Đề tài Vai trò của Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật50016

LỜI NÓI ĐẦU
Khi nghiên cứu về sự vật, hiện tượng, mỗi chúng ta có những phương
pháp nghiên cứu khác nhau dựa vào cách nhìn nhận sự vật hiện tượng dưới
nhiều góc độ khác nhau. Tuy nhiên, dù nhìn nhận sự, vật hiện tượng ở góc độ
nào đi nữa, chúng ta cũng cần phải nắm được bản chất của vấn đề. Đó là chìa
khóa để chúng ta có những đánh giá chính xác về đối tượng mà chúng ta đang
nghiên cứu. Trong thực tế, mỗi sự vật, hiện tượng đều vận động một cách liên
tục, không ngừng. Nếu chúng ta chỉ xét sự vật ở một góc độ riêng lẻ, tức là
xem xét đối tượng một cách phiếm diện, một chiều, thì dễ đưa đến những
nhận định sai lệch. Điều này rất nguy hiểm, bởi lẽ nó có thể đem lại những
thiệt hại lớn trong đời sống, có khi thiệt hại cả về tính mạng, của cải. Vì thế,
khi nghiên cứu chúng, ta cần phải có cái nhìn tổng thể, đa chiều để nắm bắt
từng đặc tính của sự vật, hiện tượng. Từ đó, tổng hợp nên các đặc tính mang
tính bản chất của chúng để có những cái nhìn đúng đắn về chúng. Chủ nghĩa
Mác – Lênin đã khẳng định điều này thông qua phép biện chứng duy vật.
Phép biện chứng duy vật cho ta cách thức đánh giá một sự vật, hiện
tượng một cách khoa học, chính xác đang được sử dụng rộng rãi trong khoa
học và đời sống hiện nay. Trong tiểu luận này, xin phép được trình bày một
nội dung nhỏ trong lĩnh vực Tốn học. Đó là: “Vai trị của Tốn học trong sự
hình thành và phát triển thế giới quan duy vật”.. Toán học là một lĩnh vực
khoa học lớn. Để nghiên cứu toán học cũng đòi hỏi nhiều yêu cầu. Trong nội
dung tiểu luận này, chỉ xin phép trình bày nội dung ở dạng ví dụ mẫu. Hy
vọng sẽ góp phần hữu ích cho đọc giả trong q trình nghiên cứu Tốn học
của mình. Do thời lượng có hạn, kiến thức bản thân cịn nhiều hạn chế. Vì thế
khơng tránh khỏi những khiếm khuyết. Rất mong được sự góp ý và chỉ bảo
của bạn đọc.
Chuyên đề tiểu luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy phụ
trách môn triết học sau đại học là GVC. Ths Trần Khải Định, trưởng khoa Lí
Luận Chính Trị trường Đại học Tây Nguyên, cùng sự đóng góp ý kiến của các
bạn trong lớp cao học Toán Giải Tích khóa 11, trường Đại học Tây Ngun.
Nhân đây, cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, các bạn học

viên!

1
ThuVienDeThi.com


PHẦN I. MỞ ĐẦU
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các
hình thức khơng gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con
người và lồi người nói chung. Q trình hình thành và phát triển của triết
học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài. Trong q trình đó, tốn học đã
đóng góp một phần rất quan trọng.
Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã
hội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản
thân đối tượng của tốn học cũng khơng ngừng phát triển từ đơn giản đến
phức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao
hơn. Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối
tượng tốn học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong tốn học trên cơ
sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ
đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.
Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học
là các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện
thực, chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của
tốn học dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực
khách quan và mọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng
đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó. Đồng thời, cũng xuất phát từ thực
tiễn phát triển của tốn học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết
toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn
tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học khác

nhau, thậm chí cả trong giới tốn học với nhau đã diễn ra khơng ít các
cuộc tranh luận về bản chất của đối tượng tốn học cũng như vai trị của
tốn học trong quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong tiểu luận
luôn luôn là một vấn đề mang tính thời sự khơng phải chỉ riêng đối với
2
ThuVienDeThi.com


toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc
làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phân tích đối tượng của tốn học sẽ
góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trị của sự phát triển tốn học nói riêng
và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng
khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm đó cũng chính là cơ
sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức tốn học với thực tại
khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của
tốn học thơng qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của
Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy
tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" .
Đó là lý do em chọn đề tài: “Vai trị của Tốn học trong sự hình thành và
phát triển thế giới quan duy vật”.

3
ThuVienDeThi.com


PHẦN II. NỘI DUNG
I.

MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC
TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN

Ngay buổi bình minh của tư tưởng Tây phương, ích lợi thực tiễn của
tốn học đã được Herodotus(1) ghi nhận; ơng cho rằng nguồn gốc của Hình
học xuất phát từ những người đo đất ở Ai Cập. Thật vậy, chữ hình học
theo nguyên ngữ có nghĩa là “trắc địa”. Nhưng các triết gia Hy Lạp, đặc
biệt là Plato, đã tỏ ý khinh bỉ cái ý tưởng coi tốn học có giá trị chỉ vì sự
hữu dụng của nó trong việc khảo sát đất đai hoặc đo lường sự chuyển động
của các thiên thể. Theo Plato, học toán là sự chuẩn bị lý tưởng cho tư
tưởng triết lý, bởi vì nó đem trí tuệ vượt xa khỏi những sư vật thấy được
và sờ được dể chú tâm vào những đối tượng trừu tượng thuần túy - những
con số, những hình hình học, và những tỉ lệ.
Lập trường của Plato đã dẫn đến một kiểu bất đồng khác về bản chất của
tốn học, cịn mãi cho tới ngày nay. Aristote đồng ý với Plato rằng tốn
học có giá trị như một tri thức, hồn tồn khơng kể tới những ứng dụng
thực tiễn, nhưng ơng phản đối mạnh mẽ ý kiến nói tốn học được coi là
mẫu mực cho tất cả tri thức triết học. Ơng lấy làm khó chịu thấy những
học trị của Plato đồng nhất hóa tốn học với triết học, và các sinh viên
khoa triết sẽ không lắng nghe giảng viên nào khơng trình bày tư tưởng của
mình bằng hình thức tốn học. Theo Aristotle, mỗi khoa học có một
phương pháp riêng thích hợp đối với đối tượng chính yếu của nó, và do đó,
phương pháp tốn học khơng nên áp dụng trong các khoa học khác.
Sự bất đồng từ thời thượng cổ Hy Lạp này lại tiếp tục ở thời hiện đại trong
các quan điểm đối lập nhau của Descartes(2) và Kant. Là nhà toán học vĩ
đại đồng thời là một triết gia, Descartes tuyên bố phương pháp toán học là
con đường duy nhất dẫn đến tri thức, kể cả tri thức về vật lý vũ trụ. Đối
với ông, cũng như đối với Newton và các nhà khoa học hiện đại vĩ đại
khác, thế giới tự nhiên hình thành theo cách có thể được hiểu rõ nhất bằng
phân tích tốn học. Từ cái nhìn này, vũ trụ vật chất có một cơ cấu có thể
diễn tả được bằng các thuật ngữ toán học.
Kant thừa nhận rằng những nguyên lý toán học có thể áp dụng vào việc

