Tiểu luận toán của Đại học Sư phạm Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TIỂU LUẬN
HỌC PHẦN: TOÁN 1

Họ và tên sinh viên: Nguyễn Thu Hoài
Mã số sinh viên: 2579431
Lớp: Sư phạm Toán

Hà Nội, năm 2021


MỤC LỤC

Câu 1:
Chương 2 sách giáo khoa Đại số 10: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1.1

Liệt kê các khái niệm, định lý được giảng dạy trong ch ương trên

BÀI 1: HÀM SỐ
I.
ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ
1. Hàm số. Tập xác định của hàm số
Nếu mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị t ương ứng của y
thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số và y là hàm số
của x. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số
Cách cho hàm số
Hàm số cho bằng bảng
Hàm số cho bằng biểu đồ
Hàm số cho bằng công thức:

2.




+ Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số th ực x sao cho
biểu thức f(x) có nghĩa
3.

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y=f(x) xác định trên tập D là tập h ợp tất cả các đi ểm
M(x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D
II.
1.
2.

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Ôn tập
Bảng biến thiên

Xét chiều biến thiên của 1 hàm số là tìm các khoảng đ ồng biến và kho ảng
nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong m ột
bảng gọi là bảng biến thiên


III.
1.

TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu v ới x thuộc D thì
-x thuộc D và f(-x) = f(x)
Hàm số y=f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu v ới x thu ộc D thì -x
thuộc D và f(-x) = - f(x)
Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hay hàm số lẻ
2.

Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
BÀI 2: HÀM SỐ Y=AX+B
I.
ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Khái niệm
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó:
a,b là các số cho trước và a ≠ 0. Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm có d ạng y = ax
2.

Tính chất

Hàm số bậc nhất y = ax + b ( a ≠ 0 ) xác định v ới m ọi giá tr ị x thu ộc R:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
3.

Đồ thị hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) là một đ ường th ẳng:
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0 và trùng v ới đ ường th ẳng
y = ax nếu b = 0
Số a gọi là hệ số góc, số b gọi là tung độ gốc của đường th ẳng
II.

HÀM SỐ HẰNG Y=B


Đồ thị của hàm số y=b là một đường thẳng song song hoặc trùng v ới tr ục
hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b). Đường thẳng này gọi là đ ường
thẳng y=b
III.
1.

HÀM SỐ Y= |X|
Tập xác định:

Hàm số y= |x| xác định với mọi giá trị của x, tức là tập xác đ ịnh D=R
2.

Chiều biến thiên

Hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng (-co;0) và đồng bi ến trên kho ảng
(0;+oo)
3.

Đồ thị

Trong nửa khoảng [0 ; +co) đồ thị của hàm số y = |x| trùng v ới đ ồ th ị c ủa
hàm số y = x
Trong nửa khoảng [-co ; 0) đồ thị của hàm số y = |x| trùng v ới đ ồ th ị c ủa
hàm số y = - x
Hàm số y = |x| là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận Oy làm tr ục đ ối
xứng
BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI
I.
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
Hàm số bậc hai là hàm số có cơng th ức: y = ax 2 + bx + c (a0) có miền xác
định D = R, biệt thức ∆ = b2 – 4ac
Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a0) là một đường parabol có đỉnh là
điểm I ( ; có trục đối xứng là đường thẳng x = -. Parabol này quay b ề lõm
lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0. Trong đó: giao điểm v ới tr ục tung
là A (0; c) và hoành độ giao điểm với trục hoành là nghiệm của ph ương
trình ax2 + bx + c = 0
II.

CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c:
Nghịch biến trong khoảng ( -∞ ; -)


Đồng biến trên khoảng ( - ; +∞)
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c:
Đồng biến trên khoảng ( -∞ ; -)
Nghịch biến trên khoảng ( - ; +∞)
1.2

Chọn 2 bài trong chương 2 anh chị liệt kê tất cả các dạng bài t ập
trong 2 bài đã chọn. Với mỗi dạng bài tập anh ch ị cho m ột bài
minh họa kèm lời giải chi tiết

BÀI 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B
+ Dạng 1: Cách xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đ ồ th ị
hàm số
Phương pháp giải:
•

Để xác định hàm số bậc nhất ta làm như sau:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b ( a ≠ 0 ). Căn c ứ theo gi ả thi ết bài tốn đ ể
thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b từ đó suy ra hàm số c ần tìm
•

Cho hai đường thẳng d = ax + b và d’ = a’x + b’. Khi đó:

d và d’ trùng nhau ↔ a = a’ và b = b’
d và d’ song song với nhau ↔ a = a’ và b ≠ b’
d và d’ cắt nhau ↔ a ≠ a’ và tìm tọa độ giao điểm bằng cách giải hệ ph ương
trình
d và d’ vng góc với nhau ↔ a . a’ = -1
Bài tập minh họa:
Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d. Tìm hàm số đó bi ết:
a)
b)
c)
d)

