Tài liệu Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II docx

Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II
Pierre Cartier Bernard Julia
Pierre Moussa Pierre Vanhove (Eds.)
Frontiers in Number Theory,
Physics, and Geometry II
On Conformal Field Theories, Discrete Groups
and Renormalization
ABC
Pierre Cartier
I.H.E.S.
35 route de Chartres
F-91440 Bures-sur-Yvette
France
e-mail:
Bernard Julia
LPTENS
24 rue Lhomond
F-75005 Paris
France
e-mail:
Pierre Moussa
Service de Physique Théorique
CEA/Saclay
F-91191 Gif-sur-Yvette
France
e-mail:
Pierre Vanhove
Service de Physique Théorique
CEA/Saclay
F-91191 Gif-sur-Yvette

France
e-mail:
Cover photos:
Richard Feynman (courtesy of AIP Emilio Segre Visual Archives, Weber Collection);
John von Neumann
Library of Congress Control Number: 2005936349
Mathematics Subject Classification (2000): 11F03, 11F06, 11G55, 11M06, 15A90,
16W30, 57T05, 58B34, 81R60, 81T16, 81T17, 81T30, 81T40, 81T75, 81R05
ISBN-10 3-540-30307-3 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-30307-7 Springer Berlin Heidelberg New York
This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is
concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting,
reproduction on microfilm or in any other way, and storage in data banks. Duplication of this publication
or parts thereof is permitted only under the provisions of the German Copyright Law of September 9,
1965, in its current version, and permission for use must always be obtained from Springer. Violations are
liable for prosecution under the German Copyright Law.
Springer is a part of Springer Science+Business Media
springer.com
c

Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007
The use of general descriptive names, registered names, trademarks, etc. in this publication does not imply,
even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws
and regulations and therefore free for general use.
Typesetting: by the authors and techbooks using a Springer L
A
T
E
X macro package
Cover design: Erich Kirchner, Heidelberg

Printed on acid-free paper SPIN: 11320760 41/techbooks 543210
Preface
The present book collects most of the courses and seminars delivered at the
meeting entitled “ Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry”, which
took place at the Centre de Physique des Houches in the French Alps, March 9-
21, 2003. It is divided into two volumes. Volume I contains the contributions on
three broad topics: Random matrices, Zeta functions and Dynamical systems.
The present volume contains sixteen contributions on three themes: Conformal
field theories for strings and branes, Discrete groups and automorphic forms
and finally, Hopf algebras and renormalization.
The relation between Mathematics and Physics has a long history. Let us
mention only ordinary differential equations and mechanics, partial differential
equations in solid and fluid mechanics or electrodynamics, group theory is
essential in crystallography, elasticity or quantum mechanics
The role of number theory and of more abstract parts of mathematics
such as topological, differential and algebraic geometry in physics has become
prominent more recently. Diverse instances of this trend appear in the works
of such scientists as V. Arnold, M. Atiyah, M. Berry, F. Dyson, L. Faddeev,
D. Hejhal, C. Itzykson, V. Kac, Y. Manin, J. Moser, W. Nahm, A. Polyakov,
D. Ruelle, A. Selberg, C. Siegel, S. Smale, E. Witten and many others.
In 1989 a first meeting took place at the Centre de Physique des Houches.
The triggering idea was due at that time to the late Claude Itzykson (1938-
1995). The meeting gathered physicists and mathematicians, and was the
occasion of long and passionate discussions.
The seminars were published in a book entitled “Number Theory and
Physics”, J M. Luck, P. Moussa, and M. Waldschmidt editors, Springer Pro-
ceedings in Physics, Vol. 47, 1990. The lectures were published as a second
VI Preface
book entitled “From Number Theory to Physics”, with C. Itzykson joining
the editorial team (Springer, 2nd edition 1995).

Ten years later the evolution of the interface between theoretical physics
and mathematics prompted M. Waldschmidt, P. Cartier and B. Julia to re-
new the experience. However the emphasis was somewhat shifted to include in
particular selected chapters at the interface of physics and geometry, random
matrices or various zeta- and L- functions. Once the project of the new meet-
ing entitled “Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry” received
support from the European Union this “High Level Scientific Conference” was
organized in Les Houches.
The Scientific Committee for the meeting “Frontiers in Number The-
ory, Physics and Geometry”, was composed of the following scientists: Frits
Beukers, Jean-Benoˆıt Bost, Pierre Cartier, Predrag Cvitanovic, Michel Duflo,
Giovanni Gallavotti, Patricio Leboeuf, Werner Nahm, Ivan Todorov, Claire
Voisin, Michel Waldschmidt, Jean-Christophe Yoccoz, and Jean-Bernard Zu-
ber.
The Organizing Committee included:
Bernard Julia (LPTENS, Paris scientific coordinator),
Pierre Moussa (SPhT CEA-Saclay), and
Pierre Vanhove (CERN and SPhT CEA-Saclay).
During two weeks, five lectures or seminars were given every day to about
seventy-five participants. The topics belonged to three main domains:
1. Dynamical Systems, Number theory, and Random matrices,
with lectures by E. Bogomolny on Quantum and arithmetical chaos, J. Conrey
on L-functions and random matrix theory, J C. Yoccoz on Interval exchange
maps, and A. Zorich on Flat surfaces;
2. Polylogarithms and Perturbative Physics,
with lectures by P. Cartier on Polylogarithms and motivic aspects, W. Nahm
on Physics and dilogarithms, and D. Zagier on Polylogarithms;
3. Symmetries and Non-perturbative Physics,
with lectures by A. Connes on Galoisian symmetries, zeta function and renor-
malization, R. Dijkgraaf on String duality and automorphic forms, P. Di Vec-

chia on Gauge theory and D-branes, E. Frenkel on Vertex algebras, algebraic
curves and Langlands program, G. Moore on String theory and number theory,
C. Soul´e on Arithmetic groups.
In addition seminars were given by participants many of whom could have
given full sets of lectures had time been available. They were: Z. Bern, A.
Bondal, P. Candelas, J. Conway, P. Cvitanovic, H. Gangl, G. Gentile, D.
Kreimer, J. Lagarias, M. Marcolli, J. Marklof, S. Marmi, J. McKay, B. Pioline,
M. Pollicott, H. Then, E. Vasserot, A. Vershik, D. Voiculescu, A. Voros, S.
Weinzierl, K. Wendland and A. Zabrodin.
Preface VII
We have chosen to reorganize the written contributions in two halves ac-
cording to their subject. This naturally led to two different volumes. The
present one is the second volume, let us now briefly describe its contents.
This volume is itself composed of three parts including each lectures and
seminars covering one theme. In the first part, we present the contributions on
the theme “Conformal Field Theories (CFT’s) for Strings and Branes”. They
begin with two intertwined sets of lectures by Don Zagier and by Werner Nahm
who have had a long personal interaction at the modular border between
Mathematics and Physics.
The presentation by Don Zagier starts with a review of the properties of
Euler’s dilogarithm and of its associated real Bloch-Wigner function. These
functions have generalizations to polylogarithms and to some real functions
defined by Ramakrishnan respectively. Their importance in Hyperbolic 3-
geometry, in Algebraic K
2m−1
-theory (Bloch group) and their relation to val-
ues of Dedekind zeta functions (see volume I) at argument m are explained. On
the other hand the modular group appears to be mysteriously related to the
Bloch-Wigner function and its first Ramakrishnan generalization. The second
chapter of these lectures introduces yet more variants, in particular the Rogers

