Toán học Phần: Tích phân26277
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (262.8 KB, 14 trang )
TÍCH PHÂN
-------------------------------------------------------------------------------Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp
TT
dx= 1.dx=x+C
1b.
k.dx=kx + C
2b.
ax+b dx=
1
1a.
2
2a.
3
3a.
4
4a.
x dx= ln x +C.
4b.
5
5a.
e dx= e
5b.
6
6a.
sinxdx = cosx + C.
6b.
7
7 a.
cosxdx=
7b.
8
8a.
cos x dx= tanx + C.
8b.
9
9a.
1
sin 2 x dx= cotx + C.
9b.
x 1
+ C.
1
1
1
x 2 dx= x +C.
x dx=
1
x
x
+ C.
sinx + C.
1
2
ax
10 10a. a dx=
+ C.
ln a
1. Đạo hàm của hàm lũy thừa.
x
x .x
/
1
2. Đạo hàm của hàm lượng giác.
1
1
1
/
2
3. Đạo hàm của hàm mũ.
e e
x /
2
a
10b.
u .u
/
1
mx+n
1 a mx+n
dx= .
+ C.
m ln a
.u '
a a .ln a
x /
/
u'
cos 2u
u'
/
cotu 2
sin u
/
cos x sin 2 x
/
2
e u '.e
u /
x
x
1
sin ax+b dx= a cot ax+b + C.
t anu
sin x sin 2 x
+ C.
ax+b
1
cos 2 x
1
/
cotx 2
sin x
/
1
1
dx= eax+b + C.
a
1
sin ax+b dx= a cos ax+b + C.
1
cos ax+b dx= a sin ax+b + C.
1
1
cos2 ax+b dx= a tan ax+b + C.
e
sinu u '.cosu
/
cosu u '.sinu
t anx
1
ax+b dx= a ln ax+b
sinx cosx
/
cosx sinx
/
Tổng quát:
1 ax+b
+ C.
a 1
1
1 1
ax+b 2 dx= a . ax+b + C.
3b.
1
với k là số thực.
u
a a .ln a.u '
u /
u
4. Đạo hàm của hàm lơgarít.
1
x
loga x
lnx
/
Tổng qt:
/
lnu
/
1
x.ln a
loga u
/
u'
u
u'
u.ln a
1
ThuVienDeThi.com
Tích phân
1. Định nghĩa. I f x dx F x a F b F a .
b
b
a
2. Tính chất của tích phân.
a. I k . f x dx k . f x dx .
b
b
a
b
a
b. I f x g x dx f x dx g x dx .
a
a
a
b
b
c. I f x dx f x dx .
a
a
a
b
f x dx 0 .
I f x dx f x dx f x dx,
d. I=
e.
b
a
b
x0
b
a
a
x0
a
f. Tính phân khơng phụ thuộc vào biến.
Phần 1: Các bài tập luyện tập các công thức:
Vấn đề 1: Tích phân hàm đa thức: Bậc nhất, bậc 2, bậc 3, bậc 4,…
1. Công thức áp dụng:
x dx
x 1
C.
1
1
x 1
C.
dx
x
dx
x
1
k.x dx k.
2. Phương pháp:
Biến đổi đưa về các đa thức sau đó áp dụng bảng nguyên hàm.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I x 2 dx
1
1 4 x2
3. I x
2 dx
0
5
4
1
1
0
3 2 3
x dx
2
4
1
1
4. I 3 x x 2 2 dx
0
3
1
2. I x 3
0
0
5. I
x 1
C .