nghiên cứu thế giới vật lý, và ông đề cao thiên tài của Newton(3). Nhưng
ông cảnh báo các triết gia coi chừng bị lạc đường vì những thành cơng
sáng chói của tốn học trong một lĩnh vực mà ở đó chỉ cần tri thức đích
xác về những quan hệ định lượng. Ơng nói, chúng ta khơng thể có được
một vài tri thức quan trọng nhất bằng cách đi từ những khái niệm và châm
ngôn rõ ràng đến việc chứng minh những kết luận chính xác và chắc chắn.
4
ThuVienDeThi.com


Điều này đặc biệt đúng đối với tri thức, nơi mà những phân biệt minh bạch
chỉ đạt được ở cuối q trình truy vấn, chứ khơng phải ở bước đầu q
trình này. Hơn nữa phương pháp tốn học khơng đóng một vai trị gì trong
đạo đức học, mà đối với Kant thì đạo đức học là khoa học triết lý hồn
thiện nhất.
Trong nhiều thế kỷ qua, tốn học đã có những biến đổi to lớn nhưng cuộc
tranh luận lâu đời này vẫn chưa ngã ngũ giữa các triết gia. Trong số các tư
tưởng gia hiện đại, Bertrand Russell(4), chẳng hạn, tiêu biểu cho chủ
trương dùng phương pháp toán học để tiếp cận mọi vấn đề, trong khi đó thì
John Dewey(5) thích lối tiếp cận có tính chất thực chứng và sinh vật học
hơn. Nhưng cho dù các triết gia có bất đồng thế nào đi nữa về giá trị của
toán học như là một hình mẫu cho mọi loại tri thức, họ vẫn phải đồng ý
với nhau một điều - toán học đem tới cho con người tri thức chắc chắn và
xác minh thông qua sự suy luận nghiêm ngặt mà khơng cần đến sự hỗ trợ
của thí nghiệm và nghiên cứu thực nghiệm
Tính chất chính xác, nghiêm ngặt và thuần lý của tốn học đã đưa nó lên vị
trí cao trong cái nhìn của các nhà giáo dục mọi thời đại. Như Plato khẳng
định, tốn học là mơn học hướng dẫn lý trí trong việc nghiên cứu các đối
tượng và những mối liên hệ trừu tượng. Nó cung cấp một bằng chứng về
suy luận diễn dịch, là thứ suy luận đi từ những tiền đề sáng rõ đến những

kết luận tất yếu.
“Giá trị thực hành” cao nhất của toán học là trong việc phát triển trí tuệ
con người. Có nhiều ứng dụng hằng ngày của toán học: đo đạc địa hình,
thiết kế nhà cửa và quần áo, vạch quỹ đạo súng pháo binh… Nhưng ngay
cả khi các máy tính điện tử và các phương tiện tối tân khác thay thế cho
mọi tính tốn của con người, lý trí chúng ta vẫn phải cần đến nguyên lý
toán học để nắm được một phương diện thiết yếu của thế giới chúng ta
đang sống.
Tốn học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập
luận trừu tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ
bản và đối lập lẫn nhau của nó là lơgic và trực giác, giải tích và phép dựng
hình, tính khái quát và tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt
nguồn từ truyền thống này hay truyền thống khác, sự tác động đồng thời
của những thái cực đó và sự đấu tranh để tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo
cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học toán học.
Sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những
nhu cầu có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái
đà nội tại vượt ra ngồi giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một
khoa học ứng dụng sang một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong
lịch sử xa xưa, song ngày nay cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự
5
ThuVienDeThi.com


đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật lý trong toán học hiện đại cũng đủ
rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa nhất đã xuất hiện ở phương
Đơng khoảng hai nghìn năm trước cơng ngun: người Babilon đã tập
hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu hướng xếp vào
đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học theo một
ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào

khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày
càng tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt
tới đỉnh trong thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo
đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong
lĩnh vực toán học và thiên văn học. Tốn học đã nhanh chóng trở thành
đối tượng của các cuộc thảo luận về triết học thông thường tại các Nhà
nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư tưởng Hy Lạp đã nhận
thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những khái miệm
toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vơ hạn – và bài tốn đo
các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm
vượt khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư
tưởng Evđơkxơp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể
sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy
diễn trong tốn học, bắt đầu từ Evđơkxơp, đã được thể hiện rất rõ trong
tác phẩm “khởi đầu” Ơclit.
Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi
bật nhất của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau
này của khoa học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của
các nhu cầu thực tiễn và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ
thấp chút nào trong việc sáng tạo ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày
tốn học khơng theo phong cánh chặt chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích
hơn.
Sự phát hiện q sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô
ước” đã cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính tốn
bằng số mà trong những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng
kể ở phương Đông. Thay thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong
rừng rậm của hình học tiên đề thuần túy. Thế là bắt đầu một trong những
cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học mà trong đó có thể bỏ lỡ
những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn năm, sự thống trị
của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư tưởng

về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã
được đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.
Sau một thời gian tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng
bão táp trong sự phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng
với sự nảy sinh hình học giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ
6
ThuVienDeThi.com


