Đề thi học kì II và đáp án môn Toán lớp 1153712

ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn TOÁN Lớp 11
(Thời gian làm bài 90 phút)

Bài 1 (2,5 điểm):
Tính các giới hạn sau:
a) lim

x 3

x 1  2
x2  9

1  2x
b) xlim
2
 x  2 x  3

x2
c) lim
x  0 1  x sin 3 x  cos 2 x

Bài 2 (1,0 điểm):
Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1

Bài 3 (2,5 điểm):

 x2  1

f ( x )   x  1 khi x  1
mx  2 khi x  1

a) Cho hàm số: y  (2 x  1) 2 x  x 2 . Tìm y’
b) Cho hàm số: y  x 2 .cos x
. Tìm y’

 x
tan(  )(1  sin x)

4 2
c) Cho hàm số: y 
. Tìm y ''( )
sin x
4

Bài 4 (1,0 điểm):
Cho hàm số y 

x 1
có đồ thị (C).
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2; 3).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
y   x 5.
8

Bài 5 ( 3 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với
mp(ABCD). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vng.
b) Chứng minh: mp(SAC) vng góc với mp(AIK).
c) Tính góc giữa SC và mp(SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD).
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DeThiMau.vn

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Mơn TỐN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: (2,5 điểm)
Tính giới hạn:
a) lim

x 3

x 1  2
2

x 9

 lim

x 3 ( x  3)



1

1

x  1  2



1
24

(1,0 điểm)

2
1 2x
x
b) lim
 lim x
0
2
2 3
x  x  2 x  3
x 
1 
x x2
c) Đặt
A  1  x sin 3 x  cos 2 x  ( 1  x sin 3 x  1)  (1  cos 2 x )  ...
2



(1,0 điểm)

x sin 3 x
1  cos 2 x
x sin 3 x
2sin 2 x



1  x sin 3 x  1
cos 2 x  1
1  x sin 3 x  1
cos 2 x  1
A
5
Suy ra lim 2  ... 
x 0 x
2
x2
x2 2
Vậy : lim
 lim 
x  0 1  x sin 3 x  cos 2 x
x 0 A
5
.Bài 3: (1,0 điểm)
 x2  1

f ( x )   x  1 khi x  1

mx  2 khi x  1


Ta có:

(0,5 điểm)

(1,0 điểm)

x2  1
 lim ( x  1)  2
 f (1)  m  2
 lim  f ( x )  lim 
x 1
x 1 x  1
x 1
 lim  f ( x )  lim  (mx  2)  m  2
x 1

x 1

Hàm số f ( x ) liên tục tại x = –1  m  2  2  m  4
Bài 4: (2,5 điểm)
a) y  (2 x  1) 2 x  x 2  y'=2 2 x  x 2  (2 x  1).

1 x
2x  x

b) y  x 2 .cos x  y '  2 x.cos x  x 2 sin x
c) Biến đổi:


1
sin 2 x
y  ...  cot x  y '   2 và y '' 
 y ''( )  4
4
sin x
sin x
4

DeThiMau.vn

2

 y' 

4 x 2  6 x  1
2x  x

2

(1,0 điểm)
(1,0 điểm)
(0,5điểm)


Bài 5: (1,0 điểm)
y

2

x 1
 y 
x 1
( x  1)2
a) Tại A(2; 3)  k  y (2)  2  PTTT : y  2 x  1

(0,5điểm)

1
1
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y   x  5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  
8
8
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm ( x0  1)
 y ( x 0 )  k  

2

1
 x  3 (t / m)
   ( x0  1)2  16   0
8
 x0  5 (t / m)
( x0  1)
2

1
1
1
 PTTT : y    x  3 

2
8
2
3
1
3
 Với x0  5  y0   PTTT : y    x  5 
2
8
2
 Với x0  3  y0 

(0,5điểm)

KL
Bài 6 ( 3 điểm):

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vng.
 SA (ABCD) nên SA BC, AB  BC (gt)
 BC  (SAB)  BC  SB  SBC vuông tại B.
 SA  (ABCD)  SA  CD, CD  AD (gt)
 CD  (SAD)  CD  SD  SCD vuông tại D
 SA  (ABCD) nên SA  AB, SA  AD
 các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A.
(1,0điểm)

S

I
K

H
B
A

b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK).
 SA  (ABCD)  SA  BD, BD  AC  BD  (SAC)
D
C
 SAB và SAD vuông cân tại A, AK  SD và AI  SB
nên I và K là các trung điểm của AB và AD  IK//BD
mà BD  (SAC) nên IK  (SAC)  (AIK)  (SAC)
(1,0điểm)
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
 CB  AB (từ gt),CB  SA (SA  (ABCD)) nên CB  (SAB)  hình chiếu của SC trên (SAB) là SB
   SC ,(SAB)     SC , SB   CSB
O

 Tam giác SAB vng cân có AB = SA = a  SB  a 2  tan CSB 

BC
2

(0,5điểm)
SB
2

d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Giả sử AC  BD  O
Hạ AH  SO ( H  SO) , AH  BD do BD  (SAC)  AH  (SBD)  d ( A, ( SBD))  AH

Xét tam giác vng SAO có:
Vậy:

1

AH
a 3
d  A,  SBD   
3

2



1
SA

2



1
AO

2



1
a

2



2
a

2



3
a

2

 AH 

a
3
(0,5điểm)

ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn TỐN Lớp 11
(Thời gian làm bài 90 phút)
DeThiMau.vn


ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn TOÁN Lớp 11
(Thời gian làm bài 90 phút)

Bài 1 (2,5 điểm):
Tính các giới hạn sau:
x 2 2
1  2x
lim
a) lim
b)
x  x 2  2 x  3
x 2 x 2  4

x2
c) lim
x  0 1  x sin 3 x  cos 2 x

Bài 2 (1,0 điểm):
Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –2
 x2  4

f (x)   x  2
mx  4

khi x  2
khi x  2

Bài 3 (2,5 điểm):
a) Cho hàm số: y  (2 x  1) 2 x  x 2 . Tìm y’

b) Cho hàm số: y  x 2 .sin x
. Tìm y’

 x
tan(  )(1  sin x)

4 2
c) Cho hàm số: y 
. Tìm y ''( )
sin x
4

Bài 4 (1,0 điểm):
Cho hàm số y 

x 1
có đồ thị (C).
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(3; 2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
1
y   x 5.
8

Bài 5 ( 3,0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với
mp(ABCD). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vng.
b) Chứng minh: mp(SAC) vng góc với mp(AIK).

c) Tính góc giữa SC và mp(SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD).
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

DeThiMau.vn

SBD :. . . . . . . . . .