dilogarithm and the enhanced dilogarithm which appear in W. Nahm’s lec-
tures, the quantum dilogarithm as well as the multiple (poly)logarithms which
depend on more than one argument. Their properties are reviewed, in par-
ticular functional equations, relations with modular forms (see also the next
contribution), special values and again (higher) K-theory.
In his lectures on “CFT’s and torsion elements of the Bloch group” Werner
Nahm expresses the conformal dimensions of operators in the (discrete) series
of rational two dimensional (2d) Conformal Field Theories as the imaginary
part of the Rogers dilogarithm of torsion elements from algebraic K-theory
of the complex number field. The lectures begin with a general introduc-
tion to conformally invariant quantum field theories or more precisely with a
physicist’s conceptual presentation of Vertex operator algebras. The ”ratio-
nal” theories form a rare subset in the moduli space of CFT’s but one may
consider perturbations thereof within the set of totally integrable quantum
field theories. The following step is to present a bird’s eye view of totally in-
tegrable two dimensional quantum field theories and to relate in simple cases
the scattering matrix to Cartan matrices of finite dimensional Lie algebras, in
particular integrality of the coefficients follows from Bose statistics and posi-
tivity from the assumed convergence of partition functions, there are natural
extensions to arbitrary statistics.
Then Nahm conjectures and illustrates on many examples that the “mod-
ular” invariance of the chiral characters of a rational CFT admitting a totally
integrable perturbation implies that all solutions to the integrability condi-
tions (Bethe equations) define pure torsion elements in the (extended) Bloch
group of the complex field. The perturbations that can be analyzed are de-
fined by pairs of Cartan matrices of A D E or T type. In fact Nahm gives
the general solution of the torsion equation for deformations of (A
m
,A
n

)type
VIII Preface
with arbitrary ranks. These conjectures were analyzed mathematically at the
end of Zagier’s lectures.
After this background comes the seminar by Predrag Cvitanovic on in-
variant theory and a magic triangle of Lie groups he discovered in his studies
of perturbative quantum gauge theories. This structure has been discussed
since by Deligne, Landsberg and Manivel It is different from and does
not seem related to similar magic triangles of dualities that contain also the
magic square of Tits and Freudenthal in specific real forms and which appear
in supergravity and superstring models.
The third series of lectures: “Gauge theories from D-branes”, were de-
livered by Paolo Di Vecchia and written up with Antonella Liccardo. They
provide an introduction to string models and the associated D(irichlet)-branes
on which open strings may end and they explain the emergence of Yang-Mills
gauge theories on these extended objects. They bridge the gap between 2d
CFT’s and physical models in higher dimensions. Perturbative string theories
are particular conformal field theories on the string worldsheet. Most nonper-
turbative effects in string theory necessitate the inclusion of extended objects
of arbitrary spatial dimension p: the p-branes and in particular the Dirichlet
D
p
branes. Branes allow the computation of the entropy of black holes and
permit new dualities between gauge and gravitational theories. For instance
the celebrated AdS/CFT duality relates a closed string theory on the product
manifold S
5
× AdS
5
to an open string theory ending on a D

3
brane. These
lectures start from the worldsheet description of perturbative superstring the-
ory with its BRST invariant (string creation) vertex operators and proceed to
describe the “boundary state formalism” that describes the coupling of closed
strings to D branes. Then the authors use the latter to compute the interac-
tion between two D-branes, they discuss so-called BPS configurations whose
interactions vanish and relate the low energy effective Born-Infeld interactions
of massless strings to their couplings to D branes.
One seminar by Katrin Wendland concludes this part: “Superconformal
field theories associated to very attractive quartics”. The terminology “at-
tractive” was introduced by Greg Moore (see his lectures below) for those
Calabi-Yau two-folds whose Picard group is of maximal rank, very attractive
is a further restriction on the transcendental lattice. This is a review on the
geometrical realization of orbifold models on quartic surfaces and provides
some motivation for reading the following chapters.
In the second part: “Discrete groups and automorphic forms”, the theme is
arithmetic groups and some of their applications. Christophe Soul´e ’s lectures
“Introduction to arithmetic groups” set the stage in a more general context
than was considered in the lectures by E. Bogomolny in volume I of this
book. They begin with the classical reduction theory of linear groups of ma-
trices with integral coefficients and the normal parameterization of quadratic
forms. Then follows the general (and intrinsic) theory of algebraic Lie groups
over the rationals and of their arithmetic subgroups; the finite covolume prop-
erty in the semi-simple case at real points is derived, it may be familiar in the
Preface IX
physics of chaos. The second chapter deals with presentations and finite or
torsion free and finite index subgroups. The third chapter deals with rigidity:
the congruence subgroup property in rank higher than one, Kazhdan’s prop-
erty T about invariant vectors and results of Margulis in particular the proof

of the Selberg conjecture that arithmeticity follows from finite covolume for
most simple non-compact Lie groups. Automorphic forms are complex val-
ued functions defined over symmetric domains and invariant under arithmetic
groups, they arise abundantly in string theory.
Boris Pioline expanded his seminar with Andrew Waldron to give a physi-
cists’ introduction to “Automorphic forms and Theta series”. It starts with the
group theoretical and adelic expression of non holomorphic Eisenstein series
like E
3/2
which has been extensively studied by M.B. Green and his collabo-
rators and also theta series. From there one studies examples of applications
of the orbit method and of parabolic induction. Among recent applications
and beyond the discrete U-duality groups already considered in the previous
lectures they discuss the minimal representation of SO(4,4) which arises also
in string theory, the E
6
exceptional theta series expected to control the su-
permembrane interactions after compactification from 11 to 8 dimensions on
a torus, new symmetries of chaotic cosmology and last but not least work in
progress on the description of black hole degeneracies and entropy computa-
tions. M-theory is the name of the unifying, hypothetical and polymorphic
theory that admits limits either in a flat classical background 11-dimensional
spacetime with membranes as fundamental excitations, in 10 dimensions with
strings and branes as building blocks etc
Gregory Moore wrote up two of his seminars on “Strings and arithmetic”
(the third one on the topological aspects of the M-theory 3-form still leads
to active research and new developments). The first topics he covers is the
Black hole’s Farey tail, namely an illustration of the AdS
3
×S

3
×K3 duality
with a two dimensional CFT on the boundary of three dimensional anti-de-
Sitter space. One can compute the elliptic genus of that CFT as a Poincar´e
series that is interpretable on the AdS (i.e. gravity or string) side as a sum
of particle states and black hole contributions. This can serve as a concrete
introduction to many important ideas on Jacobi modular forms, Rademacher
expansion and quantum corrections to the entropy of black holes.
The second chapter of Moore’s lectures deals with the so called attractor
mechanism of supergravity. After compactification on a Calabi-Yau 3-fold X
one knows that its complex structure moduli flow to a fixed point if one ap-
proaches the horizon of a black hole solution. This attractor depends on the
charges of the black hole which reach there a particular Hodge decomposition.
In the special case of X = K3 × T
2
one obtains the notion of attractive K3
already mentioned. The main point here is that the attractors turn out to
be arithmetic varieties defined over number fields, their periods are in fact
valued in quadratic imaginary fields. Finally two more instances of the impor-
tance of attractive varieties are presented. Firstly the 12 dimensional so-called
“F-theory” compactified on a K3 surface is argued to be dual (equivalent) to
XPreface
heterotic string theory compactified modulo a two-dimensional CFT also down
to 8 dimensions. It is striking that this CFT is rational if and only the K3
surface is attractive. Secondly string theory compactification with fluxes turns
out to be related to attractive Calabi-Yau 4-folds.
The next contribution is a seminar talk by Matilde Marcolli on chaotic
(mixmaster model) cosmology in which she relates a geodesics on the mod-
ular curve for the congruence subgroup Γ
0

