LÝ THUYẾT xác SUẤT và THỐNG kê TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

Giảng viên: NGUYỄN THÁI AN

BÀI GIẢNG

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

ĐÀ NẴNG, 3/2018


ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MƠN: TỐN

Giảng viên: NGUYỄN THÁI AN
(VIỆN NC & PT CNC )

TẬP BÀI GIẢNG

Mơn học: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN
Mã môn học: STA151
Dành cho SV lớp: K22PSU-QTH12
Số TC: 03
Bậc đào tạo: Đại học
Học kỳ II, Năm học 2017-2018


LỊCH DẠY HỌC
Tuần 1: (3 giờ)

Giới thiệu về môn học ( 1 giờ )
Chương I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (2 giờ)
§ 1 Giải tích tổ hợp (1 giờ)
1.1 Quy tắc đếm.
1.2 Chỉnh hợp không lặp và lặp
1.3 Hốn vị
1.4 Tổ hợp
§ 2 Phép thử và sự kiện (biến cố) (1 giờ)
2.1 Khái niệm phép thử và sự kiện
2.2 Phân loại các sự kiện
Tuần 2: ( 3 giờ)
Chương I: (Tiế p theo)
2.3 Các phép toán và mối liên hệ giữa các sự kiện (1 giờ).
§ 3 Các khái niệm về xác suất (2 giờ)
3.1 Khái niệm xác suất
3.2 Các định nghĩa xác suất: cổ điển, hình học và thống kê
Tuần 3: ( 3 giờ)
Chương I: (Tiếp theo)
§ 4 Các cơng thức tính xác suất
4.1
Định lý cộng xác suất và các hệ quả
4.2 Định lý nhân xác suất
4.2.1 Xác suất có điều kiện
4.2.2 Các sự kiện phụ thuộc và độc lập xác suất
Tuần 4: (3 giờ)
Chương I: (Tiếp theo)
4.2.3 Định lý nhân xác suất và các hệ quả (1 giờ)
§ 5 Cơng thức xác suất tồn phần (đầy đủ) và công thức xác suất Bayes (2 giờ)
Tuần 5: (3 giờ)
Chương I: (Tiế p theo) (1.5 giờ)

§ 6 Dãy các phép thử độc lập
6.1 Dãy các phép thử độc lập
6.2 Lượt đồ Bernoulli. Công thức Bernoulli
Chương II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (1.5 giờ)
§ 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên (0.5 giờ)
1.1 Khái niệm
1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên
§ 2 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên (1 giờ)
2.1 Hàm xác suất và bảng phân phối xác suất
Tuần 6: (3 giờ)
Chương II: (Tiế p theo)
2.2 Hàm phân phối xác suất: Định nghĩa, tính chất và hàm phân phối tích luỹ (2 giờ)
2.3 Hàm mật độ xác suất: Định nghĩa, tính chất và ý nghĩa
§ 3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên (1 giờ)


3.1

Kỳ vọng tốn: Định nghĩa, tính chất, ý nghĩa

Tuần 7: (3 giờ)
Chương II: (Tiế p theo)
3.2 Phương sai và độ lệch chuẩn : Định nghĩa, tính chất, ý nghĩa (2 giờ)
3.3 Số Mod(X): Định nghĩa, ý nghĩa
3.4 Số trung vị Med(X): Định nghĩa, ý nghĩa
§ 4 Các phân phối xác xuất thường dùng (1 giờ)
4.1 Phân phối nhị thức
4.2 Phân phối siêu bội
Tuần 8: (3 giờ)
Chương II: (Tiếp theo)

4.3 Phân phối Poisson
4.4 Phân phối chuẩn
4.4.1 Định nghĩa, ý nghĩa và phân phối chuẩn tắc
4.4.2 Các số đặc trưng
4.4.3 Hàm Laplace và các tính chất
4.4.4 Cơng thức xác suất đối với phân phối chuẩn
4.5 Phân phối “ Khi bình phương”
4.6 Phân phối Student
Tuần 9: (3 giờ)
Chương II: (Tiếp theo) (1 giờ)
§ 5 Các định lý giới hạn (1 giờ)
Kiể m tra giữa kỳ : 1 giờ
Chương III: LÝ THUYẾT MẪU (1 gi ờ)
§ 1 Các khái niệm về mẫu
1.1 Ví dụ mở đầu.
1.2 Tổng thể (đám đông) và mẫu
1.3 Điều kiện chọn mẫu.
1.4 Thống kê trên mẫu
§ 2 Các phương pháp lấy mẫu
2.1 Tính ngẫu nhiên, khách quan và đủ cở của mẫu
2.2 Trình bày mẫu có ít giá trị khác nhau
2.3 Trình bày mẫu có nhiều giá trị khác nhau
2.4 Bảng phân phối thống kê: chia lớp và không chia lớp
2.5 Hàm phân phối thống kê, hàm mật độ thống kê và đa giác thông kê
Tuần 10: (3 giờ)
Chương III: (Tiếp theo) (1.5 giờ)
§ 3 Các tham số đặc trưng của mẫu
3.1 Số trung bình mẫu: Định nghĩa, ý nghĩa
3.2 Phương sai mẫu, phương sai mẫu điều chỉnh, độ lệch chuẩn và độ lệch chuẩn mẫu điều
chỉnh: Định nghĩa, ý nghĩa

3.3 Tỷ lệ mẫu
3.4 Số Mốt của mẫu: Định nghĩa, Ý nghĩa
3.5 Số trung vị của mẫu: Định nghĩa, ý nghĩa
3.6 Phương pháp đổi biến để tính số trung bình mẫu và phương sai mẫu
§ 4 Phân phối của các đặc trưng mẫu
Chương IV: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG (1.5 gi ờ)
§ 1 Khái niệm ước lượng
1.1 Khái niệm


1.2 Phân loại ước lượng
§ 2 Hàm ước lượng và phương pháp ước lượng điểm
2.1 Hàm ước lượng
2.2 Phương pháp ước lượng điểm
Tuần 11: (3 giờ)
Chương IV: (Tiếp theo)
§ 3 Phương pháp ước lượng khoảng
3.1 Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn
3.2 Khoảng tin cậy và độ tinh cậy
3.3 Ước lượng kỳ vọng
3.4 Ước lượng phương sai
Tuần 12: (3 giờ)
Chương IV: (Tiếp theo) (2 giờ)
3.5 Ước lượng tỷ lệ
3.6 Ước lượng cỡ mẫu
Chương V: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ (1 giờ)
§ 1 Các khái niệm cơ bản về kiểm định giả thuyết
1.1 Giả thuyết và đối thuyết
1.2 Miền bác bỏ và miền thừa nhận
1.3 Khái niệm sai lầm loại I và II