1
x x x x 2 3 x dx
1
6. I 2t 2 3 4t 4 dt
0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I x 1 x 2 dx
1
1
0
0
1
3. I x 4
0
1
1
xdx
2
x3
3 dx
1
4. I 2 x 3 x 2 x 2 1 dx
0
1
5. I x 4 x 3 3 x 2 dx
0
2. I x 3 2 x 2
6. I 3 x 4 3 4 x 4 dx
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I x 1
1
2
0
1
x
dx
2
1
0
1 2 x dx
3. I 2 x x 3 1 dx
0
1
5. I x 3 2 x 2
0
2
2
2. I x 3 2 x 2
3
2 x dx
2
3
4. I x 1 x 1dx
1
0
1
2
6. I 2 x x 3 1 dx
0
3
Bài 4: Tính các tích phân sau:
2
ThuVienDeThi.com
1
dx
x2
4 1
dx
3. I
1
x
8 1
5. I 3 dx
1
x
1. I
2
2. I
1
3
2 dx
x3
2 3
4. I 4 dx
1
x
2 4
dx
6. I
1
3x5
1
2
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
1 dx
2
x
2 4
2
3. I 5 3 dx
1
x
x
2 1
3
5. I x 2 3 dx
1
2x
3
2 x
dx
3
x 2
2 3
5
4. I 4 5 dx
1
x 4x
2 4
6. I 5 3 x 2 dx
1
3x
2
2
1. I
1
2. I
1
Chú ý: Các bài toán sau ta thực hiện phép chia đa thức để đưa về đa thức:
Bài 6: Tính các tích phân sau:
2x2 4x
1. I
dx
1
x
0 2x 4
3. I
dx
1
x2
2
Vấn 2: Tích phân hàm phân thức:
4 x3 8 x 2
2. I
dx
1
2x2
2
1 x 3x 2
4. I
dx
0
x2
baäc hai
baäc ba
,
, ...
bậc nhất
bậc nhất
2
bậc nhất
,
bậc nhất
Cơng thức áp dụng:
k
1
,
dx
ln
x
C
x
x dx k.ln x C .
k
k
1
1
ax b dx a ln ax+b C , ax b dx a ln ax+b C .
1
x 1
x dx x dx 1 C.
Bài 1: Tính các tích phân sau: Tính nguyên hàm trực tiếp bằng bảng nguyên hàm.
1
dx
1
2x
2
1
3. I 2
dx
1
7x
1. I
2
2
dx
3x
2
1
4. I 3
dx
1
x
2. I
1
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2
1
1
5
1
2. I
dx
dx
1
2x x 1
3x 5 4 x
2
2 2
2
1
1
dx
3. I
4. I
dx
1
1
7x 1 2x 3
2 x 1 x
bậc nhất
Dạng 1: Hàm
Chia đa thức sau đó lấy ngun hàm.
bậc nhất
2
1. I
1
Bài 1: Tính các tích phân sau:
3
ThuVienDeThi.com
2x 4
dx
1
x
2 2x 5
dx
3. I
1
7x
1. I
6 3 x
dx
1
3x
2 2 4x
dx
4. I
1
3x
2
2. I
Bài 2: Tính các tích phân sau:
3 x 2
dx
0
x2
0 3 x 9
dx
3. I
2
3x 1
1. I
1
2
5x 3
dx
x3
0 x 2
4. I
dx
2
1 x
2. I
0
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
0 5x
3 x
2. I
dx
dx
0
1
3 x
x2
1 3 x
1 x
dx
3. I
4. I
dx
0
0
1 x
2x 1
bậc hai
Dạng 2:
Chia đa thức sau đó lấy ngun hàm.
bậc nhất
1. I
1
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2x2 4
dx
1. I
1
x
2 x 12 3 x
dx
3. I
1
2x
2
9 x 3 x 2
dx
2. I
1
3x
2
2 x 1
dx
4. I
1
2x
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
3x 2 3x 2
dx
1. I
0
x2
0
x2
3. I
dx
1
x2
1
2. I
0
x 53x dx
1 x
0 x 2
dx
4. I
1
x 1
2
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
2
0 5x
3 x.x
dx
dx
1. I
2. I
0
3
3x 2
2 x
2
2
0 3 x
0 3 x x
dx
3. I
dx
4. I
2
2
3x 2
1 x
baäc ba
Dạng 3:
Chia đa thức sau đó lấy ngun hàm.
bậc nhất
1
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I
2
1
2x 3 x 2
dx
x
2. I
2
1
9 x 3 3
dx
3x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
x 2
2
1. I
1
0
x
2x 1
dx
x 2 5 x3 x
dx
2. I
2
1 x
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1 x
2
1. I
1
0
2 x
x
dx
2. I
0
2
2 x 13 4 x dx
1 5x
4
ThuVienDeThi.com
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác:
1
sinx
dx
c
osx
C
sin
ax+b
dx
cos ax+b C .
a
k
k .sin ax+b dx cos ax+b C .
k.sinxdx k.cosx C
a
1
cosx
dx
sin
x
C
c
os
ax+b
dx
sin ax+b C .
a
k
k .cos ax+b dx sin ax+b C .
k.cosxdx k.sin x C
a
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I sinx+cosx dx
0
0
2. I sin2x-3cos2x dx 3. I 2sin3x+cos3x dx
0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I sin
0
x
x
+cos dx
2
2
2. I 3sin
0
x
x
x
x
-cos dx 3. I 0 sin -6cos dx .
