Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học 2005 2006 đề thi môn: Toán44235

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005-2006
ĐỀ THI MƠN: TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Dành cho học sinh THPT khơng chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
________________________
Câu 1. Cho phương trình sin 2 x  m  sin x  2m cos x

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

 3 
Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 0;  .
 4 
Câu 2.
5  x  3 x2  7
1) Tìm lim
x 1
x2  1
2) Tìm m để phương trình x3  3 x 2  (m  2) x  m  3  0 có ba nghiệm phân biệt,
trong đó có 2 nghiệm âm và một nghiệm dương.
x
 y  sin x  m
Câu 3. Tìm m để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn
 y  sin y  m
 x

điều kiện 0  x  2 ;0  y  2 .
Câu 4. Cho tứ diện SABC. M là một điểm nằm bên trong tam giác ABC (không nằm
trên các cạnh). Qua M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB, SC tương ứng cắt các
mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) tại các điểm A’, B’, C’.

1) Tùy theo vị trí của M hãy trình bày cách dựng các điểm A’, B’, C’.
2) Xác định vị trí của điểm M để đại lượng

MA ' MB ' MC '
.
.
đạt GTLN.
SA SB SC

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(b  c  a ) 2
(c  a  b ) 2
(a  b  c) 2 3


 .
(b  c) 2  a 2 (c  a ) 2  b 2 (a  b) 2  c 2 5
--------------- Hết --------------Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm!
Chữ kí giám thị 1:……………………… Chữ kí giám thị 2:………………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………………..SBD:…………………

DeThiMau.vn


SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho học sinh THPT không chuyên

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
________________________

Câu 1. Cho hai phương trình sau
2sin 7 x ฀ 1  sin  a  .sin x  a.sin 3 x

 a  1 1  cos 2 x   2sin 6 x ฀ 2sin 2 x  2  a  1

(1)
3

(2)

a. Giải các phương trình trên với a 2.
b. Tìm a để hai phương trình trên tương đương.

3 3
sin x  sin y  sin z ฀
2
Câu 2. Giải hệ phương trình 
cos x  cos y  cos z ฀ 3

2
Câu 3. Tìm lim

1 
1
1
1



 ... 


n  1 3
3 5
2n  1  2n  1 

Câu 4. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A1B1C1D1 . Một mặt phẳng  P  thay đổi song
song với hai đáy của lăng trụ cắt các đoạn thẳng AB1 , BC1 , CD1 , DA1 lần lượt tại các
điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng  P  sao cho diện tích của tứ giác
MNPQ đạt GTLN.
Câu 5. Tìm tất cả các số nguyên dương a  b  c sao cho
 1  1  1 
1  1  1   ฀ 2 .
 a  b  c 
--------------- Hết --------------Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm!
Chữ kí giám thị 1:……………………… Chữ kí giám thị 2:………………………
Họ và tên thí sinh:…………………………………………..SBD:…………………

DeThiMau.vn


SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề.

________________________

Câu 1. (3 điểm)Tìm tất cả các giá trị của x   0;2  sao cho:
2cos x  1  sin 2 x  1  sin 2 x  2.
Câu 2. (2 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn abc1. Cmr:
1 
1 
1

 a  1   b  1   c  1    1.
b 
c 
a

Câu 3. (2 điểm)Cho dãy số un ฀ n   n 2  1, n ฀ 1,2,3,...;  ฀ .
a. Với  ฀ 1, tìm lim un .
b. Tìm  để dãy số có giới hạn.
Câu 4. (3 điểm) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần
lượt vẽ các đường thẳng d A  OA, d B  OB, dC  OC , d D  OD. Các sậưp đường thẳng
d A và d B , d B và dC , dC và d D , d D và d A tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N.
a. Cmr KM, LN cắt nhau tại O
b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON.
------------- Hết ------------- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh:................

SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2008-2009

DeThiMau.vn

ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho học sinh THPT khơng chun
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
________________________

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. Tìm các giá trị của a để phương trình dau chỉ có một nghiệm:
1

5  2a  11  a 
5a  3
฀
x  a  x  a  x  3a  1

Câu 2. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm:
cos 2   a  x   2cos   a  x   cos

3 x
x  
.cos 
 2฀ 0
2a
 2a 3 

Câu 3. Cho ABC có tan A  tan C ฀ 2 tan B. Cmr cos A  cos C 

3 2

.
4

Câu 4. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi E là giao điểm của
AC và BD. Cmr nếu ba trung điểm của ba đoạn thẳng AD, BC, OE thẳng hàng thì
AB ฀ CD hoặc ฀
AEB ฀ 900.
Câu 5. Cho x, y, z là các số dương, t/m: x+y+z=3. Tìm GTNN của biểu thức:
P฀

x
y
z


.
xy  1 yz  1 zx  1

------------- Hết ------------- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh:................
SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2009-2010

