Tài liệu Ôn thi cao học:Đại số tuyến tính doc

1

ÔN THI CAO HC
PHN I S TUYN TÍNH
(GV Trn Ngc Hi - 2011)

A- KHÔNG GIAN VÉCT
§1. NH NGHA VÀ TÍNH CHT CN BN
1.1. nh ngha. Cho V là mt tp hp khác ∅. Ta nói V là mt không gian véct trên F
(F = Q, R hay C) nu trong V :
i) Tn ti mt phép toán “cng véct”, tc là mt ánh x
V × V → V
(u, v) → u + v
ii) Tn ti mt phép “nhân vô hng vi véct”, tc là mt ánh x
F × V → V
(α, u) → αu
tha các tính cht sau: v
i u, v, w ∈ V và α, β ∈ F:
1. u + v = v + u;
2. (u + v) + w = u + (v + w);
3. ∃ 0 ∈ V, u + 0 = 0 + u = u;
4. ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0;
5. (αβ)u = α(βu);
6. (α + β)u = αu +βu;
7. α(u + v)u = αu + αv;
8. 1.u = u.
Khi đó:
• Mi phn t u ∈ V là mt véct.
• Mi s α ∈ F là mt vô hng.
• Véct 0 là véct không.

• Véct (–u) là véct đi ca u.
Sau đây ta s đa ra vài ví d c bn v không gian véct.
1) Tp F
n
= {u = (x
1
, x
2
, , x
n
)⏐x
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n} (F = R hay C) vi phép toán cng véct
và phép nhân vô hng vi véct đnh bi:

2

u + v = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, , x
n
+ y
n
),

αu = (αx
1
, αx
2
, , αx
n
),
vi u = (x
1
, x
2
, , x
n
), v = (y
1
, y
2
, , y
n
)∈ V và α ∈ F, là mt không gian véct trên F vi véct
không là 0 = (0, 0, 0) và véct đi ca véct u = (x
1
, x
2
, , x
n
) là
(–u) = (−x
1
, −x

2
, , −x
n
)
2) Tp V = M
mxn
(F) gm các ma trn mxn vi các h s trong F là mt không gian véct
trên F vi phép cng véct là phép cng ma trn thông thng và nhân vô hng vi véct là
phép nhân thông thng mt s vi ma trn, trong đó véct không là ma trn không và véct
đi ca A = (a
ij
) là (–A) = (–a
ij
).
3) Tp V = F[x]
= {p(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
x + a
0
⏐ n ∈ N, a
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}
gm các đa thc theo x vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi phép cng
véct là phép cng thông thng các đa thc và phép nhân vô hng vi véct là phép nhân

thông thng mt s vi mt đa thc.
4) Vi mi s nguyên n ≥ 1, tp
V = F
n
[x] = {p(x) = a
n
x
n
+ + a
1
x + a
0
⏐a
i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}
gm các đa thc theo x bc ≤ n, vi các h s trong F là mt không gian véct trên F vi cng
véct và phép nhân vô hng vi véct là các phép cng đa thc và nhân mt s vi đa thc
thông thng (nh trong 3) là mt không gian véct trên trng F.
1.2. Mnh đ. Cho V là mt không gian véct trên F. Khi đó vi mi u ∈ V và α ∈ F ta
có:
i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0).
ii) (–1)u = –u.
T
 đây v sau ta ký hiu V là mt không gian véct trên trng F (F = Q, R hay C)

§2. T HP TUYN TÍNH
2.1. nh ngha. Cho u
1
, u
2

, , u
k
∈ V. Mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
là mt
véct có dng:
u = α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k

vi α
i
∈ F (1 ≤ i ≤ k).
2.2. Tính cht. 1) u là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2

, , u
k
khi và ch khi phng trình α
1
u
1

+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= u có nghim (α
1
, α
2
, , α
k
)∈ F
k
.
2) Tng ca hai t hp tuyn tính, tích ca mt s vi mt t hp tuyn tính cng là các
t hp tuyn tính (ca u
1
, u
2
, , u

k
):
kkk
1i 1i i i i
i1 i1 i1
uu()u
===
α+β= α+β
∑∑∑
;
kk
ii i i
i1 i1
u()u
==
⎛⎞
αα=αα
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
.

3

3) Véct không 0 luôn luôn là mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k

vì 0 = 0u
1
+ 0u
2

+ + 0u
k
.
4) Mi véct u
i
, 1 ≤ i ≤ k là mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
vì
u
i
= 0u
1
+ + 0u
i–1
+ 1u
i
+ 0u
i+1
+ + 0u
k

Tng quát hn, mi t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, ,u
j
(1 ≤ j ≤ k) đu là t hp tuyn tính
ca u
1
, u
2
, ,u
j
, u
j+1
, , u
k
vì:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
j
u
j

= α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
j
u
j
+ 0u
j+1
+ + 0u
k

4) Mi t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, ,u
k-1
, u
k
đu là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u

k-1

khi và ch khi u
k
là mt t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k-1
.
2.3. H qu. Cho u
1
, u
2
, , u
k
là k véct trong F
n
vi u
j
= (u
1j
, u
1j
, , u
nj
), 1 ≤ j ≤ k:
u
1

= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)

u
k
= (u
1k
, u
2k
, u
nk
)
Khi đó véct u = (b
1
, b
2

, , b
n
) ∈ F
n
là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, , u
k
khi và ch khi h
phng trình tuyn tính UX = B, trong đó:
11 12 1k 1 1
21 22 2k 2 2
n1 n2 nk n k
uu u b
uu u b
U;B;X

uu u b
α
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
α
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

có nghim X.

