(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải tích phân hàm ẩn cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THIỆU HĨA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN
CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Trần Tuấn Ngọc
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Thiệu Hóa
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2019

1

download by :


MỤC LỤC
Nội dung
I. MỞ ĐẦU

Trang
1

1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………..………...

1

1.2. Mục đích nghiên cứu. …………………………………...………….

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………….……..………..

1

1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………..…..……....

1

II. NÔI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………...…..…………....

1

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. ……………………..……

1

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….

2

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
giải quyết vấn đề. …………………………………..…………….….

2

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. ……………………
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………….……..……

19

3.1. Kết luận. ……………………………………………….……...…..

20

3.2. Kiến nghị. …………………………………………….….……..…

20

20

Tài liệu tham khảo: …………………………………………….………….

2

download by :


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình SGK giải tích lớp 12, các dạng tích phân được tính bằng
các tính chất của tích phân và tính chất của hàm số (ở đây tôi tạm gọi là hàm ẩn)
xuất hiện rất ít, chính vì vậy khả năng thực hành tính tốn của học sinh cịn nhiều
hạn chế hay chưa nói đến là gặp rất nhiều khó khăn.
Trước đây, trong các kì thi từ thi tốt nghiệp THPT đến các kỳ thi Đại học, Cao

đẳng hầu như không xuất hiện các dạng tích phân hàm ẩn, vì vậy sự quan tâm của
giáo viên và học sinh về vấn đề này là khơng có.
Từ khi Bộ GD&ĐT chuyển hình thức thi mơn Tốn từ thi tự luận sang thi trắc
nghiệm (ngay năm đầu tiên năm 2017) thì dạng tích phân này đã có trong đề thi đã
xuất hiện khơng dưới 2 câu đã tạo cho nhiều học sinh (không chuyên) phải ngậm
ngùi sau kì thi.
Từ những lý do trên cộng thêm niềm đam mê khám phá, học hỏi tôi đã quyết
định chọn đề tài này với mục tiêu dẫn dắt học sinh biết vận dụng những kiến thức
cơ bản, kết hợp các phương pháp được tiếp cận từ sách giáo khoa để tạo được một
thói quen mới, một phương pháp mới cho dạng tốn Tích phân hàm ẩn .
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Với mục tiêu đã nêu trên, sau khi hồn thành đề tài này tơi có thể sử dụng đề
tại này, vận dụng kiến thức đã được nghiên cứu, đúc kết và sắp đặt có hệ thống vào
giảng dạy cho học sinh. Ngồi ra có thể chia sẻ với đồng nghiệp để cùng khai thác
nội dung đề tại, truyền thụ được kiến thức đến đông dảo học sinh, nhiều đối tượng
học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về các phương pháp giải bài toán tích phân
hàm ẩn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trong đề tài này, tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
Xuất phát từ các phương pháp tính tích phân cơ bản học sinh đã được học
trong sách giáo khoa và các bài tốn tích phân được sưu tầm từ đề thi THPT QG
năm 2017 và các để thi thử của các trường THPT, các Sở GD & ĐT trên cả nước
tơi phân chia thành từng dạng để có phương pháp riêng giải cho mỗi dạng, các dạng
được sắp xếp từ dễ đến khó để phụ vụ cho việc giảng dạy với nhiều đối tượng học
sinh
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong các dạng tốn tích phân được trình bày trong sách giáo khoa và các bài

tốn tích phân học sinh được tiếp cận, chủ yếu là các bài với hàm số là các biểu
thức cho trước ( hàm tường mình ).
3

download by :