1.4 Mức ý nghĩa của kiểm định
Tuần 13: (3 giờ)
Chương V: (Tiếp theo)
§ 2 Kiểm định giả thuyết về tham số
2.1 Khái niệm chung
2.2 Kiểm định về kỳ vọng
2.3 Kiểm định về phương sai
Tuần 14: (3 giờ)
Chương V: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ (2 giờ)
2.4 Kiểm định về tỷ lệ
2.5 Kiểm định về sự bằng nhau của 2 kỳ vọng, 2 tỷ lệ
Kiểm tra thường kỳ: 1 giờ
Tuần 15: (3 giờ)
2.6 Kiểm định về tính độc lập (0.5 giờ)
Chương VI: TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY (2.5 giờ)
§ 1 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều
1.1 Định nghĩa và mỡ rộng biến ngẫu nhiên nhiều chiều
1.2 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên
§ 2 Tương quan và hồi quy tuyến tính
2.1 Hệ số tương quan: Định nghĩa, tính chất và ý nghĩa
2.2 Hệ số tương quan mẫu. Bảng tương quan thực nghiệm
2.3 Đường hồi quy thực nghiệm. Công thức ước lượng hệ số của đường hồi quy.
Tuần 16: (3 giờ)
Ôn tập kết thúc học phần


ĐẠI HỌC DUY TÂN
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MƠN TỐN

GIÁO TRÌNH
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN
(Lưu hành nội bộ)

Đà Nẵng - 2018


Mục lục
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1. Giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1. Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Chỉnh hợp (không lặp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
3
3
4
4

5

1.2. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

1.3. Các định nghĩa về xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1. Định nghĩa xác suất cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Định nghĩa xác suất bằng hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Tính chất và ý nghĩa của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
18
19
20

1.4. Các cơng thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4.1. Công thức cộng xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
23

1.5. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.5.1. Công thức xác suất đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
28

1.6. Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.6.1. Dãy phép thử Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
31

Chương 2. Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.1. Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.1.1. Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Luật phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
52

i


2.1.3. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

58

2.2.1. Kỳ vọng (Expected) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.2.2. Phương sai (Variance) và độ lệch chuẩn (Standard error) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.2.3. Mod (mode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.2.4. Phân vị xác suất - Trung vị (Median) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.3. Các luật phân phối xác suất thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3.1. Phân phối không-một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3.2. Phân phối nhị thức (Binomial distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.3.3. Phân phối siêu bội (Hypergeometric distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.3.4. Phân phối Poisson (Poisson distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

2.3.5. Phân phối chuẩn (Normal distribution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.3.6. Phân phối khi bình phương χ 2 (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.3.7. Phân phối Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Chương 3. Lý thuyết mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

3.1. Tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

3.1.1. Tổng thể và kích thước của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

3.1.2. Mẫu và kích thước mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

3.1.3. Biến ngẫu nhiên gốc và mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

3.1.4. Điều kiện chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

3.2. Bố trí mẫu và phân phối mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

3.2.1. Phân loại mẫu và bảng phân phối tần số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

3.2.2. Bảng phân phối tần suất và đa giác tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

3.2.3. Hàm phân phối mẫu và đa giác tần suất tích luỹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

3.3. Mẫu ngẫu nhiên và thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

3.3.1. Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

3.3.2. Thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

3.4. Các tham số đặc trưng của tổng thể và mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

3.4.1. Các đặc trưng số của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

3.4.2. Các đặc trưng số của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

3.4.3. Liên hệ giữa đặc trưng mẫu và đặc trưng tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

3.5. Thực hành tính tốn các đặc trưng số của mẫu cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

3.5.1. Trung bình mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

3.5.2. Phương sai mẫu hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

3.5.3. Tỷ lệ mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

3.6. Luật phân phối của các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

3.6.1. Phân phối của tỷ lệ mẫu F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

3.6.2. Phân phối của phương sai mẫu hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

3.6.3. Phân phối của trung bình mẫu X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

ii


Chương 4. Lý thuyết ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

4.1. Khái niệm ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

4.2. Hàm ước lượng và phương pháp ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

4.2.1. Ước lượng không chệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Ước lượng hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Ước lượng vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3. Phương pháp ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4. Ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131
132
133

133
133
134
138
147

Chương 5. Kiểm định giả thiết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

5.1. Các khái niệm cơ bản về kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

5.1.1. Giả thiết H0 và đối thiết H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Phân loại bài toán kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3. Nguyên lý kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4. Chọn tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.5. Mức ý nghĩa và miền bác bỏ giả thiết H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.6. Quy tắc chung khi thực hiện một bài toán kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.7. Các loại sai lầm mắc phải khi kiểm định giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164
165
165
165
166
166
166

5.2. Kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

5.2.1. Kiểm định hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Kiểm định phía phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Kiểm định phía trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3. Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Đã biết phương sai tổng thể σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Phương sai tổng thể σ 2 chưa biết, cỡ mẫu n > 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3. Phương sai tổng thể σ 2 chưa biết, cỡ mẫu n > 30, X có phân phối chuẩn . . . . . . .

5.4. Kiểm định giả thiết về phương sai của tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Kiểm định hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2. Kiểm định giả thiết phía phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Kiểm định giả thiết phía trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168
170
172

174
174
179
180

185
185
188
189

5.5. Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ của hai tổng thể . . . . . . .

190

5.5.1. Kiểm định phía phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2. Kiểm định giả thiết phía phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3. Kiểm định giả thiết phía trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191
192

192

5.6. Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai trung bình của hai tổng thể .

193

σ12 , σ22

5.6.1. Trường hợp n1 , n2 > 30;
cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.6.2. Trường hợp n1 30 thì X phải có phân phối chuẩn; hoặc n2 30 thì Y phải có phân
phối chuẩn; hoặc cả hai n1 , n2 30 thì X,Y phải có phân phối chuẩn; σ12 , σ22 cho trước 196

iii


5.6.3. Trường hợp n1 , n2 > 30; σ12 và σ22 chưa biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.6.4. Trường hợp n1 30 thì X phải có phân phối chuẩn; hoặc n2 30 thì Y phải có phân
phối chuẩn; hoặc cả hai n1 , n2 30 thì X,Y phải có phân phối chuẩn; σ12 , σ22 chưa biết 196

Chương 6. Biến ngẫu nhiên hai chiều
Tương quan và hàm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

6.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên hai chiều - biến ngẫu nhiên nhiều chiều . . .

