Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh năm học 2009 2010 môn Toán học41529

SỞ

GD VÀ ĐT ĐỒ NG THÁP KỲ
Trư ờ ng THPT Cao lãnh 2

THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I LỚ P 12 THPT CẤ P TỈ NH

NĂM HỌ C 2009 - 2010

ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thờ i gian làm bài: 180 phút (không kể thờ i gian phát đề )
Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổ i chiề u)
(Đề thi gồ m có: 01 trang)
Câu 1: (4.0 điể m)
1.1. Cho hàm số : y x 3 (m 3) x 2 (2 3m) x 2m . Tìm m để đồ thị hàm số cắ t trụ c hoành
tạ i 3 điể m phân biệ t có hồnh độ lậ p thành mộ t cấ p số cộ ng theo mộ t thứ tự nào đó.
ecos x cos3 x 1
khi x 0
1.2. Cho hàm số f ( x)
. Tính đạ o hàm củ a hàm số tạ i x = 0
x
0
khi x 0
Câu 2: (3.0 điể m)
1
2.1. Giả i phư ơ ng trình lư ợ ng giác: cos x. cos 2 x. cos 3 x sin x. sin 2 x. sin 3 x
.
2
x3 1 2 x2 x y
2.2.
y3 1 2 y2 y x

Câu 3: (2.0 điể m)
2

2

2

2

x 8 y 2 xy (1)
3.1. Giả i phư ơ ng trình nghiệ m nguyên: x y
3.2. Hàm
xác đị nh và có đạ o hàm trên toàn trụ c số , thỏ a mãn điề u kiệ n:
(*)
tạ i điể m có hồnh độ
Hãy viế t phư ơ ng trình tiế p tuyế n vớ i đồ thị củ a hàm số
Câu 4: (3.0 điể m)
1
3
4.1. Tìm giớ i hạ n: lim
x
1 x 1 x3
195Cnn 3
4.2. Cho dãy số ( Un) có số hạ ng tổ ng quát un
Cnn 5 1 n N . Tìm các số hạ ng
16(n 1)
dư ơ ng củ a dãy.
Câu 5: (2.0 điể m)
Cho

f ( x)

1 x x3

4

x4 .

Sau

khi

khai

triể n

và

rút

gọ n

ta

đư ợ c:

f ( x) a 0 a1 x a 2 x 2 ...a16 x 16 . Hãy tính giá trị củ a hệ số a10 .
Câu 6: (2.0 điể m)
Cho x, y, z là các số thự c thoả mãn các điề u kiệ n sau: x y z 0, x 1 0, y 1 0, z 4 0
x

y
z
. Hãy tìm giá trị lớ n nhấ t củ a biể u thứ c: Q
.
x 1 y 1 z 4
Câu 7: (4.0 điể m)
7.1. Cho đư ờ ng thẳ ng ( d): x 2 y 2 0 và hai điể m A ( 0; 1), B( 3; 4). Hãy tìm toạ độ điể m
M trên ( d) sao cho 2 MA 2 MB 2 có giá trị nhỏ nhấ t.
7.2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nử a lụ c giác đề u nộ i tiế p đư ờ ng trịn đư ờ ng kính
AD = 2a. SA vng góc vớ i mp’ ( ABCD ) và SA = a 6 .
1. Tính khoả ng cách từ A và B đế n mp’ ( SCD ).
2. Tính diệ n tích củ a thiế t diệ n củ a hình chóp S.ABCD vớ i mp’( ) song song vớ i mp’( SAD) và
a 3
cách mp’(SAD) mộ t khoả ng bằ ng
./.Hế t.
4
DeThiMau.vn

1


SỞ

GD VÀ ĐT ĐỒ NG THÁP KỲ
Trư ờ ng THPT Cao lãnh 2

THI CHỌ N HỌ C SINH GIỎ I LỚ P 12 THPT CẤ P TỈ NH

NĂM HỌ C 2009 - 2010

HƯ Ớ NG DẪ N CHẤ M ĐỀ THI CHÍNH THỨ C MƠN: TỐN
(Buổ i chiề u: Ngày 20-9-2009)
(Hư ớ ng dẫ n chấ m và biể u điể m gồ m có 04 trang)
Đáp án

