Các mã xyclic cục bộ trên các phân hoạch hỗn hợp

-24-
thức mà bình thường khó có thể xây dựng được mã XCB tốt
(ví dụ các vành
67
1, 1xx++
).
•
Xây dựng được phương pháp giải mã cho các mã XCB trên
hai vành đa thức. Phương pháp giải mã này cơ bản vẫn dựa
trên phương pháp giải mã ngưỡng những có một vài sửa đổi.
Mạch điện giải mã đơn giản và có tốc độ giải mã nhanh.
•
Tìm được một lớp mã XCB tối ưu có khả năng trực giao xây
dựng trên hai vành đa thức với bộ tham số
1
0
(,, ) (2 , 1,2 1)
mm
nkd mm
−
=+ + +
.
•
Xây dựng 5 bộ mã XCB tối ưu mới và đánh giá hiệu quả sửa
sai của các mã XCB mới này trên kênh AWGN bằng chương
trình mô phỏng. Các kết quả mô phỏng cho thấy khả năng
sửa lỗi của các bộ mã mới là tốt.
•
Tính toán phân bố trọng số các từ mã của 4 bộ mã XCB mới,
kết quả cho thấy các bộ mã mới đều có phân bố các bit “0”
và các bit “1” tương đối bằng nhau trong các từ mã.

Kiến nghị hướng phát triển tiếp theo:
• Nghiên cứu phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành
chẵn, hoặc theo các phần tử liên hợp của các vành chẵn.
•
Đánh giá so sánh phương pháp giải mã cho mã XCB trên hai
vành đa thức với phương pháp giải mã các mã XCB hiện
hành.
•
Xây dựng các mã XCB trên đa phân hoạch ứng dụng trên các
kênh có liên hệ ngược.
•
Nghiên cứu các mạch điện mã hóa cho các mã XCB nói
chung và mã XCB trên các phân hoạch hỗn hợp nói riêng.

-1-
MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài
Trong một hệ thống thông tin số để tăng độ chính xác trong truyền
tin và khả năng chống nhiễu người ta dùng mã sửa sai. Với sự phát
triển mạnh mẽ của kỹ thuật thông tin như hiện nay thì việc nâng cao
hiệu quả của hệ thống truyền tin là một yêu cầu luôn chứa đựng tính
cấp thiết. Lý thuyết mã sửa sai đã phát triển từ những năm 40 của thế
kỷ trướ
c và nổi bất nhất phải kể đến lớp mã xyclic. Mã xyclic cục bộ
(XCB) cũng là một lớp mã sửa sai được nghiên cứu từ năm 1987, tuy
mới hình thành và phát triển nhưng mã XCB có nhiều ưu điểm đáng
quan tâm. Ngoài các đặc điểm tốt như mã xyclic truyền thống, mã
XCB còn có nhiều ưu điểm rất nổi trội: Số lượng mã XCB tìm được

rất nhiều, có thể xây dựng được các bộ
mã trên nhiều vành đa thức
khác nhau, kể cả một số vành chẵn, hoặc vành đa thức có hai lớp kề
xyclic…Về mặt kỹ thuật thì các bộ mã hóa và giải mã XCB có thể
thực hiện được tương tự các mã xyclic truyền thống.
Các nghiên cứu về mã XCB cho đến nay đều dựa vào phân hoạch
của một vành đa thức theo một nhóm nhân duy nhất. Các nghiên cứu
này đã đưa ra được một số kiểu phân hoạch vành
đa thức, cũng như
các cách xây dựng mã XCB trên các phân hoạch đó. Tuy nhiên, các
lớp mã XCB xây dựng theo một phân hoạch nhất định cũng còn một
số hạn chế đó là ít vành đa thức có được mã XCB tối ưu, đặc biệt là
các vành chẵn.
Việc tiếp tục phát triển thêm các phương pháp xây dựng mã XCB
đặc biệt là tìm kiếm các mã tối ưu trên mọi vành đa thức, hoàn thiện
thêm kết quả về mã XCB là một vấn đề
cần thiết. Thực hiện tốt các
nghiên cứu này sẽ cho phép xây dựng nhiều bộ mã sửa sai tối ưu với
sự đa dạng về độ dài từ mã và khả năng chống nhiễu.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Luận án thuộc phạm vi lý thuyết
cơ sở, tập trung nghiên cứu các kiểu phân hoạch hỗn hợp mới trên
vành đa thức và phương pháp xây dựng các mã XCB trên các phân
hoạch này.
Mục tiêu nghiên cứu của luận án:
−
Tìm các điều kiện và phương pháp thực hiện các phân hoạch
hỗn hợp mới trên một vành đa thức và hai vành đa thức.
-2-
− Đưa ra phương pháp xây dựng các mã XCB trên các phân
hoạch hỗn hợp.

− Tìm các lớp mã XCB tối ưu mới trên mọi vành đa thức.
− Mô phỏng đánh giá khả năng sửa sai và phân bố trọng số các
từ mã của một số mã XCB mới tìm được.
Phương pháp nghiên cứu: của đề tài là nghiên cứu lý thuyết dựa
vào các công cụ toán học, đặc biệt là đại số đa thức, lý thuyết mã hóa,
kết hợp với tổng hợp và phân tích các kết quả nghiên cứu đã có của
các tác giả khác có liên quan đến đề tài, cùng với sự hỗ trợ tính toán
của máy tính và các chương trình phần mềm mô phỏng.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Những kết quả trong luận
án này là một đóng góp nhỏ bé vào việc phát triển lý thuyết mã XCB
nói riêng và lý thuyết mã sửa sai nói chung. Các kết quả chính của
luận án bao gồm:
− Đưa ra được điều kiện và các bước xây dựng mã XCB trên
phân hoạch hỗn hợp của một vành đa thức.
− Điều kiện, các bước xây dựng mã XCB trên phân hoạch hỗn
hợp của hai vành đa thức khác nhau và phương pháp giải mã
cho các mã này.
− Xây dựng được một số bộ mã XCB tối ưu và một lớp mã XCB
tối ưu có khả năng trực giao trên các kiểu phân hoạch hỗn hợp.
Nội dung luận án này bao gồm: lời mở đầu, 3 chương và phần
kết luận.
Chương 1:Tác giả tập trung vào khái quát quá trình phát triển của
mã sửa sai, trong đó đề cập nhiều đến mã xyclic. Quan điểm xây
dựng mã xyclic cục bộ trên vành đa thức, các kết quả nghiên cứu về
mã xyclic cục bộ, các hướng phát triển và các vấn đề mở.
Chương 2: Đưa ra một quan điểm mới trong phương pháp phân
hoạch vành đa thức, đó là sử dụng hai hạt nhân phân hoạch khác
nhau trong cùng một vành đa thức hoặc trên hai vành đa thức khác
nhau.
Chương 3: Khảo sát một số bộ mã XCB bộ tối ưu xây dựng trên