3
3
2
6
Bài 3: Tính các tích phân sau:
0
1. I
sin x- dx
3
0
2. I
sin 4x- dx
2
2
0
0
x dx
2
3. I cos 2x- dx
Bài 4: Tính các tích phân sau:
0
0
1. I sin -x dx
2. I sin x dx
1
cos x dx t anx+C ,
sin x dx cot x+C ,
1
,
cos2 x
1
,
1 cot 2 x
sin 2 x
1 tan 2 x
2
1
2
3. I cos
tan x.cot x
tan 2 x
sinx cosx
.
1.
cosx sinx
1
,
cot 2 x
tan x.cot x 1
cot 2 x
1
.
tan 2 x
Bài 5: Tính các tích phân sau:
1. I
4
1
dx
sin 2 x
1
1
dx .
2
2
c
os
x
sin
x
4
1
dx
c os 2 x
3. I
4
dx
2
4 3c os x
3. I
2. I
0
Bài 6: Tính các tích phân sau:
1. I
4
2
dx
sin 2 x
3
2
dx .
2
2sin 2 x
4 3cos x
2. I
Bài 7: Tính các tích phân sau:
1. I
4
0
3
dx
2sin 2 x
4
3. I
1 ax+b
ax+b
e dx= a e + C.
x
a dx=
2. I
Vấn 4: Tích phân hàm mũ.
x
x
e dx= e + C.
e 2 x e x .e x e x ,
1
e x ,
x
e
2
3
dx .
2
2
2cos x 3sin x
5
dx
3c os 2 x
2
1
e 2 x ,
2x
e
e3x e 2 x .e x e x .e x ,
2
1
e x e x 2 e 2 ,
1
x
ax
+ C.
ln a
e 4x e 2 x .e 2 x e 2 x .
2
1
e x e x 3 e 3 .
1
3
x
Bài 1: Tính các tích phân sau:
5
ThuVienDeThi.com
1. I e x 1 dx
0
2. I e x e 2 x dx
0
3. I
ln2
0
e
e 2 x e3 x dx .
x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I
ln2
0
2e
x
3e
x
dx
ln3
2. I
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I e x 1 e x dx
0
x
1 x
3 3x
2
3. I e e e dx .
0
2
2
2x
2 x
3e 3e dx
2. I e x e 2 x 2e x dx
0
3. I
ln2
3. I
ln2
3. I
0
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1
dx
0 x
e
1. I
1
3
3 x dx
x
e e
2. I
0
0
Bài 5: Tính các tích phân sau:
ee e 2 x
dx
1. I
0
ex
4e x 3e 2 x
dx
2. I
0
2e x
Bài 6: Tính các tích phân sau:
1. I 2 x 4 dx
0
1 e x dx .
2
x
e
e
x
e 2 x dx .
ex
2
x
dx .
ex
0
2. I 2.3x 4.5 x dx
0
e
3. I 3.4 x 2.7 x dx .
0
Phần 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
Công thức: I f u x .u ' x dx .
a
Bước 1: Ta đặt: t=u(x) dt=u’(x).dx.
x a t1 u a
Bước 2: Đổi cận:
x b t2 u b
b
t2
a
t1
Bước 3: Khi đó: I f u x .u ' x dx f t .dt F t t F t2 F t1 .
t2
1
Vấn đề 1: Tích của hàm đa thức. Thơng thường nếu:
Trong tích phân có lũy thừa, ta đặt t=biểu thức bên trong lũy thừa.
Trong tích phân có phân số, ta đặt t=mẫu số.
Trong tích phân có căn thức, ta đặt t=căn thức.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I x 2 1 .2 xdx
0
2. I
2
1
x
3
4 .3 x 2 dx
1
3. I 2 3 x 2
3
0
.xdx .
4
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I
0
2x
dx
2
x 1
2. I
2. I
3
0
6x2
dx
x3 1
2 x3
3. I
dx .
