Giao thoa coulomb hadron trong mô hình eikonal
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (618.15 KB, 19 trang )
Giao thoa Coulomb-Hadron trong mô hình
eikonal
Cao Thị Nguyệt
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn Thạc sĩ ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Như Xuân
Năm bảo vệ: 2012
Abstract: Trình bày Mô hình eikonal và giao thoa Coulomb: Xuất phát từ mô hình
eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía
trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born; tính biên độ tán xạ cho
tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng
biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ở đây được vận dụng gần. Tìm hiểu Hệ số
dạng điện từ, bao gồm hệ số dạng điện từ và công thức cho pha; hệ số dạng khí xung
lượng truyền rất nhỏ. Trình bày Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến, đó là phép
khai triển Born eikonal và biểu thức của pha khí kể thêm hệ số dạng
Keywords: Mô hình eikonal; Giao thoa Coulomb; Điện từ; Vật lý toán
Content
MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết tán xạ tồn tại các bài toán, hạt thực tế tham gia đồng thời hai hay nhiều
tương tác khác nhau. Ví dụ, trong tương tác hạt nhân của các hạt mang điện, ngoài tương tác
hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [2].
Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công
thức cho tán xạ thế, với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính đến sự giao
thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân [17]. Biên độ tán xạ đàn tính
được ký hiệu bằng
CN
F
và có thể biểu diễn một cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên
độ tán xạ sau [17]:
C N C N i
F F F e
. (0.1)
trong đó
C
F
- biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb,
N
F
- biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên
quan với tương tác mạnh),
1/137,036
là hằng số cấu trúc,
là pha tương đối - sự lệch
pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa. Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết
quả cụ thể cho pha [17]
2ln 1,06/ qa
. (0.2)
2
trong đó
q
là xung lượng truyền, còn
a
là tham số đặc trưng cho tương tác tầm xa của hạt
nhân. Công thức (0.2) đã được các nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá phần thực của
biên độ tán xạ hạt nhân phía trước. Phần thực của biên độ tán xạ cho phép ta kiểm tra hệ thức
tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cân khả dĩ của tiết diện tán xạ toàn phần [10], hay việc kiểm
nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương tác mạnh.
Những tiến bộ trong khoa học công nghệ đã cho ra đời các máy gia tốc năng lượng cao
cung cấp cho chúng ta cơ hội nghiên cứu bằng thực nghiệm các quá trình tán xạ đàn tính
pp
và
pp
ở năng lượng khối tâm ngày càng cao, đặc biệt là xác định tiết diện tán xạ toàn phần
của quá trình này, liên quan đến phần ảo của biên độ tán xạ trước và tỉ số giữa phần thực và
phần ảo của biên độ tán xạ, được suy ra từ các định lý quang học. Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ
có thể suy ra được từ các nguyên lý cơ bản của lý thuyết tán xạ lượng tử và có thể dễ dàng so
sánh với thực nghiệm [2-8].
Để xác định biên độ tán xạ phía trước thông thường người ta sử dụng sự giao thoa với
biên độ giao thoa Coulomb. Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ Coulomb theo công thức
2
cm
d
dt sp
. (0.3)
thì biên độ tán xạ Coulomb (cho các hạt tích điện cùng dấu) là
2
c
s
F
q
. (0.4)
với q là xung lượng truyền khối tâm. Nếu chúng ta giả thiết xung lượng này là nhỏ thì có thể
coi rằng năng lượng tán xạ
pp
và
pp
tại mọi điểm là rất cao:
2
p
sM
. Chúng ta cũng xét quá
trình tán xạ hạt – hạt trước, sau đó sẽ ngoại suy ra kết quả đối với quá trình tán xạ giữa hạt và
phản hạt.
Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển có thể được tham số hóa
dưới dạng:
2
/2N Bq
F Ae
. (0.5)
trong đó :
15 2
10B GeV
. Theo định lý quang, biên độ tán xạ toàn phần bằng:
N
4
ImF 0
TOT
cm
q
ps
. (0.6)
Với năng lượng siêu cao, tiết diện tán xạ toàn phần xấp xỉ 40 mb thì
Im
2
A 4GeV s
khi đó biên độ tán xạ đàn tính Coulomb và hadron gần bằng xung lượng
truyền
22
q GeV
4
. Phần lớn, biên độ tán xạ này là thuần ảo. Từ việc xác định sự giao thoa
3
giữa biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hadron, chúng ta có thể thu được pha giao thoa
của 2 quá trình này.
Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb một cách đơn giản ở gần đúng Born. Tuy
nhiên, thực tế biên độ tán xạ Coulomb được đặc trưng bởi pha Coulomb liên quan đến bản
chất của lực Coulomb. Hơn nữa nó cũng không thực sự mô tả đúng được biên độ tán xạ giao
thoa Coulomb và hadron. Nó chỉ biểu diễn các biên độ tán xạ đơn lẻ cho từng loại tương tác.