các phân hoạch hỗn hợp. Cùng với đó là các kết quả về phân bố trọng
số của mã và mô phỏng về khả năng sửa sai của các bộ mã mới.
Phần cuối cùng bao gồm các kết luận về kết quả đạt được của luận
án và các kiến nghị hướng phát triển tiếp theo.
-23-
3.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chương này đã khảo sát một số bộ mã XCB tối ưu xây dựng trên
các phân hoạch hỗn hợp của một và hai vành đa thức. Các kết quả về
phân bố trọng số của các mã XCB mới này đều cho thấy tính cân
bằng của từ mã.
Từ lớp mã XCB có khả năng trực giao ta có thể xây dựng mã
XCB trên cả các vành chẵn (bằng cách kết hợp với một vành lẻ). Độ
dài từ mã
n
có thể không bằng bội số của
k
như theo cách xây dựng
mã XCB thông thường, ví dụ mã XCB (11,4) , mã XCB (37,6) hay
mã XCB (135,8) …
Các kết quả mô phỏng của một số mã trên kênh AWGN cho thấy
khả năng sửa sai của các mã này khá tốt, và phương pháp giải mã
ngưỡng theo đa số các tổng kiểm tra cho kết quả tốt hơn phương
pháp giải mã ngưỡng trên đa số một biểu quyết.

KẾT LUẬN

Các kết quả nghiên cứu chính của luận án bao gồm các nội dung
sau đây:
•
Đề xuất các điều kiện cần và các bước tiến hành phân hoạch

hỗn hợp sử dụng hai hạt nhân trên một vành đa thức. Đồng
thời đưa ra phương pháp xây dựng mã XCB trên phân hoạch
hỗn hợp này. Số lượng mã XCB tối ưu mới tìm được cũng
khá nhiều, ví dụ trên vành
5
1
+
x ta có thể xây dựng được
vài trăm bộ mã có cùng thông số
(20,5) .
•
Đề xuất điều kiện phân hoạch, phương pháp phân hoạch và
cách xây dựng mã XCB trên hai vành đa thức khác nhau. Ưu
điểm lớn nhất của kiểu phân hoạch này là ta có thể sử dụng
các cấp khác nhau của các nhóm nhân trên vành đa thức lớn
(mà vành nhỏ không có) để xây dựng được nhiều các mã
XCB tối ưu mới với độ dài từ mã rất phong phú. Với kiểu
phân hoạch này ta có thể tìm được các mã trên các vành đa
-22-
− Khoảng cách Hamming:
1
0
21
m
d
−
=+
.
− Số sai phát hiện được:
1

2
m
e
−
=
; Số sai sửa được:
2
2
m
t
−
=

3.3.2. Mã xyclic cục bộ (11, 4)
Xét trường hợp
3m =
, theo bảng 3.10 ta có mã XCB (11, 4) , và
được xây dựng theo các bước sau:
Bước 1: Chọn
7
() 1ax x x=∈ + làm đa thức sinh thứ nhất. Chọn
4
() 1bx x x=∈ + làm đa thức sinh thứ hai.
Bước 2: - Tính nhóm nhân xyclic
A
trong vành
7
1x
+
:

CMG { ( )mod ( ), 0,1, ,6}
i
Aax hxi==
- Tính cấp số nhân B trong vành
4
1x
+
:
CGP { ( ) ( ), 0,1,2,3} {(01),(12),(23),(03)}
j
Bqxbxj===
Trong đó, ( ) 1qx x=+ là phần tử đầu của CGP B.
Bước 3: Ghép CMG
A
với CGP B được mã XCB (11,4) như
hình 3.17.

a
5
a
7
b
1
b
2
b
3
b
4

CGP
B
(
4bit
)
CGP
A
(
7 bit
)

a
6
a
3
a
4
a
1
a
2

Hình 3.17. Cấu trúc từ mã của mã XCB (11, 4)

Theo kết quả phân bố
trọng số của mã XCB
(11,4) trong bảng 3.12 ta
thấy đa số các từ mã có
trọng số khoảng một nửa
chiều dài mã (khoảng

12/16 từ mã).

* Một vài nhận xét:
+
Khoảng cách Hamming
0
5d = .
+
Theo giới hạn Griesmer mã
XCB (11,4) này là một mã
tối ưu.
Bảng 3.12. Phân bố trọng số của mã XCB (11,4)
W
i
0 5 6 7 8 9 10 11
i 1 6 6 2 1 0 0 0

Hình 3.20. Tỷ lệ lỗi bit của mã XCB
(11,4) trên kênh AWGN.
-3-
CHƯƠNG 1
CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC

1.1. GIỚI THIỆU
Nội dung phần này đề cập đến lịch sử phát triển của các mã sửa
sai, dựa trên nền móng là các nghiên cứu của Shannon. Khởi đầu là
các mã Hamming, mã Golay và một lớp mã quan trọng đó là mã
xyclic trong đó bao gồm các mã như mã BCH, các mã Reed-
Solomon, các mã hình học Euclid
Phần tiếp theo đề cập đến các hướng nghiên cứu về lý thuyết mã

trong những năm gần đây như các mã TCM, mã Turbo, mã LDPC,
mã STBC Các quan điểm xây dựng mã như: Dựa trên các cấu trúc
đại số, lý thuyế
t dàn, hình học – đại số, lý thuyết tổ hợp, và graph.
Các phương pháp giải mã chính bao gồm:
+
Phương pháp giải mã ngưỡng của Messey.
+
Phương pháp giải mã liên tiếp của Zigalgirov.
+
Phương pháp giải mã Viterbi.
+
Phương pháp giải mã hợp lý tối đa.
+
Phương pháp giải mã lặp và giải mã có liên hệ ngược.
+
Phương pháp giải mã đại số.
1.2. MÃ XYCLIC TRUYỀN THỐNG
Mục này đề cập đến các vấn đề:
+
Vành đa thức và các phép toán trên vành đa thức.
+
Định nghĩa Ideal của vành đa thức, khái niệm về đa thức bất
khả quy.
+
Các định nghĩa về mã xyclic.
+
Các ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã xyclic.
1.3. NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC
Nội dung mục này bao gồm:

+
Khái niệm về nhóm nhân xyclic trên vành đa thức.
+
Các loại nhóm nhân xyclic:
−
Nhóm nhân xyclic đơn vị.
−
Nhóm nhân với phần tử sinh ( )ax.
−
Đa thức đối xứng và nhóm nhân đối xứng.