0
3x 4 1
4. I
0
x
2x
2
1
2
dx
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I
2x
x 1
0
2
dx
0
6x2
7
3
x 1
3
3. I
dx
3
2
0
2x2
4x 1
3
2x
dx 4. I 0
x
2
1
2
3
dx
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1. I
0
x 2 1.2 xdx
2. I
1
2x 3
dx
x 2 3x 1
15
4
0
Bài 5: Tính tích phân:
1. I 0
4
2. I 0
x 4 1.4 x 3dx
2x 7
x 7x 1
2
dx
3. I
3
2
0
4 x 3 1.x 2 dx .
3. I 0 x 1
2
x 3 3 xdx
6
ThuVienDeThi.com
Bài 6: Tính tích phân:
2. I 0 x 1 x dx
1. I 0 1 xxdx
9
x
dx
x 1
3. I 0 x 5 x 4dx 4. I 5
10
1
Vấn đề 2: Tích phân hàm lượng giác: sinx. cosx, sinax, cosax.
Nếu trong tích phân có: sinx.dx thì ta đặt t=cosx, hoặc biểu thức chứa cosx.
Nếu trong tích phân có: cosx.dx thì ta đặt t=sinx, hoặc biểu thức chứa sinx.
sinx
cosx,
/
cosx
/
sinu
sinx,
/
u '.cosu,
cosu
u '.sinu.
/
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I sinx 1 .cosxdx
2. I cos3 x.sinxdx
2
0
0
3. I 4 2sin 2 x 1 .4cos xdx .
0
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I 2 1 2sin 3 2 x cos2xdx
0
sinx
3cos2x
dx 3. I 04
dx .
2cosx+4
2sin2x+1
2. I 2
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
cosx
dx
5sinx+4
1. I 2
0
2. I 6
0
sin3x
dx
3
7cos3x+1
3. I 4
0
6cosx
dx .
3sinx+1
Bài 4: Tính các tích phân sau:
2
0
1. I
2
6
3
0
2 3
0
5sin x 4.2cos xdx 2. I tanxdx 3. I cotxdx 4. I
Bài 5: Tính các tích phân sau:
2
0
1. I
sinx
2cosx+1
3
2
0
2. I
dx
3cosx+1sinx dx
2
0
3. I
1 cosx
7sinx+1.cosxdx .
2sinx.cosx-3cosx
dx .
2sin x 1
Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác: sin 2 x, cos 2 x .
1
1 cos2x
2
.
1
2
sin x 1 cos2x
2
cos 2 x
Dạng 1: Hạ bậc ta ADCT:
o Trong tích phân chỉ có sin2x ta áp dụng cơng thức ha bậc.
o Trong tích phân chỉ có cos2x ta áp dụng cơng thức ha bậc.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2. I 2 2sin 2 2 xdx 3. I 2
1. I 2 sin 2 xdx
0
0
0
1 2x
sin dx .
2
2
x
3
4. I 3 sin 2 dx
0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I 2 2cos 2 xdx
2. I 3
0
0
3
cos 2 2 xdx
2
x
2
3. I 2 cos 2 dx .
0
x
4
4. I cos 2 dx
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I 2 cos 2 x x dx
0
2. I 2 1 sin x sinxdx
0
3. I 2 2 3cosx cosxdx .
0
Dạng 2: Đổi biến ta ADCT:
sin 2 x / sin2x
o sin2x=2sinx.cosx
/
2
cos x -sin2x
7
ThuVienDeThi.com
o
sin 3 x sin 2 x.sinx= 1-cos 2 x .sinx, cos3 x cos 2 x.cosx= 1-sin 2 x cosx .
o Trong tích phân có sin2x và sin2x, ta đặt t= sin2x, hoặc biểu thức chứa sin2x.
o Trong tích phân có sin2x và cos2x, ta đặt t= cos2x, hoặc biểu thức chứa cos2x.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2
0
1. I sin 2 x.sin xdx
2
2
0
2
0
sin 4 x
dx .
1 2sin 2 2 x
3. I
2. I sin 2 x. 2 3sin x dx
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I 02 sin 2 x.cos xdx
2
2
2. I 02 sin 2 x. 2 cos x dx
2
sin 2 x
dx .