Trong các dạng toán, chủ yếu học sinh phải làm là dựa vào biểu thức của hàm số
đã cho để quyết định phương hướng và lựa chọn phương pháp. Tuy nhiên với tích
phân hàm ẩn thì khơng có hàm số tường minh để dựa vào đó được.
Và vấn đề đặt ra ở đây là học sinh làm như thế nào để nhận dạng và áp dụng
phương phán giải hợp lý cho bài tốn. Vấn đề đó tơi xin được trình bày trong phần
nội dung của đề tài này.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trước khi SKKN được áp dụng, tôi thấy đa số các em học sinh khi giải một bài
tốn thì theo kiểu “ tù mù”. Biến đổi, hay đổi biến, hay dùng từng phần! Và như
vậy học sinh sẽ đánh mất phương hướng, mất nhiều thời gian cho một hướng giải
quyết mù mịt (khơng biết có ra hay khơng) dẫn đến mất niền tin và khả năng của
mình và từ đó cảm thấy khơng cịn hứng thú trong việc học Tốn.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Trên cơ sở kiến thức cơ bản về tích phân đã được trình bày trong sách giáo khoa
Giải tích. Tơi đã chia thành các dạng tốn cơ bản sau và trên cơ sở đó để thực hiện
mục đích của mình đó nhận biết dạng tốn để chọn phương pháp phù hợp.
Nội dung đề tài được trình bày cụ thể như sau:
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Định nghĩa tích phân
Cho

là hàm số liên tục trên

trên

số

. Hiệu số

là một nguyên hàm của

được gọi là tích phân từ

(hay tích phân xác định trên

Ta cịn dùng kí hiệu

), kí hiệu là

để chỉ hiệu số

Vậy

Ta gọi

. Giả sử

đến

của hàm

.

.

.

là dấu tích phân,

dấu tích phân và

là cận dưới,

là cận trên,

là biểu thức dưới

là hàm số dưới dấu tích phân.

1.2 Tính chất của tích phân
4

download by :


Tính chất 1:

(

là hằng số).

Tính chất 2:

.

Tính chất 3:

,

.

1.3 Các phương pháp tính tích phân
1.3.1 Phương pháp đổi biến
Để tính tích phân

ta thực hiện phép đổi biến như sau:

Bước 1: Đặt

.

Đổi cận:

,

Bước 2:

.

1.3.2 Phương pháp tích phân từng phần
Cho hai hàm số

và

có đạo hàm liên tục trên

. Khi đó

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TÍCH PHÂN HÀM ẨN
2.1 Dùng tính chất của tích phân
Phương pháp giải:
- Khi đề bài cho kết quả của các tích phân có cùng cận (trên và dưới) của một hay
nhiều hàm số và yêu cầu tính tích phân (cận khơng thay đổi) của tổng, hiệu các
hàm số đó thì ta dùng tính chất 1 và 2 của tích phân để giải.

5

download by :


- Khi đề cho kết quả các tích phân của cùng một hàm số

và yêu cầu tính tích

phân (chỉ khác các tích phân đã cho về cận) của hàm số

thì ta dùng tính chất

3 của tích phân.
Ví dụ 1: Cho

,

. Tính

.

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - lần 1 năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có

.

Ví dụ 2: Biết

và

. Tính tích phân

.

(THPT Trần Quốc Tuấn năm học 2017-2018)
Lời giải
Ta có

.
2.2 Dùng phương pháp đổi biến
Phương pháp giải:
- Khi gặp các tích phân dạng

thì ta dùng phương pháp đổi biến:

6

download by :


đặt

.

- Khi đề yêu cầu tính tích phân hàm

biết

là hàm số cho trước) ta có thể đổi biến
Ví dụ 1: Cho

. Tính

(với
.
theo

.

(THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh – lần 1 năm học 2017-2018)
Nhận xét: Ta thấy

có

là hàm hợp của hàm số

với nên ta dùng phương pháp đổi biến

,

để tính I theo biến , sau

đó dùng tính chất tích phân khơng phụ thuộc vào biến ta tính được I heo

.

Lời giải
Đặt
Đổi cận:

,

.

Khi đó:

.

Ví dụ 2: (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số

tục trên

và

. Tính

liên

.

7

download by :


Nhận xét: Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân

biến đổi nó bằng cách đặt

là hàm hợp nên ta

.

Lời giải
Đặt

.