Ví d. Trong không gian R
4
cho các véct:
u
1
= (1, 1, 1, 1);
u
2
= (2, 3, –1, 0);
u
3
= (–1, –1, 1, 1);
u
4
= (1, 2, 1, –1)
Tìm điu kin đ véct u = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4
) là mt t hp tuyn tính ca:
a) u
1
, u

2
, u
3
;
b) u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.
áp s: a) a
1
+ a
4
= a
2
+ a
3
.
b) Mi véct u = (a
1
, a
2
, a
3
, a
4

) ∈ R
4
đu là t hp tuyn tính ca u
1
, u
2
, u
3
, u
4
.

§3. C LP TUYN TÍNH – PH THUC TUYN TÍNH
3.1. nh ngha. 1) Cho u
1
, u
2
, , u
k
∈ V. Xét phng trình:

4

α
1
u
1
+ α
2
u

2
+ + α
k
u
k
= 0 (1)
Nu (1) ch có nghim tm thng α
1
= α
2
= = α
k
= 0 thì ta nói u
1
, u
2
, , u
k
(hay {u
1
,
u
2
, , u
k
}) đc lp tuyn tính.
Nu ngoài nghim tm thng, (1) còn có nghim khác thì ta nói u
1
, u
2

, , u
k
(hay {u
1
,
u
2
, , u
k
} ) ph thuc tuyn tính.
Nói cách khác,
• u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính khi và ch khi vi mi α
1
, α
2
, , α
k
∈F ta có:
α
1
u
1
+ α
2

u
2
+ + α
k
u
k
= 0 ⇒ α
1
= α
2
= = α
k
= 0.
• u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti α
1
, α
2
, , α
k
∈ F không đng
thi bng 0 sao cho:
α
1
u

1
+ α
2
u
2
+ + α
k
u
k
= 0.
2) Tp con S ⊆ V đc gi là đc lp tuyn tính nu mi {u
1
, u
2
, , u
k
} ⊆ S (k ∈ N tu
ý) đu đc lp tuyn tính. Nu S không đc lp tuyn tính, ta nói S ph thuc tuyn tính.
Ví d 1) Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (1, 2, −3); u
2
= (2, 5, −1); u
3
= (1, 1, −8)

ta có:

• u
1
, u
2
đc lp tuyn tính.
• u
1
, u
2
, u
3
ph thuc lp tuyn tính.
3.2. Nhn xét. Các véct u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính khi và ch khi tn ti véct u
i

“ph thuc” vào các véct khác theo ngha véct u
i
đc biu din di dng t hp tuyn tính
ca các u
j
, 1 ≤ j ≠ i ≤ k.
Vi u
1
, u

2
, , u
k
là k véct trong F
n
:
u
1
= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u
2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)

u
k
= (u
1k
, u

2k
, u
nk
)
ta có: u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính khi và ch khi h phng trình tuyn tính UX = 0, trong
đó:
11 12 1k
21 22 2k
n1 n2 nk
uu u
uu u
U

uu u
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

ch có nghim tm thng X = 0. Mt khác,
H UX = 0 ch có nghim tm thng X = 0

⇔ Ma trn U có hng là r(U) = k.

5

⇔ Ma trn A = U
T
có hng là r(A) = k (do hai ma trn chuyn v có cùng hng).
Nhn xét rng ma trn U có đc bng cách dng u
1
, u
2
, , u
k
thành các ct, nên ma trn A =
U
T
có đc bng cách xp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng.
3.3. H qu. Cho u
1
, u
2
, , u
k
là k véct trong F

n
. Gi A là ma trn có đc bng cách
xp u
1
, u
2
, , u
k
thành các dòng. Khi đó:
u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính ⇔ A có hng là r(A) = k.
3.4. Chú ý. Trong thc hành, ta kim tra tính đc lp tuyn tính ca các véct u
1
, u
2
, ,
u
k
trong F
n
nh sau:
Bc 1: Lp ma trn A bng cách xp u
1
, u
2

, , u
k
thành các dòng.
Bc 2: Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R. Khi đó:
• Nu R không có dòng 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính.
• Nu R có ít nht mt dòng 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính.
Trng hp k = n, ta có A là ma trn vuông. Khi đó có th thay Bc 2 bng Bc 2′
nh sau:
Bc 2′: Tính đnh thc detA:
• Nu detA ≠ 0 thì u
1
, u
2
, , u
k
đc lp tuyn tính.
• Nu detA = 0 thì u
1

, u
2
, , u
k
ph thuc tuyn tính.
Ví d 1. Trong không gian R
5
cho các véct:
u
1
= (1, 2, −3, 5, 1);
u
2
= (1, 3, −13, 22, −1);
u
3
= (3, 5, 1, −2, 5);
u
4
= (2, 3, 4, −7, 4);
Hãy xét xem u
1
, u
2
, u
3
, u
4
đc lp tuyn tính hay ph thuc tuyn tính.
áp s: Ph thuc tuyn tính.