XVII. Trong các thế kỷ XVII và XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và
suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ
xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy logic hoàn hảo xuất phát từ
những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển nhiên” không mâu
thuẫn với nhau đã khơng cịn làm vừa lịng những người khai phá kiến
thức tốn học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách
pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định
huyền bí phi lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng
của các quy trình hình thức, họ đã phát hiện ra một thế giới tốn học mới
vơ cùng phong phú. Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng
được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận
trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý thức về sự cần thiết phải
củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu cầu của giáo dục
cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn tới sự xét
lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích phân
và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những
đã trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu
bởi sự trở lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của
các chứng minh. Về mặt này thì khn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một
lần nữa, con lắc đã nghiêng về sự hồn hảo lơgic và sự trừu tượng. Hiện
nay, chúng ta cịn chưa vượt ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy

vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo nên giữa toán học thuần túy và
những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay thế bởi sự thống nhất
chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay, một khối lượng
những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên cơ sở
của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết tốn học sao cho
những ứng dụng khơng bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ
giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa
tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ tốn
học trong một tương lai gần đây.
Dù ta đứng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu
khoa học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và
đối với các công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải
là trí thức, chưa phải là sự thơng hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau
và cắt nghĩa bằng thuật ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật
tự thân” (*) không phải là đối tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý
mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng đối với một phương pháp khoa
học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận siêu hình, chung quy là sự
biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái niệm và các phép
dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”. Nhận
thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế
giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm
ngây thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của
khoa học hiện đại.
7
ThuVienDeThi.com


Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc
thủ tiêu duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự
kiện đồng thời, phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những

hiện tượng quan sát và khi ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này
tất phải có một ý nghĩa chính xác nào đó mới chỉ là một tiên đốn siêu
hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng mầm mống của lý tương đối của
ông. Khi Niels Bohr và các học trị của ơng cân nhắc kỹ sự kiện một quan
sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa dụng cụ và vật
được quan sát thì ơng đã thấy rõ rằng khơng thể một định nghĩa vị trí và
vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong
vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết.
Trong thế kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng
các lực cơ học và chuyển động của các phân tử trong không gian là các
vật tự thân; cịn điện, ánh sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học
(hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ cơ học) tương tự như đã làm với lý
thuyết nhiệt. Khái niệm về một mơi trường có tính chất giả định – gọi là
mơi trường “ête” - đã được đề xuất cho thích hợp với những chuyển động
cơ học khơng hồn tồn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và điện. Dần dà
đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc về
siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một
cách cơ học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về
ê-te đã bị dứt khoát loại bỏ.
Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí cịn rõ
ràng hơn. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà
họ quan tâm – số, đường thẳng v.v ... như là những vật tự thân. Song, vì
những bản thể đó khơng thích hợp với ý định mơ tả chính xác về bản chất
của chúng, trong các nhà toán học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng
cho rằng vấn đề về giá trị của những khái niệm đó xem như những thực
thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu) cũng đều khơng có ý
nghĩa. Những khẳng định tốn học mà những thuật ngữ đó thâm nhập vào
tốn học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối liên hệ
tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với
những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề

điểm, đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có
liên quan trực tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên
hệ tương hỗ giữa các sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng;
theo những quy tắc nhất định thì từ các số này ta suy ra được các số khác
v.v...
Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho
rằng các khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một
trong những chiến công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện
nay của tốn học.
8
ThuVienDeThi.com


May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng
triết học giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết
cịn quyến luyến chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với
những người u thích tốn học thì khơng phải triết học mà chỉ có sự tân
tụy nghiên cứu bản thân tốn học mới có thể trả lời được câu hỏi: Tốn
học là gì?

II.

ẢNH HƯỞNG CỦA TỐN HỌC ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN
CỦA TRIẾT HỌC VÀ CÁC NGÀNH KHOA HỌC TỰ
NHIÊN

Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại
lượng lấy những giá trị cố định. Trước hết, tốn học đã đóng góp vào sự
hình thành cơ sở của lơgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính
xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần hình thành nên các ngun tắc của tư duy

khoa học. Thí dụ từ quan hệ a = b, b = c suy ra a = c. Tuy nhiên, khái niệm
bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và
thiên văn học là tương đối phát triển. Tốn học đã thơng qua hai khoa học
này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ
nhật tâm. Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách
mạng mà Copecních thực hiện địi hỏi phải có một nền tốn học mang
những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là tốn học về các đại lượng biến
đổi ở thời kỳ cổ điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học
Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới
xung quanh. Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học
làm chuẩn mực để tính tốn khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ
sở cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của
chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát
triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự nhiên. Mặt khác,
những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo ra
mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ
cổ đại. Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và
hữu hạn... Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù tốn học có đóng góp vào sự
hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ
dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan chủ nghĩa
duy vật siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất
yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến tốn học, trước hết vì những tư
tưởng về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm
hơn ở các khoa học tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá:
9
ThuVienDeThi.com