209

6.2. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều . . . . . . . . .

210

6.2.1. Bảng phân phối xác suất đồng thời. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Bảng phân phối xác suất biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Quy luật phân bố xác suất có điều kiện của các biến ngẫu nhiên thành phần . . . . .
6.2.4. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3. Các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Hiệp phương sai (Covarian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Hệ số tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4. Kỳ vọng có điều kiện - hàm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2. Hàm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

210
210
212
213

213
213
214

214
214
215

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết xác suất và thống kê toán nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng
chúng vào thực tế. Ta có thể hiểu hiện tượng ngẫu nhiên là hiện tượng khơng thể nói trước
nó xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một lần quan sát. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát
khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên trong các phép thử như nhau, ta có thể rút ra được
những kết luận khoa học về hiện tượng này.
Lý thuyết xác suất cũng là cơ sở để nghiên cứu Thống kê tốn; mơn học nghiên cứu các
phương pháp thu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm rút ra các kết luận hoặc
quyết định cần thiết. Ngày nay, với sự hỗ trợ tích cực của máy tính điện tử và cơng nghệ thông
tin, xác suất thống kê ngày càng được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả trong mọi lĩnh vực khoa
học tự nhiên và xã hội. Chính vì vậy lý thuyết xác suất thống kê toán được giảng dạy cho hầu
hết các nhóm ngành ở đại học - cao đẳng.
Hiện nay, có nhiều tài liệu chuyên viết về lý thuyết xác suất thống kê toán. Tuy nhiên,
những tài liệu này thường được dùng chung cho sinh viên chuyên ngành toán cũng như khơng
chun tốn. Đối với những sinh viên khơng chun học tốn cần phải có những tài liệu học
tập thích hợp với đối tượng này. Xuất phát từ thực tế đó, chúng tơi biên soạn cuốn "Giáo trình
lý thuyết xác suất và thống kê tốn". Giáo trình được biên soạn theo đề cương tín chỉ của Đại
học Duy Tân. Trong giáo trình này, chúng tơi đã cố gắng trình bày súc tích, ngắn gọn nhưng
đầy đủ các khái niệm cốt lõi và đưa ra nhiều ví dụ, hình vẽ minh hoạ để độc giả dễ nắm bắt
được vấn đề hơn. Một số lượng lớn câu hỏi ôn tập và bài tập có đáp án được đưa ra sau mỗi
chương ở các mức độ dễ, vừa, khó. Cuốn giáo trình được chia là 6 chương:
Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất.
Chương 2. Biến ngẫu nhiên.
Chương 3. Lý thuyết mẫu.
Chương 4. Lý thuyết ước lượng.
Chương 5. Kiểm định giả thiết thống kê.
Trong giáo trình này, chúng tơi đã trình bày các tính tốn bằng phần mềm Excel. Các cơng
cụ và các hàm của Excel vận dụng vào tính tốn và xử lý số liệu được trình bày chi tiết ở phần

phụ lục.
Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người học nên xem phần giới thiệu của mỗi
chương, để thấy được mục đích, ý nghĩa, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương,
mỗi nội dung, người học có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chỉ dẫn
rõ ràng. Đặc biệt độc giả nên chú ý đến các nhận xét, bình luận, để hiểu sâu sắc hơn hoặc mở
rộng tổng quát hơn các kết quả và hướng ứng dụng vào thực tế.
Cuốn giáo trình chắc khơng tránh khỏi những sai sót. Chúng tơi xin hoan nghênh và đón
nhận mọi ý kiến đóng góp của độc giả. Xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng năm 2018
Tác giả

v


Chương 1

Biến cố ngẫu nhiên và phép tính
xác suất
A. Mục tiêu chương
Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không biết trước
kết quả) hoặc tất định (biết trước kết quả sẽ xảy ra). Chẳng hạn ta biết chắc chắn rằng lơng
của quạ có mầu đen, một vật được thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất... Đó là những
hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất định. Trái lại, khi tung đồng xu ta không biết mặt sấp
hay mặt ngửa sẽ xuất hiện; khơng thể biết có bao khách hàng đến giao dịch tại một ngân hàng
trong một ngày; có bao nhiêu khách du lịch đến TP. Đà Nẵng trong khoảng thời gian nào đó;
khơng thể xác định trước chỉ số chứng khốn trên thị trường chứng khốn... Đó là những hiện
tượng ngẫu nhiên. Tuy nhiên, nếu tiến hành quan sát khá nhiều lần một hiện tượng ngẫu nhiên
trong những điều kiện như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra những kết luận
có tính quy luật về những hiện tượng này. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của các
hiện tượng ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng

ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Chính vì vậy các phương pháp của lý thuyết xác suất
được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của
khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế - xã hội.
Chương này trình bày một cách có hệ thống các khái niệm và các kết quả chính về lý
thuyết xác suất như :
- Khái niệm phép thử, biến cố.
- Mối quan hệ giữa các biến cố - Các phép toán giữa các biến cố.
- Các định nghĩa về xác suất: Định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo hình học, theo thống
kê.
- Các phép tính xác suất: Cơng thức cộng xác suất, xác suất của biến cố đối lập.
- Xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất. Công thức xác suất đầy đủ và công thức
Bayes.
1


- Công thức Bernuolli.
Khi nắm vững các kiến thức về đại số tập hợp như: Hợp, giao tập hợp, tập con... người
học sẽ dễ dàng trong việc tiếp thu, biểu diễn hoặc mơ tả các biến cố.
Để tính xác suất các biến cố theo phương pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số các trường
hợp thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể. Vì vậy học viên cần nắm vững các
phương pháp đếm - giải tích tổ hợp (đã được học ở phổ thơng). Tuy nhiên để thuận lợi cho
người học chúng tôi sẽ nhắc lại các kết quả chính trong bài mở đầu.
Một trong những khó khăn của bài tốn xác suất là xác định được biến cố và sử dụng đúng
các công thức thích hợp. Bằng cách tham khảo các ví dụ và giải nhiều bài tập sẽ rèn luyện tốt
kỹ năng này.
B. Nội dung

1.1.

Giải tích tổ hợp

1.1.1.

