Tài liệu CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ pdf

Võ Quốc Bá Cẩn
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ

Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz.
I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz.
Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực và ta có
n
aaa , ,,
21 n
bbb , ,,
21
))(()(
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .,1,:: njibbaa
jiji
=∀=
II. Các bài toán áp dụng.
Bài 1
. (Jack Garfunkel)
Cho các số không âm , chứng minh bất đẳng thức

cba ,,
cba
ac
c
cb
b
ba
a
++≤
+
+
+
+
+
4
5

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
++=
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
⋅++=
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑
∑∑∑∑
cyc
cyccyccyccyc
cbaba
a
cba
cbaba
a
cbaa
cbaba
a
cbaa
ba
a
)95)((
)(5
)95)((
)95(
)95)((
)95(
2
2
2

Như thế, ta chỉ cần chứng minh
16
5
)95)((
)( ≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
++
∑
cyc
cbaba
a
cba

Như điều này hiển nhiên đúng vì
0
)95)(95)(95)()()((16
1230232835243)3)(9)((
)95)((
)(
16
5

222423232
≥
+++++++++
++++−++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
++−
∑∑∑∑
∑
bacacbcbaaccbba
cbabcabcacbabababaab
cbaba
a
cba
cyccyccyccyc
cyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.0:1:3:: =cba

Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số không âm có tổng bằng

1
, chứng minh rằng
cba ,,

2
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
5
11
222
≤+++++ accbba

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
∑∑
∑∑∑∑
++
+++
=
++
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⋅++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

cyccyc
cyccyccyccyc
cba
bcbaa
cba
ba
cba
ba
cba
cba
ba
cbaba
44
)(
9
44
9
44
)44(
44
44
22
2
2
2
2
2

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
)(

25
121
44
)(
9
2
cba
cba
bcbaa
cyc
++≤
++
+++
∑

Ta có
)44)(44)(44(25
6611163
)44)(44)(44(25
1092072519753003163
23224
233224
bacacbcba
Abcababaa
bacacbcba
bcabaabbaa
VTVP
cyccyccyccyc
cyccyccyccyccyc
++++++

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+
=
++++++
+−++
=−
∑∑∑∑
∑
∑
∑
∑
∑

trong đó
01189825319751210
23322
≥+++=
∑
∑
∑
∑
cyccyccyccyc

bcabaabbaA

Ta chứng minh
06611
23224
≥−−+
∑
∑
∑
∑
cyccyccyccyc
bcababaa

0612
23222224
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⇔
∑∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyccyc
bcababcababaa

Ta có
∑∑∑
−=−
cyccyccyc
babaa
222224
)(
2
1


3
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng

∑
∑∑
∑∑∑∑∑
−+−=
−+++−−=
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
cyc
cyccyc
cyccyccyccyccyc
bcacabba
bacabcabbabc
babcbcacbbcaba

)2)((
))(()(3
)(333
22
2222
222323

∑∑∑
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
cyccyccyc
bcacabbcaba
2222
)2(6

Do đó bất đẳng thức tương đương
0)2)((2)2(2)(
2
1
222222
≥−+−−−++−
∑∑∑

cyccyccyc
bcacabbabcacabba

0)422(
2
1
222
≥+−−−⇔
∑
cyc
bcacabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức không xảy ra.
Bài 3. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số không âm chứng minh rằng
,,, cba
2222222
)(
4
3
444 cbabacacbcba ++≤+++++

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
++
+
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
+
∑∑∑∑
cyccyccyccyc
cba
cba
cba
cba
cba
cbaacba
53
)4(
)(3
53
)4(
)53(4
22
2
22
2
22

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
2
22
)(
16
3
53

)4(
cba
cba
cba
cyc
++≤
++
+
∑

0410183065366916545
2232233445
≥−−−+++⇔
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
cyccyccyccyccyccyccyc
cbabababcaabbaa

