(SKKN mới NHẤT) SKKN các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HĨA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC DẠNG TỐN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH
PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Người thực hiện: Trịnh Thị Mai
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn học

THANH HÓA, NĂM 2019

download by :


MỤC LỤC
1. Mở đầu 1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………...……………… …….......................1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………..………………………………………1
1.3. Đối tượng nghiên cứu………….………………………………………2
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………….....2
2. Nội dung Sáng kiến kinh nghiệm 2
2.1.

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2.

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm.

3

2.3. Các dạng tốn trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích
hình phẳng 3
2.3.1. Lý thuyết cơ bản 3
2.3.2. Lập ma trận chuyên đề 4
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận…………………………………………5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..18
3. Kết luận, kiến nghị
3.1.

Kết luận

18

18

3.2. Kiến nghị…………………………………..…………………………...19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20

download by :


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác,

lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết cơng thức tính diện tích từ
các lớp dưới. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn khơng đơn
giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá,
trừu tượng hoá. Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8,
9, 10, 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố
“trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang cịn thiếu.
Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình phẳng ở chương
trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh
thường có cảm giác “sợ” bài tốn tính diện tích hình phẳng. Khi học vấn đề này
nhìn chung các em thường vận dụng cơng thức một cách máy móc chưa có sự
phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc
không giải được, đặc biệt là những bài tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ”
diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách
tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và
khắc phục “những sai lầm đó”. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ
năng tính tích phân cịn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” cịn hạn chế.
Tài liệu “CÁC DẠNG TỐN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ
năng tính tích phân, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những
khó khăn, sai lầm khi gặp bài tốn tính diện tích hình phẳng. Từ đó giúp học
sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy
được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học,
học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích
phân. Tài liệu này cũng phân loại các dạng tốn theo các mức độ thông hiểu, vận
dụng, vận dụng cao, giúp học sinh học tập thuận tiện nhất. Đây làm một tài liệu
tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi
THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai

thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề ứng dụng của tích
phân trong tính diện tích hình phẳng các cấp độ kiến thức khác nhau.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh các
dạng tốn của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng theo các cấp
độ thơng hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp
các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn tồn diện cũng như

download by :

3


phương pháp giải các bài tốn của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình
phẳng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Ứng dụng của tích phân trong hình học. Nội dung nằm ở chương 3 sách giáo
khoa Giải tích 12.
Lập ma trận các dạng tốn của ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình
phẳng theo các cấp độ kiến thức bao gồm: thông hiểu, vận dụng, vận dung cao.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học.
- Thời gian nghiên cứu: Năm học 2018 – 2019.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ mơn tốn học rất cần thiết khơng thể thiếu trong đời sống
của con người. Mơn Tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến
thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
mơn tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu mơn tốn học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thơng, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho
học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài học sinh
THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán ứng dụng của
tích phân trong tính diện tích hình phẳng.

download by :

4


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở
chương trình tốn Giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp
học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số. Đây cũng là một nội dung thường
gặp trong các đề thi học kì II, đề thi THPT Quốc Gia. Nhìn chung khi học vấn

đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó
khăn, sai lầm sau:
- Nếu khơng có hình vẽ thì học sinh thường khơng hình dung được hình
phẳng. Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của
hình phẳng đã học trước đây. Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên
hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này.
- Hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít “ chưa đủ”
để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh
chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng đang học .
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề
này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu.
- Học sinh thường chỉ nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng một cách máy
móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ
diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải.
2.3. Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình
phẳng.
2.3.1. Lý thuyết cơ bản.

a) Cho hàm số
Khi đó diện tích

liên tục trên

.

của hình phẳng (D) giới

hạn bởi: Đồ thị hàm số
) và hai đường thẳng

; trục

(

là:

.

download by :

5


b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai
đồ thị

và

hai đường thẳng
định bởi công thức:

. Được xác

.

2.3.2. Lập ma trận chun đề.

CÁC
CHỦ

ĐỀ
ỨNG
DỤNG
TÍCH
PHÂN
TÍNH
DIỆN
TÍCH

CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH
TỔNG
GIÁ
Vận
Thơng Vận
dụng
hiểu
dụng
cao

MIÊU TẢ

Cho hình vẽ, hỏi cơng thức tính
diện tích hình phẳng được tơ Câu 1
đậm
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đủ 4 đường cơ bản

1

,

,
. Câu 2
Biểu thức trong trị tuyệt đối
khơng đổi dấu
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đủ 4 đường cơ bản

1

,
,
, Câu 3
. Biểu thức trong trị tuyệt
đối có đổi dấu
Tính diện tích hình phẳng giới