Biên độ tán xạ Coulomb ở vùng xung lượng truyền nhỏ và biên độ tán xạ hadron ở vùng xung
lượng truyền lớn. Thậm chí trong vùng tương tác mạnh của các hadron, việc tìm biên độ tán
xạ của chúng liên quan đến bài toán trao đổi giữa các photon “mềm” có xung lượng ảo. Rõ
ràng là có sự ảnh hưởng của tương tác điện từ đến biên độ tán xạ các hadron.
Giao thoa Coulomb trong chất hạt nhân cũng đã được West và Yennie [17] xem xét lại
không dựa trên lý thuyết tán xạ thế mà hoàn toàn dựa vào giản đồ Feynman trong lý thuyết
trường lượng tử. Họ đã thành công trong việc tìm ra biểu thức tổng quát cho biểu thức của
pha
theo các số hạng của biên độ tán xạ đàn tính các hadron:
2 '2 '2
W-Y
'2 2 2
0
()
ln 1
| | ( )
s
N
N
q dq F q
s q q F q
. (0.7)
Bằng cách tham số hóa thích hợp cho biên độ tán xạ hadron dưới dạng:
exp(- / )
N2
F Bq 2
,
suy ra:
22
ln / 2
WY
Bq O Bq
. (0.8)
với
, 0 577
là hằng số Euler.
West và Yennie cũng đã xem xét một vài vấn đề khác của bổ chính tương tác điện từ
với tương tác mạnh của các hadron. Họ xét đến sự bức xạ các photon thực một yếu tố quan
trọng trong tán xạ
p
nhưng lại bỏ qua vấn đề này trong tán xạ pp. Các giản đồ Feynman
được họ xem xét, chỉ bao gồm các thế phân kỳ hồng ngoại và họ nhấn mạnh rằng có thể bỏ
qua các giản đồ này vì nó chỉ cho sự đóng góp vào pha
mà thôi. Một điểm cần lưu ý nữa là
cần phải tính đến sự đóng góp của giản đồ phân cực chân không đối với lực tương tác
Coulomb [4]. Nó dẫn đến sự phụ thuộc của hằng số tương tác điện từ vào bình phương xung
truyền q
2
:
2
2
2
( ) 1 ln
34
e
q
q
m
. (0.9)
Kết quả này sẽ làm tăng khoảng 50% giá trị hằng số tương tác
trong khoảng q
2
được
quan tâm.
4
Mục đích của Luận văn Thạc sỹ khoa học sẽ xem xét lại vấn đề này kèm theo việc
xác đinh lại pha
trong khuôn khổ mô hình eikonal. Nó sẽ cung cấp toàn bộ bức tranh vật lý
của quá trình tán xạ và đưa ra cách nhìn hơi khác biệt so với các tính toán của West và Yennie
[8].
Bản luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu dẫn và các phụ lục.
Chương 1: Mô hình eikonal và giao thoa Coulomb. Ở đây ta xuất phát từ mô hình
eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước),
trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ
cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên
độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal ở đây ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác
Coulomb.
Chương 2: Hệ số dạng điện từ . Để vấn đề giao thoa Coulomb được hiểu rõ hơn, trong
chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của nuclon. Về mặt vật lý, thì nuclon ở đây
không phải là hạt điểm như quan niệm trước đây, mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này được xác
định bằng các hệ số dạng điện từ ( bao gồm hệ số dạng điện và hệ số dạng từ, xem trong phụ
lục C). Trong Luận văn này ta bỏ qua spin của hạt, nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ
còn là một hàm số. Trong mục 2.1 nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính
đến hệ số dạng điện từ, và ta thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của
hệ số dạng được xem xét ở mục 2.2.
Chương 3: Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Kể hệ số dạng của nuclon sẽ
làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb. Ở đây ta xem xét phép khai triển hỗn hợp Born –
eikonal cho biên độ tán xạ và tính pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Trong mục 3.1 ta
xem xét phép khai triển hỗn hợp Born – eikonal cho biên độ tán xạ và cụ thể hóa trong trường
hợp hoàn toàn Coulomb. Việc kể thêm bổ chính của hệ số dạng của hạt và tìm biểu thức cho
pha sẽ được xem xét ở mục 3.2.
Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận việc mở rộng
những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán trong lý thuyết trường lượng tử.
Phần phụ lục A sẽ đưa ra một số tính toán bổ sung cho pha khi biên độ tán xạ ở dạng
Gauss.
Trong phần phụ lục B, ta trình bầy cách thu nhận biểu thức Eikonal cho biên độ tán xạ
từ các cách giải khác nhau phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử.