Đổi cận :

,

Khi đó

.
. Vậy

.

Ví dụ 3: (THPT chun Phan Bội Châu – lần 3 năm học 2017-2018) Cho hàm số
liên tục trên đoạn

phân

và thỏa mãn

. Tính tích

.

Nhận xét: Bằng cách đặt

, ta có

. Do đó

lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của

ta sẽ tính được .

Lời giải
Đặt

. Đổi cận :

,

Suy ra
8

download by :


Từ giả thiết

ta có

.
2.3 Dùng phương pháp từng phần
Phương pháp giải: Khi đề bài cho

và yêu cầu tính

(với

là một biểu thức cho trước) hoặc ngược lại thì ta biến đổi
bằng cách dùng phương pháp từng phần, đặt

và

.

Ví dụ 1:(THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho hàm số

có đạo hàm

liên tục trên

và

,

. Tính

.
Nhận xét: Đề cho

theo

và yêu cầu tính

nên ta biến đổi

bằng cách dùng phương pháp từng phần.

9

download by :


Lời giải
Đặt

Ta có

.

Ví dụ 2: (THPT chun Thái Bình năm học 2017 - 2018) Cho hàm số
đạo hàm liên tục trên đoạn

, thỏa mãn

và

có
. Tính

.
Nhận xét: Đề cho

làm xuất hiện

và yêu cầu tính

nên ta biến đổi

bằng cách dùng phương pháp từng phần.

Lời giải
Đặt
Ta có

.
10

download by :

2.4 Phối hợp phương pháp đổi biến và từng phần
Phương pháp giải:
Dạng 1: Khi đề bài cho

và yêu cầu tính

(với

là một biểu thức cho trước): ta biến đổi
phương pháp từng phần: đặt

theo

để biến đổi

bằng cách dùng

và

để biến đổi

. Sau đó dùng phương pháp đổi biến

theo

.

Dạng 2: Khi đề bài cho

và yêu cầu tính

một biểu thức cho trước): ta biến đổi

đổi biến

để biến đổi

pháp từng phần: đặt

là

bằng cách dùng phương pháp

theo

và

(với

. Sau đó dùng phương

để biến đổi

theo

.

11

download by :


Ví dụ 1: Cho hàm số

Tính

liên tục trên

và

,

.

.

Nhận xét: Đây là bài tốn dạng 1.
Lời giải
Đặt

.

Khi đó

, với

Đặt

.

. Khi đó

Vậy

.
.

Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định 2017-2018) Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn

,

. Tính

.
Nhận xét: Đây là bài tốn dạng 2.
Lời giải
- Đặt
Đổi cận:

;

12

download by :

Ta có

Do đó

.

- Đặt

,

.

Vậy

.

2.5 Tính tích phân hàm số

bằng cách xác định hàm số

dựa vào

điều kiện cho trước
2.5.1 Xác định hàm số

khi biết đẳng thức liên hệ giữa

Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa

và

ta thay

và

bởi

và ngược lại ta được đẳng thức thứ hai. Từ đẳng thức ban đầu và đẳng thức
thứ hai ta sẽ tìm được hàm
Ví dụ 1: Xét hàm số

Tính tích phân

.

liên tục trên

và thỏa mãn

.

.
Lời giải

Thay

bởi

và ngược lại vào

ta có

(1) ,
(2)

Từ (1) và (2) ta có

13

download by :


Lấy (4) trừ (3) vế với vế ta có

.

Suy ra

.

Ví dụ 2: Cho hàm số

liên tục trên

và

. Tính

.
Lời giải
Thay

bởi

và ngược lại vào

, ta có

Từ (1) và (2) ta có

Lấy (3) cộng (4) vế với vế ta có

.

Khi đó

.

2.5.2 Xác định hàm số

khi biết đẳng thức liên hệ giữa

Phương pháp giải: Từ đẳng thức liên hệ giữa

và

và
ta có thể biến đổi

theo hai hướng sau:
14

download by :


- Hướng 1: Cơ lập
hàm

và

về một vế sau đó lấy ngun hàm hai vế để tìm

.