1

hạn bởi 2 đường

,

Câu 5

2

Câu 6 Câu 7
(phương trình hồnh
độ có nhiều hơn 2 nghiệm)
Tính diện tích hình phẳng giới Câu 8 Câu 9

2

(phương trình hồnh
độ có 1 hoặc 2 nghiệm)
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi 2 đường

Câu 4

,

download by :

2

6


hạn bởi nhiều hơn 2 đường có
cơng thức
, (cho hình hoặc
có thể vẽ hình).
Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi nhiều hơn 2 đường có
cơng thức
, khó vẽ hình.
Ứng dụng diện tích hình phẳng
để so sánh các giá trị
hoặc tính giá trị

biểu thức, …
Bài tốn thực tế liên quan tính
diện tích hình phẳng (chọn hệ
trục, lập cơng thức đường …)
Các bài tốn cực trị liên quan
tính diện tích hình phẳng

Câu
10

1

Câu
11, 12

2

Câu
13, 14,
15, 16
Câu
18
11

Câu 17 5
Câu
3
19, 20
3
20

TỔNG
6
2.3.3. Các dạng toán theo ma trận.
Câu 1. Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng phần
tơ đậm được tính theo cơng thức nào?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Vì

trên đoạn

Câu 2. Tính diện tích

.

.

của hình phẳng giới hạn bởi các đường
,

A.

nên

,
B.

,

.
.

C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn D

download by :

7


Ta có:

.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
,

,

,

là
.

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Đặt

, ta xét dấu

.

Xét

.

Ta có bảng xét dấu

x

0

1
0

-

2
+

Vậy diện tích hình phẳng đã cho

Câu 4. Hình phẳng

được giới hạn bởi các đường

,

. Tính

diện tích hình phẳng
A.

.

B.

.

C. .

D.

.

Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:
.
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
.

download by :

8


Câu 5. Trong hệ trục tọa độ

, diện tích

, tiếp tuyến của
A.

.

B.

của hình phẳng giới hạn bởi

tại

.

và trục

C.

.

là:
D.

.

Lời giải
Chọn C
;

.

Phương trình tiếp tuyến của
tại
Diện tích hình phẳng cần tìm là

:

.
.

Câu 7. Tính diện tích

của hình phẳng
và

A.

.

giới hạn bởi đường cong

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:
.
Ta có

Câu 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và

.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm là

.

Diện tích hình phẳng cần tìm

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

,

, trục hoành là:

download by :

9


A

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
.

.

.

Diện tích cần tìm là:
Câu 10. Tính diện tích
,
A.

.

của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số
,

.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A

Ta có

.
Câu 11. Diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường

và

là:
A.

.

B.

download by :

.

10


C.

.

D.

.

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của các đường. Ta có:
;
;
Diện
tích
cần
tìm

Câu 12. Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

là:

, đồ thị hàm

như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào trong các phương án
dưới đây là đúng?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Gọi

là diện tích của các phần giới hạn như hình vẽ.

Ta có:

download by :

.

11


.
Mà

.

Vậy

.

Câu 13. Cho hàm

là một nguyên hàm của hàm số

thị hàm số

trên đoạn

diện tích

, biết đồ

như hình vẽ ở bên dưới và có

. Giá trị của

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

.
.
.

Vậy có:
.
Câu 14. Một vịng xuyến ở ngã tư thành phố
có dạng hình trịn đường kính
. Cơng ty cây xanh thiết kế phần trồng hoa giấy ở giữa hai
đường parabol có trục đối xứng vng góc với đường kính
tại tâm
của hình trịn và cắt
tại điểm
thỏa mãn
(phần tơ
đậm). Phần cịn lại của vịng xuyến thiết kế trồng hoa cúc. Chi phí để
trồng hoa giấy và hoa cúc lần lượt là
đồng
và
đồng

.

download by :

12


Hỏi chi phí để trang trí vịng xuyến theo thiết kế gần nhất với số tiền
nào dưới đây (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) ?
A.
đồng.
B.
đồng.
C.
đồng.
D.
đồng.
Lời giải
Chọn C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử phương trình của parabol phía trên trục hồnh là
Dễ có
có đỉnh là
Ta có hệ phương trình

và đi qua điểm

.

.
Khi đó phương trình của parabol phí dưới trục hồnh có phương trình là
.
Diện tích phần trồng hoa giấy là:
Diện tích phần trồng hoa cúc là:

.
.

Chi phí để trang trí vịng xuyến theo thiết kế là:

Câu 15. Vịm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình dạng parabol, chiều
rộng
, chiều cao
và được lắp kính. Biết mỗi
kính có giá
là
đồng. Số tiền để lắp kính cho vòm cửa là

download by :

13


A.
C.

đồng.
đồng.

B.
D.

đồng.
đồng.