5
Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử
1c
và metric
Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ
0 1 2 3
, , , ,x x t x x x y x z t x
thì các véctơ tọa độ hiệp biến
0 1 2 3
, , , ,x g x x t x x x y x z t x
,
trong đó
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
gg
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
Chương 1
MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB
Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và
xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ
Born. Trong mục 1.1 ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb
và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng
gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2.
1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác.
Mô hình eikonal được thuận tiên sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với góc tán xạ
nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ
đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ
b
sẽ chứa toàn bộ thông tin về
quá trình tán xạ.
2 2 . 2 ( )
1
4
iq b i b
s
F q d be e
i
. (1.1)
Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao tổng quát, với ý nghĩa, nó
không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá trình trong mô hình
eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha
()b
. Pha này phụ thuộc vào tham
số va chạm b và năng lượng của khối tâm. Ở năng lượng siêu cao pha
()b
được xác định
bởi biểu thức:
6
2 . 2
1
2
iq b
Born
b d qe F q
s
. (1.2)
Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc s của biên độ tán xạ Born. Khi đó, biên độ tán
xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là:
2 2 . 2 ( )
1
4
iq b i b
eik
s
F q d be e
i
. (1.3)
Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal,
C
và
N
, tương ứng với 2 quá trình tán
xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là:
2 2 . 2 ( ( ) ( ))
1
4
CN
N C iq b i b b
s
F q d be e
i
. (1.4)
Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:
2 2 . 2 ( )
1
4
C
C iq b i b
s
F q d be e
i
. (1.5)
Cón nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các hadron
trong hạt nhân:
2 2 . 2 ( )
1
4
N
N iq b i b
s
F q d be e
i
. (1.6)
Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4) dưới
dạng
2 2 2 . 2 ( ) 2 ( )
11
4
CN
N C C N iq b i b i b
s
F b F q F q d be e e
i
'
'
.
22
2 2 2
11
4
cN
i q q b
i b i b
C N iq b
s
F q F q d be e e e
i
(1.7)
2
2 2 2 ' '2 'C N C N
i
F q F q d q F q F q q
s
.
Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán xạ các
nuclon trong hạt nhân khi có sự trộn lẫn cả 2 loại tương tác, tương tác Coulomb và tương tác
hạt nhân.
1.2. Pha eikonal trong gần đúng eikonal.
Để có thể áp dụng biểu thức này cho các bài toán về sau, chúng ta cần lấy biên độ tán
xạ Coulomb trong gần đúng eikonal. Từ biểu thức (1.2) và (0.4), chúng ta đưa vào khối một
photon khối lượng nhỏ
để khử phân kỳ hồng ngoại:
2.
22
1
2
C iq b
s
b d qe
sq
(1.8)
7
2.
0
22
11
( ) ln ( )
22
iq b
d qe K b b O b
q
.
các số hạng dạng
()Ob
có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến tới không.
Như vậy thay (1.8) vào (1.5) ta có:
1
2 ln
2
22
1
4
ib
C iqb
s
F q d be e
i
2
2
2
1
42
i
i
iqb
se
d be bq
iq
(1.9)
2
2
0
0
1
22
i
i
se
dbbJ qb bq
iq
.
Sử dụng công thức tích phân sau [10]:
0
0
1
2
( ) 2
1
2
dx x J x
. ( 1.10)
Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất của hằng số
tương tác
:
22
2 2 1
00
2
0
1
22
ii
ii
đ
ee
dbbJ qb bq d qb bq J qb
q q q
2
21
2
1 (1 )
2
2 (1 )
i
i
ei
q q i
.
2
()
2 1 2
22
(1 )
( ) 2
2 2 (1 )
C
eik
iq
Ci
s e i s
F q e
iq q i q
. (1.11)
với
2
2
2
( ) ln
C
eik
q
q
. (1.12)
Do tính kì dị của
()
C2
Fq
tại
2
q0
vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như sau:
'2
2 2 2 2 ' '2 2 '2
2
([ ] )
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1
()
N
N C C N C C
N
i i F q q
F q F q F q d q F q d F q
s s F q
8
(1.13)
Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho
0
. Tóm lại
chúng ta có thể viết:
2
22
2
c
eik
iq
N C N
s
F q e F q
q
'2 '2
2
'
2 ' 2 '
2
'2 2 '2
11
cc
eik eik
N
i q i q
N
F q q
i s i s
d q e d q e
s q s q
Fq
2
2
'
2
2 2 ' 2 '
2
2 '2 2 '2 '2
1
c
eik
N
i
iq
N
N
F q q
s i s q i s
F q e d q d q
q s q q s q
Fq
2
2
()
2
2
2 '2
()
2 2 ' 2 '
'2 2 '2 ' 2 2
()
()
( ) 1
[ ] ( )
C
eik
C
eik
iq
NC
i
N
iq
N
N
s
F q e
q
i s q i s F q
F q e d q d q
s q q s q q F q
(1.14)
Trong biểu thức này chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để nhằm khử các phân
kỳ xuất hiện khí lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q
2
lớn. Sau khi lấy tổng hai
tích phân này và lấy giới hạn
2
Q
sẽ thu được biểu thức hữu hạn. Tổng của hai số hạng
đầu tiên trong biểu thức (1.14) là:
2
2
22
2 ' 2 '
1
'2 2 '2 2
'2 2
c
eik
i
ii
iq
i
q
i s q i
e d q d q
s q q q
q
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 ln
i i i i
Q Q Q
i
q q q q q
. (1.15)
Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là:
2
2 '2
()
2 2 '2
2 2 2 '2 2
0
1 ( )
1 ln 1
| | ( )
C
eik
Q
N
iq
N C N
N
s Q F q
F q e F q i i dq
q q q q F q
.(1.16)
chú ý rằng:
2
' '2 2 '2
0
12
2 cos | |
d
qq q q q
. (1.17)
9
Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So sánh biểu thức
(1.16) và (0.5), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:
2
2
2 '2
'2
2 2 '2 2
0
1 ( )
lim ln 1
| | ( )
Q
N
eik
N
Q
Q F q
dq
q q q F q
2
2
2 '2
'2
2 2 '2 2
0
1 ( )
lim ln 1
| | ( )
Q
N
eik
N
Q
q F q
dq
Q q q F q
(1.18)
Kết quả này phù hợp với kết quả thu được (0.7) của West và Yennie bằng phương pháp
sử dụng giản đồ Feynman.