Giải:

d đi qua A (1;3), B(2; -1)
d đi qua C (3; -2) và song song với ∆: 3x – 2y +1 = 0
d đi qua M (1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P, Q sao cho di ện tích ∆OPQ
nhỏ nhất
d đi qua N (2; -1) và d vng góc với d’ v ới d’: y = 4x + 3


Gọi hàm số cần tìm có dạng y = ax + b ( a ≠ 0)
a)

Vì A ∈ d; B ∈ d nên ta có hệ phương trình:

b)

↔
Vậy hàm số cần tìm là y = - 4x + 7
Ta có ∆: y =

Vì d // ∆ nên

(1)

Mặt khác C ∈ d ⇒ -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra
Vậy hàm số cần tìm là y = x c)
Đường thẳng d cắt tia Ox tại P(; 0 ) và cắt tia Oy tại Q (0; b) v ới b > 0; a < 0.
( Do cắt tia Ox, Oy nên hoành độ và tung độ giao điểm đều d ương)



= OP . OQ =

Ta có M ∈ d ⇒ 2 = a + b ⇒ b = 2 - a, thay vào (3) ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có:



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:


Vậy hàm số cần tìm là y = -2x + 4
d)

Đường thẳng d đi qua N( 2; -1) nên -1 = 2a + b

Và d vng góc với d’ => 4a = -1 => a = => b = -1 – 2a =
Vậy hàm số cần tìm là y =
+ DẠNG 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT
Phương pháp giải:
Để vẽ đường parobol
-

-

ta thực hiện các bước sau:

Xác định tọa độ đỉnh I (

)
Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol
Xác định một số điểm cụ thể của parabol ( chẳng hạn, giao điểm của
parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua tr ục
đối xứng)
Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

Bài tập minh họa: Cho hàm số
a)
b)
c)
d)

Giải:
a)

Ta có:

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên
Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của
đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên
Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số ch ỉ nh ận giá tr ị
dương
Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho
trên


Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số

0), B( 4; 0)

có đỉnh I (3 ; -1), đi qua các điểm A (2;

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm
lên trên


b)

Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hồnh do đó d ựa
vào đồ thị ta có

Với m < -1 đường thẳng y = m và parobol y = x2 - 6x + 8 không cắt nhau
Với m = -1 đường thẳng y = m và parabol y = x 2 - 6x + 8 cắt nhau tại một
điểm ( tiếp xúc)
Với m > -1 đường thẳng y = m và parabol y = x 2 - 6x + 8 cắt nhau tại hai
điểm phân biệt
c)

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hồn tồn trên
trục hồnh

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x ∈ (-∞;2) ∪ (4; +∞)
d)

Ta có y(-1) = 15; y(5) = 13; y(3) = -1, kết h ợp v ới đ ồ th ị hàm s ố suy
ra:

+ Dạng 3: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUY ỆT Đ ỐI

Bài tập minh họa:
Vẽ đồ thị hàm số sau:
Giải: Vẽ parabol (P) của đồ thị hàm số y = x2 - x - 2 có đ ỉnh I(1/2; (-5)/4),
trục đối xứng x = 1/2, đi qua các điểm A(-1;0),B (2;0),C (0; -2)
Khi đó đồ thị hàm số y = |x2 - x - 2| gồm: ph ần parabol (P) n ằm phía trên
trục hoành và phần đối xứng của (P) nằm dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Dạng 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT
Phương pháp giải:
Cho hàm số f(x) = ax + b và đoạn [α; β] ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm số y =
f(x) trên [α; β] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính ch ất:


Bài tập minh họa: Cho hàm số
của f(x) trên
đạt giá trị nhỏ nhất

. Tìm m để giá trị lớn nhất

Giải:
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy
hoặc x = 2

chỉ có thể đạt được tại x = 1

Như vậy nếu đặt

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3

BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI
+ Dạng 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI
Phương pháp giải: Để xác định hàm số bậc hai ta làm như sau: Gọi hàm
số cần tìm là y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Căn c ứ theo giả thi ết bài toán đ ể thi ết
lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.
Bài tập minh họa:
Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, biết:
a) (P) đi qua A (2; 3) và có đỉnh I (1; 2)
b) c = 2 và (P) đi qua B (3; -4) và có trục đối x ứng là x = (-3)/2.