Không mất tính tổng quát, giả sử , bất đẳng thức tương đương với
{
cbac ,,min=
}
0)18306691654545(
32234455
≥+−−+++ Acbabaabbaba
0))(31015)(5(3
222

≥+−+++⇔ Acbabababa
Trong đó

4
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
432234
322322234
456918306165
)165436410536()306410410()18536(69
cbccbcbb
acbccbbacbcbacbaA
++−−+
++−+++−−+=

Sử dụng giả thiết ta dễ dàng chứng minh được nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi
{
,,,min cbac =
}
0≥A
.0:1:1:: =cba
Bài 4.
Cho các số dương , chứng minh
cba ,,
2
33
4
33
4
33

4
cba
ac
c
cb
b
ba
a ++
≥
+
+
+
+
+

Giải.
Bổ đề.
2222333
)(
3
1
cbacabcab ++≤++

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
2333332
33
4
)()( cbabaa
ba
a

cyccyc
++≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑∑

Ta phải chứng minh
))(()(2
3232325552333
accbbacbacbacba +++++++≥++
Ta có
)()(
3
1

)()(
)(
))((
)())((
2222222222222
222222222333
222
222222333
222222323232
cbaabcaccbbacba
cba
cabcab
cbaabcaccbbacabcab
cba
cabcab
cabcabcbaabc
cbaabcaccbbacabcab
cba
cabcab
cabcabcbaabccabcabcabcabaccbba
++−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++++
++
++

≤
++−+++++
++
++
=
+++++−
++++++++
++
++
=
+++++−++++=++

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
))((
)(
3
1
)())(()(2
222
22222222225552333
cbacbaabc
accbbacbacabcabcbacbacba
++++−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++++++++++≥++

5
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho
,1
=
+
+
cba
đặt )10(,
3
1
2
≤≤=
−
++ qabcr
q
cabcab thì ta có
.
27
)21()1(
27
)21()1(
22
qq
r
qq −+
≥≥
+−

Bất đẳng thức tương đương
0)5391087(
27
1
)1(3))428(54(
246222
≥+−++−−−+ qqqrqrqr

Rõ ràng là hàm đồng biến theo rqrrf )428(54)(
22
−+=
r
nên ta có
0
27
))31()242615((
)5391087(
27
1
27
)21()1(
)1(3
27
)21()1(
)428(
27
)21()1(
54
2222
246

2
2
2
2
2
2
≥
−++−
=+−++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
≥
qqqqq
qqq
qq
q
qq
q
qq
VT

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.cba
=
=

Bài 5. (Phan Thành Nam)
Cho các số không âm có tổng bằng . Đặt
cba ,,
1
,
2
3
1 −=k
chứng minh rằng
3)()()(
222
≤−++−++−+ bakcackbcbka

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+

−−
+
+
+=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤
⎟
⎟
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+
⋅+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
∑∑
∑∑∑∑
cyccyc
cyccyccyccyc
a
cb
a
a
a

cbka
a
a
cbka
acbka
3
1
)(
2
32
3
1
13
3
1
)(
3
1
3
1
)(
3
1
)(
2
2
2
2
2
2

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
()
3
3
1
)(
2
32
3
1
13
2
≤
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−
+
+

+
∑∑
cyccyc
a
cb
a
a


6
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Đặt
abcrcabcabq =≤++= ,
3
1
thì ta có .
3
0
2
q
r ≤≤ Bất đẳng thức tương đương với
(
)
(
)
036329 ≤+−+ qqr

Ta có
(
)

(
)
(
)
(
)
03)13(3632336329
2
≤−=+−+≤+−+ qqqqqqqr

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=== cba
hoặc
0,1
=
=
=
cba
và
các hoán vị.
Bài 6. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số dương chứng minh rằng
,,, cba
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
accbba
abccabbca
111
2
111
222

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

+
+
+++
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
++
⋅
+
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑
∑∑∑∑
3
)(
))()((
)(2
))((
1))((
))((
1))((1
2
2
2