Chương 2.
HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ
Để bài toán giao thoa Coulomb hiện thực tốt hơn, trong chương này chúng ta kể thêm
hệ số dạng điện từ của proton. Về mặt vật lý, thì proton ở đây không phải là hạt điểm như
quan niệm trước đây, mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này được xác định bằng các hệ số dạng điện
từ (bao gồm hệ số dạng điện và hệ số dạng từ, xem trong phụ lục C). Trong Luận văn này ta
bỏ qua spin của nuclon, nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Vấn đề
giao thoa Coulomb trong bài toán tán xạ bao gồm cả hai tương tác điện từ và tương mạnh của
nuclon. Trong mục 2.1 nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb bằng việc kể thêm hệ
số dạng điện từ qua số hạng gần đúng Born
()
22
fq
, và ta thu được biểu thức tổng quát cho
pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng được xem xét ở mục 2.2.
2.1. Hệ số dạng điện từ và công thức cho pha
Khi bỏ qua spin cua hạt, thì hệ số dạng còn lại là hàm vô hướng
22
()fq
. Kể thêm hệ số
dạng, thì biên độ tán xạ Coulomb (1.11) trong gần đúng Born bây giờ có dạng :
2
2 2 2
2 2 2
( ) ( )
i
C
s
F q f q
. (2.1)
Sử dụng (2.1) vào biên độ tán xạ Coulomb (1.13), chúng ta thu được biên độ tán xạ cải
biến:
2
2 2 2
22
( ) ( )
i
NC
s
F q f q
2
2 2 ' 2 '2
'2 2 '2
( ) 1 ( )
i
N
is
F q d q f q
s q q
10
2 ' 2
2 ' 2 '2
'2 '2 2
([ ] )
1
()
i
N
N
i s F q q
d q f q
s q q F q
.
2
2 2 2
22
( ) ( )
i
NC
s
F q f q
22
2 2 ' 2 '2
2 '2 2 '2
( ) ( )
ii
N
i s q
F q d q f q
q s q q
'2
2 ' 2 '2
'2 2
([ ] )
1
()
N
N
i s F q q
d q f q
s q F q
. (2.2)
Ở biểu thức này đã chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất của
trong số hạng
cuối. Tích phân của số hạng cuối trong biểu thức (2.2) được xác định như sau:
2
2 ' 2 '2
'2 2 '2
()
i
i s q
d q f g
s q q
2
'2 2 '2
'2 2 1
()
()
()
i
i
q
i dq f q
q
2 '2 2
'2 2 '2 '
22
0
[ ( ) ]
ii
dq f q
q
2 '2
2 2 '2 '
2
0
' 1 ln [ ( ) ]
i
dq i f q
q
2 '2
'2 2 '2 '
22
0
1 ln [ ( ) ]
i
i dq f q
q
. ( 2.3)
Ở đây các ký hiệu dấu phẩy ở ngoặc vuông có nghĩa là lấy đạo hàm theo q’
2
. Gộp biểu thức
(2.3) thế vào (2.2) bây giờ có dạng:
2 '2
2 2 2 2 '2 2 '2
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) 1 ln [ ( )]'
i
N C N
sq
F q f q F q i dq f q
q q q
2 '2 ' 2
2'
22
( ) ([ ] )
1
()
N
N
i f q F q q
dq
q F q
. (2.4)
Bây giờ chúng ta dễ dàng đi xác định biên độ tán xạ góc của các hadron
'2 2 2 ' '2 2
1
( , ) . 2 cos / ( )
2
N
N
N
F q q d F q qq q F q
. (2.5)
biểu thức này có tính chất là:
11
2
(0, ) 1
N
Fq
. (2.6)
Tiếp tục, chúng ta có:
2 '2 ' 2 2 '2
2 ' '2 '
2 2 2
0
( ) ([ ] ) ( )
1 ( , ) 1
()
N
N
N
f q F q q f q
d q dq F q q
q F q q
'
2 '2 '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2
0
0
, 1 .ln ln ,
N
N
f q F q q q dq q F q q f q