Quy tắc cộng

Nếu đối tượng A có thể được chọn theo một trong hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất có
n1 cách chọn, trường hợp thứ hai có n2 cách chọn. Khi đó số cách chọn A là: n = n1 + n2 .
Ví dụ 1.1.1. Trong một ngày, thành phố A có 10 chuyến xe, 5 chuyến tàu và 3 chuyến bay để
di chuyển từ thành phố A đến thành phố B. Khi đó người dân có thể chọn 10 + 5 + 3 = 18
phương án để đến thành phố B.

1.1.2.

Quy tắc nhân

Nếu đối tượng A có thể được chọn bằng n1 cách, và với mỗi cách chọn A ta có n2 cách
chọn đối tượng B. Khi đó số cách chọn A và B là: n = n1 .n2 .
Ví dụ 1.1.2. Đi từ A đến B có thể đi theo 3 lộ trình, ứng với mỗi lộ trình đi từ A đến B sẽ có
2 cách đi từ B đến C. Như vậy có tất cả 3.2 = 6 lộ trình đi từ A đến C.
A

C

B

Ví dụ 1.1.3. Một bé có thể mang họ cha là Trần hoặc họ mẹ là Nguyễn, tên đệm có thể là:
Anh, Minh, cịn tên có thể là: Nhân, Đức, Trí. Hỏi có bao nhiêu cách đặt tên cho bé?
Bài giải. Có 2 cách chọn họ, 2 cách chọn tên đệm, và 3 cách đặt tên nên có: 2.2.3 = 12
cách đặt tên cho bé.
Nếu liệt kê ra, sẽ được các tên sau:

Trần Anh Nhân, Trần Anh Đức, Trần Anh Trí.
2


Trần Minh Nhân, Trần Minh Đức, Trần Minh Trí.
Nguyễn Anh Nhân, Nguyễn Anh Đức, Nguyễn Anh Trí.
Nguyễn Minh Nhân, Nguyễn Minh Đức, Nguyễn Minh Trí.
Sơ đồ cây:

1.1.3.

Chỉnh hợp (khơng lặp)

Mỗi bộ k phần tử có kể đến thứ tự, được lấy không lặp từ tập n phần tử (1
một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn , ta có:
Akn =

1.1.4.

n!
(n − k)!

k

n) gọi là

(1.1.1)

Chỉnh hợp lặp

Mỗi bộ k phần tử (k tuỳ ý) có kể đến thứ tự, được lấy lặp từ tập n phần tử gọi là một chỉnh
hợp lặp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là Fnk , ta có:
Fnk = nk
Ví dụ 1.1.4. Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a. Có 3 chữ số.
b. Có 6 chữ số.
c. Có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Bài giải:
3

(1.1.2)


a. Một số tự nhiên có 3 chữ số được lấy từ 5 chữ số đã cho chính là một chỉnh hợp lặp
chập 3 của 5 phần tử đó. Do đó số các số tự nhiên có ba chữ số đúng bằng số các chỉnh hợp
lặp:
F53 = 53 = 125
b. Một số tự nhiên có 6 chữ số được lấy từ 5 chữ số đã cho (ví dụ như 112345) chính là
một chỉnh hợp lặp chập 6 của 5 phần tử đó. Do đó số các số tự nhiên có 6 chữ số đúng bằng
số các chỉnh hợp lặp:
F56 = 56 = 15625
c. Vì ba chữ số đơi một khác nhau nên một số như vậy chính là một chỉnh hợp (không lặp)
chập 3 của 5 phần tử đã cho. Do đó số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau đúng
bằng số các chỉnh hợp, ta có:
A35 = 5.4.3 = 60
Chú ý 1.1.1. Trong khái niệm chỉnh hợp (khơng lặp) thì (1
chỉnh hợp lặp thì k là một số tự nhiên tuỳ ý, có thể lớn hơn n.

k

n), cịn trong khái niệm

1.1.5. Hốn vị
Hốn vị của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó. Như vậy mỗi hốn vị
của n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Kí hiệu số hốn vị của n phần tử là Pn , Vì Pn = Ann nên ta có:
Pn = n! = Ann

(1.1.3)

1.1.6. Tổ hợp
Mỗi bộ k phần tử (1 k n) không kể đến thứ tự, được lấy bằng phép lấy không lặp từ
tập n phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk , vì k phần tử lấy ra khác nhau và khơng
kể đến thứ tự nên:
Cnk

Akn
n!
=
=
k!
(n − k)!k!

(1.1.4)

Ví dụ 1.1.5. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 quân bài trong đó có 2 quân K từ bộ 52 quân bài.
2 cách chọn hai qn bài khơng là

Bài giải: Có C42 cách chọn 2 quân K từ bộ 4 quân K, có C48
K từ 48 quân còn lại. Vậy số cách chọn 4 quân bài có 2 quân K là:
2
C42 .C48
=

4! 48!
.
= 6768.
2!2! 46!2!
4


1.1.7.

Nhị thức Newton
n
n

(a + b) =

∑ Cnk ak bn−k

(1.1.5)

k=0

Để hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm trên, ta xét tiếp ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.1.6. Cho tập hợp gồm ba phần tử {a, b, c}, khi đó:
a. Nếu chọn ra các bộ gồm 2 phần tử có thứ tự ta được A23 = 3.2 = 6 chỉnh hợp là:

{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}
b. Nếu chọn các bộ gồm hai phần tử có thứ tự và các phần tử có thể lấy lặp ta được
F32 = 32 = 9 chỉnh hợp lặp là:
{a, b}, {b, a}, {a, c}, {c, a}, {b, c}, {c, b}, {a, a}, {b, b}, {c, c}
c. Số hoán vị thu được gồm 3! = 6 hoán vị là:
{a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}
d. Nếu chọn ra các bộ hai phần tử không kể thứ tự ta được C32 = 3 tổ hợp là:
{a, b}, {a, c}, {b, c}
Ví dụ 1.1.7. Một đồn tàu có 3 toa chở khách: I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị đi
tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên đồn tàu.
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 hành khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 hành
khách nói trên.
Bài giải:
a. Người khách thứ nhất có 3 cách chọn. Tương tự người khách thứ hai, thứ ba, thứ tư
cũng có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân sẽ có: 3.3.3.3 = 81 cách.
b. Cách 1: Giả sử toa I chứa 3 khách, khi đó số cách chọn 3 khách vào toa I là C43 = 4
cách.
Còn lại 1 người sẽ có 2 cách chọn. Trong trường hợp này có: 4.2 = 8 cách.
Có đến 3 trường hợp như vậy nên số cách xếp 4 hành khách lên tàu mà một toa có 3 khách
là: 3.8 = 24 (cách).
Cách 2: Khách lên tàu được chia thành 2 nhóm. Một nhóm 3 người và một nhóm 1 người,
số cách chọn ra hai nhóm này là 4. Lúc này ta xếp 2 nhóm vào 3 toa nên có: A23 = 6.
Vậy có 4.6 = 24 (cách).
5