DeThiMau.vn


ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MƠN: TỐN

Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
________________________

Câu 1. (2, 5 điểm) Giải hệ phương trình:
 x3 y (1  y )  x 2 y 2 (2  y )  xy 3  30  0
 2
2
 x y  x(1  y  y )  y  11  0
x 
(2  3)cos x  2sin 2   
 2 4   1.
Câu 2. (2, 5 điểm) Giải phương trình:
2cos x  1
Câu 3. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh A1 A2 ... A2 n ( với n là số
nguyên lớn hơn 1). Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa
giác đều đã cho.
Câu 4. (2, 5 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB  a 2, BC  a, SA  SB  SC  SD  2a. K là hình chiếu vng góc của B trên AC,
H là hình chiếu vng góc của K trên SA.
a. Tính HK
b. M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK, CD. Cmr BM  MN .
Câu 5. (1, 5 điểm) Cho x, y, z là các số dương, t/m x+y+z=1. Cmr :
1
1
1
27


 .

1  xy 1  yz 1  xz 8

------------- Hết ------------- Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh:................

DeThiMau.vn


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MƠN: TỐN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————

Câu I (2 điểm)
Giải phương trình:
3tan 2 x 

Câu II (2,5 điểm)
1. Cho khai triển:

1  x  x

2

 x3  ...  x 2010

3
1  cotx
2
 2 cos 2 x  0
cos 2 x
1  cotx



2011

 a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...  a4042110 x 4042110

a. Tính tổng a0  a2  a4  ...  a4042110
b. Chứng minh đẳng thức sau:

0
1
2
3
2010
2011
C2011
a2011  C2011
a2010  C2011
a2009  C2011
a2008  ...  C2011
a1  C2011
a0  2011

2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó
chia hết cho 3.
Câu III (2,5 điểm)
1. Cho dãy số  un  được xác định như sau
u1  2011; un 1  n 2  un 1  un  ,
với mọi n  ฀ * , n  2 . Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn và tìm giới hạn đó.
2. Tính giới hạn:
x 2 x  1  3 3x  2  2
x 1
x2 1

A  lim

Câu IV (3 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vng cạnh a .
1. Chứng minh rằng AC ' vng góc với mặt phẳng  A ' BD  và đường thẳng AC ' đi qua
trọng tâm của tam giác A ' BD .
2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vng
góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a .
-------------------Hết------------------Chú ý: Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………

DeThiMau.vn


SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC
——————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————

Câu 1 (1,5 điểm).
tan 2 x  tan x
2



sin  x   .
Giải phương trình:
2
tan x  1
2
4


Câu 2 (3,0 điểm).
1. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ
tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
2. Chứng minh đẳng thức sau:

C   C   C   C 
2
0

2012

2
1
2012

2
2
2012

2
3
2012

2011
2012
1006
.
 ...   C2012
   C2012
  C2012
2

2

Câu 3 (2,5 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình 8 x3  6 x  1  0 có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy
tìm 3 nghiệm đó.
2. Cho dãy số  un  được xác định bởi: u1  sin1; un  un 1 

sin n
, với mọi n  ฀ , n  2 .
n2

Chứng minh rằng dãy số  un  xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a 2 , các
cạnh bên bằng nhau và bằng 3a ( a  0 ). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất
cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a .
2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H
là hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng
SB vng góc với đường thẳng SC, biết rằng

1
1
1
1
 2 2
.
2
SH
SA SB
SC 2

3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD và một điểm X
thay đổi trong khơng gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng XA  XB  XC  XD đạt
giá trị nhỏ nhất.
—Hết—
Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

DeThiMau.vn


SỞ GD&ĐT VĨNH
PHÚC
———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG
CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN
———————————

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm
bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn.
- Với bài hình học nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng
với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câ
Ý
u
1
1,5 điểm

Điể
m

Nội dung trình bày

Điều kiện: cos x  0  x 


2

 k (*)

Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos x(tan x  tan x)  sin x  cos x
2

 2sin 2 x  2sin x.cos x  sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x)  sin x  cos x
 (sin x  cos x)(2sin x  1)  0



+ Với sin x  cos x  0  tan x  1  x    k
1
2

+ Với 2sin x  1  0  sin x   x 


6

4

0,25

2

0,5
0,25

5
 k 2
6

0,25

5
 k 2 (k  ฀ )
6

0,25

 k 2 ; x 

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:
x

2



4

 k ; x 



6

 k 2 ; x 

1 1,5 điểm
Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 99999  10000  1  90000
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1
là: abcd1
Ta có abcd1  10.abcd  1  3.abcd  7.abcd  1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi
3.abcd  1 chia hết cho 7. Đặt 3.abcd  1  7 h  abcd  2h 

khi và chỉ khi h  3t  1
Khi đó ta được: abcd  7t  2  1000  7t  2  9999

h 1
là số nguyên
3

998
9997
t 
 t  143, 144,..., 1428 suy ra số cách chọn ra t sao cho số
7
7
abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286.
1286
Vậy xác suất cần tìm là:
 0, 015

