Tài liệu Ma trận con-Định thức ppt

Ma trận con
Đònh thức
1
Ma trận con
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
2
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)
m×n
. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng
cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu
A
{m
1
, ,m
k
; n
1

, ,n
k
}
Ví dụ
Cho A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11


Khi đó A
{1,2; 1,2}
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)
m×n
. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng
cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu
A
{m

1
, ,m
k
; n
1
, ,n
k
}
Ví dụ
Cho A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11


Khi đó A
{1,2; 1,2}
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)

m×n
. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng
cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu
A
m
1
, ,m
k
; n
1
, ,n
k
Ví dụ
Cho A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11


Khi đó A
{1,2; 1,2}
=

0 1
4 5

, . . . , A
{1,3; 2,4}

=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con cấp k
Đònh nghóa (Ma trận con cấp k)
Cho A = (a
ij
)
m×n
. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng
cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu
A
m
1
, ,m
k
; n
1
, ,n
k
Ví dụ
Cho A =


0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11



Khi đó A
{1,2; 1,2}
=

0 1
4 5

, . . . , A
{1,3; 2,4}
=

1 3
9 11

, . . .
Số ma trận con cấp k của A = (a
ij
)
m×n
là C
k
m
.C
k
n
.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con

Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Đònh nghóa (Ma trận con tương ứng với một phần tử)
Cho A = (a
ij
)
n×n
. Ma trận con tương ứng với phần tử a
ij
của A, kí hiệu
là M
ij
, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M
11
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức

Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Đònh nghóa
Cho A = (a
ij
)
n×n
. Ma trận con tương ứng với phần tử a
ij
của A, kí hiệu
là M
ij
, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M
11
=

4 5
7 8


, . . . , M
23
=
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Đònh nghóa
Cho A = (a
ij
)
n×n
. Ma trận con tương ứng với phần tử a
ij
của A, kí hiệu
là M
ij
, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M

11
=

4 5
7 8

, . . . , M
23
=

0 1
6 7

, . . .
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Ma trận con cấp k
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Ma trận con tương ứng với một phần tử
Đònh nghóa
Cho A = (a
ij
)
n×n
. Ma trận con tương ứng với phần tử a
ij
của A, kí hiệu
là M
ij

, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
Ví dụ: Cho A =


0 1 2
3 4 5
6 7 8


. Khi đó
M
11
=

4 5
7 8

, . . . , M
23
=

0 1
6 7

, . . . , M
33
=

0 1
3 4


, . . .
Số ma trận con tương ứng với một phần tử của A = (a
ij
)
n×n
là n
2
.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Đònh nghóa (Đònh thức)
Cho A = (a
ij
)
n×n
=



a
11
· · · a
1n
.

.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
· · · a
nn



. Đònh thức của A, kí hiệu là
detA hay |A|, được xác đònh bởi
n = 1 : detA = det(a
11
) = a
11
n ≥ 2 :
|A| = (−1)
1+1
a
11
|M
11
| + (−1)
1+2

a
12
|M
12
| + · · · + (−1)
1+n
a
1n
|M
1n
|
Ví dụ:
a. Cho A =

a b
c d

Ta có |A| = (−1)
1+1
ad + (−1)
1+2
bc = ad − bc
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Ví dụ:

b. Cho A =

2 −1
3 −2

Ta có |A| = 2(−2) − (−1)3 = −1
c. Cho A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


Ta có |A| = (−1)

1+1
a
11




a
22
a
23
a
32
a
33




+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a

23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3
a
13




a
21
a
22
a
31
a
32





= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
21
a
32
a
13
−a
13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33

− a
23
a
32
a
11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31

a
32
a
33


|A| = a
11
a
22
a
33
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a

21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


|A| = a
11
a
22
a
33
+a
12
a
23
a
31
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa

Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


|A| = a
11
a
22

a
33
+ a
12
a
23
a
31
+a
21
a
32
a
13
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a

13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


|A| = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
21
a

32
a
13
−a
13
a
22
a
31
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22

a
23
a
31
a
32
a
33


|A| = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
21
a
32
a
13
−a
13

a
22
a
31
−a
12
a
21
a
33
+ · · ·
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a

22
a
23
a
31
a
32
a
33


|A| = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
21
a
32
a
13
−a

13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
−a
23
a
32
a
11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh thức
Vậy với A =


a
11
a

12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


|A| =
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31

+ a
21
a
32
a
13
−a
13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
− a
23
a
32
a
11
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất

Đònh thức
Tính detA với A =


1 0 −1
2 1 3
−1 2 1


detA=1+0-4-1-0-6=-10.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Các phép biến đổi sơ cấp
Đònh nghóa
Có 3 phép biến đổi sơ cấp như sau
1
P1: Hoán vò 2 dòng/cột.
2
P2: Nhân một dòng/cột với một số k = 0.
3
P3: Nhân một dòng/cột với một số k rồi cộng vào một dòng/cột
khác.
Ví dụ:
Cho A =



1 2 3
4 5 6
7 8 9


d
1
↔d
2
→


4 5 6
1 2 3
7 8 9


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Các phép biến đổi sơ cấp
Ví dụ:
Cho A =


1 2 3
4 5 6

7 8 9


d
1
=2d
1
→


2 4 6
4 5 6
7 8 9


Cho A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9


d
1
=d
1
+2d
2
→



9 12 15
4 5 6
7 8 9


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh lý
1
P1: Hoán vò 2 dòng/cột làm đònh thức đổi dấu.
2
P2: Nhân một dòng/cột với một số k = 0 làm đònh thức biến đổi
gấp k lần.
3
P3: Nhân một dòng/cột với một số k rồi cộng vào một dòng/cột
khác không làm đònh thức thay đổi.
Ví dụ
Cho A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0



. Ta có |A| = − 12 − 3 − 2 = −17
a. A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0


d
1
↔d
2
→


2 1 1
1 0 −3
−1 2 0


= B
⇒ |B| = 17
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất

b. A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0


d
1
=2d
1
→


2 0 −6
2 1 1
−1 2 0


= C
⇒ |C| = − 34
c. A =


1 0 −3
2 1 1
−1 2 0



d
1
=d
1
+2d
2
→


5 2 −1
2 1 1
−1 2 0


= D
⇒ |D| =
− 17
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Đònh lý
Ta có thể tính đònh thức bằng cách khai triển bất kỳ dòng/cột nào.
|A|
d
i
= (−1)
i+1

a
i1
|M
i1
| + (−1)
i+2
a
i2
|M
i2
| + · · · + (−1)
i+n
a
in
|M
in
|
|A|
c
j
= (−1)
1+j
a
1j
|M
1j
| + (−1)
2+j
a
2j

|M
2j
| + · · · + (−1)
n+j
a
nj
|M
nj
|
Ví dụ: Cho A =




1 0 −3 1
−2 1 1 0
1 2 −1 3
−3 1 1 0




. Tính det(A).
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận con
Đònh thức
Tính đònh thức bằng đònh nghóa
Tính đònh thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Cách 1: A =





1 0 −3 1
−2 1 1 0
1 2 −1 3
−3 1 1 0




⇒ |A|
c
4
= (−1)
1+4
.1.






−2 1 1
1 2 −1
−3 1 1







+ (−1)
3+4
.3.






1 0 −3
−2 1 1
−3 1 1






=
− (−4 + 3 + 1 + 6 − 1 − 2) − 3(1 + 6 − 9 − 1) = 6
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH