Tóm tắt lý thuyết và một số bài tập tham khảo ôn tập học kỳ I ban cơ bản Toán 1251240

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO ƠN
TẬP HỌC KỲ I BAN CƠ BẢN
Hình chóp :
Định nghĩa :
Cho đa giác A 1A 2  A n và điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa
giác đó . Hình gồm n tam giác và đa giác A 1A 2  A n là hình
chóp S. A 1A 2  A n .
• Tứ diện là hình chóp tam giác .
• Tứ diện đều là hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau

S

A

D
H
C

B

Hình chóp tứ giác S.ABCD .
Hình chóp đều :
• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các
cạnh bên bằng nhau .
• Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và
đường cao của nó qua tâm của đáy ( tâm đường trịn ngoại
tiếp , nội tiếp )
• Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và
các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau .

S

A
D
H
B

C

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Khối chóp :
Khối chóp là khối đa diện giới hạn bởi một hình chóp, kể cả hình chóp đó . Ta có khối chóp
n-giác , khối tứ diện , khối chóp n-giác đều ...
1
Thể tích khối chóp : V  B.h
3
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối lăng trụ: V  B.h
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp: V  B.h
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c
Với a, b, c lần lượt là ba kích thước( chiều dài, chiều rộng, chiều cao) của nó

Một số dạng tốn thường gặp:
-

Tính thể tích khối chop

Dùng cách tính thể tích để giải một số bài tốn hình học( tính khoảng cách từ 1 điểm đén mặt
phẳng,…)
Tính tỉ số thể tích

Mặt nón, hình nón, khối nón:
Diện tích xung quanh hình nón:

S xq   rl

Với r: bán kính của hình nón
l: độ dài đường sinh của hình nón
1
DeThiMau.vn


1
Thể tích khối nón: V  B.h
3
Với B là diện tích đáy
h: là chiều cao
Diện tích xung quanh của hình trụ:

S xq  2 rl

Với r bán kính của hình trụ
l: độ dài đường sinh
Thể tích khối trụ: V  B.h
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao

Diện tích mặt cầu: S  4 r
Với r: bán kính mặt cầu

2

4 3

r
V
Thể tích khối cầu:
3

Các dạng tốn thường gặp:

- Chứng minh đường thẳng d ln thuộc một mặt nón hay mặt trụ trịn xoay xác định
- Tính diện tích xung quanh của hình nón, hình trụ và thể tích của khối nón, khối trụ
- Giải các bài tốn tìm thiết diện của một mặt phẳng với khối trụ, khối nón
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước
- Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
- Xét vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng
- Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và hình lăng trụ
Sau đây là một số bài tập tham khảo:

BÀI TẬP

1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a .
2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a .
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc mp(ABCD) ,
cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp .
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc

với đáy . Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp
S.ABC .
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc mp(ABCD) ,
cạnh bên SB = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung
điểm cạnh BC . Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp
đều bằng nhau và bằng a 2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD .
8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là
900. Chứng minh tam giác ABC vng và tính thể tích khối chóp S.ABC .
9. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vng góc nhau từng đơi .Tính thể tích
khối tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC .
10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính
thể tích khối chóp S.ABCD .
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vng góc
với (ABC) , hai mặt bên cịn lại cùng tạo với (ABC) góc 450. Chứng minh chân đường cao H
của hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC .
12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc (ABCD) và
SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách từ A đến (SCD) .
2
DeThiMau.vn


13. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vng cân có AB = BC = a .
Gọi B’ là trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC . Chứng minh SC
vng góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ .
14. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vng
góc mp(ABC) . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB , SC . Tính thể tích
khối chóp A.BCMN.