- Hướng 2: Nếu khơng cơ lập được
đẳng thức liện hệ

và

và

về một vế thì ta biến đổi

sao cho một vế là đạo hàm có dạng tích,

thương của hàm chứa

, sau đó lấy ngun hàm hai vế để tìm hàm

Ví dụ 1: Cho hàm số

liên tục và đồng biến trên

,

thỏa mãn

. Tính tích phân

và

.

Nhận xét: Vế trái của đẳng thức
ta đặt

.

có nhân tử chung là

làm thừa số chung rồi cơ lập

và

nên

.

Ta có
.

Lời giải
Vì hàm số

liên tục và đồng biến trên
và

,

nên ta có

,

.

Do đó

.

15

download by :


Mà

nên

. Do đó

.

Vậy

.

Ví dụ 2: Cho hàm số

Tính

thỏa mãn

và

,

.

.

Nhận xét: Ta khơng cơ lập được

và

từ đẳng thức

vì vế trái của nó khơng có thừa số chung. Do đó ta tìm
cách giải theo hướng thứ hai:

Ta có

(*), ta thấy vế

trái của (*) có dạng

.
Lời giải

Ta có

Mà

nên

. Do đó

Vậy

.

2.5.3 Xác định hàm số

bằng cách tạo ra hàm số dưới dấu tích phân có

dạng bình phương của tổng (hoặc hiệu) sao cho tích phân đó có kết quả bằng
0 (gọi tắt là tạo bình phương cho hàm dưới dấu tích phân)
16

download by :

Phương pháp giải: Đối với các bài toán này ta thường gặp ba dạng sau:
Dạng 1: Cho

,

Tính

(với

cho trước).

.

Với dạng này ta có thể xác định hàm số

bằng cách tạo bình phương cho

hàm dưới dấu tích phân dạng

(với

) theo các bước

như sau:
Bước 1: Tính

Bước 3: Tìm số thực

sao cho

Từ đó suy ra

.

Dạng 2: Cho

,

(với

cho trước) .Tính

.
Với dạng này ta có thể xác định hàm số
dưới dấu tích phân dạng

bằng cách tạo bình phương cho hàm
(với

) theo các bước như

sau:

17

download by :

Bước 1: Biến đổi

làm xuất hiện

bằng cách

dùng phương pháp từng phần: đặt

Bước 2: Tính

Bước 3: Tìm số thực

sao cho

Từ đó suy ra

.

Dạng 3: Cho ba tích phân

thức cho trước) ,
chứa

,

(với

và u cầu tính tích phân từ

đến

là biểu

của hàm số có

.

Với dạng này ta có thể xác định hàm số

bằng cách tạo bình phương cho

hàm dưới dấu tích phân dạng

). Ta tìm hai số thực
ra

(với

,

sao cho

. Từ đó suy
.

Ví dụ 1: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn

và thỏa

18

download by :


mãn

. Biết

và

. Tính

Nhận xét: Đây là bài tốn dạng 1. Bài tốn cho

nên để tính

ta tìm hàm số

.

và

bằng cách tạo bình

phương cho hàm dưới dấu tích phân dạng

.
Lời giải

Ta có

.

Do đó

hay

Vậy

.

. Suy ra

.

.

19

download by :


Ví dụ 2: ( Đề minh họa của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2018) Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

thỏa mãn

. Tính tích phân

và

.

Nhận xét: Đây là bài toán dạng 2 nên ta giải theo các bước đã nêu trên.
Lời giải
- Đặt

,

.

Ta có

.

Ta có

.

- Ta tìm hằng số

sao cho

.Thay

vào (1) ta có

20

download by :


.
Mà

nên

. Do đó

Vậy

.

.

Ví dụ 3: Cho hàm số

Biết

liên tục trên đoạn

và

thỏa mãn

.

. Tính tích phân

.

