Tài liệu hỗ trợ học tập môn học toán dùng trong tin học

Tài liệu hỗ trợ học tập mơn học

Tốn Dùng Trong Tin Học

Chủ biên: Đoàn Thiện Ngân
Tham gia: Huỳnh Văn Đức
Hoàng Anh Tuấn
Nguyễn Cơng Trí

Năm 2016



Lời nói đầu
Đây là tài liệu hỗ trợ học tập mơn Tốn dùng trong tin học cho sinh viên khoa Hệ thống thơng
tin kinh doanh. Nội dung chính của tài liệu này có 7 chương như trong đề cương chi tiết môn
học của Khoa.
CHƯƠNG 1 Logic – Các phương pháp chứng minh
CHƯƠNG 2 Tập hợp - Các phép toán tập hợp
CHƯƠNG 3 Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua các hệ đếm
CHƯƠNG 4 Quan hệ và Hàm
CHƯƠNG 5 Đồ thị
CHƯƠNG 6 Cây
CHƯƠNG 7 Đại số Bool

Mỗi chương có cấu trúc tương tự nhau gồm 3 phần: Tóm tắt lý thuyết, Ví dụ và Bài
tập để sinh viên làm thêm tại nhà sau khi tham khảo các ví dụ.
Dù chúng tôi đã tập trung nhiều công sức và thời gian, nhưng chắc chắn vẫn cịn những
sai sót trong tài liệu này. Kính mong độc giả thơng báo cho chúng tơi biết các lỗi và
những sai sót khi nhận thấy, để lần tái bản kế tiếp tài liệu này được tốt hơn. Chúng tơi
chân thành tiếp nhận mọi góp ý để có thể có một tài liệu tốt cho sinh viên sử dụng. Mọi

liên hệ xin email về địa chỉ
Tp. HCM, tháng 8 năm 2016
Nhóm tác giả



Mục lục

Mục lục
Chương 1:

Logic – Các phương pháp chứng minh ............................................................ 5

1. Tóm tắt lý thuyết .............................................................................................................. 5
1. 1. Một số khái niệm cơ bản của logic ........................................................................... 5
1. 2. Các phương pháp chứng minh .................................................................................. 6
1. 3. Ngụy biện .................................................................................................................. 8
1. 4. Vị từ và lượng từ ....................................................................................................... 9
1. 5. Các phương pháp chứng minh định lý .................................................................... 10
2. Ví dụ ............................................................................................................................... 11
3. Bài tập ............................................................................................................................ 28
Chương 2:
Tập hợp - Các phép tốn tập hợp ................................................................... 33
1. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 33
1. 1. Một số khái niệm cơ bản của tập hợp ..................................................................... 33
1. 2. Mô tả qua các tính chất của tập hợp ........................................................................ 33
1. 3. Mơ tả qua giản đồ Venn .......................................................................................... 33
1. 4. Những tập hợp số quan trọng .................................................................................. 33
1. 5. Các phép toán tập hợp ............................................................................................. 35
2. Ví dụ ............................................................................................................................... 35

3. Bài tập ............................................................................................................................ 40
Chương 3:
Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua các hệ đếm ........................................ 43
1. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 43
1. 1. Tính chia hết ............................................................................................................ 43
1. 2. Thuật tốn chia ........................................................................................................ 43
1. 3. Số học đồng dư ........................................................................................................ 44
1. 4. Ứng dụng của đồng dư ............................................................................................ 44
1. 5. Các thuật tốn liên quan đến số ngun .................................................................. 44
2. Ví dụ ............................................................................................................................... 47
3. Bài tập ............................................................................................................................ 55
Chương 4:
Quan hệ và Hàm ............................................................................................. 59
1. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 59
1. 1. Quan hệ và hàm ....................................................................................................... 59
1. 2. Tính chất của quan hệ ............................................................................................. 59
1. 3. Tổ hợp các quan hệ ................................................................................................. 59
1. 4. Quan hệ n–ngôi ....................................................................................................... 60
1. 5. Các phép tốn trên quan hệ n – ngơi ....................................................................... 60
1. 6. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận .............................................................................. 61
1. 7. Biểu diễn quan hệ bằng đồ thị có hướng ................................................................. 62
2. Ví dụ ............................................................................................................................... 66
3. Bài tập ............................................................................................................................ 82
3


Mục lục
Chương 5:

Đồ thị ............................................................................................................. 91

1. Tóm tắt lý thuyết ........................................................................................................... 91
1. 1. Khái niệm cơ bản .................................................................................................... 91
1. 2. Các loại đồ thị ......................................................................................................... 91
1. 3. Các phương pháp biểu diễn đồ thị .......................................................................... 92
1. 4. Tính liên thơng của đồ thị ....................................................................................... 92
1. 5. Đường đi Euler và đường đi Hamilton trong đồ thị ............................................... 94
1. 6. Bài tốn tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị ......................................................... 94
2. Ví dụ .............................................................................................................................. 95
3. Bài tập .......................................................................................................................... 106
Chương 6:
Cây ............................................................................................................... 115
1. Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 115
1. 1. Một số khái niệm cơ bản về cây ........................................................................... 115
1. 2. Cây nhị phân ......................................................................................................... 116
1. 3. Cây quyết định ...................................................................................................... 117
1. 4. Các phương pháp duyệt cây.................................................................................. 117
1. 5. Phương pháp duyệt theo mức ............................................................................... 119
1. 6. Cây bao trùm – Cây khung ................................................................................... 119
1. 7. Thuật tốn tìm cây bao trùm nhỏ nhất. ................................................................. 120
2. Ví dụ ............................................................................................................................ 121
3. Bài tập .......................................................................................................................... 134
Chương 7:
Đại số Bool .................................................................................................. 137
1. Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 137
1. 1. Một số khái niệm cơ bản....................................................................................... 137
1. 2. Các đẳng thức của đại số Boole ............................................................................ 138
1. 3. Phương pháp biểu diễn các hàm Boole ................................................................ 139
1. 4. Mơ hình hố sơ đồ các mạch bằng đại số Boole .................................................. 139
1. 5. Bộ cộng ................................................................................................................. 140

1. 6. Phương pháp cực tiểu hoá các mạch .................................................................... 142
2. Ví dụ ............................................................................................................................ 144
3. Bài tập .......................................................................................................................... 150

4


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh

Chương 1:

