GIẢI TÍCH HÀM

Mục lục
1 Không gian định chuẩn 3
1.1 Khônggiantôpô 3
1.1.1 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Tập liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Giớihạn 12
1.2.3 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.4 Các định lý về suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.4 Phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Bàitậpch-ơng1 24
2 Các ánh xạ tuyến tính liên tục 31
2.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Phiếm hàm và các áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Các ánh xạ đa tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Địnhlýánhxạmở 38
2.2.1 Định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Vài áp dụng của định lý ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Toán tử compact và toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Chỉ số của toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Phổ của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Bàitậpch-ơng2 46

3 Đại c-ơng về phép tính vi phân 49
3.1 Đạoánh 49
3.1.1 Đạo ánh và đạo ánh riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
3.1.2 Một số qui tắc tính đạo ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.4 Một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình . . . . . . . 55
3.2 Định lý ánh xạ ng-ợc, ánh xạ ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Định lý ánh xạ ng-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.2 Định lý ánh xạ ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Nguyên ánh và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Các ánh xạ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2 Nguyên ánh và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 Một số qui tắc tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Đạo ánh cấp cao và công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Đạo ánh cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Bàitậpch-ơng3 67
2
1
Không gian định chuẩn
1.1 Không gian tôpô
1.1.1 Tập mở và tập đóng
Cho tập X và một họ O nào đó các tập con của X.
Chúng ta sẽ nói O là một tôpô trên X nếuu ba điều kiện sau đây đ-ợc thỏa mãn:
(op 1). Tập X và tập thuộc họ O.
(op 2). Giao hữu hạn các tập thuộc họ O là tập thuộc O.
(op 3). Hợp bất kỳ (có thể vô hạn) các tập thuộc họ O là tập thuộc O.
Khi họ O là một tôpô trên X, ta nói (X,O ) là một không gian tôpô; mỗi phần tử
thuộc O đ-ợc gọi là một tập mở; phần bù của tập mở đ-ợc gọi là tập đóng. Trong

tr-ờng hợp không sợ sự lầm lẫn giữa các tôpô khác nhau, chúng ta nói X là một
không gian tôpô, mỗi phần tử thuộc X còn đ-ợc gọi là một điểm của X.
Ví dụ 1.1.1 Cho X là một tập không rỗng. Khi đó họ {,X} là một tôpô trên X;
tôpô này chỉ có đúng hai tập mở và đ-ợc gọi là tôpô thô. Họ P(X) gồm tất cả các
tập con của X cũng là một tôpô, đ-ợc gọi là tôpô rời rạc trên X; mỗi tập con bất
kỳ của X đều là tập mở trong tôpô này.
Ví dụ 1.1.2 Giả sử U R. Ta nói U là tập mở nếuu mỗi điểm x U đều có khoảng
mở tâm x nằm trọn trong U. Họ các tập mở này là một tôpô và đ-ợc gọi là tôpô
thông th-ờng trên đ-ờng thẳng thực.
Giả sử O , O

là hai tôpô trên cùng một tập X. Chúng ta dễ dàng thấy hai tôpô này
là bằng nhau khi và chỉ khi điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn với mọi x X : mọi
U O chứa x, tồn tại U

O

để x U

U; và ng-ợc lại, mọi U

O

chứa x,
tồn tại U O để x U U

.
Trong không gian tôpô X bất kỳ, họ C gồm tất cả các tập đóng thỏa mãn ba điều
kiện sau đây:
(cl 1). Tập X và tập thuộc họ C.

(cl 2). Hợp hữu hạn các tập thuộc họ C là tập thuộc C.
3
(cl 3). Giao bất kỳ các tập thuộc họ C là tập thuộc C.
Ng-ợc lại, có thể thấy rằng khi có họ C nào đó các tập con của X thỏa mãn ba điều
kiện (cl 1), (cl 2), (cl 3) ta có thể xác định tập mở nh- là phần bù của tập thuộc C.
Cho S là một tập con của không gian tôpô X và a X.
Điểm a đ-ợc gọi là điểm dính của S nếuu mọi tập mở chứa a đều chứa điểm của
S. Hiển nhiên mỗi phần tử của S đều là điểm dính của S. Tập tất cả các điểm dính
của S đ-ợc gọi là bao đóng của S, ký hiệu là
S. Dễ thấy rằng: tập S là đóng khi
và chỉ khi S = S.
Chúng ta nói tập con S của không gian tôpô X là trù mật (trong X) nếuu
S = X.
Điểm a đ-ợc gọi là điểm biên của S nếuu mọi tập mở chứa a đều chứa điểm của
S và chứa điểm không thuộc S. Hiển nhiên mỗi điểm dính của S mà không thuộc
S đều là điểm biên của S. Tập tất cả các điểm biên của S đ-ợc gọi là biên của S,
ký hiệu là S.
Điểm a đ-ợc gọi là điểm trong của S nếuu có tập mở U sao cho a U S; trong
tr-ờng hợp này ta còn nói: S là một lân cận của a. Điểm trong của S cũng chính là
điểm của S nh-ng không là điểm biên. Tập tất cả các điểm trong của S đ-ợc gọi là
phần trong của S, ký hiệu là
o
S. Dễ thấy rằng: tập S là mở khi và chỉ khi S =
o
S.
Cho S là một tập con của không gian tôpô X và V là một tập con của S. Nếu có
tập mở U X sao cho V = U S thì ta nói tập V là mở trong S. Dễ thấy rằng họ
các tập mở trong S là một tôpô trên S, tôpô này đ-ợc gọi là tôpô cảm sinh. Với
tôpô cảm sinh, ta có thể nói S là không gian tôpô con của X.
Cơ sở tôpô là một họ B nào đó các tập mở sao cho mọi tập mở đều là hợp (có thể

vô hạn) các phần tử của B. Dễ thấy rằng nếu B là cơ sở tôpô thì B có hai tính chất
sau đây:
(b 1). Mỗi phần tử của X đều thuộc vào một tập nào đó của họ B.
(b 2). Nếu B, B

B và x B B

thì có B

B sao cho x B

B B

.
Hai tính chất trên là đặc tr-ng của cơ sở. Giả sử X là một tập và B là một họ nào
đó các tập con của X thoả mãn (b 1) và (b 2), khi đó có một tôpô duy nhất để B là
cơ sở tôpô; mỗi tập mở của tôpô này chính là hợp (bất kỳ) các tập thuộc B. Tôpô
duy nhất này đ-ợc gọi là tôpô gây bởi B.
Ví dụ 1.1.3 Tôpô thông th-ờng trên R chính là tôpô gây bởi cơ sở là họ tất cả các
khoảng mở hữu hạn. Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta hiểu R là không gian
với tôpô này.
Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y và a X.
Chúng ta nói f liên tục tại điểm a nếuu mọi lân cận của f(a) đều có nghịch ảnh
là lân cận của a. Nếu f liên tục tại mọi điểm của X, ta nói f liên tục trên tập X
(có thể nói một cách đơn giản: f liên tục).
Định lý 1.1 Giả sử f là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Khi
đó ba phát biểu sau là t-ơng đ-ơng:
1) f liên tục trên X.
2) Nghịch ảnh của tập mở bất kỳ đều là tập mở.
3) Nghịch ảnh của tập đóng bất kỳ đều là tập đóng.