3 9cos 2 x
3. I 02
Bài 3: Tính các tích phân sau:
2
0
sin 2 x
1. I
5sin 2 x 4
2
0
2
0
2.sin 2 x
2. I sin 2 x. 8sin x 1dx 3. I
dx
2
9 16cos 2 x
dx .
Bài 4: Tính các tích phân sau:
2
0
1. I
2sin x.cosx
4 5sin 2 x
2
0
3
2. I sin x.cosx. 1+cos x dx 3. I 02
dx
2
cosx.sin x
1 3cos 2 x
dx .
Dạng 3: Đổi biến ta ADCT:
o sin 3 x sin 2 x.sinx= 1-cos 2 x .sinx, cos3 x cos 2 x.cosx= 1-sin 2 x cosx .
o Trong tích phân chỉ có
ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=cosx.
3
o Trong tích phân chỉ có cos x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=sinx.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
sin3x,
1. I 02 sin xdx
2. I 02 2sin 2 xdx
3
3. I 06 sin x.cos xdx .
3
3
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I 02 cos xdx
2. I 02 3cos 2 xdx
3
3. I 06 cos x.sin xdx .
3
3
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1. I 02 sin x 2 dx
3
3
3
2. I 02 sin x 4 x dx
3
3. I 02 sin x 2 sin xdx
2
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1. I 02 2 x cos x dx
3
2. I 02 cos x cos x dx
2
Dạng 4: Biến đổi tích thành tổng.
3. I 02 1 cos x cosxdx
2
1
cos a+b cos a-b
2
1
sina.sinb= cos a-b cos a+b
2
1
sina.cosb= sin a+b sin a-b
2
cosa.cosb=
o Ta áp dụng công thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I 02 sin 2 x.cosxdx
3
0
3. I sin 3 x.sin xdx .
2. I 08 cos2x.sin3xdx
8
0
4. I cos2x.cos4xdx
8
ThuVienDeThi.com
6
0
4
0
4
0
6
0
5. I
sinx.sin3x-8dx
6. I
sin 2 x sin 2x.cos3x dx .
7. I
x sin 2x.cosx dx
8. I
sin3x.sinx-cos3x dx
Vấn đề 4: Tích phân chứa hàm mũ: e x , e 2x , e3x ,...
Nếu trong tích phân có chứa e x .dx thì ta đặt t=ex, hoặc biểu thức chứa ex.
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I 0
1 e e dx
2. I 0
1 3e e dx
4. I 0
3e x
dx
2e x 1
5. I 0
4e x
dx
3e x 3
ln 2
ln 2
x
3
ln 2
x
ln2
2x
3. I 0
ln 2
x
6. I 0
1 e e dx
ln 5
2x
2
3e x
2e x 1
x
dx
Bài 3: Tính các tích phân sau
e2 x
1. I 0 2 x
dx
3e 1
2. I 0
1
ln2
e2 x
e2 x 1
2e 2 x e x
3. I 0
dx
1 ex
dx
Bài 2: Tính các tích phân sau
1. I 0
1
2x
dx
2x 1
2. I 0
ln 3.3x
dx
3x 3
e x (1 x)
dx .
x
1
xe
0
1
3. I=
Vấn đề 5: Tích chứa lnx hoặc ln(ax+b).
1
dx thì ta đặt t=lnx hoặc biểu thức chứa lnx.
x
1
Nếu trong tích phân có chứa
dx thì ta đặt t=ln(ax+b) hoặc biểu thức chứa ln(ax+b).
ax b
Nếu trong tích phân có chứa
Bài 1: Tính các tích phân sau:
ln x
dx
1. I 1
x
e
5ln x 4
4. I 1
dx
5x
2
e
3
ln 2 x
dx
2. I 1
3. I e
dx
2 x.ln x
2x
3
e
e ln x 3
2
5. I 1
6. I 1
dx
dx
3 x ln x 1
x
2
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I 1
2
ln 2 x 3
dx
3 2x
Vấn đề 5: Tích phân chứa
2. I 4
3
3
dx
2 x ln 2 x 2
3. I 1
e
ln x 2
dx
2 x.1 ln x
1
1
1
1
/
/
.
Chú
ý:
,
.