Logic – Các phương pháp chứng minh

1. Tóm tắt lý thuyết
1. 1. Một số khái niệm cơ bản của logic
1. 1. a. Mệnh đề
Một mệnh đề là một câu phát biểu hoặc đúng hoặc sai.
Ta dùng các chữ cái viết thường như 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, … để ký hiệu các mệnh đề và dùng Đ (Đúng),
S (Sai) để ký hiệu chân trị của một mệnh đề.
1. 1. b. Các phép nối
Các phép nối cho phép ta tạo ra những mệnh đề mới được gọi là mệnh đề phức hợp. Ta
thường dùng chữ hoa P, Q, E, F, … để chỉ mệnh đề phức hợp.
Định nghĩa 1.1
Cho hai mệnh đề p, q:
̅.
1. Câu “không phải p” là mệnh đề phủ định của mệnh đề p, ký hiệu là p hay 𝐩
2. Mệnh đề "𝑝 𝑣à 𝑞", được ký hiệu bởi 𝐩𝐪, là đúng khi cả p và q đều đúng, còn sai
trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề 𝐩𝐪 được gọi là mệnh đề nối liền (hay hội)
của p và q.
3. Mệnh đề “p hay q”, ký hiệu 𝐩𝐪, là sai khi cả p và q đều sai, còn đúng trong các

trường hợp còn lại. Mệnh đề 𝐩𝐪 được gọi là mệnh đề nối rời (hay tuyển) của p và
q.
4. Mệnh đề “p hoặc loại trừ q”, được ký hiệu bởi 𝐩𝐪, chỉ đúng khi chỉ duy nhất một
trong hai mệnh đề p và q đúng, còn sai trong các trường hợp còn lại. Mệnh đề 𝐩𝐪
còn được gọi là tuyển loại của p và q (một số tài liệu khác gọi là p hoặc q).
1. 1. c. Các mệnh đề suy diễn
Tất cả mệnh đề suy diễn đều liên quan đến mệnh đề kéo theo, là loại mệnh đề đóng vai trị
cốt yếu trong các suy luận tốn học, chúng cho phép ta xây dựng nên các lập luận đúng
đắn.
Định nghĩa 1.2
Cho hai mệnh đề p, q.
a) Mệnh đề kéo theo 𝐩 → 𝐪 là mệnh đề chỉ sai khi p đúng và q sai, còn đúng trong
mọi trường hợp còn lại. Khi ấy p được gọi là giả thiết còn q được gọi là kết luận.
b) Mệnh đề đảo của p → q là mệnh đề 𝐪 → 𝐩.
c) Mệnh đề phản của p → q là mệnh đề 𝐩 → 𝐪.
d) Mệnh đề phản đảo của p → q là mệnh đề q → p.
e) Mệnh đề tương đương 𝐩 ↔ 𝐪 là mệnh đề chỉ đúng khi p và q có cùng chân trị.
Thuật ngữ “p nếu và chỉ nếu q” thường được dùng để chỉ mệnh đề tương đương
5


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
này. Một số diễn đạt tương đương khác: “p khi và chỉ khi q”, “p là cần và đủ đối
với q”, “nếu p thì q và ngược lại”, …
1. 1. d. Độ ưu tiên của các phép toán
Trong các mệnh đề phức hợp, ta dùng các dấu ngoặc để chỉ

Phép toán

Độ ưu tiên

định thứ tự thực hiện các phép tốn. Ví dụ, (pq)(r) là hội



1

của (pq) và r. Như vậy pq là (p)q, pqr là (p  q)



→
↔

2
3
4
5

 r và p  p → r là (p  p) → r. Tuy nhiên ta vẫn có thể dùng
các dấu ngoặc vì mục đích rõ ràng.
Bảng 1-1 Độ ưu tiên của các phép tốn logic

1. 1. e. Các phép tốn trên bít
Một bít có thể nhận một trong hai giá trị là 0 và 1. Bít cũng được dùng để biểu diễn chân
trị. Thông thường, giá trị 1 biểu diễn chân trị đúng (Đ, True) và giá trị 0 để biểu diễn chân
trị sai (S, False).
Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai. Do đó, có thể dùng
bít để biểu diễn một biến boole.
Các phép tốn bít trong máy tính tương ứng với các phép tốn logic (các ngơn ngữ lập

trình thường dùng các ký hiệu OR, AND và XOR thay cho các phép toán logic ,  và ).
x

y

xy

xy

xy

0
0
1
1

0
1
0
1

0
1
1
1

0
0
0
1

0
1
1
0

Bảng 1-2 Các phép tốn bít OR, AND, XOR
Định nghĩa 1.3
Một xâu bít (xâu nhị phân – chuỗi bít) là dãy gồm khơng hoặc nhiều bít. Chiều dài của xâu
là số các bít trong xâu. Khi chiều dài là 0 ta gọi đó là chuỗi rỗng.
Thơng tin thường được biểu diễn bằng cách dùng các xâu bít, là dãy các số 0 và 1. Khi ấy,
các phép tốn trên các xâu bít cũng được dùng để xử lý thông tin.

1. 2. Các phương pháp chứng minh
1. 2. a. Tương đương logic
Một bước quan trọng được dùng trong lập luận toán học là thay một mệnh đề này bằng một
mệnh đề khác có cùng chân trị.
6


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Định nghĩa 1.4
a) Một mệnh đề phức hợp luôn đúng bất kể chân trị của các mệnh đề thành phần được
gọi là một hằng đúng. Một mệnh đề phức hợp luôn sai được gọi là một mâu thuẫn.
b) Mệnh đề Q được gọi là hệ quả logic của P nếu 𝐏 → 𝐐 là hằng đúng.
Ký hiệu 𝐏 ⇒ 𝐐.
c) Các mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu 𝐏𝐐 là hằng đúng.
Ký hiệu 𝐏𝐐 hay 𝐏 ⇔ 𝐐.
Một số tương đương logic quan trọng
TƯƠNG ĐƯƠNG

TÊN GỌI

p  Đ  p; p  S  p
p  Đ  Đ; p  S  S

Luật đồng nhất
Luật trội − Luật nuốt – Luật thống trị
Luật lũy đẳng
Luật phủ định kép

p  p  p; p  p  p
(p)  p
p  q  q  p; p  q  q  p

Luật giao hoán

(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
(p  q)  p  q; (p  q)  p  q
p  (p  q)  p; p  (p  q)  p
p  p  Đ; p  p  S

Luật kết hợp
Luật phân bố
Luật De Morgan
Luật hút – Luật hấp thu
Luật bài trung và Luật phi mâu thuẫn