(2) to a succession of Kasner four
dimensional spacetimes. The moduli space of such universes is highly singular
and amenable to description by noncommutative geometry and C
∗
algebras.
John McKay and Abdellah Sebbar introduce the concept and six possible
applications of “Replicable functions”. These are generalizations of the elliptic
modular j function that transform under their Faber polynomials as general-
ized Hecke sums involving their “replicas”. In any case they encompass also
the monstrous moonshine functions and are deeply related to the Schwarzian
derivative which appears in the central generator of the Virasoro algebra.
Finally part II ends with the lectures by Edward Frenkel “On the Lang-
lands program and Conformal field theory”. As summarized by the author
himself they have two purposes, first of all they should present primarily to
physicists the Langlands program and especially its “geometric” part but on
the other hand they should show how two-dimensional Conformal Field Theo-
ries are relevant to the Langlands program. This is becoming an important ac-
tivity in Physics with the recognition that mathematical (Langlands-)duality
is deeply related to physical string theoretic S-duality in the recent works of
A. Kapustin and E. Witten, following results on magnetic monopoles from
the middle seventies and the powerful tool of topological twists of supersym-
metric theories which help to connect N = 4 super Yang-Mills theory in 4
dimensions to virtually everything else. The present work is actually about
mirror symmetry (T-duality) of related 2d supersigma models.
Specifically the lectures begin with the original Langlands program and
correspondences in the cases of number fields and of function fields. The
Taniyama-Shimura-Weil (modular) conjecture (actually a theorem now) is
discussed there. The geometric Langlands program is presented next in the
abelian case first and then for an arbitrary reductive group G. The goal is
to generalize T duality or Fourier-Mukai duality to the non abelian situation.

Finally the conformal blocks are introduced for CFT’s, some theories of affine
Kac-Moody modules are introduced; at the negative critical level of the Kac-
Moody central charge the induced conformal symmetry degenerates and these
models lead to the Hecke eigensheaves expected from the geometric Langlands
correspondence.
The third and last theme of this volume is “Hopf algebras and renormal-
ization”. It leads to promising results on renormalization of Quantum Field
Theories that can be illustrated by concrete perturbative diagrammatic com-
putations but it also leads to the much more abstract and conceptual idea
of motives like a wonderful rainbow between the ground and the sky. In the
first set of lectures Pierre Cartier reviews the historical emergence of Hopf
Preface XI
algebras from topology and their structure theorems. He then proceeds to
Hopf algebras defined from Lie groups or Lie algebras and the inverse struc-
ture theorems. He finally turns to combinatorics instances of Hopf algebras
and some applications, (quasi)-symmetric functions, multiple zeta values and
finally multiple polylogarithms. This long and pedagogical introduction could
have continued into motives so we may be heading towards a third les Houches
school in this series.
Then comes the series of lectures by Alain Connes; they were written up in
collaboration with Matilde Marcolli. The lectures contain the most up-to date
research work by the authors, including a lot of original material as well as the
basic material in this exciting subject. They have been divided into two parts.
Chapter one appeared in the first volume and covered: “Quantum statistical
mechanics of Q-lattices” in dimensions 1 and 2. The important dilation opera-
tor (scaling operator) that determined the dynamics there reappears naturally
as the renormalization group flow in their second chapter contained in this
volume with the title: “Renormalization, the Riemann-Hilbert correspondence
and motivic Galois theory”. It starts with a detailed review of the results of
Connes and Kreimer on perturbative renormalization in quantum field theory

viewed as a Riemann-Hilbert problem and presents the Hopf algebra of Feyn-
man graphs which corresponds by the Milnor-Moore theorem to a graded Lie
algebra spanned by 1PI graphs. Singular cases lead to formal series and the
convergence aspects are briefly discussed towards the end.
The whole program is reformulated using the language of categories, al-
gebraic groups and differential Galois theory. Possible connections to mixed
Tate motives are discussed. The equivariance under the renormalization group
is reformulated in this language. Finally various tantalizing developments are
proposed.
Dirk Kreimer discusses then the problem of “Factorization in quantum
field theory: an exercise in Hopf algebras and local singularities”. He actually
treats a toy model of decorated rooted trees which captures the essence of
the resolution of overlapping divergences. One learns first how the Hochschild
cohomology of the Hopf algebra permits the renormalization program with
“locality”. Dyson-Schwinger equations are then defined irrespective of any
action and should lead to a combinatorial factorization into primitives of the
corresponding Hopf algebra.
Stefan Weinzierl in his seminar notes explains some properties of multiple
polylogarithms and of their finite truncations (nested sums called Z-sums)
that occur in Feynman loop integrals: “Algebraic algorithms in perturbative
calculations” and their impact on searches for new physics. Emphasis is on
analytical computability of some Feynman diagrams and on algebraic struc-
tures on Z-sums. They have a Hopf algebra structure as well as a conjugation
and a convolution product, furthermore the multiple polylogarithms do have
a second Hopf algebra structure of their own with a shuffle product.
Finally this collection ends with a pedagogical exposition by Herbert
Gangl, Alexander B. Goncharov and Andrey Levin on “Multiple logarithms,
XII Preface
algebraic cycles and trees”. This work has been extended to multiple polylog-
arithms and to the world of motives by the same authors. Here they relate

the three topics of their title among themselves, the last two are associated to
differential graded algebras of algebraic cycles and of decorated rooted trees
whereas the first one arises as an integral on hybrid cycles as a generalization
of the mixed Tate motives of Bloch and Kriz in the case of the (one-variable)
(poly-)logarithms.
We acknowledge most gratefully for their generous financial support to the
meeting the following institutions:
D´epartement Sciences Physiques et Math´ematiques and the Service de
Formation permanente of the Centre National de la Recherche Scientifique;
´
Ecole Normale Sup´erieure de Paris; D´epartement des Sciences de la mati`ere du
Commissariat `al’
´
Energie Atomique; Institut des Hautes Etudes Scientifiques;
National Science Foundation; Minist`ere de la Recherche et de la Technolo-
gie and Minist`ere des Affaires
´
Etrang`eres; The International Association of
Mathematics and Physics and most especially the Commission of the Euro-
pean Communities.
Three European excellence networks helped also in various ways. Let
us start with the most closely involved “Mathematical aspects of Quantum
chaos”, but the other two were “Superstrings” and “Quantum structure of
spacetime and the geometric nature of fundamental interactions”.
On the practical side we thank CERN Theory division for allowing us
to use their computers for the webpage and registration process. We are also
grateful to Marcelle Martin, Thierry Paul and the staff of les Houches for their
patient help. We had the privilege to have two distinguished participants:
C´ecile de Witt-Morette (founder of the Les Houches School) and the late
Bryce de Witt whose communicative and critical enthusiasm were greatly

appreciated.
Paris B. Julia
July 2006 P. Cartier
P. Moussa
P. Vanhove
Pr´eface aux deux volumes du livre
“Fronti`eres entre Th´eorie des Nombres,
Physique et G´eom´etrie”
Ce livre rassemble la plupart des cours et s´eminaires pr´esent´es pendant un In-
stitut de printemps sur les: “Fronti`eres entre Th´eorie des Nombres, Physique
et G´eom´etrie” qui s’est tenu au Centre de Physique des Houches dans les
Alpes fran¸caises du 9 au 31 Mars 2003. Il comprend deux volumes. Le pre-
mier volume contient quinze contributions dans trois grands domaines: Ma-
trices al´eatoires, Fonctions zˆeta puis Syst`emes dynamiques. Ce second volume
contient, quant `a lui, seize contributions r´eparties ´egalement en trois th`emes:
Th´eories conformes pour les Cordes et les Branes, Groupes discrets et Formes
automorphes et enfin Alg`ebres de Hopf et Renormalisation.
Les relations entre Math´ematiques et Physique ont une longue histoire. Il
suffit de rappeler la m´ecanique et les ´equations diff´erentielles ordinaires, les
´equations aux d´eriv´ees partielles en m´ecanique des solides et des fluides ou en
´electromagn´etisme, la th´eorie des groupes qui est essentielle en cristallogra-
phie, en ´elasticit´eouenm´ecanique quantique
La pr´e´eminence de la th´eorie des nombres et de parties plus abstraites des
math´ematiques comme les g´eom´etries topologique, diff´erentielle et alg´ebrique
s’est impos´ee plus r´ecemment. On en trouve des exemples divers dans les
travaux de scientifiques tels que: V. Arnold, M. Atiyah, M. Berry, F. Dyson,
L. Faddeev, D. Hejhal, C. Itzykson, V. Kac, Y. Manin, J. Moser, W. Nahm, A.
Polyakov, D. Ruelle, A. Selberg, C. Siegel, S. Smale, E. Witten et beaucoup
d’autres.
Une premi`ere conf´erence de ce type se tint en 1989 au Centre de Physique