,
t
anx
cotx
sin 2 x cos 2 x
cos 2 x
sin 2 x
1
dx, thì ta đặt t=cotx hoặc biểu thức chứa cotx.
sin 2 x
1
Nếu trong tích phân có chứa
dx, thì ta đặt t=tanx hoặc biểu thức chứa tanx.
cos 2 x
Nếu trong tích phân có chứa
Bài 1: Tính tích phân:
1. I 04 1 t anx .
1
2 tan 2 x 1
1
2
4
4
2.
3.
I
1
tan
x
.
dx
I
dx
0
0 3cos 2 x dx
2cos 2 x
cos 2 x
9
ThuVienDeThi.com
3
5tan x 4
2
4
dx
I
dx
I
5.
6.
cos2 x
04 cos 2 x 3tan x 1 dx
0 2cos 2 x
1
1
2cot 2 x 1
2
4
4
4
dx 8. I 0 1 cot x .
7. I 0 1 cot x .
dx 9. I 0
dx
cos 2 x
3cos 2 x
cos 2 x
2
4. I 04 2 tan x
3
Bài 2: Tính tích phân:
1
2cot 2 x 1
1
2
2
2
1. I 1 cot x .
2. I 1 cot x .
dx 3. I
dx
dx
3sin 2 x
3sin 2 x
sin 2 x
4
4
2
2
5cot x 4
2
3
2
2
3. I 2 2 cot x
4.
5.
dx
I
dx
I
dx
2
2
2
sin x
2sin x
4
4
4 sin x 3cot x 1
1
2 tan 2 x 1
1
2
2
2
2
6. I 1 tan x .
7. I 1 tan x .
8. I
dx
dx
dx
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
4
4
4
2
4
Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách chia ra nhiều tích phân:
Bài 1: Tính tích phân:
1. I 0 x 1 x 1 dx
2
2. I 0 x x x x 1 dx
2
3
3. I 0 x 1 x xdx
Bài 2: Tính tích phân:
1. I 0 x 2
2
2
2
2
I
3
c
osx-sinx
c
osx
dx
2.
3.
xdx
I
sin 2 x-2cosx sinxdx
2
0
0
x 2
Bài 2: Tính tích phân:
6
1. I 1
1
sinxdx
sin 3 x
2
1
2
4
3.
I
sinxdx
-3
c
osx
dx
3
3
3
6 sin x cos x
cos x
2. I 04
Bài 3: Tính tích phân:
6
1. I 1
2
3 3
sin xdx
4
2
2
sin
xcos
x
sin
x
6
1
2
sin xdx
sinxcosx
2. I 4
Phần 3: Tích phân từng phần.
Cơng thức tích phân từng phần: I u.dv u.v a v.du
b
b
b
a
u ax+b
b
1.. Dạng 1: I= (ax+b)e x dx . Đặt
a
x
dv=e dx
a
,
lấy đạo hàm
u ax+b
du = a.dx
x
x
lấy 1 nguyên hàm
dv=e dx v = e
Cần nhớ:
Bài 1: Tính tích phân:
1. I 0 xe dx
2. I 0 2 xe dx
4. I 0 xe dx
1
1
1
1
x
3. I 0 1 2 x e dx
1
x
5. I 0 1 x e dx
2x
x
6. I 0 2 3 x e dx
1
2x
3x
Bài 2: Tính tích phân:
1. I 0 x.(1 e ) dx
1
x
2. I 0 2 x.( x e ) dx
1
x
3. I 0 x.(4 x e ) dx
1
2
x
Bài 3: Tính tích phân:
1. I 0 x.( x
1
e x )dx
2. I 0 3 x.(
1
1 1
)dx
x ex
3. I 0 x.(1
1
1
)dx
e2 x
10
ThuVienDeThi.com
u ax+b
2.. Dạng 2: I= (ax+b)cosxdx . Đặt
. Cần nhớ:
a
dv=cosxdx
b
lấy đạo hàm
u ax+b du = a.dx
lấy 1 nguyên hàm
dv=cosxdx v = sinx
Bài 1: Tính tích phân:
0
0
0
0
2 3x cosxdx
2. I 3 xcosxdx
3. I
5. I 1 x cos2xdx
6. I 1 2 x cos3xdx
1. I 0 xcosdx
4. I 04 xcos2xdx
Bài 2: Tính tích phân:
1. I 0 x.(1 cosx) dx
2. I 02 2 x.( x cosx) dx
u ax+b
3..Dạng 3: I= (ax+b) sin xdx . Đặt
. Cần nhớ:
a
dv=sinxdx
b
3. I 0 x.(4 x 3cosx) dx
2
lấy đạo hàm
u ax+b du = a.dx
lấy 1 nguyên hàm
dv=sinxdx v = -cosx
Bài 1: Tính tích phân:
1. I 0 x sinxdx
3. I 0 2 x sinxdx
2. I 0 4 x sin xdx
4. I 04 x sin 2xdx
5. I 0 1 x sin 2xdx
6. I 0 1 2 x sin3xdx
Bài 2: Tính tích phân:
1. I 0 x.(1 sin x) dx
b