4
Chứng minh.
1) 2). Giả sử V là tập mở của Y. Với mọi x U := f
1
(V ), do V là lân cận của
f(x) nên U là lân cận của x; suy ra U là tập mở.
2)1). Giả sử x X và S là lân cận của f(x). Thế thì có tập mở V sao cho
f(x) V S. Do U := f
1
(V ) là tập mở, x U và U f
1
(S) nên f
1
(S) là
lân cận của x.
Đọc giả tự chứng minh các phát biểu 2) và 3) là t-ơng đ-ơng với nhau.

Định lý 1.2 Giả sử f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô
Y và g là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô Y vào không gian tôpô Z. Thế thì gf
là liên tục.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Nếu ánh xạ f: X Y là song ánh, f và f
1
là các ánh xạ liên tục thì ta nói f là
một phép đồng phôi; X và Y là đồng phôi (đồng tôpô) với nhau. Dễ dàng thấy
rằng các tính chất tôpô là bất biến qua phép đồng phôi.
Cho (X
i

)
iI
là một họ các không gian tôpô và giả sử
X =

iI
X
i
.
Chúng ta xác định một tôpô trên X và gọi nó là tôpô tích: tập con U của X là tập
mở nếuu với mỗi x U đều có tập hữu hạn J I và các tập U
j
mở trong X
j
với
mọi j J thoả mãn
x

jJ
U
j
ì

iI\J
X
i
U.
Nói cách khác, tôpô tích có cơ sở gồm tất cả các tập dạng (tích có một số hữu hạn
các thành phần là tập mở, các thành phần còn lại là toàn bộ không gian)

jJ
U
j
ì

iI\J
X
i
Tôpô tích là tôpô duy nhất với ít nhất các tập mở (tôpô thô nhất) trong các tôpô
trên X đảm bảo mọi phép chiếu
i
: X X
i
là liên tục. Từ đây (nếu không nói gì
thêm) ta hiểu
X =

iI
X
i
là không gian với tôpô tích.
5
1.1.2 Tập liên thông
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là liên thông nếuu không thể biểu diễn X nh- là hợp
của hai tập mở không rỗng rời nhau; hay cũng vậy: chỉ có tập hợp rỗng và bản thân
X là đồng thời mở và đóng. Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là tập
liên thông nếuu không gian (tôpô) con S của X là liên thông. Hiển nhiên là: trong
không gian tôpô bất kỳ, tập chỉ gồm một điểm là tập liên thông.
Ví dụ 1.1.4 Xét đ-ờng thẳng thực R với tôpô thông th-ờng. Dễ dàng thấy rằng:
tập S R là liên thông khi và chỉ khi S là khoảng (có thể là khoảng trống, hữu

hạn hoặc vô hạn, mở hoặc đóng, nửa mở nửa đóng).
Định lý 1.3 Giả sử (S
i
)
iI
là họ các tập con liên thông của không gian tôpô X. Nếu
họ này có phần tử chung thì hợp của họ này là liên thông.
Chứng minh.
Giả sử S =
iI
S
i
,a
iI
S
i
, và S = U V, trong đó U, V là các tập mở rời nhau.
Khi đó S
i
=(S
i
U) (S
i
V ) với mọi i. Do S
i
liên thông nên S
i
U = S
i
hoặc

S
i
V = S
i
. Giả sử có i
0
để S
i
0
U = S
i
0
(tr-ờng hợp S
i
0
V = S
i
0
, ta lý luận
t-ơng tự). Trong tr-ờng hợp này ta có a U và a S
i
với mọi i. Vậy S
i
U = ;
do đó S
i
U = S
i
, hay cũng vậy S
i

U với mọi i; từ đây suy ra U = S.

Từ định lý 1.3 chúng ta có thể định nghĩa thành phần liên thông của điểm a X,đó
chính là hợp của tất cả các tập liên thông chứa a. Hiển nhiên, thành phần liên thông
của điểm a là tập liên thông lớn nhất chứa a.
Định lý 1.4 Giả sử S là tập con liên thông của không gian tôpô X. Thế thì bao
đóng của S cũng là liên thông. Thực ra, nếu S T
S thì T là liên thông.
Chứng minh.
Giả sử U, V là các tập mở (trong X) sao cho U T,V T là rời nhau và T =
(U T ) (V T). Khi đó U S, V S là rời nhau và S =(U S) (V S). Do
S liên thông, giả sử U S = ; ta suy ra U T = , vì nếu có a U, a T S
thì trong U phải có điểm của S.

Hệ quả 1.4.1 Thành phần liên thông của điểm a X là tập đóng.
Chứng minh.
Ký hiệu T (a) là thành phân liên thông của a; ta có: T (a) T (a) T (a).

6
Định lý 1.5 Giả sử f: X Y là ánh xạ liên tục. Nếu X là liên thông thì ảnh f(X)
là liên thông.
Chứng minh.
Nếu U, V là các tập mở trong f(X) và f(X)=U V thì f
1
(U) và f
1
(V ) là các
tập mở và X = f
1
(U) f

1
(V ).

Định lý 1.6 Không gian X là liên thông khi và chỉ khi ánh xạ liên tục bất kỳ từ X
vào không gian rời rạc nhiều hơn một phần tử đều phải là hằng.
Chứng minh.

.

Giả sử X liên thông và f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian rời rạc Y
nhiều hơn một phần tử. Nếu f không là hằng, giả sử f(x
0
)=p. Khi đó f
1
(p) và
f
1
(Y \{p}) là các tập mở không rỗng rời nhau và X = f
1
(p) f
1
(Y \{p}).

.

Giả sử X là hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau U và V . Với p = q Y,
xét ánh xạ f với f(x):=p nếuu x U và f(x):=q nếuu x V. Dễ thấy ánh xạ
f liên tục nh-ng không là hằng.

Định lý 1.7 Nếu (X

i
)
iI
là một họ các không gian tôpô liên thông thì X =

iI
X
i
cũng là liên thông.
Chứng minh.
Giả sử f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian rời rạc Y nhiều hơn một phần tử
và f(a)=p. Chúng ta còn phải chứng minh rằng f là hằng. Do f
1
(p) mở nên nó
chứa một lân cận mở của a có dạng
U = U
i
1
ìãããìU
i
n
ì

i/{i
1
,ããã ,i
n
}
X
i

.
Với bất kỳ b X, giả sử
a =(a
i
1
, , a
i
n
, ),b=(b
i
1
, , b
i
n
, (b
i
)
i/{i
1
,ããã ,i
n
}
),c=(a
i
1
, , a
i
n
, (b
i

)
i/{i
1
,ããã ,i
n
}
).
Xét ánh xạ g : X
i
1
X với g(x
i
1
)=(x
i
1
,a
i
2
ããã ,a
i
n
, (b
i
)
i/{i
1
,ããã ,i
n
}

) thì g là liên
tục. Thế thì f g là liên tục. Do X
i
1
liên thông nên f g là hằng trên X
i
1
; suy ra
f(b
i
1
,a
i
2
, , a
i
n
, (b
i
)
i/{i
1
,ããã ,i
n
}
)=f g(b
i
1
)=f g(a
i

1
)=f(c) f(U)={p}.
Bằng cách lặp lại thích hợp, ta thay đ-ợc a
i
2
bởi b
i
2
, , a
i
n
bởi b
i
n
, và nh- vậy
f(b)=p.

