Đế thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2012 2013 môn: Toán47925

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI

ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (3 điểm)
Cho x 

1
3

.
2 32
2( 3  1)

4(x  1)x 2015  2x 2016  2x  1
Tính giá trị của biểu thức: A 
.
2x 2  3x
Bài 2. (3 điểm)
Giải phương trình: 2x 2  2x  1  2x  3( x 2  x  2  1).
Bài 3. (3 điểm)









2
2
2013 3
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x  1  2x 2y  1  1  x y .

Bài 4. (3 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.
5a  3b  2c
 1.
Chứng minh rằng:
abc
Bài 5. (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và
song song với BC, lấy điểm P. Đường trịn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N.
Chứng minh: PM = PN = PA.
Bài 6. (3 điểm)
฀
Cho tam giác ABC vng tại C, có BAC
 300 . Trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC,
lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 3BD 2  5AD 2  5CD 2  DC  2DA.
Bài 7. (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

a 2 (1  2b) b 2 (1  2c) c 2 (1  2a)
.



b
c
a
--- Hết ---

Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh :................

1
ThuVienDeThi.com


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN
(Gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN

CÂU
Câu 1

Cho x 

x

1

3
4( x  1) x 2013  2 x 2012  2 x  1

.Tính giá trị của biểu thức: A 
.
2 x 2  3x
2 3  2 2( 3  1)

42 3
42 3

4
2

ĐIỂM
3.0
0.5

( 3  1) 2
3 1


2
2
3 1
x
là nghiệm của phương trình: 2x2+2x-1=0
2
2(2 x 2  2 x  1) x 2012  2 x  1
A

(2 x 2  2 x  1)  x  1
2x 1
1

 2
x 1
x 1
2
2( 3  1)
 2
 2
 2  3 1  3  3
2
3 1

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5

Vậy A  3  3.
Câu 2

Giải phương trình: 2x 2  2x  1  2x  3( x 2  x  2  1) (1)
Đặt t  x 2  x  2  x 2  t 2  x  2
Thay vào pt(1) ta có pt:

x 2  2x  1  t 2  x  2  2x  3(t  1)

3.0
0.5

 t 2  2x  3 t  (x  1)(x  2)  0
t  x 1

t  x  2
Với t  x  1 ta có pt:

0.5

x2  x  2  x 1
 x  1
 2
2
 x  x  2  x  1

0.5

 x  1
 2
2
 x  x  2  x  2x  1
 x  1

 x 1
x  1

0.5

Với t  x  2 ta có pt:

x2  x  2  x  2
 x  2
 2
2
 x  x  2  x  2 
 x  2
 x  2
2
 2

x

2
3
3x  2
 x  x  2  x  4x  4
2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x  1, x  .
3
2
ThuVienDeThi.com

0.5

0.5

Câu 3









2
2
3 3
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 2y 2x  1  2x 2y  1  1  x y (1)

3.0

Ta có (1)  4xy(x  y)  2(x  y)  1  x 3 y3

0.5

a  x  y
vì x, y nguyên nên a, b nguyên.
b  xy

Đặt 

0.5

Khi đó ta có pt : 4ab  2a  1  b3 với a, b nguyên

b3  1
 2a 
(vì b nguyên nên 2b - 1  0)
2b  1
 16a  4b 2  2b  1 

0.5

7
2b  1

0.5

b  1  a  0

 2b  1  1
1

b  0  a  (L)
 2b  1  1
2
 
Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7  
 2b  1  7
9
 b  4  a  (L)

2


 2b  1  7
 b  3  a  2
x  y  0
 x  y  1
 xy  1

Với a = 0, b = 1 ta có hệ 

0.5

0.25

y  x  2
x  y  2
(VN)
 2
 xy  3
 x  2x  3  0

Với a = 2, b = -3 ta có hệ 

0.25

KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.
Câu 4
Chứng minh rằng:

5a  3b  2c
 1 (1).

a bc

Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được c 

3.0

b2
4a

Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0
Suy ra a – b + c > 0.
Vậy

0.5
0.5

5a  3b  2c
 1  5a  3b  2c  a  b  c  4a  c  2b
a bc

Ta có 4a  c  4a 

0.5

b2
4a

0.5
0.5

b2
 2 b  2b
Áp dụng BĐT Côsi ta có 4a 
4a
0.5

 4a  c  2b
Vậy (1) đúng.
3
ThuVienDeThi.com


Câu 5

Cho đường trịn (O;R), điểm A nằm ngồi đường trịn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến
đường trịn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và
song song với BC, lấy điểm P. Đường trịn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N.
Chứng minh: PM = PN = PA.

3.0

d
P

N
C

K
A

O

I
M

B

Câu 6

Chứng minh được PM=PN
Gọi I=OAd, K=OABC, chứng minh được IA=IK
Có PA2 = AI2 + PI2
= AI2 + PO2 – OI2 (Pitago)
= PO2 – (OI – AI)(OI + AI)
= PO2 – OK.OA (vì IA = IK)
= PO2 – OC2 ( hệ thức trong tam giác vuông OAC)
= PO2 – ON2
= PN2 ( vì tam giác PNO vng tại N)
Vậy PA=PM=PN
฀
Cho tam giác ABC vng tại C, có BAC
 300 . Trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, lấy
điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 3BD 2  5AD 2  5CD 2  DC  2DA.

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

3.0

C
D

A

30°

O

B
R

Tính được AC  R 3, BC  R
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên theo đẳng thức Pơtoleme ta có:
AD.BC+AB.CD=AC.BD
 AD.R  CD.2R  BD.R 3

 AD  2CD  BD. 3
 3BD 2  AD 2  4CD 2  4AD.CD
Vậy ta có:

0.5
0.5
0.5
0.5

3BD 2  5AD 2  5CD 2
 AD 2  4CD 2  4AD.CD  5AD 2  5CD 2

 4AD 2  4AD.CD  CD 2  0

0.5

 (2AD  CD) 2  0
 CD  2AD

0.5

4
ThuVienDeThi.com


Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.
Câu 7

2.0

a 2 (1  2b) b 2 (1  2c) c 2 (1  2a )


.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 
b
c
a
Từ giả thiết chứng minh được a  b  c  3
Do a, b, c (0;1) nên a(1-a), b(1-b), c(1-c),

1 a 1 b 1 c

,
,
0
a
b
c

0.5
0.25

Áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dương ta có :

a 2 (1  b)
 b(1  b)  2a (1  b)
b
b 2 (1  c)
 c(1  c)  2b(1  c)
c
c 2 (1  a )
 a (1  a )  2c(1  a )
a
Cộng vế với vế của 3 bđt trên ta có: P  a  b  c  2(a  b  c)  2(ab  bc  ca )
 P  (a  b  c)  2 vì ab  bc  ac  1
Theo CMT a  b  c  3  P  3  2
Dấu bằng xảy ra khi a  b  c 

1
3

0.25

0.25
0.25
0.25

0.25

Vậy PMin  3  2
Hướng dẫn chung:
+ Trên đây là các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng, thí sinh phải có lời giải chặt chẽ,
chính xác mới cơng nhận cho điểm.
+ Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa.
+ Chấm từng phần. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm trịn, tính đến 0.25 điểm
ST: Phạm Văn Vượng

5
ThuVienDeThi.com