15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy .
a 6
Tính khoảng cách từ A đến (SBC) biết SA =
.
2
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc (ABCD) và SA =
a . Gọi E là trung điểm CD . Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE .
17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền BC = a , SA vng
góc (ABC) và góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
18. Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a , AC = b , AD = c và các góc BAC , CAD , DAB
đều bằng 600.
19. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Hãy xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của
hai đường thẳng AD và BC .
20. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a , BC = b . Hai mp(BCD) và mp(ABC) vuông góc nhau
và góc BDC là 900. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a , b .
21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB =a , BC = 2a , cạnh SA vng
góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh tam giác AMB cân tại M và
tính diện tích tam giác AMB theo a .
22. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vng góc mp(ABC) . Tam giác ABC có AB = BC =
2a , góc ABC là 1200. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
23. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC cùng vng góc với đáy . Tam giác ABC
cân ở A và có đường cao AD = a . Mặt bên SBC là tam giác đều . Cạnh SB tạo với đáy góc 600
. Chứng minh SB2 = SA2 + AD2 + BD2 và tính thể tích khối chóp S.ABC .
24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a , cạnh bên a 2 . Tính khoảng cách từ mỗi đỉnh
của đáy đến mặt bên đối diện và tính thể tích khối chóp S.ABC .
25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a , SA vng góc với
(ABCD) và SA = a . Mặt phẳng (P) qua AB và vng góc SD . Tính thể tích khối chóp có đỉnh
là S và đáy là thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD .
26. Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc (ABCD) , SA = a , đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
góc BAD là 1200 . Tính thể tích khối chóp S.BCD suy ra khoảng cách từ D đến (SBC) .

27. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB ,
SC . Biết (AMN) vng góc (SBC) . Tính theo a diện tích tam giác AMN .
28. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC
3
và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng a
. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến
6
mặt bên SCD và thể tích khối chóp S.ABCD .
29. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B. Biết SA vng góc với mặt phẳng
(ABC). AB = a, BC = a 3 và SA = a. Một mặt phẳng qua A vng góc SC tại H và cắt SB tại K.
Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.
30. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vng tại B, cạnh SA vng góc với đáy, góc
ACB = 600, BC = a, SA = a . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)
vng góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.

BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại B, đường thẳng SA vng góc với mp
( ABC), biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a.
3
DeThiMau.vn


a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm
của BC.
a) Chứng minh SA vng góc với BC
b) Tính thể tích khối chóp S. ABI theo a
Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vng tại B, cạnh bên SA vng góc với đáy. Biết

SA=AB=BC= a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy,
cạnh bên SA bằng a 3 .
a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD
b) Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABCD
Bài 5: Cho hình chóp S. ABC có SA, AB, BC vng góc với nhau từng đơi một. Biết SA = a, AB
=BC= a 3 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là hai tam giác đều nằm trong hai mp vng
góc nhau . Biết BC =1, tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 7: Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam gíac vng cân tại A và hình chiếu vng góc của S
lên ( ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA hợp với đáy góc   600 . Tính thể tích
của khối chóp S.ABC
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi , ABC va SAC là hai tam giác đều cạnh a,
SB =SD. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cho SA vng góc với mặt đáy
(ABCD). Biết SA =2a, AB = a, BC =3a.
Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 10: Cho khối chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình thang vng ở A và B , Cho SA vng góc
với mặt đáy (ABCD). , SA = AD = 2a và AB =BC = a .
Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
Bài 11: Cho hình chop S .ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy (ABCD) ,
góc giữa SC và đáy (ABCD) là 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vng ở A, AB =a, AC =2a. Đỉnh S cách đều A,B,C,
mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD : bài 12:

Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và
hình chiếu ( vng góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ
,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’. ABC
HD:

4
DeThiMau.vn


Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên hợp
với đáy góc 600 , A’ cách đều A,B,C. Chứng minh BB’C’C là hình chữ nhật và tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.A’B’C’.
HD:

Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vng tại A, AC = b, ฀
ACB  600 .
Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300.
a) Chứng minh tam giác ABC ' vng tại A
b) Tính độ dài đoạn AC’
c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC
HD:

Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai
cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần .
a)Tính thể tích của khối chóp C’.ABC theo V
b) Tính thể tích của khối chóp C’. ABB’A’ theo V
c) Tính thể tích khối chóp C’. MNB’A’ theo V
d) Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp C’. MNB’A’ và ABC.MNC’.
HD