Bảng 1-3 Tương đương chỉ gồm các phép nối logic
Tương đương có phép kéo theo
p → q  p  q
p → q  q  p
p  q  p → q
p  p  (p → q)
(p → q)  p  q
(p → q)  (p → r)  p → (q  r)
(p → r)  (q → r)  (p  q) → r
(p → q)  (p → r)  p → (q  r)
(p → r)  (q → r)  (p  q) → r

Tương đương có phép tương đương
p ↔ q  (p → q)  (q → p)
p ↔ q  p ↔ q
p ↔ q  (p  q)  (p  q)
(p ↔ q)  p ↔ q

Bảng 1-4 Một số tương đương logic khác
1. 2. b. Quy tắc suy diễn
Các quy tắc suy diễn là phương tiện rút ra các kết luận từ những điều khẳng định khác,
chúng liên kết các bước của một chứng minh lại với nhau. Các quy tắc suy diễn đúng đắn
đều dựa trên các hằng đúng nào đó.
7


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Hằng đúng (p  (p  q))  q là cơ sở của quy tắc suy diễn

p

Modus ponens (kí hiệu  có nghĩa là “vậy thì”)

pq
q

Hằng đúng

Tên gọi

p  (p  q)

Luật thêm vào

(p  q)  p

Luật rút gọn

((p)  (q))  (p  q)

Luật tuyển

[(p  (p  q)]  q

Modus ponens

[((p  q)  p]  q
[ q  (p  q)]   p

Modus tollens

[(p  q)   q]   p
[(p  q)  (q  r)]  (p  r)

Tam đoạn luận giả định

[(p  q)   p]  q

Tam đoạn luận tuyển

[(p  q)  ( p  r)]  (q  r)

Hợp giải

Bảng 1-5: Các quy tắc suy diễn
1. 2. c. Lập luận đúng
Một lập luận được gọi là đúng đắn nếu kết luận phải đúng khi tất cả các giả thiết đều đúng.
Một lập luận đúng đắn có thể dẫn đến một kết luận sai nếu một trong các mệnh đề dùng
trong lập luận là sai.
1. 2. d. Hợp giải
Nhiều chương trình máy tính được xây dựng để tự suy luận và chứng minh định lý. Chúng
dùng quy tắc suy diễn hợp giải: [(p  q)  ( p  r)]  (q  r)
Hơn nữa, nó được dùng để xây dựng các hệ thống chứng minh định lý tự động. Với các
chứng minh dùng hợp giải là quy tắc suy diễn, các giả thiết và kết luận phải biểu diễn dưới
dạng mệnh đề là tuyển hoặc phủ định của các biến.

1. 3. Ngụy biện
Một số dạng suy luận sai thường gặp được gọi là các ngụy biện, chúng giống như các quy
tắc suy diễn nhưng không dựa trên các hằng đúng.

1. 3. a. Ngụy biện chấp nhận kết luận
Mệnh đề [(p  q)  q]  p không là hằng đúng vì nó sai khi p sai và q đúng. Dựa trên
mệnh đề này, suy luận sai đuợc gọi là ngụy biện chấp nhận kết luận.

8


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
1. 3. b. Ngụy biện phủ nhận giả thiết
Mệnh đề [(p  q)  p]  q khơng là hằng đúng vì nó sai khi p sai và q đúng. Dựa trên
mệnh đề này, suy luận sai đuợc gọi là ngụy biện phủ nhận giả thiết.

1. 4. Vị từ và lượng từ
1. 4. a. Vị từ
Một cách tổng quát, vị từ là một hàm mệnh đề. Khi ta ký hiệu “x lớn hơn 3” là P(x), với x
là biến. Ta cũng nói P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x. Một khi biến x được gán trị,
thì câu P(x) sẽ có chân trị.
1. 4. b. Lượng từ
Định nghĩa 1.5
a) Lượng hoá phổ dụng của P(x) là mệnh đề “P(x) đúng với mọi giá trị của x trong
miền được xét”, ký hiệu là x P(x) và được đọc là “với mọi x P(x)”. Trong đó, 
được gọi là lượng từ phổ dụng.
b) Lượng hoá tồn tại của P(x) là mệnh đề “tồn tại một phần tử x trong miền được xét
sao cho P(x) đúng” và được ký hiệu là x P(x). Trong đó,  được gọi là lượng từ
tồn tại còn mệnh đề x P(x) được đọc là “tồn tại ít nhất một x sao cho P(x)”
MỆNH ĐỀ KHI NÀO ĐÚNG?
P(x) đúng với mọi x
x P(x)
Có một giá trị của x để P(x) đúng
x P(x)

KHI NÀO SAI?
Có một giá trị của x để P(x) sai
P(x) sai với mọi x

Bảng 1-6: Ý nghĩa của các lượng từ
1. 4. c. Phủ định
PHỦ ĐỊNH TƯƠNG ĐƯƠNG KHI NÀO ĐÚNG?
KHI NÀO SAI?
P(x) sai với mọi x
Có một x để P(x) là đúng
x P(X)
x P(x)
Có một x để P(x) là sai P(x) đúng với mọi x
x P(x)
x P(x)
Bảng 1-7: Phủ định của các lượng từ
1. 4. d. Luật suy diễn đối với các mệnh đề có lượng từ
Với lượng từ phổ dụng ta có quy tắc thể hiện phổ dụng và tổng quát hoá phổ dụng.
Với lượng từ tồn tại ta có quy tắc thể hiện tồn tại và tổng quát hoá tồn tại.
Quy tắc suy diễn

Tên gọi

xP  x 
 P c

Thể hiện phổ dụng

P c

với c tùy ý
xP  x 

Tổng quát hoá phổ dụng

9


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
xP  x 
 P c

với c nào đó

P c

xP  x 

với c nào

Thể hiện tồn tại

Tổng qt hố tồn tại

đó
Bảng 1-8: Quy tắc suy diễn đối với vị từ
1. 4. e. Phản ví dụ
Với một mệnh đề dạng x P(x), nếu chúng ta tin là nó sai hoặc khơng thể tìm được một
chứng minh, chúng ta sẽ đi tìm một phản ví dụ, tức là tìm một x sao cho P(x) sai.