des Houches. L’id´ee en ´etait venue alors `a Claude Itzykson (1938-1995). Cette
rencontre qui rassembla math´ematiciens et physiciens th´eoriciens donna lieu
`a des discussions longues et passionn´ees.
Les s´eminaires parurent dans un volume intitul´e “Th´eorie des nombres
et Physique” ´edit´e par J M. Luck, P. Moussa et M. Waldschmidt, Springer
Proceedings in Physics, Vol. 47, 1990. Quant aux cours, ils furent publi´es dans
un volume s´epar´e intitul´e, lui, “De la Th´eorie des nombres `alaPhysique”C.
Itzykson ayant alors rejoint l’´equipe ´editoriale, Springer (2`eme ´edition 1995).
XIV Pr´eface
Dix ans apr`es, l’´evolution de l’interface entre physique th´eorique et math´e-
matiques poussa M. Waldschmidt, P. Cartier et B. Julia `a renouveler l’exp´erience.
Le choix des sujets changea donc quelque peu pour inclure cette fois-ci des
liens de la physique avec la g´eom´etrie, la th´eorie des matrices al´eatoires ou
des fonctions L et zˆeta vari´ees.
Une fois acquis le soutien de la Communaut´e europ´eenne l’organisation de
cette “High Level Scientific Conference” aux Houches fut lanc´ee.
Le Comit´e Scientifique de la conf´erence “Fronti`eres entre Th´eorie des Nom-
bres, Physique et G´eom´etrie” ´etait compos´e des scientifiques suivants: Frits
Beukers, Jean-Benoˆıt Bost, Pierre Cartier, Predrag Cvitanovic, Michel Duflo,
Giovanni Gallavotti, Patricio Leboeuf, Werner Nahm, Ivan Todorov, Claire
Voisin, Michel Waldschmidt, Jean-Christophe Yoccoz, et Jean-Bernard Zu-
ber.
Le Comit´e d’Organisation comprenait:
Bernard Julia (LPTENS, Paris - coordinateur scientifique),
Pierre Moussa (SPhT CEA-Saclay), et
Pierre Vanhove (CERN et SPhT CEA-Saclay).
Pendant deux semaines, cinq cours ou s´eminaires furent pr´esent´es chaque
jour `a environ soixante-quinze participants. Les sujets avaient ´et´e initialement
ordonn´es en trois groupes successifs avec comme pr´eoccupation essentielle de
coupler autant que faire se pouvait les cours de math´ematiques et ceux de

physique:
1. Syst`emes Dynamiques, Th´eorie des Nombres et Matrices al´eatoires,
avec des cours de E. Bogomolny sur le Chaos quantique arithm´etique, de
B. Conrey sur les fonctions L et la Th´eorie des matrices al´eatoires, de J
C. Yoccoz sur les Echanges d’intervalles et de A. Zorich sur les Surfaces plates;
2. Polylogarithmes et Physique perturbative,
avec des cours de P. Cartier sur les Polylogarithmes et leurs aspects mo-
tiviques, de W. Nahm sur la Physique et les Dilogarithmes, et de D. Zagier
sur les Polylogarithmes;
3. Sym´etries et Physique non-perturbative,
avec des cours de A. Connes sur les Sym´etries Galoisiennes, Fonction zˆeta et
Renormalisation, R. Dijkgraaf, Dualit´eenth´eorie des cordes et Formes auto-
morphes, P. Di Vecchia, Th´eories de jauge et D-branes, E. Frenkel, Alg`ebres de
vertex, Courbes alg´ebriques et Programme de Langlands, G. Moore, Th´eorie
des cordes et Th´eorie des nombres, C. Soul´e, Groupes arithm´etiques.
Nombreux sont les participants qui ont donn´e des s´eminaires et qui au-
raient pu donner des cours si le temps n’avait manqu´e. Ont donc parl´e: Z. Bern,
A. Bondal, P. Candelas, J. Conway, P. Cvitanovic, H. Gangl, G. Gentile, D.
Kreimer, J. Lagarias, M. Marcolli, J. Marklof, S. Marmi, J. McKay, B. Pio-
line, M. Pollicott, H. Then, E. Vasserot, A. Vershik, D. Voiculescu, A. Voros,
S. Weinzierl, K. Wendland et A. Zabrodin.
Pr´eface XV
Nous avons d´ecid´eder´earranger les contributions ´ecrites `a ces Actes en
deux volumes dont voici le contenu.
Le premier volume rassemble quinze contributions et se compose de trois
parties regroupant chacune les cours et les s´eminaires relatifs `aunth`eme.
Dans la premi`ere partie nous pr´esentons les contributions sur les: “Matri-
ces al´eatoires: de la Physique `alaTh´eorie des nombres”. Elle commence
par le cours d’Eug`ene Bogomolny qui passe en revue trois aspects du chaos
quantique, `a savoir les formules de trace avec ou sans chaos, la fonction de

corr´elation spectrale `a deux points des z´eros de la fonction zˆeta de Riemann et
enfin les fonctions de corr´elation spectrales de l’op´erateur de Laplace-Beltrami
pour des domaines modulaires sujets au chaos arithm´etique. Ces expos´es
forment une introduction informelle aux m´ethodes math´ematiques du chaos
quantique. Une introduction plus g´en´erale aux groupes arithm´etiques est pro-
pos´ee par Christophe Soul´e dans le deuxi`eme volume. Suivent les le¸cons de
Brian Conrey qui analyse les relations entre la th´eorie des matrices al´eatoires
et les familles de fonctions L (essentiellement en caract´eristique z´ero), donc
des s´eries de Dirichlet qui ob´eissent `a une ´equation fonctionnelle similaire `a
celle que satisfait la fonction zˆeta de Riemann. Les fonctions L consid´er´ees
sont celles qui sont associ´ees `a des formes paraboliques. Les moments des
fonctions L sont reli´es aux fonctions de corr´elation des valeurs propres de
matrices al´eatoires.
Nous avons rassembl´e ensuite les textes de plusieurs s´eminaires: celui de
Jens Marklof reliant la statistique de certains niveaux d’´energie `a des fonc-
tions “presque modulaires”; celui de Holger Then sur le chaos quantique
arithm´etique dans un certain domaine hyperbolique `a trois dimensions et
son lien avec des formes de Maass; puis Paul Wiegmann et Anton Zabrodin
´etudient le d´eveloppement pour N grand d’ensembles de matrices complexes
normales; Dan Voiculescu passe en revue les sym´etries des mod`eles de Proba-
bilit´es libres; finalement Anatoly Vershik pr´esente des graphes et des espaces
m´etriques al´eatoires (universels).
Le th`eme de la deuxi`eme partie est: “‘Fonctions Zˆeta et applications”. Les
expos´es d’Alain Connes ont ´et´e distribu´es en deux chapitres, un par volume.
Ils ont ´et´er´edig´es avec Matilde Marcolli. Ils contiennent les derniers r´esultats
de recherche des deux auteurs, de nombreux r´esultats originaux mais aussi les
bases de ce sujet excitant. On trouve dans le volume II leur deuxi`eme chapitre
sur la Renormalisation des th´eories quantiques des champs. Dans le premier
chapitre A. Connes et M. Marcolli introduisent l’espace non commutatif des
classes de commensurabilit´e des Q-r´eseaux et les propri´et´es arithm´etiques des