-4-
1.4. PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC
Nội dung mục này bao gồm
−
Khái niệm về phân hoạch vành đa thức.
−
Định nghĩa cấp số nhân xyclic trên vành đa thức.
−
Các kiểu phân hoạch vành đa thức theo các nghiên cứu cho
đến nay bao gồm:
+
Phân hoạch chuẩn
+
Phân hoạch cực đại
+
Phân hoạch cực tiểu
+
Phân hoạch thành các cấp số nhân có cùng trọng số.
+

Phân hoạch vành thành các cấp số nhân với các phần
tử có cùng tính chẵn lẻ của trọng số.
+
Phân hoạch vành thành các cấp số nhân theo modulo
của ( )hx
1.5. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC
Phần này trình bày các nội dung:
−
Các định nghĩa về mã xyclic cục bộ (XCB).
−
Các cách biểu diễn mã XCB.
−
Các phương pháp xây dựng mã XCB.
−
Các lớp mã XCB (mã XCB tự trực giao và mã XCB có khả
năng trực giao).
1.6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÃ NGƯỠNG.
Phần này trình bày phương pháp giải mã ngưỡng dựa trên các
hệ tổng kiểm tra trực giao, tập trung vào giải mã ngưỡng theo đa số.
1.7. QUAN HỆ GIỮA MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ MÃ XYCLIC
TRUYỀN THỐNG
Một ưu điểm của mã XCB đó là có thể xây dựng được mã trên
mọi vành đa thức ( n bất kỳ), với các vành chẵn ta có thể xây dựng
mã XCB trên các lớp các phần tử liên hợp. Có những vành không thể
xây dựng được mã xyclic tốt ví dụ với các vành có hai lớp kề xyclic,
trong khi đó ta có thể tìm được nhiều mã XCB trên các vành này.
Việc xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành đa thức sẽ cho nhiều
bộ mã hơn và trên cơ sở đó cũng có nhiều bộ mã tốt hơn với các độ
dài từ mã khác nhau.
Hình 1.5 mô tả các dạng phân hoạch khác nhau củ

a vành đa thức
và các cách xây dựng mã dựa trên các phân hoạch này.
-21-

{ mod ( ), 1,2, ,2 1}
im
Ax hxi
=
=−
(3.4)
* Bước 2: Tìm một lớp kề B trong vành đa thức
1
2
[]/ 1
m
xx
+
+
Z , để
thuận tiên khi giải mã ta nên chọn
B có cấu trúc như sau:

{(1 ) , 0,1,2, , }
j
Bxxj m=+ =
(3.5)
* Bước 3: Ghép
A
và
B

, ta sẽ có được mã XCB có khả năng trực
giao. Cấu trúc từ mã như sau:

||UAB
=
(3.6)
Số TKT là:
11
21221
mm
J
−−
=
−+ = + (3.7)
Vậy ta có thông số của lớp mã XCB này như sau:

1
0
(,, ) (2 , 1,2 1)
mm
nkd mm
−
=
++ + (3.8)
Tốc độ mã của lớp mã này được tính như trong biểu thức (3.9):
Tốc độ mã
1
2
m
km

n
m
+
==
+
(3.9)
Khi
m
tăng thì tốc độ mã giảm rất nhanh, đây chính là nhược
điểm lớn nhất của lớp mã này.
Bảng 3.10 trình bày một số mã XCB có khả năng trực giao xây dựng
trên hai vành đa thức với một vài giá trị
m khác nhau.
Bảng 3.10. Lớp mã XCB có khả năng trực giao
m
Các mã XCB
0
(,, )nkd
m

Các mã XCB
0
(,, )nkd
3 (11, 4, 5) 8 (264, 9, 129)
4 (20, 5, 9) 9 (521, 10, 257)
5 (37, 6, 17) 10 (1034, 11, 513)
6 (70, 7, 33) 11 (2059, 12, 1025)
7 (135, 8, 65)

Một vài nhận xét:

−
Lớp mã XCB có khả năng trực giao này là lớp mã tối ưu.
−
Khi lập mã không nhất thiết phải chọn cấp của các nhóm
nhân sinh là
k hoặc bội số của k , điều này cho phép ta có
thể tạo các bộ mã ( , )
nk với chiều dài n khác.
−
Khi m tăng thì tốc độ mã sẽ giảm rất nhanh, cho nên lớp mã
này chỉ tốt khi giá trị
m nhỏ.
-20-
* Bước 2: Tính CGP
B
trong vành
6
1x +
với phần tử sinh là
()bx x= và phần tử đầu là () 1qx x=+.

CGP {(1 ) , 0,1, ,5} {(01),(12),(23),(34),(45),(05)}
j
Bxxj=+ = =

* Bước 3: Ghép
A

với
B để có mã XCB

(37,6)
.
*
Một vài đánh giá:
+ 36 bit trong 37 bit
của một từ mã được
sử dụng để giải mã cho các cặp dấu thông tin.
+
Khoảng cách Hamming
0
17d = , sửa được 8 lỗi.
+
Mức ngưỡng giải mã là: 9M = .
+
Nhịp giải mã của các thanh ghi
A
và
B
bằng nhau và bằng 1.
+
Theo giới hạn Griesmer mã này là một mã tối ưu.
Theo phân bố trọng số của mã XCB (37,6) cho thấy mã này cũng
có tính chất cân bằng của bit “0” và bit “1” trong các từ mã.
3.3. LỚP MÃ XYCLIC CỤC BỘ CÓ KHẢ NĂNG TRỰC GIAO XÂY
DỰNG TRÊN HAI VÀNH ĐA THỨC.
3.3.1. Cấu trúc của lớp mã có khả năng trực giao.
Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức, ta có
thể xây dựng được một lớp mã XCB có khả năng trực giao.
* Bước 1: Xét vành đa thức
21

2
[]/ 1
m
xx
−
+Z . Trên vành đa thức
này ta tính một nhóm nhân
A
dựa trên đa thức sinh nên chọn là
x
,
trong đó ( ) 2 1
m
ord x =−, và () 1Wx= là một số lẻ. Tất cả các phần
tử trong
A
được tính theo modulo của ()hx , dạng của ()hx như
trong biểu thức (3.3).
() (1 )()hx xgx=+ (3.3)
Trong đó, ( )
g
x là một đa thức nguyên thủy có deg ( )
g
xm
=
và
()
g
x là ước của
21

1
m
x
−
+ .
Theo biểu thức (3.3) ta thấy rằng deg ( ) 1hx m
=
+ , do đó tất cả
các phần tử trong A đều là phần tử lẻ và thuộc vành
1
2
[]/ 1
m
xx
+
+
Z .
Cấu trúc của
A
như trong (3.4).


a
1
a
2
a
31
b
1

b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
CMG A (31 bits) CGP B (6 bits)
CMG A (31 bit) CGP B (6 bit)
Hình 3.12. Cấu trúc từ mã XCB (37,6)
-5-

Các phân hoạch của vành đa thức
n lẻ n tùy ý n chẵn
Vành các lớp
đồng dư
Vành các cấp số nhân xyclic
có công bội
()ax