“Đại lượng biến đổi của Đềcác đã đánh dấu một bước ngoặt trong tốn
học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi vào tốn học và phép tính vi
phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.” . Thật vậy, trong lập luận
của giải tínc tốn và phép tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm
như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn... Rõ ràng, toán
học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh
rất quan trọng. Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của tốn học
đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học. Ở thời kỳ trước cổ điển,
lơgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các khái niệm, phạm
trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng vận động, liên hệ
của tốn học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các hình
thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình
thức nói riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem
đường cong là giới hạn của những đường thẳng.... Vì vậy, tư tưởng vận
động, liên hệ của toán học là một trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện
chứng. Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở khoa học của logic biện
chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao?
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan
siêu hình máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và
phát triển tư tưởng vận động, liên hệ của tốn học đã giáng một địn mạnh
mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính
bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên”. Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi
phân, giải tích tốn học đã tạo cho các nhà khoa học một phương tiện mới
trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật, q trình trong tự nhiên. Nhờ
đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy
luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời thuyết tương đối
của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình
học phi Ơclít. Như vậy, tốn học đã thơng qua vật lý học, đóng góp vào
cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc
dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian

và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra
đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại
khác là ví dụ (với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian khơng
tách rời nhau).
Một thành tựu quan trọng khác của tốn học thời kỳ này là sự ra đời của
tưởng thống kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn
tại khách quan của cái ngẫu nhiên. Thế giới khơng chỉ có những cái tất
nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt
chẽ và bổ sung cho nhau. Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan
niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các
sự vật, hiện tượng, q trình. Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận
chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và
10
ThuVienDeThi.com


tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Sự tồn tại cái ngẫu
nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới.
Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp
phần hình thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho
thế giới quan duy vật biện chứng. Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng
mang những hạn chế nhất định. Nó chưa đáp ứng được những nhu cầu của
nền sản xuất từ cơ khí hố chuyển sang nền sản xuất tự động hoá, của sự
phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên
ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những địi hỏi ấy tất yếu dẫn toán học
tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật
toán.
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư
tưởng cấu trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một
cách trừu tượng và khái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để

vạcg ra quy luật chung của chúng. Nói theo ngơn ngữ tốn học, tức là có
sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa các lĩnh vực có bản chất khác
nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong những cơ sở lý luận
cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều khiển học, tin
học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế... Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở
sự tương tự về cấu trúc giữa các q trình diễn ra trong giới tự nhiên vơ
sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự
động, hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, tốn học hiện đại đóng
vai trị nền tảng trong q trình nhất thể hố các khoa học. Hơn nữa, tư
tưởng cấu trúc của tốn học cịn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất
của thế giới. Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu
hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật:
tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức
được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có
những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này.
Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý
thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư
tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương
trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn,
sự tăng trưởng của nền kinh tế... Như vậy, tư tưởng cấu trúc của tốn học
hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của
sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp
luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận
chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của
thế giới.
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh
11
ThuVienDeThi.com

hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại,
đặc biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự
về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất
giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết
hình thức (trừu tượng) của tốn học, người ta đã phát hiện ra những hạt
mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm. Điển hình là việc
phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một
phương trình z căn bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự
đốn ngồi electron cịn tồn tại một hạt khác có một số tính chất vừa giống
điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về dấu của điện tích. Đó là pozitron. Dự
đoán này đã trở thành hiện thực. Về sau các phản hạt của phần lớn các hạt
cũng được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron. Khả năng vượt trước
của tốn học đã luận chứng, hồn thiện, cụ thể hố quan điểm của chủ
nghĩa duy vật về điện tử là vơ cùng vơ tận. Các cuộc cách mạng trong hố
học (hoá học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân
tử... đều dựa vào những thành tựu của toán học hiện đại. Đối với khoa học
nhân văn, khả năng hình thành tốn kinh tế, tốn tâm lý, tốn xã hội... sẽ
góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong nhận thức nhân
văn và xã hội.
Ở trên là ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới
quan triết học. Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích
cực đến sự phát triển của tốn học, trước hết dẫn đến một số khuynh
hướng nghiên cứu toán học. Ví dụ, khuynh hướng tìm kiếm các cấu trúc
tốn tương ứng với quan hệ không tuyển (vừa là... vừa là, chẳng hạn vừa là
sóng, vừa là hạt) là một trong những đặc điểm nổi bật của các hệ thống
phức tạp trong giới tự nhiên sống và xã hội. Quan điểm “tập hợp mờ” tức
là tập hợp toán trong ranh giới giữa các phân tử không rõ ràng của lade,
cho đến cái gọi là “toán học của sự phát triển” (khuynh hướng toán học về
sự tiến hoá của sự sống). Tuy nhiên cũng cần phải thấy rằng chủ nghĩa duy

tâm cũng đã lợi dụng những thành tựu của toán học hiện đại vì những mưu
đồ đen tối của nó. Bên cạnh đó cũng có những sự giải thích lệch lạc của
chủ nghĩa duy vật không biện chứng trong khi lĩnh hội, kiến giải và sử
dụng các thành tựu toán học. Những sự giải thích như vậy chỉ nhằm mưu
đồ phủ nhận triết học khoa học, xố nhồ mối liên hệ, quan hệ giữa triết
học khoa học với toán học hiện đại.
“Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người
trong cảm giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánh
và tồn tại khơng lệ thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng tốn học đều có
đặc điểm như vậy. Thế giới tốn học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ
mà trong có các đối tượng tốn học như thể vật chất, cịn các tính chất
trong tốn học như thể các hiện tượng. Nếu triết học nghiên cứu về sự vận
12
ThuVienDeThi.com


động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì tốn học nghiên cứu về
những đối tượng và các tính chất bất biến của nó. Điều đó cho thấy rằng
tốn học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