7
Hệ quả 1.7.1 Không gian Euclid R
n
là liên thông. Tích bất kỳ các khoảng là liên
thông.
Chứng minh.
Vì R và mỗi khoảng của nó là không gian tôpô liên thông.

Không gian tôpô X đ-ợc gọi là liên thông đ-ờng nếuu với mọi x, y X đều tồn tại
ánh xạ liên tục từ đoạn nào đó [a; b] R vào X sao cho (a)=x và (b)=y.
Định lý 1.8 Không gian liên thông đ-ờng là liên thông.
Chứng minh.
Giả sử X là hợp của hai tập mở không rỗng rời nhau U và V. Lấy x U và y V.

Giả sử là đ-ờng với (a)=x và (b)=y. Khi đó
1
(U) và
1
(V ) là các tập
mở không rỗng rời nhau có hợp bằng [a; b]. Điều này mâu thuẫn vì đoạn [a; b] R
là liên thông.

1.1.3 Tập compact
Giả sử (S
i
)
iI
là một họ nào đó các tập con của tập X. Chúng ta nói họ này là một
phủ của X nếuu hợp của họ này bằng X. Nếu J I và họ (S
j
)
jJ
là một phủ của
X ta nói họ (S
j
)
jJ
là một phủ con của phủ (S
i
)
iI
. Khi (U
i
)

iI
là phủ của không
gian tôpô X và hơn nữa mọi tập U
i
đều là mở, chúng ta sẽ nói họ (U
i
)
iI
là một
phủ mở của X.
Giả sử X là không gian tôpô. Chúng ta nói X là không gian compact nếuu mọi
phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn. Tập con S của không gian tôpô X
đ-ợc gọi là tập compact nếuu không gian con S là compact.
Ví dụ 1.1.5 Xét không gian Euclid R
n
. Có thể thấy rằng: tập con của R
n
là compact
khi và chỉ khi nó đóng và giới nội. Đặc biệt: mặt cầu, hình cầu đóng, hình hộp là
các tập compact; R
n
không là compact.
Giả sử họ (F
i
)
iI
gồm các tập con đóng nào đó của không gian tôpô X. Chúng ta
nói họ này có tính giao hữu hạn nếuu
jJ
F

j
= với mọi tập con hữu hạn không
rỗng J của I.
Định lý 1.9 Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi
iI
F
i
= với mọi họ
(F
i
)
iI
các tập con đóng có tính giao hữu hạn.
Chứng minh.
8

.

Giả sử X compact và họ (F
i
)
iI
các tập con đóng có tính giao hữu hạn. Nếu

iI
F
i
= thì (X \F
i
)

iI
là phủ mở của X. Giả sử (X \F
j
)
jJ
là phủ con hữu hạn
phủ X, ta suy ra
jJ
F
j
= .

.

Giả sử (U
i
)
iI
là phủ mở của X nh-ng
jJ
U
j
X với mọi tập con hữu
hạn không rỗng J của I. Khi đó
jJ
(X \ U
j
)=X \
jJ
U

j
= với mọi tập
con hữu hạn không rỗng J của I và
iI
(X \ U
i
)=X \
iI
U
i
= . Thế thì họ
(F
i
= X \U
i
)
iI
các tập con đóng có tính giao hữu hạn với
iI
F
i
= .

Định lý 1.10 Giả sử S là tập con đóng của không gian compact X. Thế thì S là
compact.
Chứng minh.
Giả sử S là tập con đóng của không gian compact X và (U
i
)
iI

là họ các tập mở
(trong X) phủ S. Khi đó U = X \S cùng với (U
i
)
iI
là họ các tập mở phủ X. Giả
sử họ con hữu hạn (U
i
1
, , U
i
n
,U) phủ X. Vì U S = ta suy ra (U
i
1
, , U
i
n
) phủ
S.

Chúng ta nói không gian tôpô X là không gian Hausdorff nếuu với mọi x, y
X, x = y đều có các tập mở rời nhau U, V sao cho x U và y V. Hiển nhiên:
không gian con của không gian Hausdorff cũng là Hausdorff; tập gồm một điểm
trong không gian Hausdorff là tập đóng.
Định lý 1.11 Trong không gian Hausdorff, tập compact là tập đóng.
Chứng minh.
Giả sử S là tập compact của không gian Hausdorff X và x X \S. Với mỗi y S
đều có các tập mở rời nhau U
y

x, V
y
y. Họ các tập mở (V
y
)
yS
phủ S nên có
phủ con hữu hạn (V
y
1
, , V
y
n
). Khi đó U =
n
i=1
U
y
i
là tập mở chứa x và U X \S.

Định lý 1.12 Giả sử f: X Y là ánh xạ liên tục. Nếu X là compact thì ảnh f(X)
là compact.
Chứng minh.
Giả sử (V
i
)
iI
là một phủ mở của f(X). Thế thì (f
1

(V
i
))
iI
là một phủ mở của X.
Do X là compact, ta giả sử f
1
(V
i
1
), ,f
1
(V
i
n
) phủ X; suy ra V
i
1
, ,V
i
n
phủ
f(X).

9
Tập con S của không gian tôpô X đ-ợc gọi là compact t-ơng đối nếuu bao đóng
của S là tập compact.
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là compact địa ph-ơng nếuu mọi điểm của nó đều
có lân cận compact.
Ví dụ 1.1.6 Không gian Euclid R

n
là compact địa ph-ơng. Mỗi tập con của R
n
là
compact t-ơng đối khi và chỉ khi nó là bị chặn.
Để kết thúc mục này chúng tôi phát biểu định lý sau đây mà không đ-a ra chứng
minh.
Định lý 1.13 Nếu (X
i
)
iI
là một họ các không gian compact thì X =

iI
X
i
cũng
là compact.
1.2 Không gian metric
1.2.1 Không gian metric
Giả sử X là một tập và d là ánh xạ từ X ìX vào tập các số thực R.
Chúng ta sẽ nói d là một khoảng cách (metric) trong X nếuu ba điều kiện sau đ-ợc
thoả mãn:
(dis 1). d(x, y) > 0 với mọi x = y và d(x, x)=0với mọi x.
(dis 2). d(x, y)=d(y,x) với mọi x, y (tính đối xứng).
(dis 3). d(x, y) d(x, z)+d(z,y) với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác).
Khi d là một khoảng cách trong X, ta nói (X, d) là một không gian metric. Trong
tr-ờng hợp không có sự lầm lẫn giữa các khoảng cách khác nhau, ta có thể nói X
là một không gian metric, và ký hiệu d đ-ợc dùng để chỉ khoảng cách.
Giả sử X là không gian metric, x X và A X; ta cũng định nghĩa khoảng cách

từ điểm x đến tập A, d(x, A):= inf{d(x, y):y A}.
Giả sử S là một tập con của không gian metric (X, d). Khi đó thu hẹp d|
S
của d
trên S là một metric trong S; nh- vậy S (với khoảng cách d|
S
) là không gian metric
và đ-ợc gọi là không gian con của không gian metric X. Để đơn giản, nhiều khi
ta nói mỗi tập con là một không gian con của không gian metric đã cho.
Giả sử a là một điểm của không gian metric (X, d) và r là một số thực d-ơng. Tập
B(a; r):= {x X : d(x, a) <r} sẽ đ-ợc chúng ta gọi là hình cầu mở tâm a bán
kính r. Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập B

(a; r):= {x X : d(x, a) r }.
Tập S X đ-ợc gọi là mở (trong X) nếuu mỗi x S đều có hình cầu mở tâm
x sao cho hình cầu này là tập con của S. Dễ thấy rằng họ tất cả các tập mở trong
không gian metric (X, d) là một tôpô trên X, tôpô này đ-ợc gọi là tôpô sinh bởi
khoảng cách. Từ đây về sau (nếu không nói gì thêm), ta hiểu không gian metric
(X, d) là không gian với tôpô sinh bởi metric này.
Chúng ta nói d
1
và d
2
là các khoảng cách t-ơng đ-ơng nếuu chúng sinh ra cùng
một tôpô trên X; hay cũng vậy, ánh xạ đồng nhất từ không gian (X, d
1
) vào không
gian (X, d
2
) là một phép đồng phôi.