Điể m
4.0
Câu 1
2.0
1.1. Tìm điể m M trên đồ thị (C) sao cho …
Hoành độ giao điể m củ a đồ thị hàm số vớ i trụ c hoành là nghiệ m củ a PT:
0.5
x3 (m 3) x 2 (2 3m) x 2m 0
x1 1, x2 2 , x3 m
0.5
Ba hoành độ này lậ p thành mộ t cấ p số cộ ng theo mộ t thứ tự nào đó thì ta có hệ phư ơ ng trình:
3
m
x1 x 2 2 x3
2
0.5
m 3
x1 x3 2 x 2
x2
0.5
2.0
0.5
0.5
0.5
0.5

3.0
1.5

Đs

1.5

x3

2 x1

m

0

3
; m 3; m 0 thỏ a u cầ u bài tốn.
2
1.2. Tính đạ o hàm củ a hàm số tạ i x = 0
f ( x) f (0)
e cos x cos 3 x 1
e cos x cos 3 x 1 cos x 3 cos 3x
.
Ta có: f ' (0) lim
.
lim
lim
x 0
x 0
x 0 cos x

x 0
cos 3x
x2
x2
ecos x cos3 x 1
et 1
Ta lạ i có: lim
lim
1
x 0 cos x
cos 3x t 0 t
cos x cos 3 x
2sin 2 x sin x
sin 2 x sin x
lim
lim
lim 4
.
4
2
2
x 0
x 0
x 0
x
x
x
2x
Vậ y f’ ( 0) = 4.
Câu 2

2.1. Giả i phư ơ ng trình lư ợ ng giác.
k
* 4x
2x k 2
x
k Z
2
12 3

Vậ y vớ i m

* 4x

2x

k2
x
2
4
Vậ y PT đã cho có 3 họ nghiệ m.
2.2. Giả i hệ phư ơ ng trình.

k

Đs
1.0

Z

1;1 ;

Đs
2.0
1.0

k

1
2

5 1
;

5
2

;

1
2

5 1
;

5
2

Câu 3
3.1. Giả i phư ơ ng trình nghiệ m nguyên.
Dễ thấ y pt có nghiệ m: x = y = 0.

*Thay x = 4 vào (2) ta đư ợ c y = -1, y = 2.
*Thay x = -4 vào (2) ta đư ợ c y = 1, y = -2.
Vậ y PT có các nghiệ m nguyên (x; y) là: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).
3.2. Tìm phư ơ ng trình tiế p tuyế n.
Vì

nên

. Suy ra

. Do đó phư ơ ng trình tiế p tuyế n có dạ ng;

ĐS
3.0

Câu 4
DeThiMau.vn

2


1.5

4.1. Tìm giớ i hạ n.
Vậ y n

2.0
2.0

4.0

2.0
2.0
1.0

1;2 . Từ đó tìm đư ợ c u1

75
, u2
8

45
8

Câu 5: Tìm giá trị củ a hệ số a10 .
Vậ y a10 C 41 .C 43 C 44 C 42 4.4 1.6 22
Câu 6: Tìm giá trị lớ n nhấ t củ a biể u thứ c.
1
3
Vậ y max Q
a b; a b c
a b
;c
3
2
Câu 7:
7.1. Tìm tọ a độ điể m M.
M ( 2;
7.2. Tính khoả ng cách và diệ n tích thiế t diệ n.
1. Tính khoả ng cách.

3

x

y

1
;z
2

1

0.25

d(B,(SCD)) = d(I,(SCD)) =
1.0

1
a 2
d ( A, ( SCD ))
2
2

2. Tính diệ n tích thiế t diệ n.
+ Thiế t diệ n là hình thang vng ( MN // PQ, MQ MN )
1
3a
a 6
a
a2 6

S = (MN + PQ).MQ. MN =
. Vậ y: S =
, MQ
, PQ
2
2
2
2
2

Chú ý: Nế u họ c sinh có hư ớ ng giả i quyế t khác mà đúng và hợ p lơgích thì vẫ n chấ m
điể m tố i đa như hư ớ ng dẫ n này. Sai phầ n trên thì khơng chấ m phầ n dư ớ i.

Giáo viên dạ y: Phan Hữ u Thanh

DeThiMau.vn

3