2
2
2
cyc
cyccyccyccyc
bca
cba
accbba
cba
caba
bca
caba
caba
bca
caba
bca

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
2
2
1
3
)(
))()((
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
+
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+++
++
∑∑
cyccyc
cb
bca
cba
accbba
cba

))()()((
)333(
3
)(
2222

2
cbaaccbba
cabcabcba
bca
cba
cyc
+++++
+++++
≤+
+
+
⇔
∑

))()()((
3
)(
222222444
2
cbaaccbba
accbbacba
bca
cba
cyc
+++++
−−−++
≤−
+
+
⇔

∑

0
))((
11
))((
2
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+
+
−−⇔
∑
cyc
cbacbbca
caba
Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó ta có
,cba ≥≥ .0)( ≥−≥− cb
b
a
ca
Do đó

7
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
0
))()()()((
))()(()(
))((
11
))((
11))((
))((
11
))((
22
222
22
2
≥
++++++
++−+−+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+
+
−−
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
+++
+
+
−−
∑
cbacbcacabbcab
bcacabbacbbabac
cbaac
cab
b
cbacb
bca
a
b
cbba
cbacb
bca
caba
cyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.cba
=
=

III. Bài tập tự giải.
Bài 1. (Nguyễn Việt Anh)
Cho các số dương chứng minh rằng

,,, cba
3
222222
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++
≥
+−
+
+−
+
+−

Hướng dẫn.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
2
23222
22
3
))(22(

22
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
∑∑∑∑
cyccyccyccyc

abaacbabaa
baba
a

Cuối cùng ta chứng minh
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
+
∑∑∑∑
cyccyccyccyc
acbabaaaaba
222
2
23
))(22(3

Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho các số dương chứng minh rằng
,,, cba
2222222
)(888 cbabacacbcba ++≤+++++
Hướng dẫn.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
+
∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyc
cba
cba
a
cba
cba
cbaacba
210051
)8(
51
210051
)8(
)210051(8
22
2
22
2
22

Ta chỉ cần chứng minh
2
22
)(
210051
)8(

51 cba
cba
cba
cyc
++≤
++
+
∑


8
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder.
I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder.

II. Các bài toán áp dụng.
Bài 1. (Phan Thành Việt)
Cho các số không âm
zy
x
,,
có tổng bằng , chứng minh rằng
3
3
111
≥
++
+
++
+

++ xyx
z
zxz
y
yzy
x

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
6
3
32
2
)(8)32()32)(1(
1
zyxzyxxzyxyzyx
yzy
x
cyccyccyc
++=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++≥
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
∑∑∑

Do đó ta chỉ cần chứng minh
∑
++++≥++
cyc
zyxyzyxzyx
326
)32)(1(3)(8

∑
++++++++≥++⇔
cyc

zyxyzzyxyzyxxzyx
3227
)32)(9)(3)(()(8

Ta có
∑∑∑
∑∑∑∑
−−−
+++++=
++
−
cyccyccyc
cyccyccyccyc
zyxzyxyzx
zyxyxyxyxyxxy
zyx
VPVT
32234
22233244244
979324
261543926)(4

Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được
∑
∑
∑
∑
∑∑∑
++≥+++++
cyccyccyccyccyccyccyc

zyxzyxyzxzyxyxyxyxyxxy
3223422233244244
979324261543926)(4

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
=
=
=
zyx
hoặc
0,3
=
=
=
zyx
và các hoán vị.
Bài 2
. (Lê Hữu Điền Khuê)
Cho các số dương , chứng minh bất đẳng thức
cba ,,
1
777
22
2
22
2
22
2
≥

++
+
++
+
++ acac
c
cbcb
b
baba
a

Giải.