Vành các lớp các
phần tử liên hợp
Phân hoạch cực
tiểu
() 1ax
=

Phân hoạch
chuẩn
()ax x
=

Phân hoạch cực đại
ord ( ) maxax
=


Mã xyclic
Mã tuyến
tính ngẫu
nhiên
Shannon
Mã xyclic
cục bộ
Mã xyclic
truyền
thống

Hình 1.5. Các phân hoạch của vành đa thức và các lớp mã tuyến tính
Có thể hình dung mã xyclic như một chuỗi hạt có tốc độ xử lý khác
nhau như trong hình 1.6. Mã xyclic truyền thống có nhịp dịch của từ mã là
x
(hình 1.6.a), mã xylic xây dựng từ mã XCB có nhịp dịch khác
x
(hình
1.6.b), còn mã XCB chứa các từ mã khác nhau, mỗi từ mã có thể có nhịp
dịch khác nhau (hình 1.6.c).

c) Mã xyclic cục bộ
Nhịp

()ax x
=

Nhịp
()ax

(
)
ax

(
)
cx

(
)
bx

a) Mã xyclic
truyền thống
b) Mã xyclic xây dựng
từ mã x
y
clic c
ụ
cb

ộ

Hình 1.6. So sánh các mã xyclic và mã xyclic cục bộ
-6-
Có thể thấy rằng các mã xyclic truyền thống xây dựng trên các
Ideal là một trường hợp đặc biệt của mã XCB. Có thể xem xét như
sau:
Xét nhóm nhân xyclic: { mod ( ), 0,1,2, }
i
Ix hxi==
với ( ) | 1
n
hx x + ; deg ( )hx k=
Nhóm nhân này là một mã xyclic (n,k) có đa thức sinh
*( )
g
x :

1
()
()
n
x
gx
hx
+
= và
*deg()1
() ( )
gx

g
xx gx
−
=
là đa thức đối ngẫu
của
()
g
x

Nhận xét:
+
Với mã xyclic truyền thống, ma trận sinh G của mã được xây
dựng từ phương trình đồng dư sau:
(). mod 1
in
gx x x + (1.20)
+
Với mã xyclic xây dựng từ mã XCB, ma trận sinh G của mã
được xây dựng từ phương trình đồng dư sau:
(). mod 1
ii k
axx x+ (1.21)
Chú ý: (1.20) là phương trình tạo các hàng của G
(1.21) là phương trình tạo các cột của G
1.8. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ
HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỞ
1.8.1. Một số kết quả đạt được
- Xây dựng được các dạng phân hoạch khác nhau và các kiểu
phân hoạch khác nhau của vành đa thức làm

cơ sở để xây
dựng các mã XCB [20], [35].
- Tìm tiêu chí lựa chọn các lớp kề trong phân hoạch vành đa
thức để xây dựng các mã XCB.
- Chứng minh các mã xyclic truyền thống là một lớp con trong các
mã XCB [17].
- Xây dựng một số lớp mã XCB tự trực giao và mã XCB có khả
năng trực giao [13], [14].
- Xây dựng được một số mã XCB đối xứng và tự đối xứng trên
các lớp kề (các cấp số nhân) đối xứng và tự đối xứng [35]
-19-
Để giải mã ta có thể sử dụng
phương pháp giải mã ngưỡng cho
phương pháp này. Tuy nhiên mã
này là một trường hợp đặc biệt
nó là mã XCB trực giao, nên ta
có thể sử dụng phương pháp giải
mã ngưỡng thông thường để giải
mã.

* Đánh giá:
+
Khoảng cách
Hamming
0
3d
=
, phát hiện được 2 sai và sửa được 1 sai.
+

Cấp ngưỡng giải mã là: 2
M
=
.
+
Nhịp giải mã cho cả hai thanh ghi bằng nhau và bằng 1.
+
Theo giới hạn Griesmer mã này cũng là một mã tối ưu.
3.2.2. Trường hợp hai vành đa thức khác nhau
Xét hai vành đa thức
31
1x
+
và
6
1x
+
(31,6pk
=
= ). Phân tích
của vành
31
1x + như sau:

7
31
1
1()
i
i

x
fx
=
+=
∏
(3.2)
Trong đó:
1
() 1
f
xx=+ ;
35
2
() 1
f
xxx
=
++
25
3
() 1
f
xxx=+ + ;
2345
4
() 1
f
xxxxx
=
++++

345
5
() 1
f
xxxxx=+ + + +
245
6
() 1
f
x xxxx
=
++++
235
7
() 1
f
xxxxx=+ + + + ;

Ta thấy trong vành này có 6 đa thức bất khả quy cấp 5 và một đa
thức cấp 1, do đó ta có thể có 6 đa thức
()hx có deg ( ) 6hx
=
bằng
cách lấy tích của
1
() 1
f
xx
=
+

với các đa thức còn lại.
Trên cơ sở đó ta có thể xây dựng mã XCB
(37,6) như sau:
* Bước 1: Chọn ( )ax x
=
và
3456
() (1 )hx x x x x x=++ + + + để
thực hiện phân hoạch thứ nhất:
CMG { mod ( ), 0,1,2, ,30}
i
Ax hxi==

a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
Thanh ghi A


M
Các dấu thông tin

được giải mã
Thanh ghi B



Hình 3.11. Sơ đồ giải mã ngưỡng
cho mã XCB (6, 3)
-18-
có cấu trúc từ mã như hình 3.5.
Khi giải mã cho các cặp dấu thông tin, thanh ghi CMG
A
sẽ dịch
51 nhịp (hoặc dịch 12 nhịp theo chiều ngược lại), còn thanh ghi chứa
dấu CGP B sẽ dịch 1 nhịp. Sau 6 bước ta sẽ giải mã được các cặp
dấu thông tin và được lưu vào thanh ghi
C
Ở cấp ngưỡng thứ hai, ta thực hiện giải mã cho dấu (0), sau đó kết
hợp với các cặp dấu trong C để giải mã các dấu thông tin còn lại.

Khoảng cách Hamming của
mã XCB này là
0
33d = , và mã
này cũng là tối ưu.
Mô phỏng mã XCB (70,7)
trên kênh AWGN và sử dụng
điều chế BPSK, kết quả như
hình 3.8. Xét hai trường hợp
giải mã 17M = 18M = .
3.2.1.2. Mã xyclic cục bộ (6,3)
Xét trường hợp 3k = và
2m =
là một số chẵn, ta có
.6pmk==.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể xây dựng được mã XCB (6,3)
trên hai vành này, và mã này là một mã hệ thống.

Hình 3.8. Tỷ lệ lỗi bit của mã
XCB (70,7) trên kênh AWGN.