Ví dụ 1.1.8. Xếp ngẫu nhiên 10 người thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để
hai người A và B:

a. Đứng cạnh nhau.
b. Không đứng cạnh nhau.
c. Đứng cách nhau 1 người.
d. Đứng cách nhau 5 người.
Bài giải:
a. Vì A, B đứng cạnh nhau nên có thể xem A và B như là một vị trí. Lúc này số cách sắp
xếp 9 vị trí sẽ là: P9 = 9!. Nhưng do A và B có thể hốn đổi vị trí cho nhau. Vậy sẽ có tất cả:
2.9! = 725760 cách.
b. Số cách xếp 10 người trong đó A và B không đứng cạnh nhau sẽ bằng số cách xếp
ngẫu nhiên 10 người là 10! trừ đi số cách xếp hai người A và B đứng cạnh nhau. Vậy sẽ có
10! − 2.9! = 2903040 cách.
c. Số cách để xếp 1 người vào giữa A và B là 8. Lúc này ta xem A, B và người được xếp
vào giữa A và B như là một vị trí. Lúc này số cách xếp 8 vị trí sẽ là: P8 = 8!. Vì A và B có thể
hốn đổi vị trí cho nhau. Vậy có tất cả 2.8.8! = 645120 cách.
d. Số cách chọn 5 từ 8 người có kể đến thứ tự để xếp vào giữa A và B là A58 . Lúc này xem
A, B và 5 người được xếp vào giữa A và B như là một vị trí. Bài tốn trở thành sắp xếp 4 vị trí
vào 4 chổ sẽ là: P4 = 4!. Vậy có tất cả: 2.A58 .4! = 322560 cách.
(Hoặc có thể lý luận: Số cách để xếp 5 người vào giữa A và B là C85 . Lúc này ta xem A, B và
5 người được xếp vào giữa A và B như là một vị trí. Lúc này số cách xếp 4 vị trí sẽ là: P4 = 4!.
Nhưng số cách để xếp 5 người vào giữa A và B là P5 = 5! cách; mặt khác A và B có thể hốn
đổi vị trí cho nhau nên có 2 cách. Vậy theo quy tắc nhân có tất cả 2.C85 .5!.4! = 322560 cách).
Ví dụ 1.1.9. Một hộp thuốc đựng 8 viên vitaminA, 5 viên vitaminB và 3 viên vitaminC. Có
bao nhiêu cách chọn từ đó ra 4 viên vitamin để:
a. Có đúng 2 viên vitaminA.
b. Có đúng 2 vitaminA, 1 vitaminB và 1 vitaminC.
c. Số viên vitaminA bằng số viên vitaminB.
Bài giải:
a. Chọn 2 viên vitamin trong 8 viên vitamin là tổ hợp chập hai của 8, nên có C82 cách.
2 viên vitamin còn lại chọn bất kỳ trong 8 viên vitaminB và C cịn lại nên có: C82 cách.
Theo quy tắc nhân suy ra số cách chọn: C82 .C82 = 784 cách.

b. Số cách chọn 4 viên vitamin trong đó có đúng 2 viên vitaminA, 1 viên vitaminB và 1
viên vitaminC là:
C82 .C51 .C31 = 420 (cách)
c. Có C82 .C52 cách chọn 2 viên vitaminA và 2 viên vitaminB.
Có C81 .C51 .C32 cách chọn 1 viên vitaminA, 1 viên vitaminB, và 2 viên vitaminC.
Suy ra có: C82 .C52 +C81 .C51 .C32 = 400 cách.
6


Ví dụ 1.1.10. Biển số xe gắn máy tại một thành phố là một dãy gồm hai chữ cái đứng trước
và 4 chữ số đứng sau (chẳng hạn như: YE - 9999; AB - 0689;...). Các chữ cái được lấy từ 26
chữ cái: A, B,..., Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số: 0, 1, ..., 9.
a. Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái A và các chữ số
đơi một khác nhau.
b. Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau đồng thời có đúng hai chữ số lẽ và
hai chữ số lẽ đó giống nhau.
Bài giải:
a. Chọn chữ cái thứ nhất có 26 cách.
Chọn chữ cái thứ hai có 26 cách (Vì hai chữ cái có thể giống nhau).
Số cách chọn 1 cặp chữ cái bất kỳ là: 26.26 = 676.
Do đó số cách chọn hai chữ cái có ít nhất 1 chữ cái khác A là: 676 − 1 = 675 cách.
Số cách chọn 4 chữ số đứng sau là một chỉnh hợp 10 chập 4 nên ta có: A410 = 5040 cách.
Vậy số biển số xe cần tìm là: 675.5040 = 3420000 (biển số).
b. Số cách chọn biển số xe có hai chữ cái khác nhau là: A226 = 650 cách.
Hai chữ số lẽ giống nhau có thể là: (1,1); (3,3), (5,5), (7,7), (9,9) nên có 5 cách chọn.
Số cách xếp 2 số lẽ này vào hai trong bốn chổ trong biển số là: C42 = 6 cách.
Lúc này trong biển số xe còn lại 2 chổ trống dành cho 2 số chẵn, số cách chọn số chẵn
cho vị trí thứ nhất là 5 ( chọn 1 số chẵn từ các số {0, 2, 4, 6, 8}), số cách chọn số chẵn cho vị
trí thứ hai cũng là 5 (vì 2 số chẵn có thể trùng nhau).
Vậy số biển số xe cần tìm là: 650.5.6.5.5 = 487500 (biển số).

Ví dụ 1.1.11. Tổ A nơi vợ cơng tác có 10 người, tổ B nơi chồng cơng tác có 15 người. Chọn
ngẫu nhiên 3 người từ tổ A và 2 người từ tổ B để đi nhận vật tư ở ba kho hàng: I, II, III. Biết
mỗi người được chọn vào ngẫu nhiên một kho hàng để nhận vật tư. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn để:
a. Cả hai vợ chồng được cử đi và vào các kho để nhận vật tư.
b. Cả hai vợ chồng được cử đi và vào nhận vật tư ở cùng một kho.
Bài giải:
a. Số cách chọn 3 người từ tổ A để người vợ được chọn: C92 = 36.
1 = 14.
Số cách chọn 2 người từ tổ B để người chồng được chọn: C14

Số cách chọn để cả hai vợ chồng được cử đi: 36.14 = 504.
Số cách xếp ngẫu nhiên 5 người này vào 3 kho hàng là: 35 = 243.
Vậy có tất cả: 504.243 = 122472 (cách)
b. Cả hai vợ chồng được cử đi và vào nhận vật tư ở cùng một kho: 504.3.33 = 40824.
7


1.2.

Phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

1.2.1.

Khái niệm phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên

• Phép thử ngẫu nhiên : Phép thử ngẫu nhiên là một khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa
chính xác. Ta có thể mơ tả như sau: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm điều kiện
xác định và có thể được lặp lại nhiều lần (chẳng hạn làm thí nghiệm hay quan sát một hiện
tượng nào đó). Kết quả của nó ta khơng đốn định được trước. Ta ký hiệu phép thử ngẫu nhiên

bằng chữ T và về sau gọi tắt là phép thử.
Ví dụ 1.2.1.
1 Ghi sản lượng hàng ngày của một nhà máy chế tạo.
2 Ghi tỷ giá hối đối giữa đơ la Mỹ và đồng bảng Anh.
3 Phỏng vấn một người tiêu dùng để xác định sự ưa thích sản phẩm trong số một nhóm
gồm mười loại xe hơi.
4 Kiểm tra một bóng đèn để xác định xem liệu nó là một sản phẩm có khuyết tật hay chấp
nhận được.
5 Tung một đồng xu và quan sát mặt xuất hiện
• Khơng gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể của một phép thử được gọi là khơng
gian mẫu của phép thử đó. Không gian mẫu được ký hiệu là Ω.
Một phép thử có thể có nhiều hơn một khơng gian mẫu, tùy theo người quan sát quan tâm
đến dạng kết quả nào của phép thử đó.
• Biến cố ngẫu nhiên: Một kết quả của phép thử được gọi là một biến cố ngẫu nhiên (về sau
gọi tắt là biến cố).
Như vậy một biến cố là một tập con của không gian mẫu. Biến cố có thể xảy ra hoặc
khơng xảy ra khi thực hiện phép thử.
Ta thường dùng các chữ cái: A, B,C, ... để ký hiệu biến cố.
• Biến cố sơ cấp: Trong mỗi phép thử sẽ có nhiều kết quả xảy ra. Có kết quả đơn giản nhất,
và cũng có những kết quả phức hợp. Chẳng hạn khi quay xổ số, nếu ta chỉ quan tâm đến hai
số cuối, thì mỗi sự xuất hiện một số trong các chữ số từ 00; 11; ...; 98; 99 là những kết quả đơn
giản nhất, trong khi đó sự xuất hiện các số chẵn, lẻ, đầu 6, đuôi 8,... là những kết quả phức
hợp (gồm nhiều kết quả đơn giản nhất hợp thành).
Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp (hay còn gọi là biến cố đơn).
Ta thường ký hiệu các biến cố sơ cấp là: ω1 , ω2 , ...
Không giam mẫu Ω chỉ chứa tất cả các biến cố sơ cấp của một phép thử được gọi là Không
gian các biến cố sơ cấp của phép thử đó. Kí hiệu Ω = {ω1 ; ω2 ; ...}.
Nhận xét 1.2.1. Như vậy một biến cố sơ cấp là một phần tử của không gian mẫu (ω ∈ Ω)
trong khi một biến cố ngẫu nhiên là một tập hợp con của không gian mẫu (A ⊂ Ω). Biến cố
ngẫu nhiên đóng vai trị như một tập hợp, chứa các biến cố sơ cấp. Khi biến cố A chỉ có một

8


phần tử thì nó đóng vai trị như một biến cố sơ cấp. Do đó, ta cũng có thể ký hiệu biến cố sơ
cấp bằng các chữ cái A, B,C.
Chúng ta có thể hình dung, nếu khơng gian mẫu là mặt phẳng, khi đó mỗi đường thẳng
là một biến cố ngẫu nhiên, còn mỗi điểm là một biến cố sơ cấp.
Ví dụ 1.2.2. Khi gieo một con xúc xắc là thực hiện một phép thử, nếu ta quan tâm đến kết
quả mặt mấy chấm xuất hiện thì khơng gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, các mặt 1, 2, 3, 4,
5, 6 chấm là các biến cố sơ cấp. Tập hợp A = {2, 4, 6} là một biến cố, nó xảy ra khi mà hoặc
mặt 2, hoặc 4, hoặc 6 chấm xuất hiện, có thể gọi A là biến cố "xuất hiện mặt chẵn". Tương
tự B = {1, 3, 5} là biến cố "xuất hiện mặt lẽ". Nếu gọi C là biến cố "số chấm xuất hiện nhiều
hơn 7" thì C = 0/ và C không xảy ra ở bất cứ lần gieo nào. Nếu gọi D là biến cố "số chấm xuất
hiện nhỏ hơn 7" thì D = Ω và D ln xảy ra khi thực hiện phép thử.
• Biến cố tất yếu: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Như vậy, khơng gian mẫu Ω
là biến cố tất yếu.
• Biến cố bất khả: là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Như vậy, tập 0/ là
biến cố bất khả.
Ví dụ 1.2.3.
a. Khảo sát ngẫu nhiên một sinh viên Khoa QTKD để lấy thông tin là thực hiện một phép
thử. Nếu kết quả chúng ta quan tâm là SV đó ở tỉnh nào thì khơng gian mẫu là Ω = {Quảng
Nam, Đà Nẵng, Quảng Bình,...}, mỗi tỉnh là một biến cố sơ cấp. Nếu kết quả ta quan tâm là
SV đó học nghành gì thì không gian mẫu Ω = {QTH, QTM, QNH,...}, mỗi nghành học là một
biến cố sơ cấp. Nhưng nếu kết quả chúng ta quan tâm là SV đó học lớp nào thì các kết quả
như: QTKD, QTMKT, NH,...khơng phải biến cố sơ cấp (mà là biến cố).
b. Sự biến động giá cả trên thị trường là phép thử, còn sự kiện xảy ra lạm phát là một
biến cố. Diễn biến của một cơn bão ngồi Biển Đơng là một phép thử, cịn sự kiện nó vào
Việt Nam là một biến cố.
Nhận xét 1.2.2. Như vậy không phải mọi phép thử đều được chủ động thực hiện. Có những
biến cố ta thu được từ thực hiện một phép thử, nhưng có những biến cố ta chỉ thu được từ

những quan sát các hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội,...