9
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Đặt
c
a
z
b
c
y
a
b
x === ,,
thì ta có
1,0,,
=
> xyzzyx
. Khi đó, bất đẳng thức trở thành

1
17
1
17
1
17
1
222
≥
++
+
++
+
++ zzyyxx

Do nên tồn tại các số dương sao cho
1,0,, => xyzzyx
pnm ,,
,,,
4
22
4
22
4
22
p
nm
z
n
mp

y
m
pn
x === ta phải chứng
minh
1
7
442248
4
≥
++
∑
cyc
pnpnmm
m

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
3333442248
2
442248
4
)()7(
7
pnmpnpnmmm
pnpnmm
m
cyccyc
++≥
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
∑∑

Như thế, ta chỉ cần chứng minh
∑
++≥++
cyc
pnpnmmmpnm )7()(
4422483333

0)()725(
443622533336
≥−+−+⇔
∑
∑

symsym
pnmnmpnmpnmnm

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cba
=
=
hoặc các số
thỏa
cba ,, +∞→+∞→
c
b
b
a
,
và các hoán vị.
Bài 3
. (Phan Thành Việt)
Cho các số dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng
cba ,,
2
3
333
22
3
22
3
22
3
≥

+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a

Giải.
Bổ đề.
∑
∑
−=−−−≥−++
cyccyc
babaaccbbacbacba
2442222222222666
44))()((43

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
3
2322
2
22
3
))(3(
3
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑∑∑∑
cyccyccyccyc
abacaba
ba

a


10
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
∑∑∑
++≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
cyccyccyc
cabaaba
322
3
2
))(3(
4
9

∑∑∑
++++≥
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⇔
cyccyccyc
cabacbaaba
322
3
2
))(3()(34

0786122723129
2222332433422456
≥−−−+−−++⇔
∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
cbacbacbabcababababaa
cyccyccyccyccyccyccyccyc

Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng
07561227289
222233243342245
≥−−−+−++
∑

∑
∑
∑∑∑∑
cbacbacbabcababababa
cyccyccyccyccyccyccyc

Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
02
334224
≥−+
∑
∑
∑
cyccyccyc
bababa

0756122779
22223324245
≥−−−++
∑
∑
∑
∑
∑
cbacbacbabcababa
cyccyccyccyccyc

Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.

1
=
=
=
cba


11
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Phần 3. Các bài toán về kỹ thuật bình phương.
I. Các bài toán mẫu.
Bài 1
. (Vasile Cirtoaje)
Với mọi số thực thì
cba ,,
)(3)(
3332222
accbbacba ++≥++
Giải.
Viết lại bất đẳng thức như sau
033
23222224
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∑∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyccyc
bcababcababaa

Chú ý rằng
∑∑∑
−=−
cyccyccyc
babaa
222224

)(
2
1

∑
∑∑
∑∑∑∑∑
−+−=
−+++−−=
−−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
cyc
cyccyc

cyccyccyccyccyc
bcacabba
bacabcabbabc
babcbcacbbcaba
)2)((
))(()(3
)(333
22
2222
222323

∑∑∑
−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
cyccyccyc
bcacabbcaba
2222
)2(
2
1
3

Nên bất đẳng thức tương đương
0)2)(()2(
2
1
)(
2
1
222222
≥−+−−−++−
∑∑∑
cyccyccyc
bcacabbabcacabba

0)2(
2
1
222
≥+−−−⇔
∑
cyc
bcacabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.
Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn)
Với mọi số thực thì
cba ,,
(
)
)(3)(13
333444

accbbacbaabccba ++≥++−+++

Giải.
Viết lại bất đẳng thức như sau

12
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
03
23222224
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∑∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyccyc
bcababcababaa

Chú ý rằng
∑∑∑
−=−
cyccyccyc
babaa
222224
)(
2
1

∑
∑∑
∑
∑
∑∑∑
−+−=
−+++−−=
−−=−=−
cyc

cyccyc
cyccyccyccyccyc
bcacabba
bacabcabbabc
babcbcacbbcaba
)2)((
3
1
))((
3
1
)(
)(
22
2222
222323