'
'2 '2 '2 2 2 '2 2 '2
0
ln ( , ) ( ) ( )
N
dq q F q q f q f q
. (2.7)
Sử dụng biểu thức (2.7), thì biểu thức (2.4) trở thành:
2
2 2 2
22
( ) ( )
i
NC
s
F q f q
'2
'
'
2 '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2 2 '2
2
00
1 ln . ln ,
N
N
qi
F q i dq f q dq q F q q f q f q
q
2 '2
'
2 2 2 2 '2 2 '2 '2 2
2 2 2
0
( ) ( ) ( ) 1 ln ( ) ( , )
i
N
N C N
sq
F q f q F q i dq f q F q q
q q q
. (2.8)
So sánh lại với biểu thức (0.1), chúng ta thấy rằng:
'2
'
'2 2 '2 '2 2
'2
0
ln ( ) ( , )
N
qd
dq f q F q q
q dq
. (2.9)
Thực tế là q
2
là nhỏ so với thang đo, là nghịch đảo kích thước nuclon, vì thế chúng ta có
thể tổng quát hóa phép gần đúng
'2 2 '2
( , ) ( )/ (0)
N
NN
F q q F q F
. (2.10)
Từ đó suy ra biểu thức tổng quát cuối cùng của pha
'2
'2 2 '2 '2
'2
0
ln ( ) ( ) / (0)
NN
qd
dq f q F q F
q dq
. (2.11)
2.2. Hệ số dạng khi xung lượng truyền rất nhỏ.
Sự tham số hóa chuẩn của biên độ tán xạ hadron ở bậc thấp của q
2
được cho bởi biểu
thức (0.5). Dạng tham số thích hợp của hệ số tương tác điện từ là [2] :
2
2
2 2 2
22
( ) ; 0.71f q GeV
q
(2.12)
Hệ số dạng trong gần đúng bậc thấp theo q
2
, ta có thể chọn một dạng công thức khác
12
2
2 2 /
()
q
f q e
. (2.13)
Sử dụng (2.13), để cho pha ta thu được :
'2 2 '2
'2
'2 4 / /2
2 '2
0
ln
q Bq
qd
dq e e
q dq
2
'2
2
8
'2 2
2
0
'2
0
1
B
q
dq e K Bq
q
2
2
8
ln ln 1
2
Bq
B
. (2.14)
Nói cách khác, đối với hệ số dạng lưỡng cực, thì pha có dạng :
22
ln
22
Bq B
g
. (2.15)
trong đó:
2 3 2
1
11 2
( ) 1 ( )
2 6 6 3 6
z
z z z z
g z z e E z
. (2.16)
và
()
1
Ez
là biểu thức tích phân [8]:
1
1
()
zt
dt
E z e
t
. (2.17)
Hai kết quả cho pha (2.14) và (2.15) có thể được so sánh bằng cách chọn tham số B, độ
dốc. Với B = 13 GeV
-2
thì hệ số dạng dạng hàm mũ cho biểu thức pha
của (2.14) là
ln / .
2
Bq 2 0 62
, còn hệ số dạng lưỡng cực của (2.15) bằng
ln / .
2
Bq 2 0 60
. Rõ ràng sự khác nhau ở đây là không đáng kể.
So sánh thêm với cách tham số hóa của mô hình Wu – Yang [19] trong tán xạ đàn tính
pp thấy rằng, trong mô hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của hệ số tương tác
điện từ. Trong mô hình này thì B và
2
liên hệ với nhau bởi hệ thức
2
B8
. Khi đó pha
giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng:
ln / ln
2
Bq 2 2
, còn pha giao thoa lưỡng cực
của (2.15) bằng:
ln / ( ln / )
2
Bq 2 4 363 140
. Số hạng cuối cùng trong ngoặc
gần bằng -0.63, nó không sai khác nhiều lắm so với – ln2 = - 0.69. Tất nhiên trong mô hình
của Wu – Yang cũng không xem xét một cách chính xác, thậm chí cho các mục đich của họ,
vì rằng tham số B phụ thuộc vào xung lượng s chứ không phải là
2
. Do sự khác nhau
giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn giản hơn thích hợp và tiện lợi cho
13
việc tính toán pha tán xạ
.
14
Chương 3
PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB CẢI BIẾN
Kể thêm hệ số dạng đã làm thay đổi biên tán xạ Coulomb bằng số hạng
()
22
fq
. Thêm
vào đó, nó có thể làm thay đổi pha của biên độ tán xạ. Ở phần này chúng ta không lặp lại
cách hiệu chỉnh số hạng gần đúng Born một cách đơn giản như phần trên nữa mà chúng ta đi
hiệu chỉnh biên độ tán xạ bằng cách khai triển biểu thức biên độ tán xạ (2.1) theo hằng số
tương tác
.
3.1. Phép khai triển Born eikonal.
Để xác định các bổ chính cho biểu thức (2.1), ta trở lại mô hình eikonal các biểu thức
(1.2), (1.3) được khai triển theo chuỗi hỗn hợp Born - eikonal:
2 2 . 2 ( )
( ) 1
4
iq b i b
eik
s
F q d be e
i
( 3.1)
2
2.
4
1 2 ( ) 1
42
iq b
b
s
d be i b
i
2 . 2
2 ( ) 2 ( )
4
iq b
s
d be i b b
i
(3.2)
2 2 ' '2 ' 2
( ) ( ) ([ ] )
2
Born Born Born
i
F q d q F q F q q
s
(3.3)
Xét một ví dụ: xét biên độ tán xạ thuần túy chỉ có tương tác Coulomb thì:
2
22
()
Born
s
Fq
q
. (3.4)
Số hạng gần đúng Born bậc hai là:
2 2 '
'2 2 ' 2 2
11
()
2 ( )
i
s d q
s q q q
1
2 2 '
'2 ' 2 2 2
0
1
()
2 [ 2 ]
i
s dx d q
s q qq x xq
1
2
2
2 2 2 2
0
1
2 [ 1 ]
i
s dx p
s p xq x
1
2
2 2 2
0
1
21
i
s dx
s p xq x
2 4 2 2
2
2 4 2 2 2 4 2 2
4
1
2ln
2
44
q q q x
i
s
s
q q q x q q q
15
2
22
( )( )ln
sq
i
q
(3.5)
Với bậc này thì ta có biên độ tán xạ eikonal bằng:
2 2 2
2
( ) 1 ln /
eik
s
F q i q
q
22
ln /
2
iq
s
e
q
. (3.6)
Biểu thức (3.6) hoàn toàn phù hợp với (1.12).
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng.
Tiếp theo chúng ta xét trường Coulomb cùng với hệ số dạng (form factor). Để cho đơn
giản chúng ta lấy:
2
2
2 2 2 2
()
Born
sL
Fq
q L q
. (3.7)
Nó đưa đến hiệu chỉnh trạng thái bậc thấp của q
2
nếu chúng ta chọn:
/
22
L4
. Số
hạng gần đúng Born bậc hai trong mô hình eikonal có thể được xác định bằng cách tham số
hóa Feynman như chúng ta đã làm ở trên:
2 2 2 2 2 '
'2 2 '2 2 ' 2 ' 2 2
1
( ) ( ) ( ).
2 [ ][ ][( ) ][( ) ]
eik
i
F q sL d q
s q q L q q q q L
1
11
2 2 2 ' '2 2 '2 2
0 0 0
' 2 2 ' 2 2 4
( ) .6{(1 )( ) ( )
2
[( ) ] [( ) ]}
yz
z
i
sL dz dy dx d q x y z q x q L
s
y q q z q q L
(3.8)
Thay thế:
()p q y z q
và tiến hành lấy tích phân theo
p
, chúng ta tìm được:
1
11
2 2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) .