Ví d 2. Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (2m + 1, − m, m + 1)
u
2
= (m − 2, m – 1, m – 2)
u
3
= (2m − 1, m – 1, 2m –1)
Tìm điu kin đ u
1
, u
2
, u
3
đc lp tuyn tính trên R.
áp s: m ≠ 0; m ≠ ± 1.

§4. KHÔNG GIAN CON – TP SINH – C S VÀ S CHIU

6

4.1. nh ngha (không gian véct con).

Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Ta nói W là
mt không gian véct con ca V, kí hiu W ≤ V, nu W vi phép cng véct và phép nhân vô
hng vi véct cm sinh t V, cng là mt không gian véct trên trng F.

4.2. nh lý. Cho W là mt tp con khác ∅ ca V. Khi đó các khng đnh sau là tng
đng:
i) W ≤ V.
ii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W.
iii) Vi u, v ∈ W và α ∈ F, αu + v ∈ W.

Ví d.1) W = {0} và V là các véct con ca V. Ta gi đây là các không gian con tm
thng ca V.
2) Trong không gian R
3
, đng thng (D) đi qua gc ta đ O là mt không gian con ca
R
3
.
3) Trong không gian R
3
, mt phng (P) đi qua gc ta đ O là mt không gian véct con
ca R
3
.
4) Cho a
1
, , a
n
∈ F và b ∈ F\{0} t:
W
1
= {(x
1
, , x

n
) ∈ F
n
| a
1
x
1
+ + a
n
x
n
= 0};
W
2
= {(x
1
, , x
n
) ∈ F
n
| a
1
x
1
+ + a
n
x
n
= b}
Ta có W

1
≤ F
n
nhng
n
2
W ≤ 

4.3. nh lý. Giao ca mt h tu ý các không gian con ca V cng là mt không gian con
ca V.
Chú ý
.
Hp ca hai không gian con ca V không nht thit là mt không gian con ca V.
Bây gi cho S ⊆ V. Gi {W
i
}
i ∈ I
là h tt c nhng không gian con ca V có cha S (h
này khác rng vì có cha V). t:
i
Ii
WW
∈
=
∩

Khi đó:
• W là không gian con nh nht ca V có cha S.
Ta gi
• W là không gian con sinh bi S, kí hiu W = < S >.

• S là tp sinh ca W.
• Nu S hu hn S = {u
1
, u
2
, , u
n
} thì ta nói W = < S > là không gian con hu hn sinh
bi u
1
, u
2
, , u
n
và kí hiu W = < u
1
, u
2
, , u
n
>.
4.4. nh lý. Cho ∅ ≠ S ⊆ V. Khi đó không gian con ca V sinh bi S là tp hp tt c
nhng t hp tuyn tính ca mt s hu hn nhng tùy ý các véct trong S, ngha là:
< S > = {u = α
1
u
1
+ + α
n
u

n
| n ∈ N, u
i
∈ S, α
i
∈ F, ∀ 1 ≤ i ≤ n}

7


Chú ý. 1) Nu S = ∅ thì <S> = {0}.
2) Nu S = {u
1
, u
2
, , u
n
} thì < S > = {α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
n
u
n
⏐ α

i
∈ F, 1 ≤ i ≤ n}.
3) Nu S ≤ V thì < S > = S.
4) Cho S ⊆ V và W ≤ V. Khi đó:
S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W.
5. Nu S
1
⊆ S
2
⊆ V thì < S
1
> ≤ < S
2
>.
4.5. nh ngha. Mt tp hp con B ca không gian véct V đc gi là mt c s ca V
nu B là mt tp sinh đc lp tuyn tính.
4.6. B đ. Gi s V sinh bi m véct u
1
, u
2
, , u
m
: V = < u
1
, u
2
, , u
m
>. Khi đó mi tp
hp con đc lp tuyn tính ca V có không quá m phn t.

4.7. H qu và đnh ngha. Nu V có mt c s B hu hn gm m phn t: B = {u
1
, u
2
,
, u
m
} thì mi c s khác ca V cng hu hn và có đúng m phn t. Khi đó ta nói V là mt
không gian véct hu hn chiu trên F và m đc gi la s chiu (dimension) ca V trên F, kí
hiu dim
F
V = m hay dimV = m. Trong trng hp ngc li, ta nói V là mt không gian véct
vô hn chiu trên F, kí hiu dim
F
V = ∞ hay dimV = ∞.
Ví d. 1) Không gian F
n
là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dimF
n
= n do F
n

có mt c s là B
0
= {e
1
, e
2
, , e
n

} trong đó:
e
1
= (1, 0, 0, , 0)
e
2
= (0, 1, 0, , 0)