´etats KMS dans le syst`eme de M´ecanique statistique quantique correspondant.
Pour les r´eseaux de dimension un cela conduit `a une r´ealisation spectrale des
z´eros de fonctions zˆeta. Dans le cas de dimension deux on peut d´ecrire les mul-
tiples transitions de phase et la brisure spontan´ee de la sym´etrie arithm´etique.
Atemp´erature nulle le syst`eme tombe sur une vari´et´e classique (i.e. commuta-
tive) de Shimura qui param´etrise ses ´etats d’´equilibre. L’espace non commu-
tatif a une structure arithm´etique qui provient d’une sous-alg`ebre rationnelle
XVI Pr´eface
´etroitement reli´ee `a l’alg`ebre modulaire de Hecke; `atemp´erature non nulle on
exprime l’action du groupe de sym´etrie en utilisant le formalisme des secteurs
de supers´election et le syst`eme devient non commutatif. Le groupe agit sur
les valeurs des ´etats fondamentaux aux ´el´ements rationnels par le groupe de
Galois du corps modulaire.
On trouvera dans cette partie le s´eminaire d’Andr´e Voros sur des fonctions
zˆeta construites `a l’aide des z´eros de la fonction zˆeta de Riemann, celui de
Jeffrey Lagarias sur les espaces de Hilbert de fonctions enti`eres attach´es aux
fonctions L de Dirichlet. Cette partie s’ach`eve avec l’expos´e de Mark Pollicott
sur les fonctions zˆeta dynamiques et les orbites ferm´ees des flots g´eod´esiques
et hyperboliques.
La troisi`eme partie s’intitule “Syst`emes dynamiques: Echanges d’intervalles,
Surfaces plates et Petits diviseurs”. Les le¸cons d”Anton Zorich donnent une
introduction d´etaill´ee `alag´eom´etrie des surfaces plates, celle-ci permet de
d´ecrire les flots sur les surfaces de Riemann compactes de genre quelconque
sans demander de connaissances pr´ealables. Le cours de Jean-Christophe Yoc-
coz analyse les applications ´echangeant des intervalles, par exemple, les appli-
cations de premier retour de ces flots. Les propri´et´es d’ergodicit´e des flots et
des applications sont reli´ees. Ceci conduit `a´etendre au cas de genre quelconque
les flots irrationnels du tore bidimensionnel. Il faut commencer par g´en´eraliser
dans cette situation un algorithme comme celui des fractions continues pour
esp´erer ´etendre au genre quelconque les techniques de petits diviseurs.

Enfin nous concluons ce volume par le s´eminaire de Guido Gentile sur les
Nombres de Brjuno et les syst`emes dynamiques et celui de Marmi et al. sur les
Fonctions r´eelle et complexe de Brjuno. Dans ces deux expos´es on perturbe
les param`etres des rotations irrationnelles ou des applications de “twist”, on
´etudie alors les conditions de stabilit´e des trajectoires qui sont donn´ees par
des conditions arithm´etiques subtiles (condition et nombres de Brjuno) ainsi
que la taille des domaines de stabilit´e dans l’espace des param`etres (fonctions
de Brjuno).
Le second volume contient, quant `a lui, seize contributions r´eparties
´egalement en trois th`emes: Th´eories conformes pour les Cordes et les Branes,
Groupes discrets et Formes automorphes et enfin Alg`ebres de Hopf et Renor-
malisation. Il commence par le th`eme “Th´eories conformes (CFT) pour les
Cordes et les Branes” qui est introduit par les cours jumel´es de Don Zagier
et de Werner Nahm. Ces deux auteurs ont eu justement une longue interac-
tion scientifique `alafronti`ere modulaire entre Math´ematiques et Physique.
La pr´esentation de Don Zagier commence par une revue des propri´et´es
du dilogarithme d’Euler et de sa fonction associ´ee r´eelle de Bloch-Wigner.
Ces fonctions se g´en´eralisent respectivement aux polylogarithmes et `a des
fonctions r´eelles d´efinies par Ramakrishnan. Zagier explique leur impor-
tance pour la g´eom´etrie hyperbolique `a trois dimensions, la K
2m−1
-th´eorie
alg´ebrique et leur relation avec les valeurs de fonctions zˆeta de Dedekind
(voir le volume I) pour l’argument m. Par ailleurs le groupe modulaire sem-
ble ˆetre reli´emyst´erieusement `a la fonction de Bloch-Wigner et `asapremi`ere
Pr´eface XVII
g´en´eralisation de Ramakrishnan. Dans le deuxi`eme chapitre de ce cours Zagier
introduit encore d’autres variantes en particulier le dilogarithme de Rogers
et le dilogarithme ”augment´e” qui apparaissent dans le cours de Nahm, le
dilogarithme quantique et aussi les g´en´eralisations `a plusieurs arguments: les

(poly)logarithmes “multiples”. Suit une ´etude de leurs principales propri´et´es:
´equations fonctionnelles, relation avec les formes modulaires (voir aussi la
contribution de Nahm qui suit), valeurs sp´eciales et, de nouveau, K-th´eorie
alg´ebrique sup´erieure.
Dans son cours sur les th´eories conformes et ´el´ements de torsion du groupe
de Bloch Werner Nahm exprime les dimensions conformes des op´erateurs
de certaines th´eories des champs conformes bidimensionnelles “rationnelles”
d’une s´erie discr`ete (les th´eories minimales) comme partie imaginaire du dilog-
arithme de Rogers d’´el´ements de torsion de la K-th´eorie alg´ebrique du corps
des nombres complexes. La pr´esentation commence par une introduction
g´en´erale aux th´eories quantiques des champs invariantes conformes (CFT),
plus pr´ecis´ement un expos´e physique et conceptuel des alg`ebres d’op´erateurs
de vertex. Les th´eories rationnelles sont exceptionnelles dans l’espace des mod-
ules des CFT mais on peut consid´erer leurs perturbations (d´eformations) qui
restent totalement int´egrables. L’´etape suivante est un survol des th´eories
quantiques bidimensionnelles totalement int´egrables et l’´etude d’une relation
dans certains mod`eles simples entre la matrice S de diffusion et une matrice de
Cartan d’une alg`ebre de Lie de dimension finie; en particulier le fait que les co-
efficients de cette matrice soient entiers est li´e`a la statistique de Bose et sa pos-
itivit´e`a la convergence de la fonction de partition (cela peut se g´en´eraliser au
cas de statistiques quelconques). Puis Nahm conjecture en s’appuyant sur de
nombreux exemples que l’invariance “modulaire” des caract`eres chiraux d’une
CFT rationnelle qui admet une perturbation totalement int´egrable implique
que toutes les solutions des conditions d’int´egrabilit´e(´equations de Bethe)
d´efinissent des ´el´ements de pure torsion du groupe de Bloch (´etendu) du corps
des complexes. Les perturbations qui sont ainsi analysables sont d´efinies par
des paires de matrices de Cartan de type A, D, E ou T. Nahm donne enfin
la solution g´en´erale des ´equations de torsion pour des d´eformations de type
(A
m