Giải:
a)

Vì A ∈ (P) nên 3 = 4a + 2b + c. Mặt khác, P) có đ ỉnh I(1;2) nên:

Lại có I ∈ (P) suy ra a + b + c = 2
Ta có hệ phương trình:

Vậy (P) cần tìm là
b)

Ta có c = 2 và (P) đi qua B(3;-4) nên -4 = 9a + 3b +2 => 3a + b = -2

(P) có trục đối xứng là x =

nên

Ta có hệ phương trình:

Vậy (P) cần tìm là
+ Dạng 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM S Ố B ẬC HAI
Bài tập minh họa: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

Ta có:
Từ đó ta có bảng biến thiên:


Suy ra đồ thị hàm số :
(-2; 0), B(-1;0), C(0; 2), D (-3; 2)

có đỉnh là I (

), đi qua các điểm A

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = (-3)/2 làm trục đối x ứng và h ướng
bề lõm lên trên

+ Dạng 3: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ CHO B ỞI
NHIỀU CÔNG THỨC
Bài tập minh họa: Vẽ đồ thị của hàm số sau:
Đồ thị hàm số

gồm:

+ Đường thẳng y = x – 2 đi qua A (2; 0),B(0; -2) và lấy phần nằm bên phải
của đường thẳng x = 2.


+ Parabol y = -x2 + 2x có đỉnh I(1; 2), trục đối x ứng x = 1, đi qua các đi ểm

O(0;0),C(2;0) và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường th ẳng x = 2

1.3

Các anh chị tìm một đề kiểm tra giữa kỳ / cuối kỳ 1 Toán 10 trên
mạng năm học 2020 – 2021 lọc ra các câu thu ộc ch ương 2, phân
dạng đây là câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, thông hi ểu, vận
dụng hay vận dụng cao

Đề kiểm tra học kỳ II – năm học 2020 – 2021 – trường THPT Lý
Thường Kiệt
/>-

-

-

Câu hỏi thông hiểu:
+ Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình tổng quát của
đường thẳng d là đường trung trực của đoạn AB biết A(-1;2) và B(3;4)
Câu hỏi vận dụng:
+ Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C):
và đường thẳng
. Viết phương
trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) biết d song song
Câu hỏi vận dụng cao:


+ Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đ ường trịn (C) có
tâm trên trục hồnh Ox đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d: 2x

+ y -1 = 0 và d’: x – 2y + 1 = 0

Câu 2:
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan h ệ
song song
II.1

Liệt kê tất cả các khái niệm, định lý được giảng dạy trong
chương trên

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh m ột ph ần
của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và khơng có giới hạn
- Tính chất 1: Có một và chỉ một đường th ẳng đi qua hai đi ểm phân
biệt
- Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt ph ẳng đi qua ba đi ểm khơng
thẳng hàng
- Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân bi ệt thu ộc m ột
mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
- Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc m ột mặt phẳng
- Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có m ột đi ểm chugn thì
chúng sẽ cịn một điểm chung khác nữa. T ừ đó suy ra, n ếu hai m ặt
phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đ ường
thẳng chung đi qua điểm chung ấy
- Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết qu ả đã biết trong hình h ọc
phẳng đều đúng
BÀI 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường th ẳng song song
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng n ằm trong m ột
mặt phẳng và khơng có điểm chung
- Định lý 1: Trong không gian, qua một đi ểm khơng n ằm trên đ ường

thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song v ới
đường thẳng đã cho


-

-

-

Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuy ến
phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi m ột song
song với nhau
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt ch ứa hai đ ường
thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song
với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đ ường th ẳng
đó
Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song v ới đ ường
thẳng thứ ba thì song song với nhau

BÀI 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Định lý 1: Nếu đường thẳng d không n ằm trong m ặt ph ẳng ( ) và d
song song với đường thẳng d’ nằm trong ( ) thì d song song với ( )
- Định lý 2: Cho đường thẳng a song song v ới m ặt ph ẳng ( ). Nếu mặt
phẳng ( ) chứa a và cắt ( ) theo giao tuyến b thì b song song với a
- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song v ới m ột
đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song v ới
đường thẳng đó
- Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nh ất m ột m ặt
phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường th ẳng kia

BÀI 4: Hai mặt phẳng song song
- Hai mặt phẳng ( ), ( ) được gọi là song song với nhau nếu chúng
khơng có điểm chung
- Định lý 1: Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và
a, b cùng song song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song với ( )
- Định lý 2: Qua một điểm nằm ngoài một m ặt ph ẳng cho tr ước có
một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho
- Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với m ặt phẳng ( ) thì qua d
có duy nhất một mặt phẳng song song với ( )
- Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song v ới m ặt ph ẳng
thứ ba thì song song với nhau
- Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên m ặt ph ẳng ( ). Mọi đường
thẳng đi qua A và song song với ( ) đều nằm trong mặt phẳng đi qua
A và song song với ( )


-

-

-

Định lý 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt ph ẳng c ắt
mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuy ến song
song với nhau
Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song
những đoạn thẳng bằng nhau
Định lý Ta – lét: Ba mặt phẳng đôi một song song ch ắn trên hai cát
tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Hình lăng trụ và hình hộp:

+ Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song v ới nhau
+ Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành
+ Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau
+ Hình lăng trụ có đáy là hình tam giác là hình lăng tr ụ tam giác
+ Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành là hình h ộp
Hình chóp cụt:
+ Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các t ỉ l ệ
các cặp cạnh tương ứng bằng nhau
+ Các mặt bên là những hình thang
+ Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm

BÀI 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình khơng gian
- Định lý 1:
+ Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba đi ểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
+ Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường th ẳng, bi ến
tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
+ Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai
đường thẳng song song hoặc trùng nhau
+ Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn
thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên m ột
đường thẳng
II.2
Chọn 2 bài trong chương 2 anh chị liệt kê tất c ả các định lý,
hệ quả tính chất và chứng minh các kết quả đó
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
-

Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt ph ẳng ( ) và d
song song với đường thẳng d’ nằm trong ( ) thì d song song với ( )

Chứng minh:
Gọi ( ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song d, d’


Ta có
Nếu
thì M thuộc giao tuyến của ( ) và ( ) thì d’ hay
Điều này mâu thuẫn với giả thiết d//d’
Vậy d // ( )

-

Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt ph ẳng ( ). Nếu mặt
phẳng ( ) chứa a và cắt ( ) theo giao tuyến b thì b song song với a

-

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song v ới
đường thẳng đó


-

Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nh ất m ột m ặt
phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường th ẳng kia

Chứng minh: Giả sử ta có hai đường thẳng chéo nhau a và b
Lấy điểm M bất kỳ thuộc a. Qua M kẻ đường thẳng b’ song song v ới b. G ọi

( ) là mặt phẳng xác định bởi a và b’
Ta có b// b’ và
Hơn nữa ( )

, từ đó suy ra b // ( )
a nên ( ) là mặt phẳng cần tìm

Ta chứng minh ( ) là duy nhất. Thật vậy, nếu có một mặt phẳng
khác (
), chứa a và song song với b thì khi đó ( ),
là hai mặt phẳng phân biệt
cùng song song với b nên giao tuyến của chúng là a, ph ải song song v ới b.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết a và b chéo nhau
Tương tự ta có thể chứng minh có duy nhất một mặt phẳng ch ứa b và song
song với a


BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG
-

Định lý 1: Trong không gian, qua một điểm khơng n ằm trên đ ường
thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song v ới
đường thẳng đã cho

Chứng minh: Giả sử ta có điểm M và đường thẳng d khơng đi qua M. Khi đó
điểm M và đường thẳng d xác định một mặt phẳng ( ). Trong mặt phẳng (
), theo tiên đề Ơ – clit về đường thẳng song song chỉ có một đ ường thẳng
d’ qua M và song song với d. Trong khơng gian nếu có m ột đ ường th ẳng d”
đi qua M song song với d thì d” cũng nằm trong m ặt ph ẳng ( ). Như vậy,

trong đường thẳng ( ) có d’,d” là hai đường thẳng cùng đi qua M và song
song với d nên d’, d” trùng nhau

-

Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuy ến
phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi m ột song
song với nhau


-

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt ch ứa hai đ ường
thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song
với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đ ường th ẳng
đó

-

Định lý 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nh ất m ột m ặt
phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường th ẳng kia


Các anh chị tìm một đề kiểm tra giữa kỳ / cuối kỳ 1 Toán 11
trên mạng năm học 2020 – 2021 lọc ra các câu thuộc chương
2 này và trình bày lời giải chi tiết

II.3

Đề thi kiểm tra học kỳ I mơn Tốn năm học 2020 – 2021 c ủa SGD &

ĐT Quảng Nam
/>Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. G ọi G là tr ọng
tâm tam giác SAD, M là điểm thuộc cạnh AB sao cho MB = 2MA
a)
b)

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Mặt phẳng (AGM) cắt các đường thẳng SC, SB lần l ượt tại C’, B’.
Chứng minh MG//B’C’

Bài làm
a)

Ta có:


b)
Ta có: B’ ≡ B
Gọi K là trung điểm SD
Xét 2 mặt phẳng (AGM) & (SDC), ta có:

Gọi L là trung điểm AB
Ta có
Tứ giác KLB’C’ có KC”//LB’, KC’ = LB’ nên KLB’C’ là hình bình hành
 KL//C’B’ (2)

Từ (1) và (2) => GM // C’B’ (đpcm)
Ta có hình vẽ:

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số 10, chương 2, trang 31, BGD&ĐT
2. Sách giáo khoa Hình học 11, chương 2, trang 43, BDG&ĐT
3. Đề kiểm tra học kỳ II – năm học 2020 – 2021 – trường THPT Lý Thường Kiệt

4.

/>Đề thi kiểm tra học kỳ I mơn Tốn 11 năm học 2020 – 2021 SGD&ĐT
Quảng Nam
/>