1.2.2. Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố
Khi giải các bài toán của lý thuyết xác suất ta thường phải diễn tả một biến cố phức hợp
theo các biến cố đơn giản hơn. Để làm được điều đó ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa các
biến cố thể hiện qua các khái niệm dưới đây:
a. Các phép toán giữa các biến cố
• Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi đồng thời xảy
ra cả A và B, kí hiệu A.B (hoặc A ∩ B). Có nghĩa:
A.B = {ω|ω ∈ A và ω ∈ B}
9


Ví dụ 1.2.4. Cơng ty địa ốc Phú Hưng đã quyết định đầu tư vốn vào 2 lĩnh vực có nhiều rủi
ro: nhà chung cư cho những người có thu nhập thấp và các căn hộ cao cấp. Gọi A, B lần lượt
là các biến cố các dự án trên thu hồi vốn trong 3 năm. Khi đó A.B là biến cố cả hai dự án thu
hồi vốn sau 3 năm.
• Phép trừ: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng
B khơng xảy ra, kí hiệu là A \ B. Có nghĩa:
A \ B = {ω|ω ∈ A và ω ∈
/ B}

Ví dụ 1.2.5. Trong ví dụ 1.2.4, A \ B là biến cố "dự án nhà chung cư cho những người có thu
nhập thấp thu hồi vốn sau 3 năm nhưng các căn hộ cao cấp không thu hồi được vốn sau 3
năm".
Anh/chị hãy cho biết B \ A là biến cố gì?
• Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai
biến cố A hoặc B xảy ra, ký hiệu A + B (hoặc A ∪ B). Có nghĩa:
A + B = {ω|ω ∈ A hoặc ω ∈ B} có nghĩa A + B = (A \ B) + (B \ A) + A.B

Ví dụ 1.2.6. Trong ví dụ 1.2.4, A + B là biến cố có ít nhất một dự án thu hồi vốn trong 3 năm.
Lúc này có thể là dự án nhà chung cư cho những người có thu nhập thấp, có thể là các căn
hộ cao cấp, hoặc cả hai dự án thu hồi vốn sau 3 năm.
Ví dụ 1.2.7. Một trung tâm đào tạo ngắn hạn về nghiệp vụ kế toán quảng bá sau khi tốt
nghiệp khóa học, học viên có thể thành thạo về các phần mềm kế toán - ký hiệu kết quả
này là A và học viên có thể thành thạo về kế toán thuế - ký hiệu kết quả này là B .Khi đó
AB; A \ B; B \ A; A + B là biến cố gì?
• Phần bù của biến cố A, ký hiệu là A, được xác định: A = Ω \ A. Có nghĩa A chứa những kết
quả không nằm trong A.
10


Biến cố A còn được gọi là biến cố đối của biến cố A.
Công thức Demorgan: A + B = A.B; A.B = A + B.
Ví dụ 1.2.8. Theo số liệu của trang việc làm và tuyển dụng JobStreet.com của Việt Nam: Sales
(Kinh doanh), Marketing (Tiếp thị) và ICT (Công nghệ máy tính – thơng tin), Tài chính/Kế
tốn; Hành chính/Nhân sự; Kỹ thuật là 6 nhóm ngành có nhu cầu tuyển dụng rất cao, chiếm
hơn 75% tổng số công việc đăng tuyển trên trang này.
Chọn ngẫu nhiên 3 tin đăng tuyển từ một mẫu gồm có 4 Sales và 6 ICT. Gọi A là biến cố
"có ít nhất 1 sales" thì A là biến cố "khơng có sales" trong 3 tin đăng tuyển.
b. Mối quan hệ giữa các biến cố
• Thuận lợi: Biến cố A thuận lợi (hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu A ⊂ B, nếu
trong phép thử đó A xuất hiện thì B cũng xuất hiện.
Ví dụ 1.2.9. Khi gieo một con xúc xắc, nếu gọi A là biến cố xuất hiện mặt 1 chấm, B là biến
c� chuẩn tắc X ∈ N (0, 1) ta dùng hàm NORMSDIST (x):
x
2
− t2 dt = NORMSDIST (x)
√1
e

2π −∞
x
2
− t2 dt = NORMSDIST (x) − 0.5,
√1
e
2π
0

• Hàm phân phối: G(x) =
• Hàm Laplace: Φ(x) =

(x > 0)

Ví dụ. Φ(0.1) = NORMSDIST (0.1) − 0.5 = 0.039828.
• Để tính hàm ngược của phân phối chuẩn tắc ta dùng hàm: NORMSINV (p).
• Để tìm x từ biểu thức:
1
G(x) = √
2π

x

2
− t 2
2σ
e
dt

=p

−∞

ta có:
x = NORMSINV (p).
• Để tính giá trị x từ hàm Laplace Φ(x) = p ta dùng cơng thức:
x = NORMSINV (0, 5 + p)
Ví dụ. Cho Φ(x) = 0.475, tìm x =?
x = NORMSINV (0.5 + 0.475) = 1.96
218


• Nếu X ∈ N (µ, σ 2 ) ta cần tính P(X < x) hoặc P(x1 < X < x2 ) thì ta có thể dùng hàm
NORMDIST :
P(X < x) = NORMDIST (x, µ, σ , 1)
P(x1 < X < x2 ) = NORMDIST (x2 , µ, σ , 1) NORMDIST (x1 , à, , 1)
ã Nu X ∈ N (0, 1) ta cần tính P(X < x) hoặc P(x1 < X < x2 ) thì ta có thể dùng hàm
NORMSDIST :
P(X < x) = NORMSDIST (x)
P(x1 < X < x2 ) = NORMSDIST (x2 ) − NORMSDIST (x1 )
ã Nu X N (à, 2 ) ta cần tính P(|X − µ| < ε) thì ta có thể dùng hàm NORMDIST :
P(|X − µ| < ε) = 2 ∗ NORMSDIST ( σε )

6. Phân phối Student
• Nếu T ∈ T (k), để tính P(T > t0 ), t0 > 0 thì dùng hàm
P(T > t0 ) = T DIST (t0 , k, 1)
Chú ý. Nếu t0 < 0 thì P(T > t0 ) = 1 − P(T > −t0 ), −t0 > 0.
• Nếu T ∈ T (k), để tính P(|T | > t0 ), t0 > 0 thì dùng hàm
P(|T | > t0 ) = T DIST (t0 , k, 2)
• Nếu T ∈ T (k), để tìm t( α ,k) sao cho P(|T | > t( α ,k) ) = α thì dùng hàm