2
yz
z
eik
i
F q sL dz dy dx dp
s
2 2 2 2 4
.6 { (1 ) ( ) 1 }p x z x z L q y z y z
1
11
2 2 2 2 2 2 2 2 3
0 0 0
( ) ( ) .2{ [( ) ( ) ] (1 ) ( )}
2
yz
z
eik
i
F q sL dz dy dx q y z y z x z x z
s
(3.9)
Dễ dàng lấy tích phân theo x:
11
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
1
( ) ( ) .{[ ([ ] [ ] ) (1 )]
2
z
eik
i
F q sL dz dy q y z y z y L y
sL
2 2 2 2 2
[ ([ ] [ ] ) (1 ) ] }q y z y z z L z
. (3.10)
16
Như vậy chúng ta định nghĩa:
11
2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
1
( , , ) .{[ [( ) ( ) ] (1 )}
z
I q L dz dy q y z y z y L y
L
. (3.11)
thì:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) [ ( , , ) ( , , )]
2
eik
i
F q sL I q L I q L
s
. (3.12)
Trong biểu thức (3.11), đặt t = y + z thì
11
2 2 2 2 2 2 2 2
22
00
1
2 2 2 1 2 2 2 2 1
22
0
1
( , , ) .{ [ (1 )} ]
1
{[ ( ) ] [ ( ) (1 )]
I q L dt dy q t t y L y
L
dt q t t L q t t t L t
L
(3.13)
Định nghĩa:
1
2 2 2 2 2 2 2 1
0
( , , ) [ ( ) (1 )]J q L dt q t t t L t
. (3.14)
chúng ta có hệ thức liên quan:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
( , , ) [ ( , , ) ( , , )]
()
I q L J q L J q L L
L
. (3.15)
Và:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
( ) ( ) [ ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )]
2 ( )
eik
i
F q sL J q L J q L J q J q L L
sL
.(3.16)
Dễ dàng xác định được
2 2 2
( , , )J q L
. Kết quả là:
1
2 2 2
2 2 2 2
0
1
( , , )
1
J q L dt
q t t t L t
1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
0
1 1 [ ( , , ) ] ( )
.ln
( , , ) [ ( , , ) ] ( )
S q L q L
dt
S q L S q L q L
q t q L t L
.(3.17)
Với :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( , , ) ( ) 4 ( , , )S q L q L L q S q L
. (3.18)
Đặc biệt :
2 2 2 2 2 2
( , , ) ( , , )J q L J q L
. Luôn nhớ rằng
L
nên :
22
2 2 2 2 2 2
22
( , , )
qL
S q L q L
qL
. (3.19)
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 ( )
( , , ) ln
qL
J q L
q L L
. (3.20)
Nói cách khác :
17
2
4 2 2 2
222
22
4 2 2
4
2
( , , ) ln
4
4
q q L q
J q L L
Lq
q q L
. (3.21)
2
222
22
2
( , , ) ln
q
Jq
q
. (3.22)
Chúng ta quan tâm đến pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến trong vùng q
2
rất nhỏ
so với L
2
. Như vậy chúng ta có phép gần đúng sau:
22
2 2 2
2 2 2 2 2
11
( , , ) ln ln
qL
J q L
q L L q
. (3.23)
222
2
1
( , , )J q L L
L
. (3.24)
2
222
22
2
( , , ) ln
q
Jq
q
. (3.25)
Chúng ta tìm được:
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
( , , ) ( , , ) ( , , ) ln ln
()
2
L q q L q
J q L J q J q L L
q L q L q
L
.(3.26)
Sử dụng (3.16) và công thêm số hạng Born chúng ta có gần đúng eikonal bậc hai theo
:
2
2 2 2 2 2
(1) (2) 2
2 2 2 2 2 2
( ) 1 ln ln
2
eik
s L q L q
F q i
q L q q L q
L
. (3.27)
Như vậy thì thêm vào biểu thức pha Coulomb (1.12) còn có thêm một số hạng pha
v
mới, nó sẽ không xuất hiện trong hạt điểm:
2 2 2
22
ln
2
q L q
L q L
. (3.28)
Hình 2: Đồ thị mô tả sự đ óng góp củ a v (q
2
) và o pha
tán xạ toà n phầ n
TOT
v
. Hà m v (q
2
) thu đ ược
từ sự ả nh hưởng củ a thừa số dạ ng và o pha củ a tương
tác đ iệ n từ.
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
q
2
GeV
2
Hình 1: Đồ thị củ a pha tán xạ toà n phầ n,
TOT
, theo q
2
(GeV
2
) với giá trị B = 13 GeV
-2
và
.
22
0 71 GeV
.
Đường đậm biể u diễ n kế t quả đầy đủ pha tán xạ
theo (3.30)
Đường gạ ch biể u diễ n pha tán xạ không có đ óng góp
củ a thức số dạ ng và o biên độ tán xạ Coulomb, tức là
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
q
2
GeV
2
18
Kết quả cuối cùng cho pha tán xạ là:
2 2 2 2
2 2 2 2
8 4 2
ln ln 1 ln
24
TOT
Bq q q
Bq
(3.30)
thu được từ biểu thức (2.14) và (3.28), với chú ý là
/
22
L4
. Pha của tán xạ như là một hàm
của q
2
(hình 1). Vấn đề quan trọng là suy ra kết quả của West – Yennie, (2.14), (2.15) từ biên
độ tán xạ Coulomb nhờ có các hệ số ảnh hưởng lên pha (3.28). Sự đóng góp của
v
vào pha
tán xạ được biểu diễn trên hình 2.
Mặc dù có sự khá khác nhau về cấu trúc, nhưng chúng ta cũng đã suy lại được kết quả
cơ bản của West – Yennie (0.7) và (1.18). Các cách tiếp cận này là khác nhau về mặt kỹ thuật
nhưng về tinh thần cơ bản thì là giống nhau, chúng đều bỏ quả cùng một vài đóng góp vào
biên độ tán xạ không cần thiết, những đóng góp này hoàn toàn không làm thay đổi đến tính
chất của biên độ tán xạ. Đặc biệt trong cách tính này của chúng ta còn thỏa mãn thêm các tính
chất của nhiễu xạ các nuclon ảnh hưởng đến quá trình tán xạ, chứ không đơn thuần chỉ là tán
xạ đàn tính. Về kết quả, chúng tôi không đồng ý với kết luận của West và Yennie rằng có sự
không chắc chắn về mặt lý thuyết trong kết quả này. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể yên
tâm khi nhìn vào các kết quả này, như pha của biên độ tán xạ Coulomb với hệ số dạng là
không lớn.