Tốc độ dịch bằng 12 lần tốc
độ dịch của thanh ghi B
b
1
b
2

b
7
a
1
a
18
a
63
33 TKT
7
33
2
TKT
t
t
b
=
=
∑

1118
TKT aa=+

Dịch một nhịp
Thanh ghi C
Thanh ghi A Thanh ghi B
M
Thiết bị ngưỡng
(01)

(12)

(23)

(34)

(45)

(56)



TKT
33

33 TKT
a
1
a
14
a
26
a
63
TKT
1

M
Chốt dữ liệu
Các bit thông

tin được giải mã
(0)
Thanh ghi C Thanh ghi A
Thiết bị
ngưỡng
(01) (1 2) (23) (34) (45) (56)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)(0)

Hình 3.6. Sơ đồ giải mã
ngưỡng cấp 1 mã XCB (70,7)

-7-
- Xây dựng được một số mã XCB và mã xyclic trên các phần
tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt và trên các phần tử liên hợp
của zero [30],[34].
- Xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành chẵn theo lớp các
phần tử liên hợp [36]
- Xây dựng các mã XCB trên vành đa thức có hai lớp kề xyclic
[3], [23], [24], [30].
- Xây dựng được hệ mật đa biểu và trường hợp riêng của nó là
hệ mật luân hoàn trên một số loại vành đặc biệt [28], [29].
+
Vành đa thức có 2
k
n
=

+
Vành đa thức có 2 lớp kề xyclic.
- Ứng dụng các mã XCB trong việc xây dựng hệ mật McEliece

- Ứng dụng các mã XCB trong việc tạo M-dãy [1].
- Ứng dụng các mã XCB trong việc tìm kiếm cell của hệ thống
WCDMA [27].
- Ứng dụng các mã XCB trong việc giảm PAPR trong các hệ
thống OFDM.
- Ứng dụng công nghệ CPLD/FPGA xây dựng mã XCB trên
vành đa thức Z
2n
[2]
1.8.2. Một số hướng nghiên cứu mở
- Tạo tính đa dạng của việc xây dựng các mã XCB bằng cách
tìm các dạng phân hoạch khác ngoài các dạng đã biết.
- Xây dựng các mã XCB trên nhiều kiểu phân hoạch (các mã
XCB hỗn hợp)
- Xây dựng các tiêu chí chọn các lớp kề để tạo các mã tốt và
giảm thời gian tìm kiếm.
- Khảo sát kỹ cấu trúc các nhóm nhân xyclic và các cấp số
nhân xyclic trong vành. Tìm tiêu chuẩn nhận biết cho các đa
thức có cấp cực đại trong vành.
- Nghiên cứu các mã ghép xây dựng từ các mã XCB.
- Nghiên cứu các mã turbo xây dựng từ các mã XCB.
- Xây dựng ma trận kiểm tra của các mã XCB.
- Nghiên cứu các mã XCB trên miền tần số.
- Nghiên cứu phổ trọng số của các mã XCB.
- Nghiên cứu các mã XCB trên trường mở rộng GF (2
m
)
- Nghiên cứu các mã đối ngẫu của các mã XCB.
-8-
- Nghiên cứu các phương pháp giải mã: giải mã ngưỡng và các

phương pháp giải mã khác.
- Nghiên cứu các mã XCB theo quan điểm lý thuyết hệ thống.
1.9. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chương này đề cập đến một số khái niệm cơ bản về mã sửa sai,
trong đó có lớp mã quan trọng là mã xyclic. Các khái niệm về nhóm
nhân, cấp số nhân trên vành đa thức và phương pháp xây dựng mã
XCB trên phân hoạch vành đa thức cũng được trình bày trong
chương này.
Phần tiếp theo là các đánh giá về khả năng tạo mã và một số so sánh
giữa mã XCB với mã xyclic truyền thống. Cuối cùng là tổng hợp một số
kế
t quả nghiên cứu về mã XCB và các hướng nghiên cứu mở.

CHƯƠNG 2
CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP VÀNH ĐA THỨC
2.1. MỘT VÀI NHẬN XÉT VỀ CÁC KIỂU PHÂN HOẠCH HIỆN TẠI
− Khi phân hoạch một vành đa thức thì mỗi một hạt nhân phân
hoạch sẽ cho một kiểu phân hoạch khác nhau, tuy nhiên các
kiểu phân hoạch vành đa thức đều chia các phần tử của một
vành thành hai phần bằng nhau là các phần tử có trọng số
chẵn và các phần tử có trọng số lẻ.
−
Các kiểu phân hoạch vành đa thức cho đến nay đều sử dụng
một hạt nhân phân hoạch chính là một đa thức sinh ( )ax nào
đó thuộc vành. Các phần tử của vành sẽ được chia thành các
lớp kề có độ dài bằng ord ( )axhoặc ước của ord ( )ax. Cho
nên thông số chính liên quan đến việc phân hoạch vành đa
thức đó chính là
ord ( )ax
.

−
Để có các mã XCB ( , )nk thuận tiện cho việc mã hóa và giải
mã, thì các đa thức sinh thông thường các cấp là k hoặc bội
số của k .
Theo cách xây dựng mã XCB dựa trên các phân hoạch hiện nay
cũng có hạn chế như sau:
−
Không phải vành đa thức cũng xây dựng được mã XCB tối
ưu, đặc biệt là các vành chẵn
2
[]/ 1
+
n
xx] với
2
=
nm
.
-17-
Bảng 3.2. Phân bố trọng số các từ mã của mã XCB (20, 5)
W
0 9 10 11 12 15
i

1 10 10 5 5 1
i là tổng số các từ mã có trọng số W

* Kết quả mô phỏng
Thực hiện mô phỏng mã XCB
(20,5,9) trên kênh AWGN, khảo sát

với tỷ số SNR từ 1dB đến 7dB. Kết
quả mô phỏng như trên hình 3.3. Xét
hai trường hợp giải mã là giãi mã
ngưỡng theo đa số (5M
=
), và giải
mã ngưỡng trên đa số một biểu
quyết (
6M = ), nhận thấy rằng với
trường hợp 5M = thì bộ mã cho kết
quả sửa sai tốt hơn.
Phân bố trọng số của mã XCB
(20,5)
như trong bảng 3.2.





3.2. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN HAI VÀNH ĐA THỨC
3.2.1. Trường hợp có một vành con
Xét hai vành đa thức 1
p
x
+
và 1
k
x
+
với 1

k
x
+
là vành con của
1
p
x
+
. Ta sẽ khảo sát một số mã XCB xây dựng theo phương pháp
phân hoạch này như đã trình bày trong mục 2.3.2.