III. GĨC NHÌN TRIẾT HỌC VỀ TỐN HỌC.
1. Thế giới vật chất tốn học.
1.1. “Vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý
thức”.
Trong tốn học, tất cả các đối tượng toán học đều là một thế giới vật
chất sinh động. Từ những con số hay tập số, kí hiệu tốn học, biểu thức
tốn học, phương trình tốn học… đều là một dạng vật chất. Chúng có
trước và tồn tại khách quan, khơng phụ thuộc vào cảm giác con người. Và
vì vậy, chúng sẽ bị chi phối bởi cac quy luật khách quan, chẳng hạn: hằng
đẳng thức, nguyên lý Đi-rich-lê về những chú thỏ và những chiếc lồng,

quy luật tương ứng 1-1 của hàm số, các bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-côpxki… Tất cả các đối tượng tốn học đều có trước những người khám phá
ra nó. Tất cả đã vốn đều có trong thực tiễn. Thật vậy, ta có:
Những con số hay tập số: Một đội tuyển bóng đá ra sân gồm 11 cầu
thủ, lớp học gồm 30 học sinh, một ta bút chì có 12 cậy bút, … Những con
số 11, 30, 12 là ngẫu nhiên khách quan. Nếu con người khơng khám phá
thì tự bản thân nó vẫn mang bản chất là 11, 30 và 12, chỉ có điều nó chưa
được gán cái tên là “11”, “30” và “12”… Như vậy, trước khi con người
tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan. Việc con người
khám phá chỉ mang tính chất định dạng lại.
Kí hiệu tốn học: Các kí hiệu tốn học như “+”, “-”, “x”, “/” (cộng, trừ,
nhân, chia), hay phép giao, phép hội, rồi tam giác, rồi hình lập phương…
tất cả đều xuất phát từ thực tế. Đơn cử như phép cộng. Nó có thể xuất phát
từ nhiều bài tốn thực tiễn cơ bản. Đó là việc thêm một lượng đối tượng
(người, đồ dùng, tiền ,…) vào một lượng đối tượng đã có trước đó để thu
được một lượng lớn hơn. Hay các hình như tam giác, lập phương… tồn tại
rất nhiều trong cuộc sống cho dù con người có khám phá ra hay khơng, nó
mãi mãi vẫn vậy
Biểu thức toán học: Các biểu thức toán học như cơng thức tốn học,
phương trình tốn học là biểu thị mối liên hệ giữa các đối tượng vật chất
tốn học như các con số hay kí hiệu tốn học. Nó cũng là dạng vật chất,
xuất phát từ trong thực tiễn, đó là từ những tình huống, những bài tốn cần
tìm một đối tượng nào đó. Đơn cử như tình huống một thửa ruộng hình
chữ nhật có chu vi là 30m, diện tích 200m2. Yêu cầu đặt ra là tính các
cạnh của nó. Khi đó ta dễ dàng có các phương trình tốn học a + b = 30
và a.b = 200. Với a là chiều dài, b là chiều rộng…
Các quy luật toán học: Luật tương ứng 1-1 cho ta khái niệm về hàm số.
Điều này thể hiện ở thực tiễn một cách rộng rãi. Như mỗi đồ dùng, vật
13
ThuVienDeThi.com

dụng có một cái tên. Mỗi con vật gắn liền với một cái tên. Mỗi người có
một số tiền lương nhất định… Tất cả đều xuất phát từ thực tiễn.
1.2. Vật chất tồn tại theo quy luật khách quan.
Từ việc nghiên cứu thực tiễn, con người đã khái quát hóa nên các đối
tượng toán học ấy. Các đối tượng này được con người định dạng lại bằng
việc gán cho nó một cái tên như là “hàm số – đồ thị”, “tập số”, “phương
trình”, “hình lập phương”… Tất cả những đối tượng đó đúng như triết học
duy vật biện chứng khẳng định tính chất “tồn tại khách quan, độc lập với ý
thức của con người, không ai tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được”.
Theo quan điểm triết học Mác – xít, thơng qua hoạt động của mình, con
người tác động vào giới tự nhiên tạo nên sự ảnh hưởng đến sự tồn tại và
phát triển của giới tự nhiên. Tuy thế, sự tồn tại và phát triển của giới tự
nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng, con người không thể
quyết định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ý muốn chủ quan của
mình”. Trong toán học, từ những hoạt động toán học (khám phá các đối
tượng, chứng minh các tính chất tốn học) đã làm cho “thế giới toán học”
phát triển ngày càng nâng cao, nhưng tốn học vẫn có sự phát triển theo
quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào con người, con người
khơng thể thay đổi được các quy luật đó. Ngun lý Đi-rich-lê vẫn ln
đúng dù con người có tác động đên hay khơng. Hay như trong hình học
phẳng “2 đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ
3 thì chúng song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy… Cho dù “con
người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được thế
giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả các đối tượng toán
học đều tuân theo quy luật riêng của nó. Tuy nhiên con người có khả năng
nhận thức được, tác động vào nó và khám phá ra nó, nhằm phục vụ cho
mục đích con người. Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con
người hiểu rõ hơn về thế giới vật chất, nâng cao thế giới quan và phương
pháp luận biện chứng của con người.

2. Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học.
Thế giới vật chất toán học luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận
động và phát triển đó thể hiện là sự vận động trong nội tại toán học. Chẳng
hạn như:
Tập số: Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số
phức…
Các phép toán: phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit…
Phép biến hình: Phép tịnh tiến đồ thị, phép biến hình trong hình học,
quỹ tích và tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm
số…
Sự vận động cịn thể hiện ở phương trình và bất phương trình chứa
tham số, khi tham số thay đổi phương trình và bất phương trình thay đổi…
Hay ban đầu con người ta chỉ biết giải phương trình bậc nhất, nhưng sau
đó con người đã biết giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn và thậm
chí cịn chứng minh được phương trình bậc năm khơng có phương pháp
14
ThuVienDeThi.com


giải tổng qt.
Sự vận động phát triển đó cịn là sự vận động và phát triển của các
kiến thức toán học nói chung. Tất cả các kiến thức tốn học phát triển hàng
ngày hay ngày thậm chí hàng giờ. Khơng chỉ lý thuyết tốn phát triển, mà
cơng cụ giải tốn cũng phát triển. Xin đơn cử:
Nếu như hình học ban đầu chỉ giải theo phương pháp tổng hợp đơn
thuần thông qua tính tốn và trực quan thì sau đó đã có những cơng cụ mới
giải tốn mạnh hơn, phù hợp hơn như phương pháp vectơ, phương pháp
quỹ tích…
Hay như trong vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số xác định điểm
để vẽ đồ thị cho đến công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên) thơng qua

các tính chất đặc trưng như tính tuần hồn, tính đối xứng, tính đồng biến,
nghịch biến...
Rồi với các bài toán đố, chỉ với những phép tốn thơng thường đa
phần là tính nhẩm, hay là mị mẫm… thì rõ ràng việc giải một số bài tốn
này bất tiện và khơng nhanh chóng hơn bằng phương pháp dùng phương
trình để giải…
Tốn học vận động theo cách thức cái mới ra đời thay thế cái cũ, cái
tiến bộ ra đời thay thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó khơng phải là
phủ nhận hồn tồn, mà là trên cơ sở kế thừa cái cũ. Điều này thể hiện rõ
bản chất triết học trong toán học. Chẳng hạn, khi giải phương trình bậc 2
một ẩn, ta đã xây dưng được phương pháp cụ thể. Cũng từ đó một số
phương trình bậc ba, bậc 4 dạng đặc biệt cũng được giải bằng cách đưa về
phương trình bậc hai. Không chỉ thế, nhờ việc xét trường hợp vô nghiệm
trên trường số thực khi delta âm, ngươi ta còn xây dựng lên trường số
phức ơi nhiều tính chất và ứng dụng đặc biệt. Hay thay vì xét trường hợp
hữu hạn riêng lẻ, người ta đã xây dựng nên trường hợp tổng qt thơng
qua phép quy nạp tốn học…Và khi phương pháp tốn học đã phát triển,
người ta có thể kết hợp cả nhiều phương pháp như phương pháp vectơ,
phương pháp giải tích, hay phương pháp đại số…
Tất cả sự phát triển đó là tất yếu trong tốn học, và vì sự tất yếu đó,
nên khi xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ bảo
thủ. Sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển và vận
động của tư duy các nhà toán học. Ngày nay, toán học phát triển một cách
vượt bậc với những tính chất đa dạng và phong phú. Sự vận động đó đem
lại cho con người nhiều ứng dụng, không chỉ đơn thuần là trong nội tại
tốn học mà cịn trong các khoa học khác như tin học, hóa học, vật lý, sinh
học, y học… Tốn học ngày càng phát triển thì khả năng ứng dụng của nó
vào thực tiễn ngày càng cao, càng hiệu quả.
3. Nguồn gốc vận động và phát triển của thế giới vật chất toán học.
Nếu như triết học Mác-Lênin khẳng định thế giới vật chất vận động

và phát triển theo quy luật mâu thuẫn thì trong tốn học điều này thể hiện
rất rõ. Mâu thuẫn là một chỉnh thể, trong đó có hai mặt đối lập vừa thống
15
ThuVienDeThi.com


nhất với nhau, vừa đấu tranh với nhau. Trong toán học, các mặt đối lập
thể hiện trong nhiều nội dung. Chẳng hạn, trong tập số tự nhiên, ta thấy số
chẵn và lẻ với các tính chất trái ngược nhau, nhưng chúng lại thống nhất
để tạo nên chỉnh thể tập các số tự nhiên. Hay số âm và số dương (trong
chỉnh thể số thực). Rồi tính đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàm
số ); mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó (trong chỉnh thể mệnh đề); tập
hợp và phần bù của tập hợp; không gian và không gian đối ngẫu; bằng và
khác, số đúng và số gần đúng; ngoại tiếp và nội tiếp…Những mặt đối lập
liên hệ gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn tại cho nhau mà trong
triết học gọi đó là sự thống nhất của các mặt đối lập. Thật vậy, số thực
dương và số thực âm không tồn tại riêng lẻ, nếu khơng có số thực dương
thì số thực âm cũng khơng có đồng thời khơng tồn tại tập số thực và ngược
lại. Hay đối với số chẵn và số lẻ trong tập số tự nhiên, nếu số chẵn chia hết
cho 2 (dạng 2k với k tự nhiên) thì số lẻ chia 2 dư 1 (dạng 2k+1). Rõ ràng
nếu khơng có số chẵn thì khơng có số lẻ và sẽ khơng có tập số tự nhiên.
Do đó chúng vẫn tồn tại đối lập mà thống nhất với nhau để hình thành
chỉnh thể tập số tự nhiên…Cũng từ mâu thuẫn giữa các mặt đối lập này
(quan hệ chia hết, không chia hết chẳng hạn) người ta đã phát triển thành
ra tập số hữu tỷ với nhiều ứng dụng. Rồi cũng từ số hữu tỷ ta xây dựng nên
số vô tỷ, để tạo nên chỉnh thể tập số thực. Cũng từ tập số thực, là động lực
để xây dựng số ảo tạo nên trường số phức… Tất cả điều thể hiện: mâu
thuẫn là động lực của sự phát triển.
4. Cách thức vận động, phát triển của thế giới vật chất toán học.
Thế giới vật chất toán học vận động theo nhiều quy luật. Xong, thể

hiện rõ nét với quy luật lượng chất. Triết học Mác-xit khẳng định: Sự biến
đổi về chất dẫn đến sự biến đổi về lượng, chất mới sinh ra bao hàm một
lượng mới tương ứng. Ví dụ, khi xét một tam giác thường, có ba cạnh, có
thể bằng nhau hoặc khác nhau, nhưng một tam giác cân chắc chắn là có hai
cạnh bằng nhau và khác cạnh còn lại, đến với tam giác đều, rõ ràng 3 cạnh
bằng nhau. Hay một tứ giác có bốn cạnh có thể bằng nhau hoặc khác nhau
nhưng một hình bình hành thì có 2 cặp cạnh bằng nhau từng đơi một, một
hình vng thì có 4 cạnh bằng nhau. Đối với biểu thức S=a+b, khi S thay
đổi chắc chắn a hoặc b thay đổi. Rồi xét một phương trình đa thức. Nếu nó
là phương trình bậc hai thì có tính chất về nghiệm là vơ nghiệm, có
nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt; cịn nếu nó là phương trình bậc ba
thì có tính chất về nghiệm là có nghiệm, có hai nghiệm, có ba nghiệm phân
biệt …
5. Phép duy vật biện chứng trong toán học.
Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật,
hiện tượng trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và
phát triển không ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là
phương pháp luận biện chứng. Khi giải quyết một vấn đề toán học, các đối
16
ThuVienDeThi.com


tượng toán học được nhà toán học xem xét dựa trên sự ràng buộc giữa
chúng, và trong sự vận động khơng ngừng. Từ đó tìm ra quy luật chi phối
chúng để tổng kết nên thành quả toán học. Xin đề cập ví dụ là giải bài tốn
tìm hai số ngun dương x và y thỏa x + y = 3. Rõ ràng biểu thức trên đã
cho thấy mối liên hệ ràng buộc giữa x và y. Và chúng còn mỗi quan hệ nữa
chính là đều là các số nguyên dương, tức là x và y đều không nhỏ hơn 1 và
khơng lớn hơn 3. Từ đó, x và y chỉ có thể bằng 1 hoặc 2. Kiểm nghiêm
thấy x=1, y=2 hoặc x=2, y=1 là hai căp nghiệm. Một ví dụ đơn giản thôi,

nhung ta thấy rằng, khi làm việc với các đối tượng toán học, chúng ta cần
phải xét chúng trong sư ràng buộc, trong sự vận động và phát triển của
chúng.
Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng.
Cụ thể, tất cả các cơng thức trong tốn học đều thể hiện mối quan hệ biện
chứng.
Như xét định lý “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng
giữa 2 góc đối đỉnh; “hai tam giác có 2 cặp góc băng nhau thi đồng dạng”:
mối quan hệ biện chứng giữa 2 tam giác, giữa các goc trong 1 tam giác.
Nói rộng ra, tất cả các định lý, tính chất đều thể hiện mối quan hệ biện
chứng
trong
đó.
Ta cịn có thể kể đến mối quan hệ biện chứng giữa biến số và hàm số, giữa
các mệnh đề với quan hệ suy ra hay tương đương.. Trong triết học “thế
giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có sau. Thế
giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách
quan”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính
chất các đối tượng) là cái có trước cịn tất cả các chứng minh tốn học là
cái có sau. Con người có khả năng nhận thức được các quy luật của các đối
tượng đó. Sự nhận thức này là từ phương pháp luận biện chứng đã nói ở
trên. Như vậy, tốn học và phương pháp luận biện chứng có mối quan
hệ khơng thể tách rời nhau, mà gắn bó chặt chẽ với nhau. Nội dung này sẽ
được cụ thể hóa bằng phần trọng tâm của chun đề. Đó chính là nội dung
của chương 2 mà ta sẽ làm rõ sau đây.
IV. VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VÀO SÁNG
TẠO TỐN HỌC.
Tốn học là một khoa học cụ thể, có quan hệ chặt chẽ với triết học.
Trong các quy luật khách quan về thế giới vật chất, toán học cũng vận
động theo các quy luật khách quan đó. Là người nghiên cứu tốn học, ta

hiểu rằng, bất cứ một lời giải cho một bài toán cụ thể nào đều dựa vào mối
quan hệ giữa các yếu tố trong giả thiết (đề bài). Nói rộng hơn, đó là sự thể
hiện của mối quan hệ biện chứng giữa các yếu tố toán học. Trên cơ sở đó,
xuất phát từ việc nghiên cứu kĩ về phép biện chứng duy vật, ta sẽ thu được
những kết quả thú vị trong q trình nghiên cứu tốn học. Trong phần này,
xin đưa ra quan điểm về việc vận dụng phép biện chứng duy vật vào sáng
17
ThuVienDeThi.com


tạo toán học bằng việc xây dựng kiến thức về cách thức tiếp cận thông qua
các vấn đề cụ thể. Từ đó, sẽ là cơ sở để chúng ta mở rộng vấn đề hơn trong
những đề tài tương tự.
1. Vận dụng phép biện chứng duy vật với cặp phạm trù “cái chung –
cái riêng”.
Hẳn chúng ta đã biết định lý Pi-ta-go quen thuộc trong chương trình
hình học lớp 8: trong một tam giác vng, bình phương cạnh huyền bằng
tổng các bình phương hai cạnh góc vng. Nếu học xong nội dung của
định lý này, chúng ta hiểu được định lý, có thể áp dụng vào giải một số bài
tốn liên quan đến cơng thức trong định lý thì quả thật chưa đủ. Bởi lẽ, đây
là kiến thức tương đối thú vị về tam giác vuông, từ công thức của định lý
này, ta có thể tìm ra các bộ số Pi-ta-go chẳng hạn bộ số (3,4,5) hay bộ số
(6,8,10)…(vì 32+42=52; 62+82=102), hay có thể áp dụng kết hợp với tính
đồng dạng để đo chiều cao của cây, của các cơng trình…cịn rất nhiều ứng
dụng vô cùng thú vị nữa. Tôi đặt ra vấn đề này bởi vì là một người học
tốn, nghiên cứu toán, nếu như sau mỗi một bài toán cụ thể nào đó, ta
dừng lại và chấp nhận nó như một chân lý khách quan và là một thành quả
của bản thân thì chưa đủ. Như vậy chúng ta chỉ tiếp cận được những cái rất
khô và sơ cứng mà lâu nay ta nhầm tưởng và mặc định tính chất khơ khan
cho tốn học. Thực ra, ta sẽ thấy toán học rất linh động, uyển chuyển, mới