e = (0, 0, , 0, 1)
Ta gi B
0
là c s chính tc ca F
n
trên F.
2) Không gian M
mxn
(F) là mt không gian véct hu hn chiu trên F vi dim M
m×n
(F) =
mn vi c s B
0
= {E
ij
| , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, trong đó E
ij
là ma trn loi m×n ch có mt h s
khác 0 là 1 ti dòng i ct j. Ta gi B
0
= {E
ij

| , 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n} là c s chính tc ca
M
mxn
(F) trên F.
3) Không gian F
n
[x] gm các đa thc theo x bc ≤ n vi h s trong F, là mt không gian
véct hu hn chiu trên F vi dimF
n
[x] = n + 1 vi mt c s là B
0
= {1, x, x
n
}. Ta gi B
0
=
{1, x, x
n
} là c s chính tc ca F
n
[x].
4) Không gian F[x] gm tt các đa thc theo x bc vi h s trong F, là mt không gian
véct vô hn chiu vi mt c s vô hn B
0
= {1, x, x
2
, }.
4.8. H qu. Cho V là không gian véct hu hn chiu trên F vi dim V = n. Khi đó:
i) Mi tp con ca V có nhiu hn n phn t đu ph thuc tuyn tính.
ii) Mi tp con ca V có ít hn n phn t không th là tp sinh ca V.

8

4.9. B đ. Cho S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V và u ∈ V là mt véct sao cho
u ∉ < S >. Khi đó tp hp S
1
= S ∪ {u} đc lp tuyn tính.
4.10. nh lý. Cho V là không gian véct hu hn chiu vi dim V = n. Khi đó:
i) Mi tp hp con đc lp tuyn tính gm n phn t ca V đu là c s ca V.
ii) Mi tp hp sinh ca V gm n phn t đu là c s ca V.

Nhn xét. Vì dim F
n
= n nên mi c s ca F
n
phi gm đúng n véct. Hn na, do nh
lý 4.10: Vi B = {u
1
, u
2
, , u
n
} là mt tp con gm đúng n véct ca F
n
, ta có:
B = {u
1
, u
2
, , u

n
} là mt c s ca F
n

⇔ u
1
, u
2
, , u
n
đc lp tuyn tính
⇔ detA ≠ 0, trong đó A là ma trn có đc bng cách xp u
1
, u
2
, , u
n
thành các dòng.
Ví d. 1) Trong không gian R
4
, các véct
u
1
= (1, 1, 1, 1)
u
2
= (2, 3, –1, 0)
u
3
= (–1, –1, 1, 1)

u
4
= (1, 2, 1, –1)
to thành c s ca R
4
.
2) Trong không gian R
3
, các véct
u
1
= (2m + 1, − m, m + 1)
u
2
= (m − 2, m – 1, m – 2)
u
3
= (2m − 1, m – 1, 2m –1)
to thành mt c s ca R
3
khi và ch khi m0,1
≠
± .
4.11. nh lý (v c s không toàn vn). Cho V là mt không gian véct hu hn chiu và
S là mt tp con đc lp tuyn tính ca V. Khi đó, nu S không phi mt c s ca V thì ta có
th thêm vào S mt s véct đ đc mt c s ca V.
4.12. nh lý. Cho V là mt không gian véct hu hn chiu sinh bi S. Khi đó tn ti
mt c s B ca V sao cho B ⊆ S. Nói cách khác, nu S không phi là mt c s ca V thì ta có
th loi b ra khi S mt s véct đ đc mt c s ca V.
4.13. H qu. Mi không gian con W ca mt không gian véct V hu hn chiu đu hu

hn chiu, hn na nu W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V.





9

§5. KHÔNG GIAN DÒNG
5.1. nh ngha. Cho ma trn A = (a
ij
) loi m×n vi h s trong F:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

t:
u

1
= (a
11
, a
12
, , a
1n
)
u
2
= (a
21
, a
22
, , a
2n
)

u
m
= (a
m1
, a
m2
, , a
mn
)
và W
A
= <u

1
, u
2
, , u
m
>. Ta gi u
1
, u
2
, , u
m
là các véct dòng ca A, và W
A
là không gian
dòng ca A.
Ghi chú. dimW
A
còn đc gi là hng ca h véct u
1
, u
2
, , u
m
.
5.2. nh lý. Nu A và B là hai ma trn tng đng dòng thì W
A
= W
B
, ngha là A và B
có cùng không gian dòng.