10
Không gian metric X đ-ợc gọi là khả ly nếuu trong X tồn tại một tập không quá
đếm đ-ợc và trù mật.
Ví dụ 1.2.1 Không gian Euclid R
n
với khoảng cách thông th-ờng d(x, y):= xy
là một không gian metric khả ly; tôpô sinh bởi metric này đ-ợc gọi là tôpô thông
th-ờng.
Ví dụ 1.2.2 Giả sử X là một tập. Thế thì d(x, y):= 1 với x = y và d(x, x):= 0 là
một khoảng cách trong X. Tôpô sinh bởi metric này chính là tôpô rời rạc. Không
gian metric này không là khả ly nếu X quá đếm đ-ợc.
Định lý 1.14 Không gian metric là không gian Hausdorff.
Chứng minh.
Giả sử x = y. Thế thì B(x; d(x, y)/2) và B(y; d(x, y)/2) là các tập mở rời nhau.

Hệ quả 1.14.1 Tập compact trong không gian metric là tập đóng.
Chứng minh.
Do Định lý trên và Định lý 1.9.

Giả sử f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào không gian metric ( Y,d). Ta
nói f là liên tục đều (trên X) nếuu: với mọi >0, đều tồn tại >0 sao cho
d(f(x
1
),f(x
2
)) <với mọi x
1
,x
2
X mà d(x

1
,x
2
) <.Hiển nhiên: nếu f liên
tục đều trên X thì f là liên tục trên X.
Định lý 1.15 Giả sử f là ánh xạ từ không gian metric compact X vào không gian
metric Y. Nếu f liên tục thì f là liên tục đều.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả xem nh- bài tập.

Các khoảng cách d
1
,d
2
đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng đồng đều nếuu ánh xạ đồng nhất
từ không gian (X, d
1
) vào không gian (X, d
2
) và ánh xạ ng-ợc của nó là các ánh
xạ liên tục đều.
Ví dụ 1.2.3 Xét không gian véc tơ R
n
. Có thể chứng minh đ-ợc tính t-ơng đ-ơng
đồng đều giữa các khoảng cách d trong R
n
có cùng tính chất: d(x, y)=d(x+z,y+z)
và d(x, y)=||d(x, y) với mọi x, y, z R
n
, mọi R.

11
Ví dụ 1.2.4 Giả sử ( X
1
,d) và (X
2
,d) là các không gian metric. Với mọi cặp điểm
x =(x
1
,x
2
),y=(y
1
,y
2
) của tích X
1
ì X
2
, ta đặt
d
1
(x, y):= d(x
1
,y
1
)+d(x
2
,y
2
),

d
2
(x, y):=

d
2
(x
1
,y
1
)+d
2
(x
2
,y
2
) ,
d

(x, y):= max{d(x
1
,y
1
),d(x
2
,y
2
)}.
Dễ dàng thấy rằng d
1

d
2
,d

là các khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều trong
X
1
ì X
2
. Từ đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu tích của hai không gian
metric (X
1
,d) và (X
2
,d) là không gian X
1
ìX
2
với khoảng cách d là một trong ba
khoảng cách nêu trên.
Định lý 1.16 Giả sử (X, d) là không gian metric. Khi đó hàm khoảng cách d là
liên tục đều trên X ìX.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả xem nh- bài tập.

1.2.2 Giới hạn
Giả sử A là một tập con của không gian metric X, a là một điểm dính của A và f
là một ánh xạ từ A vào không gian metric Y. Tr-ớc hết chúng ta giả sử a/ A. Ta
nói rằng f(x) có giới hạn b khi x dần đến a, x A nếuu ánh xạ g từ A {a} vào
Y xác định bởi g(x)=f(x) với x A \{a} và g(a)=b là liên tục tại a. Trong

tr-ờng hợp a A, ta nói rằng f(x) có giới hạn b khi x A dần đến a nếuu ánh xạ
f liên tục tại a và f(a)=b. Trong tr-ờng hợp f(x) có giới hạn b khi x A dần
đến a, ta ký hiệu b = lim
xa,xA
f(x).
Hiển nhiên là nếu f có giới hạn khi x A dần đến a thì giới hạn là duy nhất.
Một tr-ờng hợp đặc biệt là giới hạn của dãy. Trên đ-ờng thẳng thực mở rộng, điểm
+ là điểm dính của tập các số tự nhiên N. Một ánh xạ từ tập N vào không gian
metric X, th-ờng đ-ợc ký hiệu là (x
n
) và đ-ợc gọi là dãy trong X. Nếu a X là
giới hạn của ánh xạ này tại điểm + theo tập N thì ta nói a là giới hạn của dãy
(x
n
) (hoặc nói: dãy (x
n
) hội tụ đến a) và viết a = lim
n
x
n
.
Hiển nhiên là: a = lim
n
x
n
khi và chỉ khi với mọi lân cận V của điểm a đều tồn tại
số n
0
sao cho x
n

V với mọi n n
0
. Cũng vậy, a = lim
n
x
n
khi và chỉ khi với
mọi >0 đều tồn tại số n
0
sao cho nếu n n
0
thì d(x
n
,a) <.
Điểm b đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dãy (x
n
) nếuu có dãy con (x
n
k
) sao cho
b = lim
k
x
n
k
. Chú ý rằng một dãy có thể có nhiều điểm giới hạn; chẳng hạn dãy
(x
n
) cho bởi: x
2n

=1/(2n +1),x
2n+1
=1+1/(2n +1).
Định lý 1.17 Giả sử a X và A X. Thế thì: a A khi và chỉ khi tồn tại dãy
(x
n
) các điểm của A sao cho a = lim
n
x
n
12
Chứng minh.
Do A B(a;1/n) = , suy ra có dãy (x
n
) các điểm của A thoả d(x
n
,a) < 1/n.
Đọc giả hãy tự chứng minh chiều ng-ợc lại.

Định lý 1.18 Giả sử f là ánh xạ từ tập con A của không gian metric X vào không
gian metric Y và a
A. Để f có giới hạn b Y tại a theo tập A, điều kiện cần và
đủ là với mọi dãy (x
n
) những điểm của tập A, hội tụ đến a, dãy f(x
n
) phải hội tụ
đến b.
Chứng minh.

.

Giả sử f có giới hạn b Y tại a theo tập A, dãy (x
n
) những diểm của A và
hội tụ đến a. Thế thì với mọi >0 đều tồn tại >0 sao cho x A, d(x, a) <
kéo theo d(f(x),b) <.Vì dãy (x
n
) những diểm của A và hội tụ đến a nên có
số n
0
để từ n n
0
kéo theo d(x
n
,a) <.Vậy khi n n
0
ta có d(f(x
n
),b) <.