3.2.1.1. Mã xyclic cục bộ (70,7)
Xét trường hợp 7k
=
và 3m
=
là một số lẻ, ta có . 21pmk
=
= .
Chọn
24
() 1ax x x=+ + và
34567
() 1hx x x x x x
=
+++++ thuộc
vành
21
1x + để thực hiện phân hoạch thứ nhất.
{

}
CMG ( )mod ( ), 1 63
i
Aax hxi==

Chọn
7
() 1bx x x=∈ + làm hạt nhân phân hoạch thứ hai.
{
}
{}
CMG ( ). ( ), 0,6 (01),(12),(23),(34),(45),(56), (06)
j
Bqxbxj===
Ghép
A
và B ta sẽ
được mã XCB (70,7)
a
1
a
2
a
63
b
1
b
2
b
3

b
4
b
5
b
6
b
7
CMG A (63 bits) CGP B (7 bits)
CMG A (63 bit) CGP B (7 bit)

Hình 3.5. Cấu trúc mã XCB (70,7)
xây dựng từ hai vành đa thức

Hình 3.3. Tỷ lệ lỗi bit của mã
XCB (20,5) trên kênh AWGN
-16-
{
}
24
2222
( ), ( ). ( ), ( ) ( ), , ( ) ( )CGP B bx bx q x bxq x bxq x==

Trong đó: ( ) 1ax = ;
24
1
() 1qx x x=+ + ; ( ) 1bx x
=
+ ;
2

()qx x
=

+ Bước 3: Kết hợp hai CGP
A
và B ta có thể tạo được mã XCB
(20,5) có cấu trúc từ mã như hình 3.1.

a
15
a
14
a
13
a
12
a
11
a
10
a
9
a
8
a
7
a
6
a
5

a
4
a
3
a
2
a
1
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
CGP
B
(
5 bit
)
CGP
A
(
15 bit
)

Hình 3.1. Cấu trúc từ mã của mã XCB (20,5)

a
15
a
14
a
13

a
12
a
11
a
10
a
9

a
8
a
7
a
6
a
5
a
4
a
3

a
2
a
1

M=5
M=5

(
01
)

(
12
)

(
23
)

(
34
)

(
04
)
RA
B
A

C
b
5
b
4
b
3

b
2

b
1


Hình 3.2. Sơ đồ giải mã ngưỡng cho mã XCB (20, 5, 9)
trên một vành đa thức.
* Đánh giá
+
Tổng cộng có 19 dấu mã trong 20 dấu mã được dùng để
giải mã cho cặp dấu thông tin.
+
Khoảng cách Hamming
0
9d =
.
+
Mã này phát hiện được 8 bit sai và sửa được 4 bit sai.
+
Cấp ngưỡng giải mã là:

5M =
.
+ Tốc độ nhịp của thanh ghi A sẽ nhanh gấp 3 lần tốc độ
nhịp của thanh ghi B.
+
Theo giới hạn Griesmer mã này là mã tối ưu.



-9-
−
Độ dài từ mã chỉ có thể nhận một vài giá trị cụ thể. (
n
là bội
số của
k
)
Để tăng khả năng tạo mã và tìm thêm các mã tối ưu mới, tác giả
đã nghiên cứu một hướng mở đó là tìm các kiểu phân hoạch mới -
phân hoạch hỗn hợp. Các kiểu phân hoạch hỗn hợp mới này được
thực hiện theo nhiều nhóm nhân sinh trên một vành đa thức hoặc hai
vành đa thức
.
2.2. PHÂN HOẠCH HỖN HỢP TRÊN MỘT VÀNH ĐA THỨC
Như đã biết các phân hoạch vành đa thức hiện nay đều sử dụng
một đa thức sinh cho tất cả các phần tử của vành, và với các phân
hoạch không suy biến thì các phần tử của vành được chia làm hai
phần bằng nhau, các phần tử có trọng số chẵn và trọng số lẻ. Từ nhận
xét này ta thấy rằng nếu ta sử dụng hai hạt nhân để phân hoạch, một
hạt nhân dùng để

phân hoạch các phần tử lẻ của vành và hạt nhân còn
lại dùng để phân hoạch các phần tử chẵn của vành và kết hợp hai
phân hoạch này lại với nhau ta được một kiểu phân hoạch mới và là
phân hoạch hỗn hợp. Dựa vào phân hoạch mới này ta có thể xây
dựng các mã XCB mới có độ dài khác với các mã XCB hiện đã tìm
được.
Xét vành đa thức
2
[]/ 1
n
xx
+
Z , giả sử
1
D
và
2
D
là hai phân
hoạch không suy biến của vành tương ứng với hai hạt nhân phân
hoạch là
1
()qx và
2
()qx. Khi ta kết hợp toàn bộ các phần tử lẻ của
1
D
với toàn bộ các phần tử chẵn của
2
D

(hoặc ngược lại) ta được
kiểu phân hoạch hỗn hợp mới.
Chú ý: Để thuận lợi cho việc giải mã thì
1
ord( ( ))qx và
2
ord( ( ))qx
nên là bội của nhau. Với vành
2
[]/ 1
n
xx
+
Z , ta chọn
1
ord( ( ))qx n= (hoặc
2
ord( ( ))qx n
=
) lúc đó
2
ord( ( ))qx (hoặc
1
ord( ( ))qx sẽ bội của n .
Có thể khái quát các bước thực hiện phân hoạch hỗn hợp theo hai
nhóm nhân trên vành đa thức
2
[]/ 1
n
xx

+
Z như sau:
 Bước 1: Xác định max ord( ( ))ax của phần tử trong vành, tính số
các ước số của max ord( ( ))ax , số ước số này cũng chính là M
(số kiểu phân hoạch không suy biến của vành).
-10-
 Bước 2: Phân hoạch vành theo hai hạt nhân trong đó phải có ít
nhất một hạt nhân có trọng số lẻ. Chọn một hạt nhân phân hoạch
1
()qx
sao cho
1
ord( ( ))qx n=
, một hạt nhân phân hoạch thứ hai
2
()qx với
2
ord( ( ))qx là bội của n . Một hạt nhân có trọng số lẻ
được dùng để phân hoạch các phần tử có trọng số lẻ của vành,
hạt nhân còn lại được dùng để phân hoạch các phần tử có trọng
số chẵn của vành.
 Bước 3: Kết hợp các cấp số nhân của hai phân hoạch ở bước 2
với nhau để được một phân hoạch mới. Căn cứ vào phân hoạch
mới này ta có thể xây dựng được các mã XCB mới.
Một vài nhận xét