1. 5. Các phương pháp chứng minh định lý
1. 5. a. Chứng minh trực tiếp
Để chứng minh mệnh đề p  q đúng ta giả sử p đúng và dùng các quy tắc suy diễn và các
kết quả đã biết để chỉ ra q phải đúng.
1. 5. b. Chứng minh gián tiếp
Để chứng minh mệnh đề p  q đúng, ta chứng minh q  p
1. 5. c. Chứng minh rỗng
Để chứng minh mệnh đề p  q đúng, ta chứng minh p sai (chứng minh rỗng thường được
dùng để thiết lập các trường hợp đặt biệt của các định lý dạng nN, P(n)).
1. 5. d. Chứng minh tầm thường
Để chứng minh mệnh đề p  q đúng, ta chứng minh q đúng (chứng minh tầm thường cũng
thường được dùng để thiết lập các trường hợp đặt biệt của các định lý dạng nN,P(n)).
1. 5. e. Chứng minh phản chứng
Để chứng minh mệnh đề p  q, ta chứng minh p  q  S.
1. 5. f. Chứng minh bằng cách chia trường hợp
Để chứng minh mệnh đề kéo theo có dạng (p1  p2  …  pn)  q
Ta dùng hằng đúng sau như một quy tắc suy diễn
[(p1  p2  …  pn)  q]  [(p1  q)  (p2  q)  …  (pn  q)]
1. 5. g. Chứng minh tương đương
Chứng minh p  q ta dùng hằng đúng (p  q)  [(p  q)  (q  p)]

10


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
1. 5. h. Chứng minh tồn tại
Chứng minh dạng x P(x) được gọi là chứng minh tồn tại. Bằng cách chỉ ra một phần tử a
sao cho P(a) đúng được gọi là chứng minh kiến thiết. Cách chứng minh khác được gọi là
chứng minh không kiến thiết, thường là chứng minh phản chứng.
1. 5. i. Chứng minh tính duy nhất

Tồn tại duy nhất x thỏa P(x) là chứng minh mệnh đề x(P(x)  y(y  x  P(y)))).
Chứng minh gồm hai phần:
Tồn tại: chứng minh có một phần tử x có tính chất mong muốn
Duy nhất: chứng minh nếu y  x, thì y khơng có tính chất mong muốn

2. Ví dụ
Ví dụ 1.1
Câu nào là mệnh đề?
1. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
2. 1 + 1 = 2.
3. 2 + 2 = 3.
Giải
Tất cả các câu trên đều là mệnh đề. 1 và 2 là mệnh đề có chân trị Đúng và 3 là mệnh đề có
chân trị Sai
Ví dụ 1.2
Câu nào là mệnh đề?
1.
2.
3.
4.

Bây giờ là mấy giờ?
Hãy đọc điều này một cách cẩn thận.
x + 1 = 2.
x + y = z.

Giải
Không câu nào trong các câu trên là mệnh đề. Các câu 1 và 2 không là các câu tường minh
đúng sai; tính đúng sai của các câu 3 và 4 phụ thuộc vào giá trị cụ thể của các biến.
Ví dụ 1.3

Cho hai mệnh đề p = “Hôm nay là thứ sáu” và q = “Hôm nay trời mưa”:
Phát biểu các mệnh đề:
a) Phủ định p;
b) Hội p  q;
c) Tuyển p  q.
Giải
11


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Phủ định p, là mệnh đề “Không phải hôm nay là thứ sáu”.
Hội p  q, là mệnh đề “Hôm nay thứ sáu và hôm nay trời mưa”.
Tuyển p  q, là mệnh đề: "Hôm nay là thứ sáu hay hôm nay trời mưa ".
Ví dụ 1.4
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau.
1.
2.
3.

Quy định “Mỗi dịp hè, giảng viên được phép chọn đi du lịch hoặc trong nước hoặc
đến các nước vùng Đông Nam Á” là mệnh đề dạng p  q
Quy định “Trường học sẽ bị đóng cửa nếu bão cấp 6 hoặc trời nóng trên 400” là
mệnh đề dạng 𝑝⨁𝑞 hay pq.
Quy định “Trường học sẽ bị đóng cửa nếu tuyết rơi dày hơn 0,6m hoặc gió lạnh
dưới 00” là mệnh đề dạng 𝑝 ∨ 𝑞.

Giải
1.

2.

3.

Đặt p=" Mỗi dịp hè, giảng viên được phép chọn đi du lịch trong nước" và
q = "Mỗi dịp hè, giảng viên được phép chọn đi du lịch đến các nước vùng Đơng
Nam Á" thì quy định đúng là p⨁q
Tương tự quy định đúng có thể hiểu là 𝑝 ⊕ 𝑞 hay 𝑝 ∨ 𝑞 vì khơng thể có "bão cấp
6" và "trời nóng trên 400" cùng xảy ra, n.l p và q khơng thể cùng đúng
Tương tự quy định đúng có thể hiểu là 𝑝 ∨ 𝑞

Ví dụ 1.5
Cho a, b là các số thực. Xác định mệnh đề đúng hay sai.
1.
2.

(a = b) → (a2 = b2)
(a2 = b2) → (a = b)

Giải
1.
2.

Mệnh đề (a = b) → (a2 = b2) ln đúng vì khơng tồn tại cặp số thực a, b sao cho (a
= b) nhưng (a2  b2);
Mệnh đề (a2 = b2) → (a = b) là sai vì với cặp số a = –1 và b = 1, (a2 = b2) đúng
nhưng (a = b) sai

Ví dụ 1.6
Sinh viên A nói “nếu khơng có ruồi thì tơi đã là một thiên tài”. A nói đúng khơng?
Giải
Anh ta đã nói đúng vì p = "nếu khơng có ruồi" là mệnh đề sai nên 𝑝 → 𝑞 ln đúng

Ví dụ 1.7
Xác định tính nhất quán của các đặc tả sau:
“Thông điệp này được lưu trong vùng đệm hoặc được chuyển giao”
“Thông điệp này không được lưu trong vùng đệm”
“Nếu thơng điệp này được lưu trong vùng đệm thì nó được chuyển giao”
12