.

Chúng ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử b không là giới hạn của f
tại a, theo tập A. Khi đó tồn tại
0
> 0 sao cho với mọi n>0 đều có x
n
A thoả
d(x

n
,a) < 1/n và d(f(x
n
),b)
0
. Điều này có nghĩa là dãy (x
n
) những điểm của
tập A, hội tụ đến a, nh-ng dãy f(x
n
) không hội tụ đến b.

Tập con S của không gian metric (X, d) đ-ợc gọi là tập bị chặn (giới nội) nếuu
đ-ờng kính của tập S, (S):= sup {d(x, y):x, y S} là hữu hạn. Tập con S
đ-ợc gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếuu với mọi >0 đều tồn tại phủ của S, gồm
hữu hạn các tập có đ-ờng kính kính không quá .
Tập bị chặn không nhất thiết là hoàn toàn bị chặn; nh-ng tập hoàn toàn bị chặn nhất
thiết phải là tập bị chặn, bởi vì
Định lý 1.19 Hợp hữu hạn các tập bị chặn là tập bị chặn.
Chứng minh.
Giả sử A, B là các tập bị chặn và a A, b B. Dễ thấy rằng: nếu x A và y B
thì d(x, y) d(x, a)+d(a, b)+d(b, y). Suy ra (A B) (A)+d(a, b)+(B).

13
1.2.3 Không gian metric đầy đủ
Dãy (x
n
) trong không gian metric đ-ợc gọi là dãy Cauchy nếuu nó thoả mãn: với
mọi >0 đều tồn tại số n
0

sao cho nếu p n
0
và q n
0
thì d(x
p
,x
q
) <.
Hiển nhiên, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Điều ng-ợc lại nói chung là không
đúng.
Không gian metric X đ-ợc gọi là đầy đủ nếuu mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Đọc
giả hãy chứng minh đ-ờng thẳng thực với khoảng cách thông th-ờng là không gian
đầy đủ.
Hiển nhiên: dãy Cauchy đối với khoảng cách d thì cũng vẫn là dãy Cauchy đối với
mọi khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều với d; do đó: nếu không gian metric là đầy
đủ thì nó vẫn là đầy đủ đối với mọi khoảng cách t-ơng đ-ơng đồng đều.
Định lý 1.20 Cho X là một không gian metric. Khi đó ba phát biểu sau là t-ơng
đ-ơng:
1) X là compact.
2) Mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn.
3) X đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
Chứng minh.
Đọc giả có thể tham khảo trong [2].

Định lý 1.21 Nếu không gian con F là đầy đủ thì F là đóng.
Chứng minh.
Theo Định lý 1.17, mọi điểm a F đều tồn tại dãy (x
n
) các điểm của F sao cho

a = lim
n
x
n
. Vì (x
n
) là dãy Cauchy và F là đầy đủ nên a F ; do đó F = F.

Định lý 1.22 Trong không gian metric đầy đủ X, mọi tập đóng đều là không gian
con đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử (x
n
) là dãy các điểm của F và là dãy Cauchy. Do X là đầy đủ nên ta giả sử
dãy (x
n
) hội tụ đến a X. Do Định lý 1.17, ta có a F; nh-ng F = F.

Định lý 1.23 (Định lý Baire). Giả sử X là không gian metric đầy đủ và là hợp của
dãy (F
n
)

n=1
các tập con đóng. Khi đó có n để F
n
chứa một hình cầu mở.
14
Chứng minh.
Chúng ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử với mọi x X, mọi r>0, mọi n ta

đều có B(x; r)(X \F
n
) = . Lấy x
0
X và r
0
> 0. Do B(x
0
; r
0
)(X \F
1
) = và
là tập mở nên có hình cầu đóng B

(x
1
; r
1
) B(x
0
; r
0
)(X \F
1
) với r
1
< 1. Giả sử
ta đã có các các hình cầu đóng B

(x
i
; r
i
) có tính chất: r
i
< 1/i, B

(x
i
; r
i
) (X \F
i
)
và B

(x
i
; r
i
) B

(x
i1
; r
i1
) với mọi i :1 i n. Vì B(x
n
; r

n
) (X \F
n+1
) =
và là tập mở nên có hình cầu đóng B

(x
n+1
; r
n+1
) B(x
n
; r
n
) (X \ F
n+1
) với
r
n+1
< 1/(n +1). Bởi qui nạp, chúng ta có dãy các hình cầu đóng

B

(x
n
; r
n
)

thoả mãn: r

n
< 1/n, B

(x
n
; r
n
) (X \F
n
) và B

(x
n
; r
n
) B

(x
n1
; r
n1
) với mọi
n 1.
Dễ thấy rằng dãy (x
n
) là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên có a X, là giới hạn của dãy
(x
n
). Chúng ta thấy ngay a
n

B

(a
n
; r
n
). Nh-ng
n
B

(x
n
; r
n
)
n1
(X \F
n
)=
X \
n1
F
n
= ; và chúng ta gặp mâu thuẫn.

Hệ quả 1.23.1 Giả sử X là không gian metric đầy đủ và (U
n
) là dãy các tập mở
trù mật. Khi đó

n
U
n
= .
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Định lý 1.24 (Định lý ánh xạ co). Giả sử X là không gian metric đầy đủ và
f: X X. Nếu có hằng số c, 0 <c<1, sao cho
d(f(x),f(y)) c.d(x, y) với mọi x, y X,
thì f là liên tục đều và có duy nhất điểm bất động x
0
. Hơn nữa, với bất kỳ x X,
ta đều có
x
0
= lim
n
f
n
(x).
Chứng minh.
Tính liên tục đều của f đ-ợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Với bất kỳ x X, n = m + k, ta có
d(f
m
(x),f
n
(x)) c
m

d(x, f
k
(x)) c
m
k

i=1
d(f
(i1)
(x),f
i
(x));
suy ra
d(f
m
(x),f
n
(x)) c
m
d(x, f(x))
k

i=1
c
k1

c
m
d(x, f(x))
1 c

.
Vậy dãy (f
n
(x)) là dãy Cauchy. Do X đầy đủ nên nó có giới hạn x
0
. Dễ thấy
rằng: f(x
0
)=x
0
.
Đọc giả hãy chứng minh tính duy nhất của điểm bất động.
15

Giả sử f là một song ánh từ không gian metric X lên không gian metric Y. Ta nói
f là một phép đẳng cự nếuu d(f(x
1
),f(x
2
))= d(x
1
,x
2
) với mọi x
1
,x
2
X. Khi
có một phép đẳng cự từ X lên Y, ta nói: X đẳng cự với Y. Quan hệ đẳng cự là
quan hệ t-ơng đ-ơng.

Định lý 1.25 (Đầy đủ hoá không gian metric). Giả sử X là không gian metric. Khi
đó tồn tại không gian metric đầy đủ Y sao cho X đẳng cự với một không gian con
trù mật X

của Y. Hơn thế nữa, nếu Z là một không gian metric đầy đủ sao cho X
đẳng cự với một không gian con trù mật của Z thì Z đẳng cự với Y.
Chứng minh.
Ký hiệu S(X) là tập tất cả các dãy Cauchy x =(x
n
) trong không gian metric X. Xét
quan hệ hai ngôi trên S(X):x y nếuu lim
n
d(x
n
,y
n
)=0. Dễ thấy là quan
hệ t-ơng đ-ơng. Ký hiệu Y là tập các lớp t-ơng đ-ơng, Y := {[x]:x S(X)}. Với
[x], [y] Y, đặt d([x], [y]):= lim
n
d(x
n
,y
n
); dễ thấy rằng đây là một khoảng cách
trong Y và Y là một không gian metric đầy đủ. Đặt X

:= {[x] Y : x là dãy hằng}.
Dễ thấy X đẳng cự với X

. Đọc giả hãy tự chứng minh tiếp phần còn lại của định
lý.