2

2

t α (n) = T INV (α, k)
2

Ví dụ. Cho T ∈ t(20), với α = 0.1 hãy tìm t(0.05,20) sao cho: P(|T | > t(0.05,20) ) = 0.1.
Ta có: t(0.05,20) = T INV (0.1, 20) = 1.724718218.
• Nếu T ∈ T (k), để tìm t(α,k) sao cho P(T > t(α,k) ) = α thì dùng hàm
tα (n) = T INV (2 ∗ α, k)
Ví dụ. Cho T ∈ t(20), với α = 0.1 hãy tìm t(0.1,20) sao cho: P(T > t(0.1,20) ) = 0.1.
Ta có: t(0.1,20) = T INV (0.2, 20) = 1.325340707.
7. Phân phối khi bình phương
• Nếu χ 2 ∈ χ 2 (k), để tính P(χ 2 > χ02 ) thì dùng hàm
P(χ 2 > χ02 ) = CHIDIST (χ02 , k)
2
2
• Nếu χ 2 ∈ χ 2 (k), để tìm χ(α,k)
sao cho P(χ 2 > χ(α,k)
) = α thì dùng hàm
2
χ(α,k)
= CHIINV (α, k)

219


2
2

Ví dụ. Cho χ 2 ∈ χ 2 (20), với α = 0.1 hãy tìm χ(0.1,20)
sao cho: P(χ 2 > χ(0.1,20)
) = 0.1.
2
Ta có: χ(0.1,20) ) = CHIINV (0.1, 20) = 28.41198058.

8. Tính các số đặc trưng mẫu (Dùng cho mẫu đơn)
n

• Trung bình mẫu ∑ xi = AV ERAGE(x1 , x2 , ..., xn )
i=1

Chú ý. Nếu các giá trị x1 , ..., xn nằm trong một cột trong bảng tính Exel, chẳng hạn cột A
khi đó:
n

x = ∑ xi = AV ERAGE(A1 : An )
i=1

• Độ lệch chuẩn mẫu:
s=

n
x2 − (x)2 = ST DV E(x1 , x2 , ..., xn )
n−1

9. Ước lượng trung bình
Cho n là kích thước mẫu, độ tin cậy là 1 − α, ta tính độ chính xác theo cơng thức:
ε = z α √σn = CONFIDENCE(α, σ , n)
2

ε = z α √sn = CONFIDENCE(α, s, n)
2

10. Ước lượng phương sai
Để tính giá trị (n − 1)s2 ta dùng hàm DEV SQ(x1 , x2 , ..., xn ) có nghĩa:
(n − 1)s2 = DEV SQ(x1 , x2 , ..., xn )

11. Hệ số tương quan
Để tính hệ số tương quan của hai mảng dữ liệu X;Y ta dùng hàm CORREL(array1, array1).

220


Phụ lục 2 - 1: Bảng giá trị hàm Gauss: g(x) =

√1
2π

2

exp( −x2 )

x

g(x)

x

g(x)

x

g(x)

x

g(x)

x

g(x)

0.01

0.398922

0.31

0.380226

0.61

0.331215

0.91

0.263688

1.31

0.169147

0.02

0.398862

0.32

0.379031

0.62

0.329184

0.92

0.261286

1.32

0.166937

0.03

0.398763

0.33

0.377801

0.63

0.327133

0.93

0.258881

1.33

0.16474

0.04

0.398623

0.34

0.376537

0.64

0.325062

0.94

0.256471

1.34

0.162555

0.05

0.398444

0.35

0.37524

0.65

0.322972

0.95

0.254059

1.35

0.160383

0.06

0.398225

0.36

0.373911

0.66

0.320864

0.96

0.251644

1.36

0.158225

0.07

0.397966

0.37

0.372548

0.67

0.318737

0.97

0.249228

1.37

0.15608

0.08

0.397668

0.38

0.371154

0.68

0.316593

0.98

0.246809

1.38

0.153948

0.09

0.39733

0.39

0.369728

0.69

0.314432

0.99

0.24439

1.39

0.151831

0.1

0.396953

0.4

0.36827

0.7

0.312254

1

0.241971

1.4

0.149727

0.11

0.396536

0.41

0.366782

0.71

0.31006

1.1

0.217852

1.41

0.147639

0.12

0.39608

0.42

0.365263

0.72

0.307851

1.11

0.215458

1.42

0.145564

0.13

0.395585

0.43

0.363714

0.73

0.305627

1.12

0.213069

1.43

0.143505

0.14

0.395052

0.44

0.362135

0.74

0.303389

1.13

0.210686

1.44

0.14146

0.15

0.394479

0.45

0.360527

0.75

0.301137

1.14

0.208308

1.45

0.139431

0.16

0.393868

0.46

0.35889

0.76

0.298872

1.15

0.205936

1.46

0.137417

0.17

0.393219

0.47

0.357225

0.77

0.296595

1.16

0.203571

1.47

0.135418

0.18

0.392531

0.48

0.355533

0.78

0.294305

1.17

0.201214

1.48

0.133435

0.19

0.391806

0.49

0.353812

0.79

0.292004

1.18

0.198863

1.49

0.131468

0.2

0.391043

0.5

0.352065

0.8

0.289692

1.19

0.19652

1.5

0.129518

0.21

0.390242

0.51

0.350292

0.81

0.287369

1.2

0.194186

1.51

0.127583

0.22

0.389404

0.52

0.348493

0.82

0.285036

1.21

0.19186

1.52

0.125665

0.23

0.388529

0.53

0.346668

0.83

0.282694

1.22

0.189543

1.53

0.123763

0.24

0.387617

0.54

0.344818

0.84

0.280344

1.23

0.187235

1.54

0.121878

0.25

0.386668

0.55

0.342944

0.85

0.277985

1.24

0.184937

1.55

0.120009

0.26

0.385683

0.56

0.341046

0.86

0.275618

1.25

0.182649

1.56

0.118157

0.27

0.384663

0.57

0.339124

0.87

0.273244

1.26

0.180371

1.57

0.116323

0.28

0.383606

0.58

0.33718

0.88

0.270864

1.27

0.178104

1.58

0.114505

0.29

0.382515

0.59

0.335213

0.89

0.268477

1.28

0.175847

1.59

0.112704

0.3

0.381388

0.6

0.333225

0.9

0.266085

1.29

0.173602

1.6

0.110921

221