5
DeThiMau.vn

MẶT CẦU

Câu1: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. OA = a, OB = b, OC = c. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Cõu2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA (ABC); SA =

3a
. Xác định tâm và
2

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Cõu3: Cho hình chóp tứ giác đều ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a 2 . Xác định tâm và bán
kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cõu4: Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a, SA (ABCD); SA
= 3a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cõu5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = 2a. các cạnh bên SA = SB = SC = b
. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cõu6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và vuông góc với
đáy. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Cõu7: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (BCD).
a) Tính AH.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Cõu8: Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA = a 2 , SA (ABC). Gọi
M là trung điểm của AB. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Cõu9: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) dựng từ tâm O của
hình vuông lấy một điểm S sao cho OS =

a
. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
2

chóp S.ABCD.
Cõu10: Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và góc xOy = 900 gãc yOz = 600 ,
gãc zOx = 120. Trªn Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a.
a) CM: ABC vuông tại B.
b) Gọi I là trung điểm của AC. CM: OI (ABC).
c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC16) Cho ABC cân có góc BAC =
1200 và đường cao AH = a 2 . Trên đường thẳng vuông góc (ABC) tại A lấy hai điểm I, J ở hai bên
điểm A sao cho IBC đều và JBC vuông cân.
a) Tính các cạnh của ABC.
b) Tính AI, AJ và CM: BIJ, CIJ là tam giác vuông.
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC.
Cõu11: Cho ABC vuông cân tại B (AB = a). Gọi M là trung điểm của AB. Từ M dựng đường thẳng
vuông góc (ABC) trên đó lấy điểm S sao cho SAB đều.
a) Dựng trục của các đường tròn ABC và SAB.
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
6
DeThiMau.vn


Câu12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D; AB = AD = a; CD =
2a; SD  (ABCD). Từ trung điểm E của CD, kẻ trong mặt phẳng đường vng góc với SC cắt SC tại
K. Chứng minh rằng sáu điểm S, A, D, E, K, B ở trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu
đó. Biết SD = h

฀ B =  (0 <  <
Câu13: Cho tứ diện SABC có SA  (ABC), (SAB)  (SBC). Biết SB = a 2 , AS
900). Chứng minh rằng: BC  SB. Từ đó xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Câu14: Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đơi một vng góc. Xác định
tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu15: Mặt cầu tâm O, bán kính R = 13dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba
điểm A, B, C mà AB = 6dm, BC = 8dm, AC = 10dm. Tính khoảng cách từ O đến (P)
Câu16: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. Kẻ các đường cao AH,
AK lần lượt của tam giác SAB, SAC. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K nằm trên một mặt
cầu. Biết AB = 10cm, BC = 24cm, xác định tâm và bán kính mặt cầu đó

MẶT TRỤ

Câu1: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vng.
1. Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
2. Tính thể tích của khối trụ
3. Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đó
Câu2: Cho hình trụ có các đáy là hai hình trịn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường tròn
đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO’AB bằng 8cm3. Tính
chiều cao của hình trụ, suy ra thể tích của hình trụ.
Câu3: Cho hình trụ có các đáy là hai hình trịn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường trịn
đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB

MẶT NĨN

฀
฀
Câu1: Cho hình chóp D.ABC có góc ABC
=  ( < 900) và các cạnh bên DA, DB, DC tạo
 ACB

với mặt đáy (ABC) các góc nhọn bằng nhau
1. Chứng minh rằng chân đường cao DH của hình chóp trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp
tam giác ABC. Tính AH theo  biết AC = a

2. Tính tỉ số thể tích hình chóp D.ABC và thể tích khối nón đỉnh D ngoại tiếp hình chóp đó.
Câu2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tâm
của A’B’C’D’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD . Tính thể tích khối nón có đỉnh O’ và đáy (T).
Câu3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tâm của
A’B’C’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABC . Tính thể tích khối nón có đỉnh O’ và đáy (T).
Câu4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Gọi
(T) là đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (T).

7
DeThiMau.vn