,A
n
) pour des rangs m et n arbitraires. Ces conjectures sont analys´ees
math´ematiquement par Zagier `alafindesontexte.
Apr`es cette pr´eparation vient le s´eminaire de Predrag Cvitanovic sur
la th´eorie des invariants et un triangle magique de groupes de Lie qu’il a
d´ecouvert lors de calculs perturbatifs pour des th´eories de jauge quantiques.
Cette structure a ´et´e discut´ee depuis par Deligne, Landsberg et Manivel
Elle est diff´erente et ne semble pas reli´ee aux triangles magiques de groupes de
dualit´e qui contiennent aussi le carr´e magique de Tits et Freudenthal dans des
formes r´eelles bien choisies et qui sont bien connus en th´eorie de supergravit´e
et dans les mod`eles de supercordes.
La troisi`eme s´erie de cours: Des D-branes aux th´eories de jauge, fut donn´ee
par Paolo Di Vecchia et r´edig´ee avec Antonella Liccardo. On y trouve une
introduction aux mod`eles de cordes et aux D(irichlet)-branes associ´ees sur
XVIII Pr´eface
lesquelles les extr´emit´es des cordes ouvertes peuvent se d´eplacer, ils expliquent
aussi comment des D-branes multiples engendrent sur leur surface (volume )
des th´eories de jauge de Yang-Mills. Ceci sert de pont entre les CFT bidimen-
sionnelles et des mod`eles physiques en dimension plus grande. Les th´eories
de cordes perturbatives admettent une description bidimensionnelle comme
CFT, c’est l’espace cible qui peut ´eventuellement avoir quatre dimensions .
Mais la plupart des effets non perturbatifs traduisent la pr´esence d’objets
de dimension spatiale quelconque p: ce sont les p-branes et en particulier les
D
p
-branes. Les branes permettent de calculer l’entropie des trous noirs et
sont `a l’origine de nouvelles ´equivalences (dualit´es) entre th´eories de jauge et
th´eories de gravitation. Par exemple la fameuse dualit´e AdS/CFT relie une
th´eorie des cordes ferm´ees sur la vari´et´e produit S

5
×AdS
5
et une th´eorie des
cordes ouvertes se terminant sur une D
3
-brane. L’expos´e part de la descrip-
tion CFT de la th´eorie des supercordes perturbatives avec ses op´erateurs de
vertex de cr´eation de cordes invariants BRST pour arriver `a leur description
par le formalisme “des ´etats de bord” qui d´ecrit le couplage des cordes ferm´ees
aux D-branes. Ceci permet de calculer ensuite l’interaction entre D-branes, on
distingue le cas particulier BPS pour lequel les interactions se compensent. Di
Vecchia relie ensuite les interactions effectives `a basse ´energie de type Born-
Infeld des cordes de masse nulle `a leurs couplages aux D-branes.
Cette premi`ere partie se termine par un s´eminaire de Katrin Wendland:
Th´eories des champs superconformes associ´ees aux quartiques tr`es attrac-
tives. Le terme attractives fut introduit par Greg Moore (cf son cours ci-
dessous) pour les vari´et´es de Calabi-Yau `a deux dimensions dont le groupe
de Picard est de rang maximum, tr`es attractives correspond `a une restric-
tion suppl´ementaire sur le r´eseau transcendant. Il s’agit donc d’une revue des
r´ealisations g´eom´etriques des orbifolds sur des surfaces quartiques et donnera
sans doute envie de lire les chapitres suivants.
Le th`eme de la deuxi`eme partie “Groupes discrets et Formes automorphes”
est la th´eorie des groupes arithm´etiques et certaines de leurs applications. Le
d´ecor est plant´e par le cours de Christophe Soul´e d’Introduction aux groupes
arithm´etiques, qui est plus g´en´eral que celui de Bogomolny au volume I. Le
cours commence par la th´eorie classique de la r´eduction des groupes lin´eaires
de matrices `a coefficients entiers et des formes normales des formes quadra-
tiques. Elle est suivie de la th´eorie g´en´erale (et intrins`eque) des groupes de Lie
alg´ebriques sur les rationnels et de leurs sous-groupes arithm´etiques; la pro-

pri´et´e de covolume fini aux points r´eels dans le cas semi-simple est d´emontr´ee,
elle est famili`ere aux physiciens du chaos. Le deuxi`eme chapitre de ce cours
traite des pr´esentations de ces groupes et de leurs sous-groupes finis ou bien
sans torsion et d’indice fini. Le troisi`eme chapitre s’occupe de “rigidit´e”: la
propri´et´e du sous-groupe de congruence en rang plus grand que un, la pro-
pri´et´e T de Kazhdan sur les vecteurs invariants et les r´esultats de Margulis,
en particulier la d´emonstration de la conjecture de Selberg que l’arithm´eticit´e
r´esulte de la propri´et´e de covolume fini pour la plupart des groupes de Lie
simples non compacts.
Pr´eface XIX
Les formes automorphes sont des fonctions complexes d´efinies sur des do-
maines sym´etriques et invariantes par des groupes arithm´etiques, elles ap-
paraissent fr´equemment en th´eorie des cordes. Boris Pioline a d´evelopp´eson
s´eminaire avec la collaboration d’Andrew Waldron et propose ici une intro-
duction aux Formes automorphes et aux s´eries Thˆeta par des physiciens. Elle
commence par l’expression ad`elique des s´eries non holomorphes d’Eisenstein
issue de la th´eorie des groupes; E
3/2
a par exemple ´et´e´etudi´ee en d´etail par le
physicien M.B. Green et ses collaborateurs. Apr`es avoir introduit ´egalement
les s´eries thˆeta on arrive `a des applications de la m´ethode des orbites et de
l’induction parabolique. Parmi les r´esultats r´ecents et au-del`a des groupes de
U-dualit´e discrets consid´er´es plus haut (voir le cours pr´ec´edent par exemple),
Pioline et Waldron discutent la repr´esentation minimale de SO(4, 4) que l’on
rencontre en th´eorie des cordes, la s´erie thˆeta exceptionnelle E
6
qui est sup-
pos´ee d´ecrire les interactions des supermembranes (2-branes) apr`es compact-
ification torique de 11 `a 8 dimensions, de nouvelles sym´etries des cosmologies
chaotiques et enfin des travaux en cours sur la description des multiplicit´es

d’´etats des trous noirs dont on veut calculer l’entropie.
La th´eorie M est le nom d’une th´eorie d’unification, hypoth´etique et poly-
morphe qui admet diverses limites, soit dans un espace ambiant `a 11 dimen-
sions avec des membranes comme excitations fondamentales soit `a10dimen-
sions comme des th´eories de supercordes avec des branes vari´ees Gregory
Moore a r´edig´e deux de ses s´eminaires sous le titre Cordes et Arithm´etique (le
troisi`eme sur les aspects topologiques de la 3-forme de la th´eorie M donne en-
core lieu `a des recherches actives et des d´eveloppements nouveaux). Le premier
sujet qu’il traite est intraduisible: “A black hole’s Farey tail”, il s’agit d’une
illustration de la dualit´e AdS
3
×S
3
×K3 avec une CFT bidimensionnelle sur
la fronti`ere de l’espace anti de Sitter `a 3 dimensions. On peut calculer le genre
elliptique de cette CFT comme une s´erie de Poincar´e qui s’interpr`ete du cˆot´e
AdS (i.e. cˆot´egravit´e ou cordes) comme une somme de contributions des ´etats
particulaires et des ´etats de cordes. Ceci peut servir d’introduction concr`ete
`a de nombreuses id´ees sur les formes modulaires de Jacobi, au d´eveloppement
de Rademacher et aux corrections quantiques `a l’entropie des trous noirs.
Le deuxi`eme chapitre de Moore porte sur le m´ecanisme des attracteurs en
supergravit´e. Apr`es compactification sur un espace de Calabi-Yau `a trois di-
mensions X on sait que les modules de la structure complexe de X tendent vers
un point fixe lorsque l’on approche l’horizon d’une solution trou noir. Cet at-
tracteur d´epend des charges du trou noir qui y admettent une d´ecomposition
de Hodge sp´eciale. Dans le cas particulier X = K3 × T
2
on obtient la notion
de surface K3 attractive mentionn´ee ci-dessus. Le fait essentiel ici est que les
attracteurs semblent devoir ˆetre des vari´et´es arithm´etiques d´efinies sur des