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Giải
Xem p = “Thông điệp này được lưu trong vùng đệm” và q = “Thơng điệp này được chuyển
giao” khi đó biểu diễn của các đặc tả là 3 mệnh đề pq, p và q → p. Lập bảng chân trị:
p

q

pq

p

p→q

Đ
Đ
S
S

Đ
S
Đ

S

Đ
Đ
Đ
S

S
S
Đ
Đ

Đ
S
Đ
Đ

Phép gán chân trị p = S và q = Đ làm 3 biểu thức đều đúng, như vậy các đặc tả là nhất quán
(nhiều lĩnh vực trong khoa học máy tính vẫn thường dùng kỹ thuật này).
Bây giờ nếu thêm đặc tả “Thơng điệp này khơng được chuyển giao” thì các đặc tả là khơng
cịn nhất qn. Thật vậy, xét biểu diễn của đặc tả mới là q và lập bảng chân trị
p

q

pq

p

p→q

q

Đ

Đ

Đ

S

Đ

S

Đ

S

Đ

S

S

Đ

S

Đ

Đ

Đ

Đ

S

S

S

S

Đ

Đ

Đ

Ta khơng tìm được một phép gán nào làm tất cả các mệnh đề đúng, vậy đặc tả trên khơng
nhất qn.
Ví dụ 1.8
Xác định giá trị của biến x sau đoạn lệnh:
x=0
if 2 + 2 = 4 then x := x + 1
(ký hiệu := là phép gán. Câu lệnh x := x + 1 có nghĩa là tính giá trị x + 1 xong gán giá trị
tính được trở lại cho biến x).
Giải:

Vì 2 + 2 = 4 đúng nên lệnh gán x: = x + 1 được thực hiện và x sẽ có giá trị 1
(= 0 + 1).
Ví dụ 1.9
Tìm các mệnh đề đảo, phản và phản đảo của mệnh đề kéo theo “Đội nhà thắng mỗi khi
trời mưa”
Giải:
13


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Phát biểu lại “Nếu trời mưa thì đội nhà thắng” dưới dạng mệnh đề p → q, Ta có:
a) Mệnh đề đảo q → p là “Nếu đội nhà thắng thì trời mưa”,
b) Mệnh đề phản p → q là “Nếu trời khơng mưa thì đội nhà khơng thắng”
c) Mệnh đề phản đảo q → p là “Nếu đội nhà không thắng thì trời khơng mưa”.
Ví dụ 1.10
Cho p là “Phương trình mx + 1 = 0 có nghiệm” và q là “m  0”. Tìm mệnh đề p ↔ q
Giải
Mệnh đề p ↔ q là “Phương trình mx + 1 = 0 có nghiệm nếu và chỉ nếu m  0”
Ví dụ 1.11
Dùng bảng chân trị, chứng minh:
a) Ba mệnh đề (p → q), (q → p) và  (p  q) tương đương logic.
b) Hai mệnh đề (q → p) và (p → q) tương đương logic.
Giải
p

q

p→q

q→p

p → q

q → p  (p  q)

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

S

Đ

Đ

S

S

S

Đ

Đ

S

S

Đ

Đ

S

S

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

a) Bảng chân trị của ba mệnh đề (p → q), (q → p) và  (p  q) giống hệt nhau
nên tương đương logic
b) Bảng chân trị của hai mệnh đề (q → p) và (p → q) giống hệt nhau nên tương
đương logic
Ví dụ 1.12
Xác định đúng các mệnh đề tương đương .
1. “Nếu a2  b2 thì a  b” tương đương “Nếu a = b thì a2 = b2”
2. "Tối qua trời mưa nếu sáng dậy thấy đất ướt" tương đương "Trời mưa thì đất ướt".
3. “Khơng thể có chuyện trúng số độc đắc mà khơng đóng thuế thu nhập” tương đương
“Nếu trúng số độc đắc thì phải đóng thuế thu nhập”.
Giải
1. Đúng vì (p → q) và (q → p) tương dương
2. Sai vì (p → q) và (q → p) khơng tương đương
3. Đúng vì (p → q) và (p  q) tương dương

14


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Ví dụ 1.13
Có hai bộ tộc, X ln nói thật và Y ln nói dối. Giả sử bạn gặp A và B là 2 người trong
số họ, A nói “B thuộc X” cịn B nói “chúng tơi ở hai bộ tộc khác nhau”. Hãy cho biết bộ
tộc của A và B?
Giải
Đặt p là "A thuộc X" và q là "B thuộc X". Xét
a) Trường hợp p sai: A nói dối nên q sai nghĩa là B thuộc Y. Vậy B nói dối do đó A
và B cùng thuộc bộ tộc Y. Khơng có mâu thuẫn, vậy kết luận đúng là cả A và B
đều thuộc bộ tộc Y.
b) Trường hợp p đúng: A nói thật do đó q đúng cho nên A và B thuộc cùng một bộ

tộc mâu thuẫn với phát biểu của B.
Ví dụ 1.14
Người cha nói với hai con, một trai và một gái, rằng khi chơi không được làm bẩn. Sau khi
chơi xong cả hai đều bị vấy bùn trên đầu. Người cha nói rằng “ít nhất một trong hai đứa
bị vấy bùn trên đầu” sau đó hỏi cả hai “đầu của con có bị vấy bùn khơng?” và u cầu
hai đứa chỉ trả lời có hoặc khơng. Người cha hỏi câu này hai lần. Giả sử bọn trẻ khơng
nhìn thấy đầu của mình mà chỉ nhìn thấy đầu của đứa kia, ngoài ra bọn trẻ đều trung thực
và trả lời mỗi câu hỏi cùng một lúc. Hãy cho biết câu trả lời của bọn trẻ sau mỗi lần hỏi?
Giải:
Đặt s là "cậu con trai có bùn trên đầu" và d là "cơ con gái có bùn trên đầu".
Vậy câu nói của cha là sd.
Bọn trẻ sẽ trả lời khơng ở lần đầu, bởi vì xét suy luận của cậu con trai: cậu ta biết d đúng
cho nên s  d đúng và không chắc s đúng (tương tự cho cô con gái).
Với lần sau, bọn trẻ sẽ trả lời có, vì xét suy luận của cậu trai sau khi nghe cô bé trả lời
không ở lần đầu nghĩa là s đúng (tương tự cho cô con gái – Thật ra nếu chân trị có thêm
giá trị khơng biết, ngồi đúng và sai, thì ở lần sau bọn trẻ vẫn trả lời có).
Ví dụ 1.15
Thực hiện các phép toán logic (mở rộng) với hai xâu 01101 10110 và 11000 11101
Giải: Ta có:
01101 10110
11000 11101
11101 11111
01000 10100
10101 01011

bitwise OR
bitwise AND
bitwise XOR

15

Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Ví dụ 1.16
Cho xâu s có 8 bít. Tìm xâu 8 bít x có:
a) 4 bít đầu là 0 và 4 bít cuối giống 4 bít cuối của s.
b) 4 bít đầu giống 4 bít đầu của s và 4 bít sau đều là 0.
c) 4 bít đầu giống s và 4 bít sau đảo ngược giá trị 4 bít sau của s.
Giải
a) x = s AND 00001111
b) x = s AND 11110000
c) x = s XOR 00001111
Ví dụ 1.17
Chứng minh rằng các cặp mệnh đề sau tương đương logic (a và b là luật De Morgan).
a)
b)
c)
d)

