Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp trường năm học 2014 2015 môn thi: Toán 9 Trường THCS Nghĩa Thắng41177

PHÒNG GD & ĐT TƯ NGHĨA
TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2014-2015
- Mơn thi:
- Ngày thi:
- Thời gian:

TỐN 9
02-11-2014
150 phút (không kể phát đề)

 x3 x  x 3

x 2
9 x


:
Bài 1: (4,5 điểm). P  1 
 

x  9   2  x 3  x (2  x )(3  x ) 

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P = 1+2015x
Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình sau: x3 - 3x2 - 4x + 12 = 0
b) Với giá trị nào của m thì hàm số: y = (m2 - 4)x + 2015 là hàm số bậc nhất ?
Bài 3: (4 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB
và AD kéo dài tại F và E.
a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.
b/ Chứng minh rằng:

DE AE 2

BF AF 2

Bài 4: (4 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A = 7  4 3  7  4 3 + 2011
b) Chứng minh rằng : 1008.

( a  b ) 2  4 ab
a b

 1008.

a b b a
a. b

 2015 b  b (a>0, b>0)

Bài 5: (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 6 5 và sinB = 2 sinC.
Tính các cạnh AC và AB
--- HẾT ---

1
ThuVienDeThi.com


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
Năm học 2014-2015
Mơn thi:
TỐN 9
Nội dung

Câu
1
 x0
(4,5) a) ĐK  x  9  0

Điểm

x  0

 x  9
x  4
2  x  0



0.5

Ta có:

x ( x  3)   ( x  3)(3  x )  ( x  2)(2 

P  1 
:
( x  3)( x  3)  
(2  x )(3  x )


x)  9  x



 3   4 x x4 
= 

:
x
3
(2
x
)(3
x
)




 

3   (2  x )(3  x ) 

.

2
 x  3    (2  x )


= 
=

0.5

0.5
0.5

3
x 2
3
b) P = 1 
 1 -2015( vơ lý )
x 2

khơng có x thỏa mãn
a) x3 - 3x2 - 4x + 12 = 0
 ( x3 -4x ) - (3x2 -12 ) = 0
 x ( x2 -4 ) -3 ( x2 -4 ) = 0
 ( x2 -4 ) ( x – 3 ) = 0
 x2 - 4 = 0 hoặc x - 3 = 0
 x2 = 4 hoặc x = 3
 x =  2 hoặc x = 3
Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 2; 2;3

b) Hàm số: y = (m2 - 4)x + 2015 là hàm số bậc nhất  m2 – 4

 m = 2
Vậy m =  2
3
(4)

0.5

3
.
x 2

Vậy P =

2
(4)

0.5

0.5
0.5
0.5

0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5

a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF khơng đổi.
ED CD
ED AE



(1)
EA AF
CD AF
AE AF
AE BC
AFE ฀ BFC (G  G ) 



(2)
BC BF
AF BF
ED BC

 ED.BF  CD.BC  a 2 (không đổi
Từ (1) và (2) suy ra:
CD BF
DCE ฀ AFE (G  G ) 

Vậy: Tích DE.BF khơng đổi.

0.5
0.5
0.5

0.5
2

ThuVienDeThi.com


DE AE 2

BF AF 2

b/ Chứng minh rằng:

Nhân (1) và (2) vế theo vế , ta có:

ED BC EA2
.

.
CD BF AF 2

1

DE AE 2

Vì CD = BC nên
BF AF 2

4
a) A = 7  4 3  7  4 3 = (2  3) 2 + (2  3) 2 +2011
(4,0)

= 2  3 + 2  3 +2011
= 2- 3 +2 + 3 +2011
= 4 +2011=2015
b) VT=


=
=

( a  b )2  4 ab
a b



a. b

a b
a b



a2 b  ab 2
ab

ab ( a  b)



0,5
0,5

0,5
0,5

a b b a

( a )2  2 ab  ( b )2  4 ab
( a  b)2

1

0,5
0,5
0,5

a. b

a  b  ( a  b)

 2 b (đpcm).

0,5

Ta có :

1008.

5
(3,5)

( a  b ) 2  4 ab

a b

 1008.

a b b a
a. b

 2015 b  1008.2 b  2015 b 

C
6 5

A

B

Ta có : Sin B = 2 SinC  AC = 2 AB
Mà AB2 + AC2 = BC2
AB2 + (2AB)2 = BC2
5 AB2 = 36.5
 AB = 6
 AC = 12
Vậy AB = 6, AC = 12

1

1
1
0,5
3

ThuVienDeThi.com


Phụ chú:

- Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ vẫn hưởng điểm tối đa.
- Điểm thi khơng làm trịn.

Người ra đề : Trương Quang An

4
ThuVienDeThi.com