corps de nombres, les p´eriodes prennent en fait leurs valeurs dans des corps
quadratiques imaginaires. Le cours se termine par deux autres exemples de
l’importance des vari´et´es attractives. Tout d’abord la “th´eorie F” `a 12 dimen-
sions compactifi´ee sur une surface K3 doit ˆetre duale de (i.e. ´equivalente `a)
XX Pr´eface
la th´eorie des cordes h´et´erotique effectivement `a 8 dimensions apr`es “com-
pactification” par une CFT bidimensionnelle; il est frappant de constater que
cette CFT est rationnelle si et seulement si la surface K3 est attractive. Le
deuxi`eme exemple est le lien entre compactifications avec flux des th´eories de
cordes et vari´et´es de Calabi-Yau attractives `a 4 dimensions.
La contribution suivante est un s´eminaire de Matilde Marcolli sur la cos-
mologie chaotique (mod`ele mixmaster) dans lequel elle fait correspondre `a
une g´eod´esique sur la courbe modulaire du groupe de congruence Γ
0
(2) une
succession d’espaces-temps de Kasner `a quatre dimensions. L’espace des mod-
ules de ces univers est tr`es singulier et doit ˆetre d´ecrit par la g´eom´etrie non
commutative et les C
∗
-alg`ebres.
John McKay et Abdellah Sebbar introduisent le concept et six applica-
tions possibles des fonctions “r´epliquables”. Ce sont des g´en´eralisations de
la fonction modulaire j qui se transforment par leurs polynˆomes de Faber
comme des sommes de Hecke g´en´eralis´ees faisant intervenir leurs r´epliques.
Disons simplement qu’elles comprennent les fonctions du “Monstrous moon-
shine” et qu’elles sont intrins`equement reli´ees `alad´eriv´ee de Schwarz qui
apparaˆcomme g´en´erateur de la charge centrale de l’alg`ebre de Virasoro.
Enfin cette partie II se termine par les cours d’Edward Frenkel sur le pro-
gramme de Langlands et les CFT. Les deux buts de l’auteur ´etaient d’une
part de pr´esenter aux physiciens le programme de Langlands et en particulier

sa partie “g´eom´etrique” et d’autre part de montrer l’importance des th´eories
conformes pour cette derni`ere. Cette activit´esed´eveloppe en Physique avec
la r´ealisation que la dualit´e math´ematique de Langlands est fondamentale-
ment reli´ee `a la S-dualit´e de la physique des cordes. Les travaux r´ecents de A.
Kapustin et E. Witten font suite `a des r´esultats du milieu des ann´ees 70 sur
les monopoles magn´etiques, l’outil surprenant des twists topologiques qu’ils
utilisent semble pouvoir relier la th´eorie de super-Yang-Mills N=4 `a 4 dimen-
sions `a de nombreux probl`emes essentiels. En l’occurence c’est la sym´etrie
miroir (dualit´eT)demod`eles sigma bidimensionnels qui se d´eduisent de la
th´eorie `a quatre dimensions qui r´ealise cette dualit´e.
Frenkel commence par le programme original de Langlands et les corres-
pondances pour les corps de nombres et les corps de fonctions. Il pr´esente
la conjecture (modulaire) de Taniyama-Shimura-Weil (qui est maintenant un
th´eor`eme). Puis il explique le programme de Langlands g´eom´etrique, d’abord
dans le cas ab´elien puis pour un groupe r´eductif quelconque G. Le but est
de g´en´eraliser la dualit´e T ou la dualit´e de Fourier-Mukai au cas non-ab´elien.
Finalement il introduit les blocs conformes pour les CFT et des mod`eles as-
soci´es `a des modules des alg`ebres de Kac-Moody affines. Pour la valeur cri-
tique (n´egative) du niveau de la charge centrale de Kac-Moody, la sym´etrie
conforme induite d´eg´en`ere et ces mod`eles conduisent aux faisceaux invariants
de Hecke pr´edits par la correpondance de Langlands g´eom´etrique.
Le troisi`eme et dernier th`eme de ce volume et donc des Actes est intitul´e
“Alg`ebres de Hopf et renormalisation”. Il conduit `a des r´esultats prometteurs
Pr´eface XXI
sur la renormalisation des th´eories quantiques des champs qui peuvent ˆetre il-
lustr´es par des calculs diagrammatiques perturbatifs et concrets mais cela nous
m`ene ´egalement comme un arc en ciel ´etrange entre ciel et terre au concept
abstrait de “motifs”. La premi`ere s´erie de cours de cette partie est une revue
historique par Pierre Cartier de l’apparition du concept d’alg`ebre de Hopf `a
partir de la Topologie. Il passe ensuite `a des exemples venant de la th´eorie des

groupes et alg`ebres de Lie, d´ecrit leur structure et donne des th´eor`emes de
structure g´en´eraux inverses. Il termine par des exemples d’alg`ebres de Hopf et
de leurs applications en Combinatoire: les fonctions (quasi)-sym´etriques, les
valeurs de fonctions zˆeta multiples et enfin les polylogarithmes. Cette intro-
duction longue et p´edagogique aurait pu continuer dans le monde des motifs,
est-ce le signe pr´ecurseur d’une troisi`eme ´ecole des Houches sur ce sujet? Vient
ensuite le deuxi`eme chapitre d’Alain Connes et de Matilde Marcolli. Leur pre-
mier chapitre sur la m´ecanique statistique quantique des Q-r´eseaux se trouve
dans le premier volume. L’op´erateur de dilatation qui y d´ecrivait la dynamique
r´eapparaˆıt ici comme le flot du groupe de renormalisation. Ce texte sur Renor-
malisation, correspondance de Riemann-Hilbert et th´eorie de Galois motivique
commence par une revue d´etaill´ee des r´esultats de Connes et Kreimer sur la
renormalisation perturbative en th´eorie quantique des champs vue comme un
probl`eme de Riemann-Hilbert. On y trouve une pr´esentation de l’alg`ebre de
Hopf des graphes de Feynman qui correspond par le th´eor`eme de Milnor-
Moore (voir le cours pr´ec´edent) `a une alg`ebre de Lie gradu´ee engendr´ee par
les diagrammes 1PI. Les cas singuliers conduisent `a des s´eries formelles mais
les probl`emes de convergence sont bri`evement discut´es vers la fin. L’ensemble
du programme est reformul´e dans le language des cat´egories, des groupes
alg´ebriques et de la th´eorie de Galois diff´erentielle. Des liens possibles avec les
motifs de Tate mixtes sont envisag´es. L’´equivariance sous le groupe de renor-
malisation est reformul´ee dans ce language et des d´eveloppements fascinants
sont propos´es.
Trois s´eminaires correspondants concluent l’entreprise: Dirk Kreimer dis-
cute le probl`eme de la factorisation en th´eorie quantique des champs comme
exercice sur les alg`ebres de Hopf et les singularit´es locales. Il analyse en fait
un mod`ele simplifi´e d’arbres “enracin´es” et d´ecor´es qui illustre la solution du
probl`eme des diagrammes divergents qui se recouvrent. On apprend d’abord
comment la cohomologie de Hochschild des alg`ebres de Hopf permet un pro-
gramme de renormalisation “local”. Puis des ´equations de Dyson-Schwinger