¬(𝑝 ∨ 𝑞) và ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
¬(𝑝 ∧ 𝑞) và ¬𝑝 ∨ 𝑞
𝑝 → 𝑞 và ¬𝑝 ∧ 𝑞
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) và (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)

Giải
p

q

pq

(pq)

p

q

pq

pq

(pq)

pq

Đ

Đ

Đ

S

S

S

S

Đ

S

S

Đ

S

Đ

S

S

Đ

S

S

Đ

Đ

S

Đ

Đ

S

Đ

S

S

S

Đ

Đ

S

S

S

Đ

Đ

Đ

Đ

S

Đ

Đ

Vây a) và b) đúng
p

q

p

p  q

p→q

Đ

Đ

S

Đ

Đ

Đ

S

S

S

S

S

Đ

Đ

Đ

Đ

S

S

Đ

Đ

Đ

Vậy c) đúng
p

q

r

qr

p  (q  r)

pq

pr

(p  q)  (p  r)

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

S

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

Đ

S

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

S

S

Đ

Đ

Đ

Đ

16


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
S

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

Đ

S

Đ

S

S

S

Đ

S

S

S

S

Đ

S

S

S

Đ

S

S

S

S

S

S

S

S

S

Vậy d) đúng
Ví dụ 1.18
Chứng minh rằng (p(pq)) và pq là tương đương logic.
Giải
Ta có thể dùng bảng chân trị như trên, nhưng nếu số mệnh đề tăng thì kích thước bảng sẽ

rất lớn. Ta có thể dùng các kết quả đã có để suy diễn
(p  (p  q))  p  (p  q)

luật De Morgan thứ hai

 p  [(p)  q]

luật De Morgan thứ nhất

 p  [p  q]

luật phủ định kép

 (p  p)  (p  q) luật phân bố
 S  (p  q)

luật phi mâu thuẫn

 p  q

luật đồng nhất đối với S

Vậy (p  (p  q)) và p  q là tương đương logic.
Ví dụ 1.19
Chứng minh rằng (pq) → (pq) là hằng đúng.
Giải:
Để chứng minh một mệnh đề là hằng đúng, ta sẽ dùng các tương đương logic để chứng tỏ
rằng nó tương đương logic với Đ
(p  q) →(p  q)  (p  q)  (p  q)

ví dụ trên

 (p  q)  (p  q)

luật De Mordan thứ nhất

 (p  p)  (q  q)

luật kết hợp và giao hoán đối với phép tuyển

ĐĐ

luật giao hốn đối với phép tuyển

Đ

luật trội.

Ví dụ 1.20
Quy tắc suy diễn nào là cơ sở của suy diễn sau:

17


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
a) “Bây giờ trời quá băng giá. Vậy thì bây giờ hoặc là trời quá băng giá hoặc trời
đang mưa”
b) “Bây giờ trời quá băng giá và đang mưa.Vậy thì bây giờ trời q băng giá”
c) “Nếu hơm nay trời mưa thì hơm nay chúng ta sẽ khơng tổ chức tiệc ngồi trời. Nếu
hơm nay chúng ta khơng tổ chức tiệc ngồi trời thì ngày mai chúng ta sẽ tổ chức.

Vậy thì, nếu hơm nay trời mưa thì ngày mai chúng ta sẽ tổ chức tiệc ngoài trời”.

Giải
a) Xem p là “bây giờ trời quá băng giá” và q là “bây giờ trời đang mưa”, khi đó suy
diễn trên có dạng

p
, tức là đã sử dụng quy tắc thêm vào.
p  q

b) Xem p là mệnh đề “bây giờ quá băng giá” và q là mệnh đề “bây giờ trời đang
mưa”. Khi đó suy diễn trên có dạng

pq
, vậy là ta đã sử dụng quy tắc rút gọn.
p

c) Xem p là mệnh đề “hôm nay trời mưa” và q là mệnh đề “hơm nay chúng ta sẽ
khơng tổ chức tiệc ngồi trời”, còn r là mệnh đề “ngày mai chúng ta sẽ tổ chức
tiệc ngồi trời”. Khi đó suy diễn trên có dạng quy tắc tam đoạn luận giả định:
pq
qr
p  r

Ví dụ 1.21
Kiểm tra xem lập luận sau có đúng khơng?
Từ các giả thiết “chiều nay trời không nắng và lạnh hơn hôm qua”, “chúng tôi chỉ đi bơi
khi trời nắng”, “nếu chúng tơi khơng đi bơi, thì chúng tơi sẽ bơi xuồng dạo chơi”, “nếu
chúng tôi bơi xuồng dạo chơi, thì chúng tơi sẽ ở nhà vào lúc xế chiều” dẫn đến kết luận
“chúng tôi sẽ ở nhà vào lúc xế chiều”.

Giải
Xem p, q, r, s và t tương ứng là các mệnh đề “chiều nay trời nắng”, “trời lạnh hơn hôm
qua”, “chúng tôi sẽ đi bơi”, “chúng tôi sẽ bơi xuồng dạo chơi” và “chúng tôi sẽ ở nhà vào
lúc xế chiều”.
Khi ấy các giả thiết là p  q, r  p, r  s, s  t và kết luận là t.
Chúng ta xây dựng một lập luận như sau
Bước Sự kiện
1. p  q
2. p
3. r  p

Lý do
giả thiết
luật rút gọn
giả thiết
18


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
r
r  s
s
st
t

4.
5.
6.
7.
8.

luật modus tollens dùng các sự kiện (mệnh đề) ở bước 2 và 3
giả thiết
luật modus ponens dùng các sự kiện ở bước 4 và 5
giả thiết
luật modus ponens dùng các sự kiện ở bước 6 và 7

