;5]
2
35
min
5
y =


Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =

2 3
1
x
x
+
−
trên đoạn [ -2 ;
0
]
Đáp số:
[
)
[
)
2;0
2;0
1
min 3; maxy
3
y
−
−
= − =

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x4xy −+=
:
Đáp số:
[-2;2]

[-2;2]
min 2 2; max 2;y y= = −
Bài 4 : . Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2lny x x= −
trên [
1
e
; e
2
] :
Đáp số:
2
2
4
1
1
[ ; ]
[ ; ]
min 4; max 1
e
e
e
e
y e y= − =
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( )
x
f x x e= −

trên đoạn
[ 1;0]
−

Đáp số:
1;0
1
m ax f(x) ln 2
2
é ù
-
ë û
= - -
;
2
1;0
min f(x) 1 e
-
é ù
-
ë û
= - -
Bài 6: :. Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) sin 2f x x x
= −
trên







−
2
;
2
ππ
Đáp số:
; ;
2 2 2 2
min f(x) , max f(x)
2 2
é ù é ù
p p p p
ê ú ê ú
- -
ê ú ê ú
ë û ë û
p p
= - =
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
4sin 2 os2xf x x c= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 

.
Đáp số:
0; 0;
2 2
min f(x) 2, max f(x) 2 2
é ù é ù
p p
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
= =

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin
4
x – 4sin
2
x +5
Đáp số:
0;1 0;1
min f(t) 2, max f(t) 5
é ù é ù
ë û ë û
= =
HD: Đặt t = sin
2
x thì
0 1t
≤ ≤
.
Xét hàm f(t) = t

2
-4t +5.
25