sont d´efinies sans utiliser d’action, elles devraient permettre une factorisation
combinatoire avec des facteurs primitifs de l’alg`ebre de Hopf correspondante.
Stefan Weinzierl explique dans son rapport quelques propri´et´es des poly-
logarithmes multiples et de leurs troncations (des sommes emboˆıt´ees appel´ees
sommes Z) que l’on rencontre dans les diagrammes de boucles de Feynman.
Il parle des algorithmes alg´ebriques dans les calculs perturbatifs et de leur
impact sur la recherche de physique (exp´erimentale) nouvelle. Il met l’accent
sur la calculabilit´e analytique de certains diagrammes de Feynman et sur les
XXII Pr´eface
structures alg´ebriques des sommes Z. Celles-ci ont une structure d’alg`ebre de
Hopf mais aussi une conjugaison complexe et un produit de convolution. Ceci
entraˆıne que les polylogarithmes ont une deuxi`eme structure de Hopf et un
produit “shuffle”.
Le dernier s´eminaire est un expos´ep´edagogique de Herbert Gangl, Alexan-
der B. Goncharov et Andrey Levin sur les logarithmes multiples, les cycles
alg´ebriques et les arbres. Ce travail a ´et´e´etendu depuis aux polylogarithmes
multiples et au monde des motifs par les mˆemes auteurs. Ils relient ici les
trois parties de leur titre: les deux derni`eres sont associ´ees `a des alg`ebres
diff´erentielles gradu´ees de cycles alg´ebriques et d’arbres d´ecor´es enracin´es; la
troisi`eme partie du titre exprime la relation entre les polylogarithmes multi-
ples et des int´egrales sur des cycles hybrides ce qui g´en´eralise les motifs de
Tate mixtes de Bloch et Kriz dans le cas des (poly-)logarithmes ordinaires.
C’est un plaisir de remercier ici pour leur soutien financier g´en´ereux `a cette
conf´erence les institutions suivantes:
D´epartement Sciences Physiques et Math´ematiques et Service de Forma-
tion permanente du Centre National de la Recherche Scientifique;
´
Ecole Nor-
male Sup´erieure de Paris; D´epartement des Sciences de la mati`ere du Com-
missariat `al’

´
Energie Atomique; Institut des Hautes Etudes Scientifiques; Na-
tional Science Foundation; Minist`ere de la Recherche et de la Technologie et
Minist`ere des Affaires Etrang`eres; International Association of Mathematics
and Physics et tout particuli`erement la Commission des Communaut´es Eu-
rop´eennes.
Trois r´eseaux europ´eens d’excellence nous ont aussi aid´e de diverses
mani`eres. Le r´eseau “Aspects math´ematiques du chaos quantique” fut le plus
impliqu´e, mais nous n’oublions pas les deux autres: “Supercordes” et “Struc-
ture quantique de l’espace-temps et nature g´eom´etrique des interactions fon-
damentales”.
En ce qui concerne les aspects mat´eriels nous remercions la Division
Th´eorie du CERN pour nous avoir permis d’utiliser leurs ordinateurs pour
le site web et l’enregistrement des inscriptions. Nous tenons `a remercier aussi
Marcelle Martin, Thierry Paul et le secr´etariat des Houches pour leur pa-
tient travail. Nous eˆumes le privil`ege d’accueillir deux participants de mar-
que: C´ecile de Witt-Morette (fondatrice de l’Ecole des Houches) et son mari
Bryce de Witt dont l’enthousiasme critique mais communicatif fut grandement
appr´eci´e.
Paris B. Julia
Juillet 2006 P. Cartier
P. Moussa
P. Vanhove
List of Contributors
List of Authors: (following the order of appearance of the contributions)
• D. Zagier, Max-Planck-Institut f¨ur Mathematik, Gottfried-Claren-Strape
26, 0-5300 Bonn, Germany
Department of Mathematics, University of Maryland, College Park, Mary-
land 20742, USA
• W. Nahm, Dublin Institute for Advanced Studies, Ireland

• P. Cvitanovic, School of Physics, Georgia Institute of Technology, Atlanta,
GA 30332-0430, USA
• P. di Vecchia, NORDITA, Blegdamsvej 17, DK-2100 Copenhagen Ø,
Denmark
Antonella Liccardo, Dipartimento di Scienze Fisiche, Universit`a di Napoli
Complesso Universitario Monte S. Angelo, Via Cintia, I-80126 Napoli,
Italy
• K. Wendland, University of Warwick, Gibbet Hill, Coventry CV4-7AL,
England
• Ch. Soul´e, I.H.E.S., 35 Route de Chartres, F-91440 Bures sur Yvette,
France
• B. Pioline, LPTHE, Universit´es Paris VI et VII, 4 pl Jussieu, 75252 Paris
cedex 05, France
A. Waldron, Department of Mathematics, One Shields Avenue, University
of California, Davis, CA 95616, USA
• G. Moore, Department of Physics, Rutgers University Piscataway, NJ
08854-8019, USA
• M. Marcolli, Max–Planck Institut f¨ur Mathematik, Vivatsgasse 7, D-53111
Bonn, Germany
• J. M
c
Kay, Department of Mathematics and CICMA Concordia University
1455 de Maisonneuve Blvd. West, Montreal, Quebec H3G 1M8, Canada
Abdellah Sebbar, Department of Mathematics and Statistics, University
of Ottawa, Ottawa, ON K1N 6N5, Canada
• E. Frenkel, University of California, Berkeley, USA
XXIV List of Contributors
• P. Cartier, I.H.E.S. 35 route de Chartres F-91440 Bures-sur-Yvette, France
• A. Connes, Coll`ege de France, 3, rue Ulm, F-75005 Paris, France
I.H.E.S. 35 route de Chartres F-91440 Bures-sur-Yvette, France

M. Marcolli, Max–Planck Institut f¨ur Mathematik, Vivatsgasse 7, D-53111
Bonn, Germany
• D. Kreimer, I.H.E.S. 35 route de Chartres, F-91440 Bures-sur-Yvette,
France
• S. Weinzierl, Institut f¨ur Physik (ThEP) Universitat Mainz, D - 55099
Mainz, Germany
• H. Gangl, MPI f¨ur Mathematik, Vivatsgasse 7, D-53111 Bonn, Germany
A.B. Goncharov, Brown University, Box 1917, Providence, RI 02912, USA
A. Levin, Institute of Oceanology, Moscow, Russia
Editors:
• Bernard Julia, LPTENS, 24 rue Lhomond 75005 Paris, France
• Pierre Cartier, I.H.E.S. 35 route de Chartres F-91440 Bures-sur-Yvette,
France
• Pierre Moussa, Service de Physique Th´eorique, CEA/Saclay, F-91191 Gif-
sur-Yvette, France
• Pierre Vanhove, Service de Physique Th´eorique, CEA/Saclay, F-91191 Gif-
sur-Yvette, France
Contents
Part I Conformal Field Theories for Strings and Branes
The Dilogarithm Function
Don Zagier 3
Conformal Field Theory and Torsion Elements of the Bloch
Group
Werner Nahm 67
Tracks, Lie’s, and Exceptional Magic
Predrag Cvitanovi´c 133
Gauge Theories from D Branes
Paolo Di Vecchia, Antonella Liccardo 161
On Superconformal Field Theories Associated to Very
Attractive Quartics

Katrin Wendland 223
Part II Discrete Groups and Automorphic Forms
An Introduction to Arithmetic Groups
Christophe Soul´e 247
Automorphic Forms: A Physicist’s Survey
Boris Pioline, Andrew Waldron 277
Strings and Arithmetic
Gregory Moore 303
Modular Curves, C
∗
-algebras, and Chaotic Cosmology
Matilde Marcolli 361