1.2.4 Các định lý về suy rộng
Định lý 1.26 (Nguyên lý suy rộng đẳng thức). Giả sử f,g là các ánh xạ liên tục
từ không gian metric X vào không gian metric Y và S là tập con trù mật trong X.
Nếu f(x)=g(x) với mọi x S thì f = g.
Chứng minh.
Theo Định lý 1.17, mọi điểm x X = S đều tồn tại dãy (x
n
) các điểm của S sao
cho x = lim
n
x
n
. Vì f và g liên tục, bằng nhau trên S, ta suy ra
f(x) = lim
n
f(x
n
) = lim
n
g(x
n
)=g(x) .

Sau đây chúng tôi chỉ phát biểu mà bỏ qua chứng minh các định lý còn lại về suy
rộng.
Định lý 1.27 Giả sử f,g là các ánh xạ liên tục từ không gian metric X vào đ-ờng
thẳng thực mở rộng

R. Khi đó {x E : f(x) g(x)} là tập đóng.
Chứng minh.
16
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Định lý 1.28 (Nguyên lý suy rộng bất đẳng thức). Giả sử f và g là các ánh xạ liên
tục từ không gian metric X vào đ-ờng thẳng thực mở rộng; S là tập con trù mật
trong X. Nếu f(x) g(x) với mọi x S thì f g.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Định lý 1.29 Giả sử S là tập con trù mật trong không gian metric X và f là ánh
xạ từ S vào không gian metric Y. Thế thì: để có f : X Y liên tục và là suy rộng
của f, điều kiện cần và đủ là với mọi x X, đều tồn tại giới hạn lim
yx,yS
f(y).
Trong tr-ờng hợp này, ánh xạ
f là duy nhất.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Định lý 1.30 Giả sử S là tập con trù mật trong không gian metric X và f là ánh
xạ liên tục đều từ S vào không gian metric đầy đủ Y. Khi đó tồn tại
f: X Y liên
tục và là suy rộng của f; hơn nữa
f là duy nhất và liên tục đều.
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

1.3 Không gian định chuẩn

Trong ch-ơng này và những ch-ơng sau, khi nói về các không gian véc tơ, chúng
ta luôn luôn hiểu rằng đó là các không gian véc tơ trên tr-ờng - là tr-ờng số thực
hoặc tr-ờng số phức.
Trong cùng một phát biểu có nói đến nhiều không gian véc tơ, chúng ta hiểu các
không gian ấy là trên cùng một tr-ờng.
17
1.3.1 Không gian định chuẩn
Chúng ta sẽ gọi ánh xạ . từ không gian véc tơ E vào R,xx là một chuẩn
nếuu nó thoả ba tính chất sau đây:
(nor 1). x > 0 với mọi x =0và 0 =0.
(nor 2). x = ||x với mọi x E và mọi .
(nor 3). x + yx + y với mọi x, y (Bất đẳng thức tam giác )
Khi . là một chuẩn trong E, ta nói (E,.) là một không gian định chuẩn (trong
tr-ờng hợp không có sự lầm lẫn giữa các chuẩn khác nhau, ta có thể nói E là không
gian định chuẩn và ký hiệu chuẩn là . ).
Giả sử E là một không gian định chuẩn và F là một không gian véc tơ con của E.
Dễ thấy rằng thu hẹp của . trên F cũng là một chuẩn, và nh- vậy ta có thể nói
về không gian con của không gian định chuẩn.
Định lý 1.31 Giả sử x x là một chuẩn trong không gian véc tơ E. Khi đó
d(x, y):= xy là một khoảng cách trong E có tính chất: d(x+z, y+z)=d(x, y)
và d(x, y)=||d(x, y).
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Từ đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu mỗi không gian định chuẩn là một
không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn, d(x, y):= x y; và do đó
nó là một không gian tôpô (sinh bởi chuẩn (metric) vừa nêu).
Định lý 1.32 Nếu E là không gian định chuẩn trên tr-ờng và
0
thì các

ánh xạ E ì E E,(x, y) x + y; E E,x
0
x là liên tục đều và ánh xạ
ì E E,(, x) x là liên tục.
Chứng minh.
Do (x + y) (x

+ y

) = (x x

)+(y y

)x x

+ y y

nên ánh xạ
(x, y) x + y liên tục đều trên E ì E. Đọc giả tự chứng minh phần còn lại của
định lý.

Định lý 1.33 Nếu F là một không gian con của không gian định chuẩn E thì bao
đóng của F cũng là một không gian con của E.
Chứng minh.
Đọc giả hãy tự chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của giới hạn dãy.

18
Định lý sau đây th-ờng đ-ợc coi nh- là một bổ đề dùng để chứng minh một số định
lý khác.
Định lý 1.34 Giả sử H là không gian con đóng của không gian định chuẩn E,

H = E và 0 <<1. Thế thì có x E \ H, x =1,d(x, H) 1 .
Chứng minh.
Lấy z E \H. Do H đóng nên d(z, H) > 0. Với =
1
1
1 > 0 có y
0
H để
z y
0
<d(z, H)(1 + ). Lấy x =(z y
0
)/z y
0
. Ta có x =1. Với bất kỳ
y H ta đều có:
x y =


z y
0
z y
0

y


=
z y
0

z y
0
y
z y
0


d(z,H)
z y
0

>
1
1+
=1.

Các chuẩn .
1
và .
2
trong không gian véc tơ E đ-ợc gọi là các chuẩn t-ơng
đ-ơng nếuu tồn tại các số d-ơng c, C sao cho c x
1
x
2
C x
1
với mọi
x E. Hiển nhiên: các chuẩn t-ơng đ-ơng sẽ sinh ra các metric t-ơng đ-ơng đồng
đều.

Ví dụ 1.3.1 Giả sử (E
1
, .) và (E
2
, .) là các không gian định chuẩn. Với mọi
điểm x =(x
1
,x
2
), của tích E
1
ì E
2
, ta đặt
x
1
:= x
1
+ x
2

x
2
:=

x
1

2
+ x

2

2
,
x

:= max{x
1
, x
2
}.
Dễ dàng thấy rằng .
1
, .
2
, .