-
Do sử dụng một hạt nhân cho các phần tử lẻ và một hạt nhân cho
các phần tử chẵn của vành, mà các hạt nhân này đều cho phân
hoạch không suy biến, do đó phương pháp phân hoạch hỗn hợp

này cũng là một phân hoạch không suy biến.
-
Do sử dụng hai nhóm nhân khác nhau cho phân hoạch, mỗi
nhóm nhân lại có cấp khác nhau và như thế khi giải mã nhịp giải
mã cho mỗi cấp số nhân sẽ khác nhau. Thông thường
2
ord( ( ))qx bằng bội của n cho nên khi giải mã, thanh ghi chứa
cấp số nhân
2
D
sẽ dịch với nhịp nhanh hơn.
-
Các mã XCB xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp này vẫn có tính
xyclic trong các dấu mã, do đó việc giải mã vẫn tương tự như
với các mã XCB hiện nay và thường sử dụng phương pháp giải
mã ngưỡng theo thủ tục 1.
-
Lớp mã xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp kiểu này là mã
XCBCKNTG do vậy phải sử dụng hai cấp ngưỡng giải mã.
Với phương pháp phân hoạch này, ta nên chọn các vành lẻ để dễ
thực hiện.
2.3. PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA HAI VÀNH ĐA THỨC KHÁC NHAU
Trong các kiểu phân hoạch hiện nay, thì kiểu phân hoạch vành đa
thức
2
[]/ 1
p
xx+Z theo modulo của đa thức ( )hx là kiểu phân hoạch
suy biến. Nếu sử dụng kiểu phân hoạch này thì sau khi phân hoạch
các phần tử sẽ thuộc vành nhỏ hơn, cụ thể là các phần tử sẽ thuộc

vành
1
k
x +
với deg ( )khxp=<.
-15-
2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG
Chương 2 của luận án đã đưa ra một số kiểu phân hoạch hỗn hợp
mới. Kiểu phân hoạch hỗn hợp trên một vành đa thức là kiểu phân
hoạch không suy biến, do sử dụng một hạt nhân phân hoạch cho toàn
bộ các phần tử có trọng số lẻ và một hạt nhân phân hoạch cho các phần
tử có trọng số chẵn của vành. Các mã XCB xây dựng trên phân hoạch
hỗn hợp này vẫn đả
m bảo tính xyclic trong các dấu mã, nên vẫn có thể
dùng phương pháp giải mã ngưỡng thông thường để giải mã.
Kiểu phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức được thực hiện
theo kiểu lấy modulo của đa thức ( )hx , do đó các mã XCB xây dựng
trên phân hoạch hỗn hợp này không có tính xyclic trên các dấu mã.
Tuy nhiên, ta có thể sử dụng một phần tính xyclic và phương pháp
giải mã ngưỡng với một vài thay đổi.

CHƯƠNG 3
CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ XÂY DỰNG TRÊN CÁC PHÂN
HOẠCH HỖN HỢP CỦA VÀNH ĐA THỨC
3.1. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA
MỘT VÀNH ĐATHỨC
Phần này xây dựng một bộ mã mới trên phân hoạch hỗn hợp của
một vành đa thức.
Xét vành đa thức
5

2
[]/ 1xx
+
Z . Phân tích của vành này như sau:

5 234
12
1(1 )(1 ) ()()
x
xxxxxfxfx+= + + + + + = (3.1)
Đây là vành có hai lớp kề xyclic nên ta không xây dựng được các
mã xyclic truyền thống tốt trên vành này. Với phương pháp xây dựng
mã XCB thì các nghiên cứu cho đến này đã tìm ra được nhiều mã
XCB tốt trên vành này, như các mã XCB (15,5) . Thực hiện các bước
phân hoạch trong mục 2.2, ta có thể xây dựng được mã XCB
(20,5) theo các bước sau đây:
+ Bước 1: Cấp cực đại của các phần tử trong vành
5
1x
+
được
xác định theo định lý 1.3:
4
max ord( ( )) 2 1 2 1 15
s
m
ax
=
−= −= .
+ Bước 2 : Phân hoạch vành này thành các CGP theo 2 hạt nhân

khác nhau:
{
}
214
1111
(),() (),() (), ,() ()CGP A ax axq x axq x axq x==
-14-

Hệ tổng kiểm tra
cho dấu (0)
a
1
a
2
a
m
Thanh ghi C chứa các cặp dấu thông tin
Thanh ghi chứa lớp kề A
M
Thiết bị ngưỡng
Mạch tổ hợp tính các tổng kiểm tra
(01)

(12)


(2,1)kk
−
−
(1)

(2)


(1)k
−
(0)

(
0
)
(
1
)
(
k-2
)
(
2
)

Hình 2.3. Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp 2

Hệ tổng kiểm tra
b
1
b
2
b
k

a
1
a
2
a
m
Thanh ghi C chứa k-1 cặp dấu thông tin
Thanh ghi chứa lớp kề A
M
Thiết bị ngưỡng
(01)

(12)


(2,1)kk
−
−
Mạch tổ hợp tính các tổng kiểm tra
Thanh ghi chứa lớp kề B

Hình 2.2. Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp 1
Độ dài của lớp kề
A
chính là ord ( )max= , còn độ dài của lớp kề
B là cấp của đa thức sinh ( ).bx Các mã XCB trên hai vành đa thức
thường là các mã có khả năng trực giao, và nếu ta sử dụng phương
pháp giải mã ngưỡng thì phải thông qua hai cấp giải mã.
Theo cách giải mã ngưỡng thông thường thì ở cấp ngưỡng thứ
nhất ta sẽ giải mã cho

k
cặp dấu thông tin, bao gồm các cặp dấu:
{(01),(12), ,( 2, 1),(0, 1)}kk k−− −
Do vành 1
p
x + được phân hoạch theo modulo của ( )hx nên khi
giải mã, chỉ có thể sử dụng tính xyclic để giải mã cho các cặp
dấu
(01), (12), , ( 2, 1)kk−−
mà không thể giải mã cho cặp dấu cuối
cùng là
(0, 1)k − . Tuy
nhiên, vẫn có thể sử
dụng phương pháp giải
mã ngưỡng nhưng có
một vài thay đổi như
sau:
Ở cấp ngưỡng thứ
nhất sử dụng tính xyclic
để giải mã cho
1k − cặp
dấu thông tin:
(01),(12), ,( 2, 1)kk−−

Ở cấp ngưỡng thứ
hai, chỉ giải mã cho mỗi
dấu thông tin (0) , sau
đó kết hợp dấu (0) với
các cặp dấu đã giải mã ở
cấp ngưỡng thứ nhất để

giải mã cho các dấu
thông tin còn lại, như
mô tả trong hình 2.2 và
hình 2.3.