90000

0,5

0,5



2 1,5 điểm

DeThiMau.vn

0,5


Xét đẳng thức 1  x 
+) Ta có 1  x 2 

2012

2012

. 1  x 

2012

 1  x 2 

k
  C2012

  x2 
2012

k

2012

0,5

suy ra hệ số của số hạng chứa x 2012 là

k 0

0,5

1006
C2012
2012
 2012 k

k 
k
x
xk 
   C2012

     C2012
 k 0
  k 0


2012
suy ra hệ số của số hạng chứa x là
o
2012
1
2011
2
2010
3
2009
2012 2012
C2012
C2012
 C2012
C2012
 C2012
C2012
 C2012
C2012
 ...  C2012
C2012

+) Ta có 1  x 

2012

. 1  x 

2012

0,5

0
1
2
3
2011
2012
  C2012
   C2012
   C2012
   C2012
  ...   C2012
   C2012

2

3

2

2

2

2

2

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.

1 1,5 điểm
Đặt f  x   8 x3  6 x  1 ; tập xác định D  ฀ suy ra hàm số liên tục trên ฀ . Ta
0,25
có
 1
f  1  3, f     1, f  0   1, f 1  1 suy ra
 2
 1
 1
f  1 f     0, f    f  0   0, f  0  f 1  0 . Từ 3 bất đẳng thức này và
 2
 2
tính liên tục của hàm số suy ra pt f  x   0 có ba nghiệm phân biệt thuộc

0,5

0,25

 1; 1 .
Đặt x  cos t , t   0;   thay vào pt ta được:
2  4 cos3 t  3cos t   1  cos 3t  cos

 5 7 

được t   ;


3

t


9

k

2
, kết hợp với t   0;   ta
3

 . Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm:
9 9 9 

5
7
.
x  cos , x  cos
, x  cos
9
9
9
;

0,5

2 1,0 điểm

1 1 1
1
 2  2  ...  2  2

2
1 2 3
n
1 1 1
1
1
1
1
Thật vậy, ta có 2  2  2  ...  2  1    ... 

1 2 3
n
1.2 2.3
n  n  1

Nhận xét. Với mỗi số nguyên dương n ta có:

1 1 1
1
1
1
 1  1     ... 
  2   2 suy ra nhận xét được chứng minh.
2 2 3
n 1 n
n
sin1 sin 2
sin n
Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được: un  2  2  ...  2
1

2
n
1 1
1
Ta có un  2  2  ...  2  2 với mọi n (theo nhận xét trên) (1)
1 2
n
1 1
1
Mặt khác un    2  2  ...  2   2 với mọi n (theo nhận xét trên) (2). Từ
n 
1 2

(1) và (2) suy ra dãy số đã cho bị chặn.

DeThiMau.vn

0,5

0,25
0,25


4

1 1,0 điểm
S

M

O
D

C

0,25
I
A

B

Gọi I  AC  BD . Do SA  SB  SC  SD nên các tam giác SAC, SBD cân tại
đỉnh S nên SI vng góc với AC, BD suy ra SI vng góc với mặt phẳng
(ABCD). Dễ thấy mọi điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A,
B, C, D.
Trong tam giác SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O
0,25
suy ra OS  OA  OB  OC  OD .
Ta có SM .SC  SO.SI  SO 

SM .SC
3a.3a
9a 2
9 2a
.



SI
8

2 SA2  IA2 2 9a 2  a 2

9 2a
Vậy SO 
.
8

0,5

2 1,0 điểm

A

H

C

S

0,25
K
B
D

Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi
D là giao điểm của đường thẳng qua S, vng góc với SC. Ta có BC vng
góc với SH và SA nên BC vng góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vng
góc với SK.
Trong tam giác vng SAK ta có

1
1
1
 2
, kết hợp với giả thiết ta
2
SH
SA SK 2

1
1
1
được
 2
(1)
2
SK
SB
SC 2

Trong tam giác vng SDC ta có

1
1
1


(2)
2
2

SK
SD
SC 2

DeThiMau.vn

0,5
0,25


Từ (1) và (2) ta được SB  SD , từ đó suy ra B  D hay suy ra SB vng góc
với SC.
3 1,0 điểm
A

Q

M

G
D

B

0,25
N

P
C

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên
AN  BN suy ra MN  AB , tương tự ta chứng minh được MN  CD và đường
thẳng PQ vng góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy
GA  GB  GC  GD .

XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD
GA
       
XA.GA  XB.GB  XC.GC  XD.GD

GA
    
XG. GA  GB  GC  GD  4.GA2

 4GA . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X
GA
trùng với điểm G. Vậy XA  XB  XC  XD nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng

Ta có XA  XB  XC  XD 



0,5



tâm của tứ diện ABCD.

DeThiMau.vn

0,25