, là các chuẩn t-ơng đ-ơng trong E
1
ì E
2
. Từ
đây về sau, nếu không nói gì thêm, ta hiểu chuẩn trong không gian tích E
1
ìE
2
là
một chuẩn nào đó trong ba chuẩn vừa nêu trên.
Không gian định chuẩn đầy đủ, còn đ-ợc gọi là không gian Banach.
Theo Định lý 1.22 thì mọi không gian con đóng của không gian Banach đều là

Banach. Ng-ợc lại, theo định lý 1.21 nếu không gian con F (của không gian định
chuẩn E) là Banach thì F là đóng trong E. Nh- vậy, ta nhận đ-ợc định lý sau đây:
Định lý 1.35 Giả sử F là không gian định chuẩn con của không gian Banach E.
Thế thì: F là Banach khi và chỉ khi F là đóng trong E.
1.3.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn
Giả sử (x
n
) là dãy trong không gian định chuẩn E. Chúng ta gọi tổng hình thức


n=0
x
n
là một chuỗi (trong E)vàs
n
=

n
i=0
x
i
là tổng riêng (thứ n) của chuỗi.
Chuỗi đ-ợc gọi là hội tụ hay phân kỳ tuỳ thuộc vào tính hội tụ hay phân kỳ của
dãy tổng riêng. Nếu dãy tổng riêng có giới hạn là s thì ta cũng nói tổng của chuỗi
bằng s và viết s =


n=0
x
n

.
19
Định lý 1.36 Nếu các chuỗi


n=0
x
n
,


n=0
y
n
là hội tụ (trong E), có tổng t-ơng
ứng bằng s và t thì chuỗi


n=0
(x
n
+ y
n
) hội tụ đến tổng s + t, và với l-ợng vô
h-ớng bất kỳ , chuỗi


n=0
x
n

hội tụ đến tổng s.
Chứng minh.
T-ơng tự nh- chứng minh cho chuỗi số.

Chuỗi


n=0
x
n
trong không gian Banach đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếuu chuỗi


n=0
x
n
hội tụ.
Định lý 1.37 Giả sử chuỗi


n=0
x
n
hội tụ tuyệt đối. Thế thì chuỗi


n=0
x
n
là hội

tụ và


n=0
x
n



n=0
x
n
.
Chứng minh.
T-ơng tự nh- chứng minh cho chuỗi số.

Định lý 1.38 Nếu


n=0
x
n
là chuỗi hội tụ tuyệt đối và là một hoán vị của tập số
tự nhiên thì chuỗi


n=0
x
(n)
là chuỗi hội tụ tuyệt đối và

n=0
x
n
=


n=0
x
(n)
.
Chứng minh.
T-ơng tự nh- chứng minh cho chuỗi số.

1.3.3 Không gian Hilbert
Ký hiệu là số phức liên hợp của số phức .
Giả sử E là không gian véc tơ trên tr-ờng và < ã, ã > là một dạng Hermite trên
E, có nghĩa: ánh xạ < ã, ã > từ E ì E vào , (x, y) <x,y>tuyến tính đối với
biến thứ nhất và thoả mãn <y,x>=
<x,y>với mọi x, y E. Trong tr-ờng hợp
E là không gian véc tơ thực thì dạng Hermite chính là ánh xạ song tuyến tính đối
xứng.
Dạng Hermite đ-ợc gọi là xác định d-ơng nếu nó thoả mãn thêm điều kiện <
x, x >> 0 với mọi x =0. Từ đây về sau chúng ta chỉ xét dạng Hermite xác định
d-ơng. Dạng Hermite xác định d-ơng còn đ-ợc chúng ta gọi là tích vô h-ớng.
Định lý 1.39 Nếu < ã, ã > là dạng Hermite xác định d-ơng trên E thì với mọi
x, y E ta đều có:
1) | <x,y>|<x,x>
1/2

<y,y>
1/2
(Bất đẳng thức Schwartz)
2) <x+ y, x + y>
1/2
<x,x>
1/2
+ <y,y>
1/2
(Bất đẳng thức Minkowski)
20
Chứng minh.
Dành cho đọc giả, xem nh- bài tập.

Khi dạng Hermite < ã, ã > là xác định d-ơng trên E, dễ thấy rằng x:=<x,x>
1/2
là một chuẩn trong E; không gian định chuẩn (E,.) còn đ-ợc gọi là không gian
tiền Hilbert.
Ta nói hai véc tơ x, y E là trực giao (vuông góc) với nhau, ký hiệu x y, nếuu
<x,y>=0.
Từ định nghĩa của chuẩn, chúng ta dễ dàng chứng minh đ-ợc hai định lý sau đây:
Định lý 1.40 (Định lý Pythago): nếu các vec tơ x, y vuông góc với nhau thì
x + y
2
= x
2
+ y
2
.
Định lý 1.41 (Luật hình bình hành): x + y

2
+ x y
2
=2x
2
+2y
2
với mọi
x, y E.
Với S là tập con của E, ký hiệu S

gồm tất cả các véc tơ v E sao cho <v,w>=0
với mọi w S. Dễ dàng thấy rằng S

là không gian véc tơ con của E.
Giả sử (v
i
)
iI
là một họ các véc tơ khác không trong không gian tiền Hilbert E.
Khi họ (v
i
)
iI
thỏa mãn <v
i
,v
j
>=0với mọi i = j, chúng ta sẽ gọi họ này là một
hệ trực giao. Mỗi hệ trực giao (v

i
)
iI
mà v
i
=1với mọi i, đ-ợc chúng ta gọi là
một hệ trực chuẩn. Hiển nhiên: nếu (v
i
)
iI
là một hệ trực giao thì (v
i
/v
i
)
iI
là
một hệ trực chuẩn. Chúng ta sẽ nói họ (v
i
)
iI
là một hệ toàn vẹn nếuu không gian
con sinh bởi họ này là trù mật trong E. Hệ trực giao và toàn vẹn đ-ợc gọi là cở sở
trực giao của không gian E (không nên nhầm lẫn với khái niệm cơ sở của không
gian véc tơ; không nhất thiết mọi véc tơ đều là tổ hợp tuyến tính của một số hữu
hạn các phần tử của cơ sở trực giao). Hệ trực chuẩn và toàn vẹn đ-ợc gọi là cở sở
trực chuẩn của E.
Không gian tiền Hilbert (E,.) đầy đủ sẽ đ-ợc chúng ta gọi là không gian Hilbert.
Hiển nhiên: không gian Euclid R
n

là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.2 Không gian
2
tất cả các dãy số thực x =(x
n
) sao cho

n
|x
n
|
2
hội tụ,
là không gian Hilbert (thực, vô hạn chiều) với tích vô h-ớng <x,y>=

n
x
n
y
n
.
Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu e
n
là dãy có số hạng thứ n bằng 1, các số hạng còn
lại đều bằng 0. Có thể chứng tỏ đ-ợc họ (e
n
)
nN
là một cơ sở trực chuẩn của
2

.
1.3.4 Phép chiếu trực giao
Định lý 1.42 Giả sử E là không gian tiền Hilbert và F là một không gian véc tơ
con đầy đủ (tức là, một không gian Hilbert). Thế thì với mỗi x E đều có duy
nhất một điểm y = P
F
(x) F (đ-ợc gọi là hình chiếu vuông góc của x lên F )
sao cho x y= d(x, F ). Điểm y = P
F
(x) cũng chính là điểm duy nhất z F
sao cho x z vuông góc với F.
21
Chứng minh.
Giả sử a = d(x, F ); theo định nghĩa, có dãy (y
n
) những điểm của F sao cho
lim
n
x y
n
= a. Từ luật hình bình hành, ta suy ra
y
m
y
n

2
=2x y
n

2
+2x y
m

2
4x
y
n
+ y
m
2

2
.
Do (y
n
+ y
m
)/2 F, nên y
m
y
n

2
2x y
n

2
+2x y
m

2
4a
2
. Bất
đẳng thức cuối cùng chứng tỏ (y
n
) là dãy Cauchy, và do đó giới hạn y F thoả
x y = d(x, F ). Giả sử y

F và x y

= d(x, F ), cũng từ luật hình bình
hành suy ra y y


2
2x y
2
+2x y


2
4a
2
=0;vậy y = y

.
Bây giờ giả sử 0 = z F. Với mọi số thực t =0ta đều có x (y +tz) >a
2

, suy
ra 2tRe < x y, z > +t
2
z
2
> 0. Nếu Re<x y, z >=0, chọn t thích hợp
ta sẽ gặp mâu thuẫn. Vậy Re<x y, z >=0. Nếu E là không gian tiền Hilbert
phức, thay z bởi iz, và lập luận t-ơng tự ta kết luận đ-ợc Im < xy, z >=0. Đọc
giả hãy tự chứng minh phần còn lại của định lý.