Nhận xét: Đây là bài tốn dạng 3: đề bài cho ba tích phân

và

nên ta tìm hàm số

,

bằng cách tạo bình phương

cho hàm số dưới dấu tích phân dạng

.

21

download by :


Để có

thì
.

Từ đó ta có lời giải:
Lời giải
Ta có

.
Vậy

.

2.6 Dùng kỹ thuật chọn hàm
Phương pháp giải: Ta chọn một hàm
bài toán theo hướng sau: Đề cho

thỏa mãn từng đẳng thức dữ kiện của

đẳng thức dữ kiện thì chọn hàm số có

tham

số tương ứng. Chẳng hạn:
Đề cho một đẳng thức thì ta chọn

,

Đề cho hai đẳng thức thì ta chọn

.
,

.

Đề cho một đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn

,

.

Đề cho hai đẳng thức và hàm chẵn thì ta chọn
Đề cho một đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn

,
,

.
.

Đề cho hai đẳng thức và hàm lẻ thì ta chọn

,

.

Ví dụ 1:(THPT Tứ Kỳ - Hải Dương năm học 2017-2018) Cho hàm số

trên

và

. Tính

liên tục

.

22

download by :


Nhận xét: Đề cho một đẳng thức

. Sau đó ta tìm

nên ta chọn

thỏa mãn

,

.
Lời giải

Chọn

,

Suy ra

.

. Vậy

.

Ví dụ 2: (THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa năm 2017-2018)Cho hàm số

có đạo hàm

liên tục trên

và

,

. Tính

.

Nhận xét: Đề cho hai đẳng thức :

,

và

. Sau đó ta tìm

nên ta chọn

thỏa mãn

,

.

Lời giải
Chọn

.

Ta có

(1)

23

download by :


(2)

Từ (1) và (2) ta có
Do đó

.
.

Vậy

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với nội dung và ý tưởng của đề tài này tôi hy vọng SKKN này được phổ biến
rộng rãi đến đồng nghiệp, học sinh và các bạn đọc khác, góp phần truyền đạt cho

học sinh cách tiếp cận những kiến thức mới của môn Toán dựa trên nền tảng kiến
thức cơ bản đã biết.
Kết quả đạt được :
Sau khi đưa vào áp dụng và giảng dạy cho học sinh trong mùa thi THPT Quốc Gia
năm 2018 đã có nhiều em giải được câu tích phân hàm ẩn .
Và trong mùa thi sắp tới (năm 2019) các em đã làm được nhiều bài như vậy từ các
để thi thử của các trường THPT, các trường chuyên và các Sở GD & ĐT, các em
cũng đã sẵn sàng cho kì thi cuối cùng này của các em.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
Trên đây là những kinh nghiệm thực tiễn trong q trình giảng dạy, tìm tịi và đúc
rút kinh nghiệm của bản thân, với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp các em học sinh tự
tin hơn trong việc giải một bài tốn tích phân hàm ẩn .
3.2 Kiến nghị
Với nội dung có hạn của đề tài tôi đã nghiên cứu, tôi xin được kiến nghị đến
Sở GD & ĐT, nhà trường và đồng nghiệp đưa vào ứng dụng và tiếp tục cùng tôi
mở rộng thêm nội dung đề tài này cho rất rất nhiều các nội dung khác của mơn
Tốn như: Hàm số, Số phức, hình học tổng hợp, hình học tọa độ….Từ đó tạo được
niền đam mê học Toán cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
24

download by :


ĐƠN VỊ

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Tuấn Ngọc

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương,
Nguyễn Tiến Tài, Cấn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục, 2008;

2)

Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh, Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán
12, NXB Đại học quốc gia Hà Nội;

3)

Các đề minh họa và đề thi THPT quốc gia năm 2017, 2018 của Bộ giáo dục
và đào tạo;

4)Các đề thi thử THPT quốc gia của các trường, các Sở giáo dục và đào tạo trên
toàn quốc.
25

download by :