∑∑∑
−+=−
cyccyccyc
bcacabbcaba
2222
)2(
6
1

Nên bất đẳng thức tương đương
0)2)((
3
1

)2(
6
1
)(
2
1
222222
≥−+−−−++−
∑∑∑
cyccyccyc
bcacabbabcacabba

0)2(
3
1
2
1
2
22
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−−⇔
∑

cyc
bcacabba
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.
Bài 3. (Phạm Văn Thuận)
Cho các số thực chứng minh rằng
,,, cba
0)(10)(7
333444
≥+++++ accbbacba
Giải.
Ta chứng minh kết quả mạnh hơn
4333444
)(
27
17
)(10)(7 cbaaccbbacba ++≥+++++

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương
0102513410186
222334
≥−−−+
∑
∑
∑
∑∑
cyccyccyccyccyc
bcabaabbaa

0353410186
2222323224

≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⇔
∑∑∑∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyccyccyccyc
bcababcaabbcababaa

Chú ý rằng

13
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
∑∑∑
−=−
cyccyccyc
babaa
222224
)(
2
1


∑
∑∑
∑
∑
∑∑∑

−+−=
−+++−−=
−−=−=−
cyc
cyccyc
cyccyccyccyccyc
bcacabba
bacabcabbabc
babcbcacbbcaba
)2)((
3
1
))((
3
1
)(
)(
22
2222
222323

∑
∑∑
∑
∑
∑
∑∑∑
−+−−=
−++−−=
−=−=−=−

cyc
cyccyc
cyccyccyccyccyccyc
cabcabba
bacabcabbaca
bacaacbcbcabcbcaab
)2)((
3
1
))((
3
1
)(
)()(
22
2222
2222232
3

)561145)((34101
222323
bccaabbabcaabbcaba
cyccyccyccyccyc
−+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⇒
∑∑∑∑∑

∑∑∑
−+=−
cyccyccyc
bccaabbcaba
2222
)561145(
5282
1

Do đó, bất đẳng thức tương đương với
0)561145(
5282
35
)561145)(()(43
222222
≥−++−+−+−

∑∑∑
cyccyccyc
bccaabbccaabbaba

0)561145(
454252
369
)561145(
172
1
)561145)(()(43
2
222222
≥−++
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++−+−+−⇔
∑
∑
cyc
cyc
bccaab
bccaabbccaabbaba

0)(

172
369
)561145)(86(
172
1
22222
≥−+−++−⇔
∑∑
cyccyc
bacbccaabba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.0
=
=
= cba

II. Bài tập tự giải.
Bài 1
. (Vasile Cirtoaje)
Với mọi số thực
cba ,,

14
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
)(2
333333444
accbbacabcabcba ++≥+++++
Bài 2. (Phạm Văn Thuận)
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọ thực i

cba ,,
4333
)(
27
8
)()()( cbaacccbbbaa ++≥+++++


15
Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng
Phần 4. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-GM.
I. Tổng quan về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM.

II. Các bài toán áp dụng.
Bài 1. (Phan Thành Nam)
Cho các số không âm có tổng bằng 1, chứng minh rằng
cba ,,
2
222
≥+++++ accbba

Giải.
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
∑∑
∑∑∑∑
+++
++++
=
+++++
++++

=
+++
++
≥
++
++
=
+
+
=+
cyccyc
cyccyccyccyc
acabba
acabbaba
bcbaaba
bcbaaba
baba
baba
baba
baba
ba
ba
ba
322
))((2
)()(
))()((2
)(
))((2
)(

))((
22
22
22
2
22
2
2
2
2
2
2

Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng
cba
acabba
acabbaba
cyc
++≥
+++
++++
∑
322
))((
22
22

∑
∑
∑

∑∑
+≥++⇔
cyccyccyccyccyc
cbacbabcacbaba
2233352425
222

02
19
6
19
4
19
9
22423223252525
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++⇔
∑∑∑∑∑
cyccyccyccyccyc
baaabcbcabaabccbaaccbba

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
1
=== cba
hoặc
và các hoán vị.
0,1 === cba

16