-11-
Vậy nếu ta kết hợp phân hoạch vành
1
p
x
+
với
p
k>
theo
modulo của ( )hx , và một phân hoạch nào đó trên vành 1
k
x
+
thì ta
được một kiểu phân hoạch mới thực hiện trên hai vành, đây cũng là
một kiểu phân hoạch hỗn hợp. Các phần tử sau phân hoạch đều thuộc
vành
1
k
x +

. Để các phần tử sau phân hoạch không bị trùng nhau ta
nên chọn một phân hoạch cho các phần tử lẻ của vành 1
k
x
+
, và
phân hoạch còn lại cho các phần tử chẵn của vành.
Ưu điểm của phương pháp phân hoạch này là có thể lợi dụng các
nhóm nhân ở vành lớn hơn để tạo mã XCB với độ dài khác mà trên
vành đa thức nhỏ hơn không thể tạo được.
2.3.1. Điều kiện thực hiện phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức.
Xét hai vành đa thức
1()
p
i
iI
x
fx
∈
+=Π
và
1()
k
j
jJ
x
gx
∈
+=Π
với

p
k>
, trong đó
()
i
f
x
và
()
j
g
x
là các đa thức bất khả quy. Điều
kiện để thực hiện phân hoạch hỗn hợp từ hai vành đa thức này là:
Tồn tại ít nhất một đa thức () 1
p
hx x
∈
+ với
() ()
t
tT
hx f x
∈
=Π
,
TI⊂

có bậc thỏa mãn
deg( ( ))hx k

=
.
2.3.2. Phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức khi có một vành con
Xét hai vành đa thức
1
p
x
+
và
1
k
x
+
với
p
k> , trong đó
1
k
x
+

là vành con của 1
p
x
+
. Tức là: . ; 2,3, pmkm
=
=
2.3.2.1. Vành con là vành chẵn
Xét trường hợp vành

1
k
x
+
là vành chẵn, tức là
2.kt
=
.
Nếu
t
cũng là một số chẵn
2tl
=
, trường hợp này không thể tìm
được đa thức
()hx thỏa mãn điều kiện.
Xét trường hợp
t
là số lẻ:
21tl
=
+
tức là 2(2 1)kl
=
+
Lúc này vành
1
p
x
+

với
2(2 1)pml
=
+
cũng sẽ là một vành
chẵn. Ta xét thêm các trường hợp
m
khác nhau.
* Trường hợp 1
: 2 ; 1,2,3,
s
ms==
Với trường hợp này không tìm được đa thức ( )hx thỏa mãn điều
kiện của phân hoạch hỗn hợp.
* Trường hợp 2:

2 ; 1,2,3,
s
ms≠=

-12-
Trường hợp này có thể tồn tại đa thức ( )hx thỏa mãn điều kiện
phân hoạch hỗn hợp.
Tóm lại: Trong trường hợp sử dụng hai vành đa thức 1
p
x
+
và
1
k

x + làm phân hoạch hỗn hợp, với .
p
mk= ( 1
k
x
+
là vành con),
nếu
k
là một số chẵn và có dạng 2(2 1)kl=+, thì ta chỉ có thể tìm
được đa thức ()hx thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp khi
2 , 1,2,3,
s
ms≠=

2.3.2.2. Vành con là vành lẻ
Xét trường hợp vành con
1
k
x +
là vành lẻ,
2. 1kt
=
+
. Vành lớn
1
p
x +
có .
p

mk= với 2,3,4, m = Xét với hai trường hợp
m
chẵn
và m lẻ thì đều có thể tìm được đa thức
()hx thỏa mãn điều kiện
phân hoạch.
2.3.3. Phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức bất kỳ
Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức khi có một
vành con, ta thấy có một hạn chế đó là: khi vành con (
1
k
x
+
) là vành
chẵn thì chỉ có một số trường hợp cụ thể ta mới tìm được đa thức
()hx thỏa mãn điều kiện.
Để phát triển thêm khả năng thực hiện phân hoạch hỗn hợp, ta có
thể tiến hành trên hai vành bất kỳ. Xét 2 vành 1
p
x
+
và 1
k
x
+
với
pk> nếu trên vành 1
p
x + ta tìm được đa thức ( )hx thỏa mãn điều
kiện ( )hx là tích của một vài đa thức bất khả quy và deg ( )hx k

=
thì
ta có thể thực hiện được phân hoạch hỗn hợp trên 2 vành này.
Để có thể dễ dàng tìm được đa thức ( )hx ta nên chọn ít nhất một
vành là vành lẻ. Nếu sử dụng phân hoạch hỗn hợp này để tạo mã
XCB ( , )nk thì không nhất thiết ta phải chọn các nhóm có cấp là bội
số của k . Do đó ta có thể tạo các mã XCB với các độ dài khác nhau,
điều này làm tăng tính đa dạng của mã XCB, và đó c
ũng là cơ sở để
ta có thể tìm thêm được các mã XCB tối ưu.
2.3.4. Cách xây dựng mã xyclic cục bộ trên hai vành đa thức
Từ hai phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức ở
mục 2.2.2 và 2.2.3, có thể tổng quát hóa các bước xây dựng mã XCB
trên 2 vành đa thức như sau.
-13-

Dấu mã
A
(
m
bit)
Dấu mã
B
(
k
bit)
Từ mã
n
bit

Hình 2.1. Cấu trúc từ mã xyclic
cục bộ (n, k) trên hai vành đa thức
Xét hai vành đa thức
1
p
x
+
và
1
k
x
+
, với
pk>
. Sau khi tìm
được các giá trị
,pk
và đa thức
()hx
thỏa mãn điều kiện phân
hoạch,
()hx là tích của một vài đa thức bất khả quy và deg ( )hx k
=
,
ta thực hiện các bước phân hoạch sau đây:
+
Bước 1: Chọn ( ) 1
p
ax x
∈

+ và ( ) 1
k
bx x
∈
+ làm hai phần tử
sinh để phân hoạch cho hai vành đa thức, ( )ax và ( )bx phải
thỏa mãn các điều kiện sau:
- Ít nhất một đa thức có trọng số lẻ và được dùng để phân hoạch
các phần tử có trọng số lẻ của vành, đa thức còn lại được dùng
để phân hoạch các phần tử có trọng số chẵn của vành.
- Cấp của ( )ax và cấp của ( )bx nên bằng k hoặc bội số của k
để thuận lợi cho việc giải mã.
- Để đảm bảo phân hoạch không bị suy biến hoặc bị trùng lặp thì
1
ord ( ) 2
k
ax
−
≤ , tức là cấp của ()ax phải nhỏ hơn hoặc bằng
một nửa số các phần tử trong vành 1
k
x
+
.
+
Bước 2: Thực hiện phân hoạch vành 1
p
x
+
thành các lớp kề theo

modulo của ( )hx với phần tử sinh ( )ax, và phân hoạch vành đa
thức
1
k
x + thành các lớp kề với phần tử sinh ( )bx .
Sau bước này ta được hai tập các lớp kề bao gồm các phần tử đều
thuộc vành
1
k
x + , một tập các lớp kề bao gồm các phần tử có trọng
số chẵn, và một tập các lớp kề bao gồm các phần tử có trọng số lẻ.
+
Bước 3: Lựa chọn các lớp kề từ hai phân hoạch ở bước 2 ta có
thể xây dựng được các mã XCB.
2.3.5. Giải mã cho các mã xyclic cục bộ trên hai vành đa thức
Để giải mã cho các mã XCB xây dựng trên hai vành đa thức vẫn
sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng, tuy nhiên có một vài sửa đổi.
Gọi
A
là một lớp kề trong
phân hoạch của 1
p
x
+
và B
là một lớp kề trong phân
hoạch của
1
k
x +

. Cấu trúc từ
mã XCB trên hai vành đa thức
này như hình 2.1.