Đê thi học sinh giỏi lớp 11 THPT Bắc Sơn Lạng Sơn53799

ĐÊ THI HSG LỚP 11 NĂM 2008-2009 THPT BẮC SƠN - LNG SN
Đề bài:
Câu 1: (5 điểm)
Giải phương trình sau:

3

x  1  3 x  1  3 5x

C©u 2: (4 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
x2 y2 z2 x y z
    
y2 z2 x2 y z x
Câu 3: (4 điểm)
u 11
Cho dÃy số (un) xác định bởi: 1
u n 1 10u n 1 9 n, n N.

Tìm công thức tính un theo n.
Câu 4: (4 điểm)
Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008. Xác định những số
ấy.
Câu 5: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có canh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho

. Kẻ tia phân giác
MBI
AM = 3MD. Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho ABM
. Tính diƯn tÝch tam gi¸c BMN.
BN  N  CD  cña gãc CBI

__________________________________

DeThiMau.vn


Đáp án và thang điểm
Câu 1: (5 điểm)
3

x 1  3 x  1  3 5x  2x  3 3 x 2  1



3



x  1  3 x  1  5x

 3 x 2  1 3 5x  x  4x 3  5x  0  x  0;x  

5
.
2

Thư l¹i ta thấy phương trình có 3 nghiệm: x = 0; x =

5
.
2

Câu 2: (4 điểm)
Ta có:
x
x2
1 2
2
y
y
y2
y

1

2
z
z2

z2
z
2
2
x
x
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:
x y z
x2 y2 z2
 2  2  3  (1)
2
y

z
x
y z x
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được:
x2 y2 z2
x2 y2 z2
   3 3 2 . 2 . 2  3 (2)
y2 z2 x2
y z x
 x2 y2 z2 
x y z
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2  2  2  2   2    
z
x 
y
y z x
Tõ ®ã ta cã bÊt đẳng thức cần chứng minh.
Câu 3:
Ta có:
u1 11 10  1

u 2  10.11  1  9  102  100  2
u 3  10.102  1 9.2 1003 1000 3
Dự đoán un = 10n + n (1)
Chøng minh:
Ta cã: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta cã: uk = 10k + k
Ta cã: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1). C«ng thøc (1) ®óng víi n = k +
1.
VËy un = 10n + n, n .

Câu 4: (4 điểm)
Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ sè k b»ng 2008:
k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008

DeThiMau.vn


m  m  1
 2008
2
 m  2 k  m  1  4016  24.251
NÕu m lỴ 2k + m - 1 chẵn. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (kh«ng x¶y ra)
2 k  m  1  251 m  16
NÕu m ch½n  2k + m - 1 lẻ. Ta có:

4

m
2
k 118

Vậy các số cần tìm là 118, 119,133.
Câu 5: (3 điểm)
Trên tia BI, lấy ®iÓm H sao cho BH = a. Khi ®ã BH = AB = BC nên ta có:
ABM HBM(c.g.c) và CBN = HBN(c.g.c). Do đó: MH = AM và NH = CN.
฀
฀
฀
฀
BHM

 BAM
 900 vµ BHN
 BCN
 900. Suy ra M, H, N thẳng hàng, BI vuông
góc với Mn tại H vµ MN = AM + NC.
A
B
1
1
VËy S BMN  BH.MN  a  AM  NC  .
2
2
1
3
V× AM = 3MD nên MD a;AM a.
M
4
4
H
Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho
D
I N C
tam giác vu«ng MDN, ta cã:
2
2
MN 2  MD 2  DN 2   AM  NC   MD 2   DC  NC 
 mk 

2

2
2
a
3
 a
  a  x    a  x  x 
7
4
 16
a  25
1 3
Suy ra : S BMN  a  a    a 2 .
2 4
7  56

DeThiMau.vn