4..Dạng 4: I= (ax+b) ln xdx . Đặt
a
2
0
2. I 2 x.( x sin x) dx
3. I 0 x.(4 x 3sin x) dx
2
1
lấy đạo hàm
du
=
.dx
u
x
ln
u ln x
x
. Cần nhớ:
x2
dv= ax+b dx
lấy 1 nguyên hàm
dv= ax+b dx
v = a bx
2
Bài 1: Tính tích phân:
e2
1. I 1 ln xdx
2. I e x ln xdx
3. I 1 2 x ln xdx
4. I 1 4 x ln xdx
5. I 1 x ln xdx
6. I 1 2 x ln xdx
e
2
e
2
2
e
3
e
Bài 2: Tính tích phân:
1. I 1
e
1
ln xdx
x2
e2
2. I e
Bài 3: Tính tích phân:
1. I 1 x 1ln xdx
e
ln x
dx
x3
2. I 1 1 x
2
2
ln xdx
3. I 1
2
ln x
dx
4 x5
3. I 1 2 x
2
2
ln 2 xdx
Bài 4: Tính tích phân:
1. I 1 1 ln x xdx
e
2. I 1 x 3ln 3 x xdx 3. I 1 2 x
2
e
3
ln xdx
x
11
ThuVienDeThi.com
Phần 4: Tích phân chứa trị tuyệt đối. I f x dx .
b
a
Bước 1: Giải phương trình f(x)=0, tìm các nghiệm x0 [a;b] .
Bước 2: Bỏ trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức f(x), để chia ra nhiều tích phân.
Chú ý: Ta có thể giải bằng cách không xét dấu f(x).
Nếu giải phương trình f(x)=0, khơng có nghiệm x0 [a;b] thì
I a f x dx
b
b
a
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 1 nghiệm x0 [a;b] thì
I a f x dx
b
f x dx .
x0
a
f x dx
f x dx .
b
x0
Nếu giải phương trình f(x)=0, có 2 nghiệm x1 x [a;b] thì
I a f x dx
b
x1
a
f x dx
x2
x1
f x dx
b
x2
f x dx .
Bài 1: Tính các tích sau.
1. I 0 x 1 dx
1
2. I 0 2 x 2 dx
3. I 0 x 1 dx .
2. I 2 1 x dx
3. I 0 x 3 x 2 dx .
2
2
2
Bài 2: Tính các tích sau.
1. I 0 x 2 x 1 dx
2
4
2
Phần 5: Diện tích hình phẳng.
2
2
2
2
y f x
Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y 0
x a
x b
1. S a f x dx
b
2. S a f x dx
b
f x dx .
f x dx f x dx ,
b
a
c
b
a
c
với c là nghiệm thuộc [a;b].
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x , trục Ox và hai đường thẳng x=-1,
x=1.
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 x 2 , trục hoành, trục tung và đường
thẳng x=2.
3
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 x 2 và trục hồnh.
3
2
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 x 4 và trục hồnh.
3
2
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x 1 và trục hồnh.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x , trục hồnh và đường thẳng x=e.
4
2
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e 1 , trục hoành và đường
thẳng x=1.
x
12
ThuVienDeThi.com
y f x
Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y g x
x a
x b
1. S a f x g x dx
b
b
a
2. S a f x g x dx
b
f x g x dx .
a f x g x dx
c
b
c
f x g x dx
với c là nghiệm thuộc [a;b].
3
2
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2, y=x 2 và hai đường thẳng x=-1,
x=1.
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x x 2, y=4x-4 , trục tung và đường thẳng
x=2.
3
2
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3, y=1-3x .