Việc xét thêm sự ảnh hưởng của thừa số dạng của tương tác điện từ vào biên độ tán xạ
có tính thuyết phục hơn so với kết quả của West – Yennie. Nó dẫn đến kết quả đặc biệt ngắn
gọn (3.30). Trái với những kết quả hiệu chỉnh trước đó cho biên độ tán xạ sẽ thu được kết quả
rất nhỏ.
References
Tiếng Việt.
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội.
2. Nguyễn Quang Khang, A. X. Đavuđov. (1974), Cơ học lượng tử, tập II, NXB Đại học và
Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, trang 468.
Tiếng Anh.
3. A. Martin. (1982), “What do we learn from proton-antiproton diffractive scattering at the
CERN colliders”, Z. Phys. C - Particles and Fields 15, 91,185-191.
4. Ann. (1979), “The interplay between spin effects and Coulombichadronic interference has
been investigated by N.H. Buttimore”, E. Gotsmann, Phys. 121, 285.
Hình 1: Đồ thị củ a tán xạ toà n
phầ n,
TOT
, theo q
2
(GeV
2
) với giá trị
B=13GeV
2
và
2
= 0,71 GeV
2
.
Đường đậm biể u diễ n đầy đủ pha
tán xạ theo (3.30). Đường gạ ch biể u
diễ n pha tán xạ không có đ óng góp
củ a hệ số dạ ng và o biên độ tán xạ
Coulomb.
Hình 2: Đồ thị mô tả sự đ óng góp củ a
2
q
và o pha tán xạ toà n phầ n
TOT
hà m
2
q
thu đ ược từ sự
ả nh hưởng củ a thừa số dạ ng và o pha
tương tác đ iệ n từ.
19
5. E. Leader. (1978), “Spin–dependent phenomena induced by electromagnetic – hadronic
interference at high energies”, Phys. Rev. D 18, 694.
6. Eds. M. Abramowitz, I. Stegun. (1970), “Handbook of Mathematical Functions”, National
Bureau of Standards (Eq. (11.4.I6)
7. For an introduction, see J.D. Jackson. (1973), “Introduction to haronic interactions at high
energies”. In: Proceedings of the Fourteenth Scottish Universities Summer School in Physics,
eds. R.L. Crawford, R, Jennings, London: Academic Press 1974.
8. G.B. West, D.R. Yennie. (1968), “Coulomb interference in High-Energy pp and
scattering”, Phys, Rev. 172, 1413 - 1422 (1968). Related discussions for high energy hadron-
hadron scattering are given by J. Rix, R.M. Thaler, Phys. Rev. 152, 1357 (1966).
9. H. A. Bethe. (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”, Annals of Physics
3, 190-240.
10. Hohler et all. (1965), Phys. Letters 18, 181.
11. J.F. Germond, C. Wilkin. (1977), “Why are the diffraction Minima in
and
Scattering from
12
C so different ? ”, Phys. Lett 68B, 229–233.
12. L.S. Brown. (1982), “Elementary hadronic processes and heavy ion interactins”, J.S.
Godfrey: unpublished; J.S. Godfrey: Yale University thesis, unpublished.
13. M.M. Islam. (1967), “Bethe’s Formula for Coulomb-Nuclear Interference”, Phys. Rev.
162, 1426-1428.
14. M.P. Locher. (1967), “Relativistic treatment of structure in the Coulomb interference
problem”, Nucl. Phys. B 2, 525–531.
15. Nguyen Suan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan. (2011), “Functionl Integration
and High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moments in Quantum
Field Theory”, arXiv:0368084[hep-th] .
16. P. Soding. (1965), “The Lagacy of Leon Van Hove”, Phys. Letters 18, 285.
17. R. J. Eden. (1967), “High Enrgy Collissions of Elementary Particles”, Cambridge Univ.
Press, Cambridge .
18. See, for example, W.K.H. Panofsky in. (1968), “Proceedings of the Heidelberg
International Conference on Elementary Particles”, ed. H. Filthuth, p. 376. Amsterdam:
North Holland.
19. T.T. Wu, C.N. Yang. (1965), “Statistical physics, High Energy, condensed Matter and
mathematical physics” , Phys. Rev. 137, B708
20. V. Franco. (1973), “Coulomb and hadronic Scattering in elastic high-enery nucleon
collisins”, Phys. Rev. D7, 215-218.