Vậy lập luận đúng
Ví dụ 1.22
Kiểm tra xem lập luận sau có đúng không? Từ các giả thiết “nếu bạn gởi mail cho tơi, tơi
sẽ viết xong chương trình này”, “nếu bạn khơng gởi mail cho tôi, tôi sẽ đi ngũ sớm”, “nếu
tôi sẽ đi ngũ sớm, tôi sẽ thức dậy với cảm giác sảng khối” dẫn đến kết luận “nếu tơi khơng
viết xong chương trình này, tơi sẽ thức dậy với cảm giác sảng khoái”.
Giải
Xem p, q, r và s tương ứng là các mệnh đề “bạn gởi mail cho tôi”, “tôi sẽ viết xong chương
trình này”, “tơi sẽ đi ngũ sớm” và “tơi sẽ thức dậy với cảm giác sảng khối”. Khi ấy các
giả thiết là p  q, p  r, r  s và kết luận là s. Xét lập luận sau:
Bước Sự kiện
1.
2.
3.
4.
5.
6.

pq
q  p
p  r
q  r
rs

s

Lý do
giả thiết
phản đảo của sự kiện ở bước 1
giả thiết
luật tam đoạn luận giả định dùng các sự kiện ở bước 2 và 3
giả thiết
luật modus ponens dùng các sự kiện ở bước 4 và 5

Vậy lập luận đúng
Ví dụ 1.23
Dùng hợp giải, chứng tỏ các giả thiết “Tèo tắm mưa hoặc trời không mưa” và “Trời mưa
hoặc Tý chơi bóng đá” suy ra “Tèo tắm mưa hoặc Tý chơi bóng đá”
Giải
Xem p, q và r tương ứng là “trời mưa”, “Tèo trượt tuyết” và “Tý chơi bóng đá ”. Khi ấy
các giả thiết là p  q, p  r. Dùng hợp giải ta có q  r là mệnh đề “Tèo tắm mưa hoặc Tý
chơi bóng đá”.
Ví dụ 1.24
Chứng tỏ các giả thiết (p  q)  r và r  s suy ra p  s
Giải:
((p  q)  r) ∧ (r  s)

≡

((p  r) ∧ (q  r)) ∧ (r  s)

≡

(p  r) ∧ (q  r) ∧ (r  s)

19


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
≡

(p  r) ∧ (q  r) ∧ (r  s)

≡

(p  r) ∧ (r  s) ∧ (q  r)

≡

(p  s) ∧ (q  r)

 (p  s)
Ví dụ 1.25
a) Cho P(x) là ký hiệu của câu “x > 3”. Hãy xác định chân trị của P(4) và P(2).
b) Cho Q(x,y) là ký hiệu của câu “x = y + 3”. Hãy xác định chân trị của các mệnh
đề Q(1, 2) và Q(3, 0).
c) Ký hiệu câu “x + y = z” là R(x, y, z). Xác định chân trị của các mệnh đề R(1, 2, 3)
và R(0, 0, 1).
Giải
a) Mệnh đề P(4) nhận được khi thay x = 4 vào câu “x > 3” ta được câu “4 > 3” có
chân trị đúng. Tuy nhiên P(2) là câu “2 > 3”, có chân trị sai.
b) Để nhận được Q(1, 2) ta đặt x = 1 và y = 2 vào câu Q(x, y) và được mệnh đề
“1 = 2 + 3”, có chân trị sai. Câu Q(3, 0), là mệnh đề “3 = 0 + 3”, có chân trị đúng.
c) Mệnh đề R(1, 2, 3) là “1 + 2 = 3”, đúng; còn R(0, 0, 1) là mệnh đề “0 + 0 = 1”, sai.
Ví dụ 1.26

a) Cho P(x) là “x + 1 > x”. Hãy xác định chân trị của mệnh đề x P(x) với miền
được xét là tập số thực.
b) Cho Q(x) là “x < 2”. Hãy xác định chân trị của mệnh đề x P(x) với miền được
xét là tập số thực.
c) Xác định chân trị của x P(x), với P(x) là câu “x2 < 10” và miền được xét gồm
các số nguyên dương không vượt quá 4.
Giải:
a) Vì P(x) đúng với mọi số thực x, nên mệnh đề x P(x) là đúng.
b) Q(x) là không đúng với mọi số thực x, vì Q(3) là sai. Do đó, x Q(x) là sai. Khi
tất cả các phần tử của miền được xét có thể được liệt kê ra, chẳng hạn như x1, x2,
…, xn, thì lượng hố phổ dụng giống hệt như phép hội P(x1)  P(x2)  …  P(xn)
vì phép hội này là đúng nếu và chỉ nếu P(x1), P(x2), … , P(xn) đều đúng.
c) Câu x P(x) tương đương với P(1)  P(2)  P(3)  P(4) vì miền được xét ở đây
gồm các số nguyên 1, 2, 3 và 4. Do P(4) tức là mệnh đề “42 < 10” sai, suy ra x
P(x) là sai.
Ví dụ 1.27
Cho P(x) là “x2 > 0”. Chứng tỏ x P(x) sai với miền được xét là tập các số nguyên
Giải

20


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Ta cần chỉ ra một phản thí dụ. Với x = 0 là một phản thí dụ vì khi ấy “02 > 0” là sai.
Ví dụ 1.28
a) Cho P(x) là câu “x > 3”. Tìm chân trị của mệnh đề x P(x) với miền được xét là
tập hợp các số thực.
b) Cho Q(x) là “x = x + 1”. Tìm chân trị của mệnh đề x Q(x), với miền được xét là
tập hợp các số thực.
c) Xác định chân trị của x P(x), với P(x) là “x2 > 10” và miền được xét gồm các số

ngun dương khơng lớn hơn 4.
Giải
a) Vì “x > 3” là đúng với x = 4, nên mệnh đề x P(x) là đúng.
b) Vì Q(x) là sai đối với mọi số thực x, nên mệnh đề x Q(x) là sai. Khi tất cả các
phần tử của miền được xét có thể được liệt kê ra, chẳng hạn x1, x2, …, xn, thì mệnh
đề x P(x) giống hệt như phép tuyển P(x1)  P(x2)  …  P(xn), vì phép tuyển này
là đúng nếu và chỉ nếu có ít nhất một trong các P(x1), P(x2), … , P(xn) là đúng.
c) Vì miền được xét là {1, 2, 3, 4}, Mệnh đề x P(x) tương đương với P(1)  P(2) 
P(3)  P(4).
Vì P(4) (“42 > 10”) đúng nên suy ra x P(x) là đúng.
Ví dụ 1.29
a) Hãy phủ định các câu sau “có một chính khách trung thực” và ”tất cả người Việt
Nam đều ăn cơm”.
b) Phủ định các mệnh đề sau
i. ∀𝑥(𝑥 2 > 𝑥).
ii. ∃𝑥(𝑥 2 = 2).
Giải
a) Gọi H(x) là “x trung thực” thì câu đầu là x H(x) có phủ định là x H(x) và đọc
là “mọi chính khách đều khơng trung thực” (thơng thường ta hay đọc “khơng phải
mọi chính khách đều trung thực”).
Với câu sau, xem C(x) là “x ăn cơm”, ta được biểu diễn x C(x) và phủ định của
nó là x C(x), ta đọc là “có một người Việt Nam khơng ăn cơm”
b) Ta có
i. Phủ định của x (x2 > x) là x (x2 ≤ x),
ii. Phủ định của x (x2 = 2) là x (x2  2).
Dĩ nhiên chân trị của chúng phụ thuộc vào miền được xét.
Ví dụ 1.30
Chứng tỏ từ “mọi người trong lớp toán rời rạc này đều đăng ký học ngành khoa học máy
tính” và “Lan là một sinh viên trong lớp này”chúng ta kết luận “Lan đăng ký học ngành
khoa học máy tính”.