Lời giải
Chọn D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Khi đó parabol có phương trình dạng
. Vì

đi qua đỉnh

nên ta có

cắt trục hồnh tại hai điểm

.

và

nên ta có

. Do đó

.

Diện tích của cổng là:

.

Số tiền để lắp kính cho vịm cửa là:

đồng.

Câu 16. Một mảnh vườn hình chữ nhật với diện tích
. Người ta muốn
trồng hoa trên mảnh vườn đó theo hình một parabol bậc hai sao cho
đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của mảnh vườn như
hình vẽ bên. Biết chi phí trồng hoa là 300 ngàn đồng cho mỗi mét
vng. Xác định chi phí trồng hoa cần có cho mảnh vườn trên?

A. 30 triệu đồng.
C. 50 triệu đồng.

B. 60 triệu đồng.
D. 40 triệu đồng
Lời giải

Chọn D
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là
Ta có diện tích hình chữ nhật là

, chiều rộng là

(

).

.

download by :

14


Chọn hệ trục tọa độ Đề các vng góc

sao cho đỉnh của parabol là

và Parabol đi qua 2 điểm

và

.

Do đó phương trình parabol có dạng
Vậy phần diện tích trồng cỏ là
Số tiền trồng cỏ cần là:
Câu 17. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vng
cạnh bằng 10 cm bằng cách kht đi bốn phần bằng nhau có hình dạng
parabol như hình bên. Biết
cm,
cm. Tính diện tích bề
mặt hoa văn đó.
A
O

H

B

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B

Đưa parabol vào hệ trục

ta tìm được phương trình là

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hồnh và các đường thẳng

,

là

. Tổng diện tích phần bị khoét đi:
. Diện tích của hình vng là

download by :

.

15


Vậy diện tích bề mặt hoa văn là
.
Câu 18. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao
, chiều
rộng
,
. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng
lại là hình chữ nhật CDEF tơ đậm giá là
đồng/m2, cịn các
phần để trắng làm xiên hoa có giá là
đồng/m2.

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới
đây?
A.
(đồng).
B.
(đồng).

C.
(đồng).
D.
(đồng).
Lời giải
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ
sao cho
trùng
, trùng
khi đó
parabol có đỉnh

và đi qua gốc tọa độ.

Gọi phương trình của parabol là
Do đó ta có

.

Nên phương trình parabol là
Diện tích của cả cổng là
Do vậy chiều cao

;

.

Diện tích hai cánh cổng là
Diện tích phần xiên hoa là

.

Nên tiền là hai cánh cổng là

download by :

16


và tiền làm phần xiên hoa là
Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng.
Câu 19. Cho các số thực
thỏa mãn
hàm số

.
và hàm số

. Biết

có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị của hàm số

, ta có bảng biến thiên của hàm số

như sau

Từ đó suy ra

,

. (1)

Mặt khác:

(2) Từ (1) và (2) suy ra
Câu 20. Cho parabol
điểm

,

bởi

.
và một đường thẳng

sao cho

. Gọi

và đường thẳng

thay đổi cắt

tại hai

là diện tích hình phẳng giới hạn

. Tìm giá trị lớn nhất

của

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D

download by :

17


Giả sử

;

sao cho

Phương trình đường thẳng

.

là:

. Khi đó

. Vì

.
Vậy

khi

và từ (*) ta suy ra

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng
tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tính diện tích hình phẳng. Các em hứng thú học tập hơn,
ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải
các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này
vào giảng dạy thì số Học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng tốn nói trên, kết quả qua
các bài kiểm tra thử như sau :

Năm
học

Tổng
Lớp
số

2018
-2019

12
B2
12
B3

Điểm 8
trở lên
Số
Tỷ
lượng lệ

Điểm từ 5 đến 8

Điểm dưới 5

Số
lượng

Tỷ lệ

Số
lượng

Tỷ lệ

42

12

29%

26

61 %

4

10 %

41

7

17 %

28

68 %

6

15 %

download by :

18


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1. Kết luận.
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt q trình giảng
dạy tại trường THPT Hoằng Hóa 3.
Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng là một nội dung
quan trọng trong chương trình mơn tốn lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói
chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần
nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tơi khi
dạy phần tốn ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng giáo viên
cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt
hơn.
Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn cịn có nhiều thiếu sót
và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung
và góp ý cho tơi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm
cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
XÁC NHẬN CỦA THỦ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng

sao chép nội dung của người khác

Trịnh Thị Mai
TÀI LIỆU THAM KHẢO

download by :

19


[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Tuyển tập các chuyển đề & kỹ thuật tính Tích phân- Trần Phương.
[3]. Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &
Đào tạo.
[4]. Các đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 và 2019 của các trường THPT
trên toàn quốc.

download by :

20