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x , y=x 1
4
2
2
Phần 6: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số y=f(x),
trục hoành, đt x=a, đt x=b quay quanh trục hoành.
V a f x dx
2
b
Chú ý: Đối với thể tích ta khơng cần chia làm nhiều tích phân:
Bài 1: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
hoành, đt x=0, đt x=1 quay quanh trục hồnh.
Bài 2: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
trục hoành, đt x=-1, đt x=0 quay quanh trục hồnh.
Bài 3: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
trục hoành, trục tung, đt x=1 quay quanh trục hồnh.
Bài 4: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
trục hồnh quay quanh trục hồnh.
Bài 5: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số
hoành, đt x=, đt x=
y x 3 3 x , trục
y x4 2x2 ,
y x3 2 x 2 ,
y x4 2x2 1,
y sinx , trục
quay quanh trục hồnh.
2
Bài 6: Tính thể tích khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đương đồ thị hàm số y cosx , trục
hoành, trục tung, đt x=
quay quanh trục hoành.
2
k
dx
x
ax bx c
Trường hợp 1: ax 2 bx c 0 có một nghiệm x0 hay có nghiệm kép x0.
x
x
x
k
k
2
dx
dx
k
dx ...
.a
x-x
o Khi đó: ADCT: I
0
2
2
x
x
x
ax bx c
a x-x 0
x2
Phần 7: Tính tích phân dạng: I
1
2
1
2
2
1
2
1
13
ThuVienDeThi.com
Trường hợp 2: ax 2 bx c 0 có hai nghiệm xL , x N .
o Khi đó: ADCT: I
x2
x1
x
k
k
1
1
dx
ax bx c
a xL xN x x-x L x xN
2
2
1
Bài 1: Tính tích phân:
3
dx
2x 4x 2
1. I 2
3
2
1
2. I 0
3
dx
2 x 12 x 18
3. I 0
1
2
dx
5
dx
1 2x x2
Bài 2: Tính tích phân:
1. I 1
0
1
dx
2
2 x 5x 3
2
dx
2
x 5x 6
2. I 0
1
3. I 0
1
1
dx
4 x2
Bài 3: Tính tích phân:
1. I 1
2
1
dx
x x 1
2. I 0
2
1
x 2 2 x 1
3. I 1
0
dx
1
dx
1 x 2 3x
Bài 4: Tính tích phân:
ex
dx
1. I ln 2
1 e2 x
ln3
2
0
2. I
Phần 8: Bài tập nâng cao, các đề thi đại học.
Bài 1: Tính tích phân:
1.
1
I= 0
x 3 dx
.
x2 1
e x dx
ln 3
2. I= 0
3. I= 1 x e2 x 3 x 1 dx .
0
4. I=
e
2 6
0
2
0
cosx
dx
sin 2 x 4
x
1
3
3. I
sinx
dx
9 cos 2 x
.
1 cos3 x sin x cos5 xdx .
Bài 2: Tính tích phân:
sin 2 x sin x
1. I= 02
3. I= 1
1 3cos x
3 2 ln x
e
x 1 2 ln x
dx.
dx .
2. I= 02
4
4. I= 0
sin 2 x cos x
dx.
1 cos x
4x 1
2x 1 2
dx
Bài 2: Tính tích phân:
x 2 e
1
1. I=
2x
0
ln 5
3. I= ln 3
dx,
5 3e 2
.
4
dx
3
, ln .
x
x
e 2e 3 2
2. I= 02
sin 2 xdx
2
, .
3
cos x 4sin x
2
dx
6
4. I= 2
2
2x 1 4x 1
5. I= 02 esin x cos x cos xdx.
.
Bài 3: Tính tích phân:
x
3
1. I= 1
3
1
2
2x 2
3. I= 0 xe2 x
x 1
2
2. I= 0
dx
dx.
5x 1
x
4x 1
dx.
4. I= 02 cos3 x 1cos 2 xdx,
8
.
15 4
Bài 4: Tính tích phân:
3
1. I= 1
dx
, ln e 2 e 1 2.
x
e 1
e
3
e2
2. I= 1 2 x ln xdx, 1.
x
2
1
3. I= 0
x2 ex 2x2ex
1 1 1 2e
dx, ln
.
x
3 2
3
1 2e
14
ThuVienDeThi.com