21


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Giải
Gọi D(x), C(x) tương ứng là “x là sinh viên trong lớp toán rời rạc này”, “x đăng ký học
ngành khoa học máy tính”.
Ta có các tiền đề x (D(x)  C(x)), D(Lan) và kết luận C(Lan). Xây dựng các bước lập
luận như sau
Bước

Sự kiện

Lý do

1. x (D(x)  C(x))

Tiền đề

2. D(Lan)  C(Lan)

Thể hiện phổ dụng dùng sự kiện ở bước 1

3. D(Lan)

Tiền đề

4. C(Lan)

Modus tollens dùng các sự kiện ở bước 2 và 3

Ví dụ 1.31
Chứng tỏ từ “một sinh viên trong lớp không đọc cuốn sách này” và “mọi người trong lớp
đều qua lần kiểm tra đầu”, chúng ta kết luận “có người qua lần kiểm tra đầu đã không
đọc cuốn sách này”.
Giải
Gọi C(x), B(x) và P(x) tương ứng là các vị từ “x là sinh viên trong lớp”, “x đã đọc cuốn
sách này” và “x đã qua lần kiểm tra đầu”.
Ta có các tiền đề là x (C(x) B(x)) và x (C(x)  P(x)), Kết luận là x (P(x) B(x)).
Xây dựng lập luận như sau:
Bước
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Sự kiện

Lý do

x (C(x) B(x))
C(a) B(a)
C(a)
x (C(x)  P(x))
C(a)  P(a)

P(a)
B(a)
P(a) B(a)
x (P(x) B(x))

Tiền đề
Thể hiện tồn tại dùng sự kiện ở bước 1
Quy tắc rút gọn dùng sự kiện ở bước 2
Tiền đề
Thể hiện phổ dụng dùng sự kiện ở bước 4
Modus tollens dùng các sự kiện ở bước 3 và 5
Quy tắc rút gọn dùng sự kiện ở bước 2
Quy tắc hội dùng sự kiện ở bước 6 và 7
Tổng quát hoá tồn tại dùng sự kiện ở bước 8

Ví dụ 1.32
Chứng minh trực tiếp định lý “nếu n là một số nguyên lẻ thì n2 cũng là một số nguyên lẻ”
Giải
Giả sử giả thiết đúng, nghĩa là n lẻ. Ta có n = 2k + 1, với k là một số ngun nào đó.
Vì n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. Do đó n2 lẻ.
22


Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh
Ví dụ 1.33
Chứng minh gián tiếp định lý “nếu 3n + 2 lẻ, thì n cũng lẻ ”.
Giải
Giả sử kết luận của phép kéo theo là sai, tức n chẵn. Ta có n = 2k với k là số nguyên nào
đó. Suy ra 3n +2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1), nên 3n + 2 là một số chẵn. Vì phủ định
của kết luận dẫn đến giả thiết sai, nên mệnh đề kéo theo ban đầu là đúng.

Ví dụ 1.34
a) Chứng minh tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.
b) Chứng minh rằng “nếu n là một số nguyên và n2 lẻ thì n lẻ”.
Giải:
a) Trước hết, thử chứng minh trực tiếp. Bắt đầu, giả sử r và s là hai số hữu tỉ. Từ định
nghĩa của số hữu tỉ ta có r = p/q và s = t/u với p, q, t, u là các số nguyên thỏa q, u
khác không. Liệu chúng ta có thể dùng các thơng tin này để chứng tỏ r + s là hữu
tỉ? Cộng r và s, ta được r + s = p/q + t/u = (pu + qt)/(qu) vì q, u khác khơng suy ra
pu khác không. Như vậy r + s là tỉ số của hai số nguyên, pu + qt và qu với qu khác
không. Nghĩa là r + s là hữu tỉ. Cuối cùng, cố gắng tìm một chứng minh trực tiếp
của chúng ta đã thành công.
b) Trước hết, thử chứng minh trực tiếp. Giả sử n là một số nguyên và n2 lẻ. Tồn tại số
nguyên k sao cho n2 = 2k + 1, suy ra n =  2k  1 , một biểu thức khó chịu. Bây
giờ, chúng ta đi tìm một chứng minh gián tiếp. Bắt đầu với phủ định của kết luận,
tức n chẵn. Tồn tại một số nguyên k sao cho n = 2k. Để chứng minh định lý ta cần
chỉ ra giả thiết phải sai, nghĩa là n2 không lẻ, tức n2 chẵn. Liệu ta có thể dùng đẳng
thức n = 2k khơng? Bình phương hai vế, ta được n2 = 4k2 = 2(2k2) = 2t, với t =2k2
là một số nguyên. Suy ra n2 chẵn. Cố gắng tìm một chứng minh gián tiếp của
chúng ta đã thành cơng.
Ví dụ 1.35
a) Chứng tỏ mệnh đề P(0) đúng với P(n) là hàm mệnh đề “nếu n > 1, thì n2 > n”.
b) Gọi P(n) là mệnh đề “Nếu a và b là hai số nguyên dương và a  b , thì an  bn ”.
Chứng tỏ P(0) đúng.
Giải
a) Dễ thấy P(0) là mệnh đề “nếu 0 > 1, thì 02 > 0”. Vì giả thiết 0 > 1 sai, nên P(0) tự
động đúng.
b) Mệnh đề P(0) là “nếu a  b , thì a0  b0”. Vì a0 = b0 = 1 đúng do đó P(0) tự động
đúng.

23