Đề thi học sinh giỏi TOÁN 6

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH
CỤM CHUN MƠN SỐ 2

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM
NĂM HỌC: 2021-2022

Mơn: Tốn 6
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,5 điểm) Thực hiện phép tính một cách hợp lí:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
99.100
a) A = 1.2 2.3 3.4
2 1 1 5 8
+ + + +
b) B = 7 9 7 9 14


1 
1 
1 
1 
 1− ÷ 1− ÷ 1− ÷... 1−
÷
c) C =  21 28 36   1326 

Câu 2: (2,5 điểm) Tìm x ∈ N, biết:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2x -1) = 225
18
2x.2x+1.2x+ 2 = 1000...0:5
123

18 chữsố0
b)
c) (2x + 1)3 = 125
Câu 3: (1,5 điểm)
Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng kí tham gia bằng số nam. Nhưng sau đó một
bạn nữ xin nghỉ, một bạn nam xin đi thêm nên số nữ đi tham quan bằng số nam. Tính số học
sinh nữ và học sinh nam đã đi tham quan.
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của
OA, OB.
a) Chứng tỏ rằng OA < OB.
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc
tia đối của tia AB).
Câu 5: (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng:
a) 10n + 23 ⁝ 9
b) Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố và là hai số lẻ liên tiếp
(chẳng hạn: 3 và 5, 11 và 13, …). Chứng minh rằng số tự nhiên lớn hơn 4 và nằm giữa hai số
ngun tố sinh đơi thì chia hết cho 6.

------------Hết------------

PHỊNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH
CỤM CHUN MƠN SỐ 2

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC: 2021-2022

Mơn: Tốn 6
Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà khơng vẽ hình thì khơng chấm điểm bài hình.

Câu

Ý
a)
(0,75
điểm)

b)
(0,75
điểm)

Câu 1
(2,5
điểm)

Đáp án
1
1

1
1
+
+
+ ... +
99.100
A = 1.2 2.3 3.4

=
=1–
=
2 1 1 5 8
+ + + +
B = 7 9 7 9 14

=
=
=
=

0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25

c)
(1,0

điểm)


1 
1 
1 
1 
 1− ÷ 1− ÷ 1− ÷... 1−
÷
21
28
36
1326






C=

2 
2 
2  
2 
 1−
÷. 1−
÷. 1−
÷... 1−
÷

=  6.7   7.8  8.9   51.52 
5.8 6.9 7.10 50.53
.
.
...
6.7
7.8
8.9
51.52
=
5.6.7...50 8.9.10...53
.
= 6.7.8...51 7.8.9...52
5 53
.
= 51 7
265
= 357

Câu 2
(2,5
điểm)

Điểm

a)
(1,0
điểm)

Với mọi x ∈ N ta có 2x – 1 là số lẻ

Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2x – 1)
⇒ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1
Số số hạng của A là: (2x – 1 – 1) : 2 + 1 = x (Số hạng)
⇒ A = [(2x – 1) + 1] . x : 2 = x2
Mà A = 225 ⇒ x2 = 225 = 152

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


b)
(0,75
điểm)

⇒ x = 15
Vậy x = 15
2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 … 0 : 518

0,25

18 chữ số 0
x + x + 1+ x + 2

2

= 10 . 10 . 10 . … . 10 : 5 . 5 . 5 . … . 5
18 thừa số 10

0,25

18 thừa số 5

23x + 3 = (10 : 5 ).(10 : 5). (10 : 5) . … .(10 : 5)

0,25

18 thừa số (10 : 5)

23x + 3 = 2 . 2 . 2 . … . 2
18 thừa số 2
3x + 3

c)
(0,75
điểm)

18

2
=2
0,25
⇒ 3x + 3 = 18
3x = 18 – 3
3x = 15
x = 15 : 3

x=5
Vậy x = 5
(2x + 1)3 = 125
(2x + 1)3 = 53
0,25
2x + 1 = 5
0,25
2x = 4
x=2
0,25
Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đã đi tham
quan là như nhau nên ta lấy làm đơn vị.
0,25
1
1
Số hs nữ đăng kí đi tham quan bằng 4 số nam nên bằng 5 tổng số. 0,25

Số hs nữ đã đi tham quan bằng
1
6 tổng

Câu 3
(1,5
điểm)

1
5

số nam đã đi tham quan nên bằng 0,25

số.

Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đã đi là:
học sinh

1
5

-

1 1
=
6 30

0,25
tổng số hay 1
0,25

1
Tổng số hs là 30 = 30 (học sinh)
1
Số hs nữ đã đi tham quan là: 30 . 6 = 5 (học sinh)
1:

0,25

Số hs nam đã đi tham quan là: 30 – 5 = 25 (học sinh)
Câu 4
(2,0
điểm)

Hình
vẽ
(0,5
điểm)
a)
(0,5
điểm)

o

m

a

n

b

0,5

Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, 0,25
suy ra:
⇒ OA < OB.
0,25


b)
(0,5
điểm)

c)
(0,5
điểm)

a)
(0,75
điểm)
Câu 5
(1,5
điểm)

b)
(0,75
điểm)

Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :
0,25
OA
OB
⇒ OM =
; ON =
2
2
Vì OA < OB, nên OM < ON.
Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm
0,25
giữa hai điểm O và N.
Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :
⇒ OM + MN = ON

0,25
⇒ MN = ON − OM
suy ra :
OB − OA AB
⇒ MN =
=
0,25
2
2
hay :
Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ 0,25
dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O
thuộc tia đối của tia AB).
Ta có
10n + 23 = 10n + 8 = 1000…8
0,5
n số 0
số trên có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9
0,25
Giả sử a là số tự nhiên lớn hơn 4 nằm giữa hai số nguyên tố sinh
đôi => a là số chẵn => a ⁝ 2.
0,25
Mặt khác, vì trong ba số tự nhiên liên tiếp ln có một số chia hết
cho 3 nên a ⁝ 3 (vì số liền trước và liền sau là các số nguyên tố lớn 0,25
hơn 3 nên không chia hết cho 3).
Vậy a ⁝ 2.3 hay a ⁝ 6.
0,25