lạ, hào hứng và thú vị. Để có được chất nghệ thuật trong tốn học, với mỗi
vấn đề tốn học, ta cần tìm hiểu nó một cách rõ ràng. Đồng thời đừng quên
mở rộng vấn đề cho bài toán. Việc mở rộng này hồn tồn khơng khó
khăn. Chỉ bằng cách đặt những câu hỏi: Tại sao? Vì sao? Thiếu cái này thì
sẽ thế nào? Thêm cái kia thì sẽ ra sao? Hay: Đối với vấn đề tương tự, liệu
ta có thu được kiến thức tương tự không?...Và cuối cùng không quên đặt
câu hỏi: Thực tế ứng dụng của bài tốn là gì? Việc trả lời các câu hỏi trên
không hề dễ, nhưng cũng chẳng khó. Điều quan trong ở đây chính là cách
thức tiếp cận như thế nào? Và thực hiện nó ra sao? Đó chính là nội dung
của việc ứng dụng phép biện chứng duy vật vào toán học mà ta sẽ làm rõ.
Ta lần lượt đi vào các bài toán và đưa ra cách thức sáng tạo trong mỗi
hướng tiếp cận để thu được những kết quả mới thú vị. Cái mà chúng ta
thường gọi là sáng tạo toán học.
Bài toán 1: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý Hàm số cosin trong tam
giác.
Bài tốn 2: Từ định lí Pi-ta-go đến hệ thức lượng trong tứ giác.
Bài toán 3: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý diện tích các mặt trong
tam diện vuông.
2. Vận dụng phép biện chứng duy vật với quy luật “lượng -chất”
Ở kiến thức bậc trung học, hẳn chúng ta rõ ràng bài toán cơ bản:
“Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B nằm khác phía nhau so với đường
thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB nhỏ nhất”. Đây là bài toán
18
ThuVienDeThi.com


khá đơn giản. Vì nó dựa vào kết luận quen thuộc:
“Trong một tam giác, tổng hai
B

cạnh bao giờ cũng lớn hơn cạnh cịn lại”.
Vậy đáp số chính là: điểm M cần tìm

M

d

M’

là giao điểm của AB và d (hình 2.1).
A

Thật thế, với bất kì điểm M trên d

Hình 2.1

ta đều có MA  MB  AB .
Thế nên, MA + MB nhỏ nhất khi có dấu bằng xảy ra, tức là A,M, B thẳng
hàng. Khi đó M là giao của AB và d. Nếu xét bài toán trên như là một sự
vật hiện tượng, thì ta thấy có các yếu tố về lượng và chất trong đó như: các
điểm A, B, M, khoảng cách MA, MB, MA + MB và đường thẳng d (yếu tố
lượng); A, B nằm khác phía, M thuộc d , MA + MB nhỏ nhất (yếu tố chất).
Tuy nhiên, sự phân biệt chỉ mang tính chất tương đối. Bởi lẽ, xét “tính
khác phía” của A, B là chất đối với hai điểm này, xong cũng có thể là
lượng của cả bài toán. Mặc dù vậy, điều này khơng quan trọng lắm. Vì ta
tập chung vào sự phân tích cụ thể nào đó để tìm ra hướng phát triển mới
của bài tốn. Đó mới là điều quan trọng. Ta thấy rằng, yếu tố quan trọng
của bài toán tập trung chủ yếu vào tính chất “cùng phía” hay “khác phía”
của A, B và sự “nhỏ nhất của tổng MA +MB”. Các yếu tố khác trong bài
tốn là “bình thường”. Nếu xét như trên, thì khi thay đổi tính chất “cùng

phía” bởi “khác phía” thì rõ ràng tính chất bài tốn sẽ thay đổi. Cũng chính
từ đó, bài tốn có thể theo hai hướng: một là mở rộng ra, hai là thu hẹp đi.
Bây giờ ta bỏ hẳn yếu tố này đi. Tức là “A, B có thể cùng hoặc khác phía”.
Thế thì rõ ràng bài tốn đã có sự thay đổi về chất đáng kể. Khi đó, tính
chất bài toán sẽ khác. Ta thấy rằng, bài toán lúc này sẽ rộng hơn, phức tạp
hơn. Bởi vì, xét riêng mà nói, khi bỏ thuộc tính “cùng phía” hay “khác
phía” trong giả thiết của bài toán cũng đồng nghĩa với việc tăng “lượng”
của bài toán lên hai trường hợp rõ ràng. Ta đi vào nghiên cứu cụ thể vấn
đề bài toán bằng cách vận dụng quy luật lượng chất xem kết quả thế nào…
Bài toán 1: Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d
sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Bài toán 2: Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc hai đường
thẳng song song a và b. Tìm điểm M trên a, điểm N trên B sao cho
AM+MN+NB nhỏ nhất.
Bài toán 3: Cho các số dương a, b thỏa a  b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất
1 1
của M  a  b   .
a b
19
ThuVienDeThi.com


PHẦN III. KẾT LUẬN
Từ tồn bộ sự phân tích trên chúng tơi đã rút ra một số kết luận:
1. Tốn học các đại lượng bất biến là cơ sở cho sự ra đời của chủ nghĩa
duy vật máy móc, siêu hình: Nó có ý nghĩa tích cực đối với sự phát triển
của khoa học ở giai đoạn đầu tiên. Nó cũng góp phần khẳng định thế
giới quan duy vật, chống lại thế giới quan tơn giáo – kinh viện.
2. Tốn học các đại lượng biến đổi, trước hết là tư tưởng vận động, là một
trong các nguồn gốc đẻ ta tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để

hình thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong
giới tự nhiên vơ sinh.
3. Tốn học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật
biện chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần
củng cố hồn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng.
4. Đồng thời cũng phải thấy rằng, mặc dù toán học mang tính độc lập
tương đối của tư duy trừu tượng và hình thức, triết học duy vật biện
chứng ln luôn là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn
cho sự phát triển của toán học.
Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của
tốn học góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế
giới quan khoa học mà nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết
học duy vật biện chứng nói riêng. Mối quan hệ giữa toán học và triết học
duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến
trình phát triển nhận thức của con người.
Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong q trình cải
cách giáo dục ở phổ thơng, đại học và các trường dạy nghề là hình thành
thế giới quan duy vật biện chứng trong giảng dạy toán học. Điều đó giúp
cho thế hệ trẻ có một cách nhìn, cách xem xét hiện thực, thực tiễn hơn về
lĩnh vực chun mơn của mình. Từ đó tạo ra hiệu quả cao nhât trong học
tập và công tác.

20
ThuVienDeThi.com