Định lý 1.43 Giả sử E là không gian Hilbert và E = {0}. Thế thì E có cơ cở trực
chuẩn.
Chứng minh.
Chúng ta chỉ cần chứng minh sự tồn tại cơ sở trực giao. Gọi B là họ gồm tất cả các
hệ trực giao của E. Trên B xét quan hệ thứ tự nh- sau: B
1
B
2
nếuu B
1
B
2
.
Chúng ta thấy rằng: nếu ( B
i
)
iI
là một xích thì
iI
B

i
là một cận trên của nó. Theo
bổ đề Zorn, giả sử B là một phần tử cực đại của B. Gọi F là bao đóng của không
gian con sinh bởi B. Nếu có x E \ F thì theo Định lý 1.42, z = x P
F
(x) =0
và vuông góc với F ; điều này mâu thuẫn với tính cực đại của B.

Định lý 1.44 Giả sử (a
i
)
iI
là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert E. Với
x E, đặt x
i
=<x,a
i
> (gọi là hệ số Fourier của x ứng với a
i
). Khi đó ta có
tập I(x)={i I : x
i
=0} là không quá đếm đ-ợc và:
1) x =

iI
x
i
a
i

;
2)

iI
|x
i
|
2
= x
2
Chứng minh.
Giả sử J là tập con hữu hạn bất kỳ của I. Đặt y =

jJ
x
j
a
j
và z = x y. Thế
thì z vuông góc với y, từ định lý Pythago suy ra
x
2
= y + z
2
= y
2
+ z
2
y
2

=

jJ
x
j
a
j

2
=

jJ
|x
j
|
2
.
22
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra: với mọi số nguyên d-ơng n, tập I(x, n)={i
I : |x
i
|1/n} là hữu hạn; do đó I(x)=

n=1
I(x, n) không quá đếm đ-ợc; do đó
chuỗi

iI(x)
|x
i

|
2
hội tụ. Do

jJ
x
j
a
j

2
=

jJ
|x
j
|
2
, ta suy ra

iI
x
i
a
i
hội
tụ.
Đặt s =

iI

x
i
a
i
nếu s = x thì x s
1
(x s) là véc tơ đơn vị và vuông góc với
hệ (a
i
)
iI
, mâu thuẫn với giả thiết tối đại của hệ (a
i
)
iI
.

23
1.4 Bài tập ch-ơng 1
1. Giả sử X là không gian tôpô và S là tập con của X. Chứng minh rằng:
a)

S là tập mở lớn nhất chứa trong S;
b) S mở khi và chỉ khi S =

S;
c)

S

=

S.
2. Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập con của X. Chứng minh rằng:
a) nếu A B thì

A

B;
b)


(A B)=

A

B;
c)


(A B)

A

B.
3. Giả sử X là không gian tôpô và S là tập con của X. Chứng minh rằng, để
mọi tập mở trong S là mở, điều kiện cần và đủ là S mở.
4. Giả sử X là không gian tôpô và S là tập con của X. Chứng minh rằng:

a)
S là tập đóng nhỏ nhất chứa S;
b) S đóng khi và chỉ khi S = S;
c)

S

= S.
5. Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập con của X. Chứng minh rằng:
a) nếu A B thì A B;
b) (A B)=A B;
c) (A B) A B.
6. Giả sử S là không gian tôpô con của không gian tôpô X và A là tập con của
S. Chứng minh rằng A là đóng trong S khi và chỉ khi có tập con đóng B của
X để A = B S.
7. Giả sử X là không gian tôpô và S là tập con của X. Chứng minh rằng, để
mọi tập đóng trong S là đóng , điều kiện cần và đủ là S đóng.
8. Giả sử X là không gian tôpô và A, B, C là các tập con của X. Chứng minh
rằng: nếu A trù mật trong B và B trù mật trong C thì A trù mật trong C.
9. Giả sử X là không gian tôpô và S là tập mở của X. Chứng minh rằng: S
cùng với các điểm ngoài của nó là tập trù mật khắp nơi.
24
10. Giả sử X là không gian compact và S là tập đóng của X. Chứng minh rằng
S là tập compact.
11. Giả sử X là không gian Hausdorff và S X, là tập compact. Chứng minh
rằng S là tập đóng. Hãy đ-a ra một ví dụ mà tập con đóng không là tập
compact.
12. Giả sử X là không gian tôpô, c X và (x
n
) là một dãy trong X. Ta nói c là

điểm tụ của dãy (x
n
) nếuu mọi tập U mở chứa c, đều có vô số n để x
n
U.
Ta cũng giả sử X có hệ cơ sở đếm đ-ợc. Chứng minh rằng: X là compact
khi và chỉ khi mọi dãy trong X đều có điểm tụ.
13. Giả sử (X, ) là không gian compact địa ph-ơng nh-ng không là compact.
Chứng minh rằng có không gian compact (Y,) và y Y sao cho (X, ) đồng
phôi với Y \{y} và X là trù mật trong (Y,) (không gian (Y,) đ-ợc gọi là
không gian compact hoá của không gian tôpô X).
14. Giả sử X là một tập không rỗng. Chứng minh rằng hàm cho bởi d(x, y):= 1
nếu x = y và d(x, x):= 0, là một siêu metric, tức là
d(x, y) > 0 nếu x = y, d(x, x)=0,
d(x, y)=d(y,x),
d(x, z) max{d(x, y),d(y, z)}
(hiển nhiên là một metric); và (X, d) là không gian tôpô rời rạc.
15. Chứng minh rằng không gian metric là không gian Hausdorff.
16. Hãy chỉ ra một không gian tôpô (X, ) sao cho không có một metric nào trên
X, sinh ra tôpô .
17. Giả sử ( x
n
) là dãy trong không gian metric X.
a) Chứng minh rằng: nếu dãy (x
n
) hội tụ thì giới hạn là duy nhất;
b) Chứng minh rằng: nếu dãy (x
n
) hội tụ thì (x
n

) phải là dãy Cauchy. Hãy
chỉ ra một dãy Cauchy không hội tụ;
c) Chứng minh rằng dãy Cauchy là bị chặn. Hãy chỉ ra một dãy bị chặn nh-ng
không là dãy Cauchy;
18. Giả sử X là không gian metric và S là tập con của X. Chứng minh rằng: nếu
S đầy đủ thì S là tập đóng.
19. Giả sử X là không gian metric và S là tập con của X. Chứng minh rằng: nếu
S đóng và X đầy đủ thì S là đầy đủ.
20. Chứng minh rằng: tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn. Hãy chỉ ra một tập bị
chặn nh-ng không là hoàn toàn bị chặn.
25