5.3. Nhn xét. Vì các véct dòng khác 0 ca mt ma trn dng bc thang luôn luôn đc
lp tuyn tính nên chúng to thành mt c s ca không gian dòng. T đây ta suy ra cách tìm
s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn A nh sau:
• Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R.
• S chiu ca không gian dòng W
A
bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và
các véct dòng khác 0 ca R to thành mt c s ca W
A
.
Ví d. Tìm s chiu và mt c s ca không gian dòng ca ma trn:
12 11
25 1 4
A
511 2 8
920 314
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎜⎟
−
⎝⎠

Gii tóm tt. Dùng các phép BSCTD ta có
12 11 12 11
25 1 4 0132

A
R
511 2 8 00 0 1
920 314 0000
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
∼
.
R có dng bc thang vi 3 dòng khác 0. Do đó dim W
A
= 3 và mt c s ca W
A
là:
{(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)}


10

5.4. Cách tìm s chiu và c s ca mt không gian con ca F
n
khi bit mt tp sinh:
Gi s W = <u

1
, u
2
, , u
m
> ≤ F
n
(u
1
, u
2
, , u
m
không nht thit đc lp tuyn tính). 
tìm s chiu và mt c s ca W ta tin hành nh sau:
• Lp ma trn A bng cách xp u
1
, u
2
, , u
m
thành các dòng.
• Dùng các phép BSCTD đa A v dng bc thang R.
• S chiu ca W bng s dòng khác 0 ca R (do đó bng r(A)) và các véct dòng
khác 0 ca R to thành mt c s ca W.
Ví d. 1) Tìm mt c s cho không gian con ca R
4
sinh bi các véct u
1
, u

2
, u
3
, u
4
trong
đó:
u
1
= (1, 2, 1, 1)
u
2
= (3, 6, 5, 7)
u
3
= (4, 8, 6, 8)
u
4
= (8, 16, 12, 20)
Gii tóm tt. Không gian W sinh bi u
1
, u
2
, u
3
, u
4
là không gian dòng ca ma trn:
12 1 1 1211
36 5 7 0012

A
R
4 8 6 8 0001
8161220 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼

Do đó W có dimW = 3 vi c s là :
B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)}
Nhn xét. Có th kim chng u
1
, u
2
, u
3
đc lp tuyn tính. Do đó {u
1
, u
2
, u
3
} cng là
mt c s ca W (do dimW = 3).
2) Tìm mt c s cho không gian con ca R

4
sinh bi các véct u
1
, u
2
, u
3
trong đó:
u
1
= (1, –2, –1, 3)
u
2
= (2, –4, –3, 0)
u
3
= (3, –6, –4, 4)
Không gian W sinh bi u
1
, u
2
, u
3
là không gian dòng ca ma trn:
1213 1213
A
2430 00 16 R
3644 0001
−− −−
⎛⎞⎛ ⎞

⎜⎟⎜ ⎟
=−− −−=
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
−−
⎝⎠⎝ ⎠
∼

W có dimW = 3 và mt c s B = {v
1
, v
2
, v
3
}, trong đó:
v
1
= (1, –2, –1, 3)
v
2
= (0, 0, –1, –6)

11

v
3
= (0, 0, 0, 1)
Nhn xét. Trong Ví d 2, ma trn dng bc thang R không có dòng 0 nên u
1
, u

2
, u
3
đc
lp tuyn tính, và do đó {u
1
, u
2
, u
3
} cng là mt c s ca W.

§6. KHÔNG GIAN NGHIM
6.1. Ví d minh ha. Cho W là tp tt c các nghim (x
1
,x
2
,x
3
,x
4
) ca h phng trình
tuyn tính thun nht:
1234
12 3 4
1234
1234
x2x3x5x 0
x 3x 13x 22x 0
3x 5x x 2x 0

2x 3x 4x 7x 0
+−+=
⎧
⎪
+
−+ =
⎪
⎨
++−=
⎪
⎪
++−=
⎩
(1)
Ta gii h (1) bng phng pháp Gauss:
A =
12 3 5 12 3 5
1 3 13 22 0 1 10 17
35 1 2 00 0 0
23 4 7 00 0 0
−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠

∼

Vy h đã cho tng đng vi h sau:
1234
234
x2x3x5x 0
x10x17x 0
+
−+=
⎧
⎨
−+=
⎩

Chn x
3
= α, x
4
= β, ta tính đc:
1
2
x1729
x1017
=
−α+ β
⎧
⎨
=
α− β
⎩

Vy h (1) có vô s nghim vi hai n t do:
1234
(x ,x ,x ,x ) ( 17 29 ,10 17 , , )
=
−α+ β α−βαβ

vi α, β ∈ R tùy ý. Do đó:
W {( 17 29 ,10 17 , , )| , R}
{( 17 ,10 , ,0) (29 , 17 ,0, )| , R}
{ ( 17,10,1, 0) (29, 17,0,1)| , R}
( 17,10,1,0);(29, 17,0,1)
=−α+ β α− βαβαβ∈
=− α αα + β−β βαβ∈
=α− +β − αβ∈
=< − − >

t u
1
= (–17,10,1,0); u
2
= (29, –17,0,1). Ta có W = <u
1
, u
2
>, hn na u
1
, u
2
đc lp tuyn tính

vì:
12
u u 0 ( 17,10,1, 0) (29, 17, 0,1) (0, 0, 0, 0)
( 17 29 ,10 17 , , ) (0, 0,0,0)
0
α+β=⇒α− +β − =
⇒− α+ β α− βαβ=
⇒α=β=

Suy ra {u
1
, u
2
} là mt c s ca W và dimW = 2.

12

Ta gi W là không gian nghim ca h phng trình tuyn tính thun nht (1) theo đnh
ngha tng quát sau:
6.2. nh ngha. Cho ma trn A = (a
ij
) loi m×n vi h s trong F:
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A

a a a

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

và S
A
là tp tt c các nghim (x
1
,x
2
, ,x
n
) ca h phng trình tuyn tính thun nht: AX = 0,
ngha là tp tt c các nghim ca h:
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
a x a x a x 0
a x a x a x 0

a x a x a x 0
+++ =
⎧
⎪
+++ =
⎪

⎨
⎪
⎪
+
++ =
⎩

Khi đó S
A
là mt không gian con ca F
n
. Ta gi S
A
là không gian nghim ca h phng trình
tuyn tính thun nht AX = 0.
6.3. Cách tìm s chiu và mt c s ca không gian nghim:
Xét li Ví d minh ha 5.1 ta thy S
A
có mt c s là {u
1
, u
2
} vi u
1
= (-17,10,1,0); u
2
=
(29, –17,0,1). D thy:
• u
1

đc suy t nghim tng quát bng cách chn α = 1, β = 0.
• u
2
đc suy t nghim tng quát bng cách chn α = 0, β = 1.
Ta gi {u
1
, u
2
} là mt h nghim c bn ca (1).
Trng hp tng quát, đ tìm s chiu và mt c s ca không gian nghim S
A
ca h
phng trình tuyn tính thun nht AX = 0, ta tin hành các bc sau:
• Gii h AX = 0 tìm nghim tng quát.
• Tìm mt h nghim c bn ca h AX = 0 nh sau: Gi s nghim tng quát ca h
AX = 0 có s n t do
12 s
kk k
x , x , , x .
- Chn
12 s
kk k
x 1; x 0; ; x 0== = ta đc nghim
1
k
u .
- Chn
12 s
kk k
x 0; x 1; ; x 0== =

ta đc nghim
2
k
u
.

- Chn
12 s
kk k
x 0; x 1; ; x 1== =ta đc nghim
s
k
u .
Khi đó {
12 s
kk k
u , u , , u
} là mt h nghim c bn.
• Không gian nghim S
A
có dimS
A
= s và mt c s là h nghim c bn
{
12 s
kk k
u , u , , u } đã tìm.


13

§7. KHÔNG GIAN TNG
7.1. nh lý. Cho W
1
,W
2
, , W
n
là các không gian con ca V. t:
W = { u
1
+ u
2
+ + u
n
⏐u
i
∈ W
i
, 1 ≤ i ≤ n}
Khi đó W là không gian con ca V sinh bi
i
n
1i
WU
=
. Ta gi W là không gian tng ca W
1
,W
2

, ,
W
n
, kí hiu:
W = W
1
+ W
2
+ + W
n
.

Nhn xét.
1) u ∈ W
1
+ W
2
+ + W
n
⇔ ∃u
i
∈W
i
(1 ≤ i ≤ n), u = u
1
+ + u
n
.
2) W
1

+ W
2
+ + W
n
≤ U ⇔ W
i
≤ U , ∀ 1 ≤ i ≤ n.
7.2. H qu. Cho W
1
, W
2
, , W
n
là các không gian con ca V vi W
i
= < S
i
>. Khi đó
W
1
+ W
2
+ + W
n
= <
i
n
1i
SU
=

>.
Ví d. Trong R
4
cho các véct:
u
1
= (1, 2, 1, 1) v
1
= (1, 2, 2, 3)
u
2
= (3, 6, 5, 7) v
2
= (2, 5, 2, 2)
u
3
= (4, 8, 6, 8) v
3
= (3, 7, 4, 5)
u
4
= (8, 16, 12, 16) v
4
= (6, 14, 8, 10)
t W
1
= <u
1
, u
2

, u
3
, u
4
> và W
2
= <v
1
, v
2
, v
3
, v
4
>. Tìm mt c s và xác đnh s chiu ca mi
không gian W
1
+ W
2
và W
1
∩ W
2
.
Gii. W
1
là không gian dòng ca ma trn
1
12 1 1 1211
3 6 5 7 0024

A
48 6 8 0000
8161216 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∼

Vy W
1
= < (1, 2, 1, 1); (0, 0, 2, 4) > .
Tng t W
2
là không gian dòng ca ma trn:
2
12 2 3 1223
25 5 6 0110
A
3 7 7 9 0000
6141418 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
∼
Vy W
2
= < (1, 2, 2, 3); (0, 1, 1, 0) >.
Theo H qu 7.2, không gian W
1
+ W
2
sinh bi các véct:
(1, 2, 1, 1); (0, 0, 2, 4) ; (1, 2, 2, 3); (0, 1, 1, 0).
Ta tìm mt c s ca W
1
+ W
2
:

14

1211 1211
0024 0110
A
1223 0012
0110 0000
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
∼
Suy ra W
1
+ W
2
có s chiu là 3 và mt c s là {(1, 2, 1, 1); (0, 1, 1, 0) ; (0, 0, 1, 2)}.
Ta có: u ∈ W
1
∩ W
2
khi và ch khi tn ti α
i
∈ R, 1 ≤ i ≤ 4 sao cho:
12
34
12
131341234123
12
1234
u (1, 2,1,1) (0, 0, 2, 4)

u (1, 2, 2, 3) (0,1,1, 0)
u (1, 2, 1,1) (0, 0, 2, 4)
;2 2 ; 2 2 ; 4 3
u (1, 2, 1,1) (0, 0, 2, 4)
2;0
u (1, 2, 2, 3) vôùi
=α +α
⎧

⎨
=α +α
⎩
=α +α
⎧
⇔
⎨
α=α α=α+αα+α=α+αα+α=α
⎩
=α +α
⎧
⇔
⎨
α=α=αα=
⎩
⇔=α α∈


Suy ra: W
1
∩ W
2
có s chiu là 1 và mt c s là {(1, 2, 2, 3)}.
7.3. nh lý. Cho W
1
, W
2
là hai không gian véct con hu hn chiu ca V. Khi đó W
1
+

W
2
là không gian con hu hn chiu ca V và
dim(W
1
+ W
2
) = dim W
1
+ dim W
2
– dim(W
1
∩ W
2
).
7.4. nh ngha. Cho W
1
, W
2
, , W
n
là các không gian con ca V. Ta nói W là không gian
tng trc tip ca W
1
, W
2
, , W
n
, kí

hiu
12 n
W W W W
=
⊕⊕⊕
nu W = W
1
+ W
2
+ + W
n
và
ij
ji
W(W)
≠
=
∅
∑
∩ vi mi 1≤ i ≤ n.
7.5. H qu. Cho W
1
, W
2
, , W
n
là các không gian con ca hu hn chiu ca V và
W = W
1

+ W
2
+ + W
n
.
Khi đó W là tng trc tip ca W
1
, W
2
, , W
n
khi và ch dimW = dimW
1
+ dimW
2
+ + dimW
n
.

§8. TA  VÀ MA TRN CHUYN C S
8.1. nh lý. Cho B = (u
1
, u
2
, , u
n
) là mt c s ca không gian véct V trên F, trong đó
th t gia các phn t là u
1
, u

2
, , u
n
. Khi đó, vi mi u ∈ V, phng trình:
α
1
u
1
+ α
2
u
2
+ + α
n
u
n
= u (1)
luôn luôn có duy nht mt nghim. Gi
00 0
12 n
( , , , )
α
αα là nghim ca (1). Ta đt:

15

0
1
0
2

0
n
[u] =

⎛⎞
α
⎜⎟
α
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
B
: Ta đ ca véct u trong c s B.
Nh vy,
0
1
0
00 0
2
11 22 nn
0
n
[u] = u u u u

⎛⎞
α
⎜⎟

α
⎜⎟
⇔=α +α ++α
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
α
⎝⎠
B


8.2. H qu. Gi s B = (u
1
, u
2
, , u
k
) là mt c s ca W ≤ F
n
trong đó:
u
1
= (u
11
, u
21
, u
n1
)
u

2
= (u
12
, u
22
, u
n2
)

u
k
= (u
1k
, u
2k
, u
nk
)
Khi đó vi mi u = (b
1
, b
2
, b
n
) ∈ W, ta có:
1
2
n
b
b

[u] = X UX

b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⇔=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B

trong đó:
11 12 1k
21 22 2k
n1 n2 nk
uu u
uu u
U

uu u
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

là ma trn có đc bng cách dng u

1
, u
2
, , u
k
thành các ct.
8.3. Nhn xét. i vi c s chính tc B
0
= (e
1
, e
2
, , e
n
) ca không gian F
n
, ta có:

0
1
2
n
12 n
n
b
b
u (b , b , , b ) R ,[u]

b
⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟
∀= ∈ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
.
Nói cách khác, ta đ ca véct u theo c s chính tc B
0
ca F
n
chính là ma trn ct tng ng
ca u.

16

Ví d. 1) Trong không gian R
3
, mi véct u = (a, b, c) có ta đ theo c s chính tc B
0

là:
0
a
[u] b
c
⎛⎞
⎜⎟
=

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
.
2) Trong không gian R
3
, cho các véct:
u
1
= (1, 2, 1)
u
2
= (1, 3, 1)
u
3
= (2, 5, 3)
a) Chng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là mt c s ca R
3
.
b) Tìm ta đ ca véct u = (a,b,c) ∈ R
3
theo c s B.
áp s:

4a b c
[u] a b c
ac
−−
⎛⎞
⎜⎟
=−+ −
⎜⎟
⎜⎟
−+
⎝⎠
B
.
8.4. nh lý. Cho V là mt không gian véct có dimV = n và hai c s ca V nh sau:
B
1
= (u
1
, u
2
, , u
n
);
B
2
= (v
1
, v
2
, , v

n
).
t:
1
1j
2j
j
nj
p
p
[v ] = , 1 j n

p
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
≤≤
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
,
và P là ma trn vuông cp n có các ct ln lt là
1 1 1
12 n
[v ] ,[v ] , ,[v ]
B
BB
, ngha là:

11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
p p p
p p p
P =

p p p
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Khi đó P kh nghch và là ma trn duy nht tha:
1 2
u V, [u] = P[u]∀∈
BB

Ta gi P là ma trn chuyn c s t B
1
sang B
2
, kí hiu
1 2
P
→
B

B
. Nh vy,
1 1 2 2
uV, [u] = P [u]
→
∀∈
BBBB

8.5. Mnh đ. Cho V là mt không gian véct hu hn chiu và B
1,
B
2
, B
3
là ba c s
ca V. Khi đó:

17

2 1 1 2
1 3 1 2 2 3
1
1) P (P )
2) P P P
−
→→
→→→
=
=
BB BB

B
BBBBB

8.6. H qu. Cho B
1
= (u
1
, u
2
, , u
n
); B
2
= (v
1
, v
2
, , v
n
) là hai c s ca không gian F
n
.
Gi B
0
= (e
1
, e
2
, , e
n

) là c s chính tc ca F
n
. Khi đó:
0 1
1) P
→
B
B
là ma trn có đc bng cách dng các véct u
1
, u
2
, , u
n
thành

các ct.
1 0 0 1
1
2)P (P )
−
→→
=
BB BB
.
3) Nu qua mt s phép BSCTD ma trn
0 1
P
→
B

B
bin thành ma trn đn v I
n
thì cng
chính qua nhng phép bin đi đó ma trn
0 2
P
→
B
B
s bin thành ma trn
1 2
P
→
B
B
, ngha là:
0 1 0 2 1 2
BÑSCTD
n
(P P ) (I P )
→→ →
⎯⎯⎯⎯⎯→
BB BB BB

Ví d. 1) Trong không gian R
3
, cho các véct:
u
1

= (1, 2, 1)
u
2
= (1, 3, 1)
u
3
= (2, 5, 3)
a) Chng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là mt c s ca R
3
.
b) Tìm ma trn chuyn c s t B sang c s chính tc B
0
ca R
3
.
c) Tìm ta đ ca véct u = (1,2, −3) theo c s B.
áp s: b)
0
411
P111
10 1
→
−−
⎛⎞

⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
BB
.
c) Vi u = (1,2,−3),
0
5
[u] 4
4
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
B
.
2) Trong không gian R
3
cho các véct ph thuc tham s m∈R:
u
1
= (1, 1 + m, 2);
u
2

= (1, –1, –m);
u
3
= (1 – m, 2, 3).
a) Tìm điu kin đ B(m) = (u
1
, u
2
, u
3
) là mt c s ca R
3
.
b) t B
1
= B(1) và B
2
= B(–1). Chng t B
1
và B
2
là hai c s ca R
3
. Tìm các ma
trn chuyn c s t B
1
sang B
2
và t B
2

sang B
0
trong đó B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
) là c s chính tc
ca R
3
. Hãy tìm
12
[u] ; [u]

B
B
vi u = (1, 0, 1).

18

áp s: a) m ≠ 0 và m ≠ ±2.
b)
2 0
514
1
P412
3

21 1
→
−−
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
BB
;
1 2
342
1
P674
3
663
→
−−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
BB
.
Vi u = (1, 0, 1),
2

1
1
[u] 2
3
1
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
;
1
1
1
[u] 4
3
3
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B

3) Cho W là không gian con ca R

4
sinh bi các véct:
u
1
= (1, 2, 2, 1); u
2
= (0, 2, 0, 1); u
3
= (–2, 0, –4, 3)
a) Chng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là mt c s ca W. Tìm điu kin đ véct u = (x
1
, x
2
, x
3
,
x
4
) thuc W. Khi đó, tìm [u]
B
.
b) Cho v
1
= (1, 0, 2, 0);

v
2
= (0, 2, 0, 1);
v
3
= (0, 0, 0, 3)
Chng minh B ' = (v
1
, v
2
, v
3
) cng là mt c s ca W. Tìm ma trn chuyn c s t B
sang B '.
áp s: a) 2x
1
= x
3
. Khi đó:
12 4
214
42
3x x 2x
3
5x 6x 4x
[u]
6
2x x
6
−+

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B

b)

10 2
P112
00 1
′
→
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
BB

19



B- ÁNH X TUYN TÍNH

§1. KHÁI NIM V ÁNH X TUYN TÍNH
1.1. nh ngha. Cho V và W là hai không gian véct trên F. Ánh x f: V → W đc gi
là mt ánh x tuyn tính nu f tha hai tính cht sau:
1) ∀u, v ∈ V, f(u + v) = f(u) + f(v);
2) ∀u ∈ V, ∀α ∈ F, f(αu) = αf(u).
Hn na, nu f tho thêm tính cht là đn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f đc gi là mt đn
cu (toàn cu, đng cu) không gian véct. Khi tn ti m
t đng cu gia V và W ta nói V
đng cu vi W, ký hiu
V
W≅ .
Trng hp W = V thì ánh x tuyn tính f: V → V đc gi là mt toán t tuyn tính hay
mt phép bin đi tuyn tính trên V.
Ký hiu:
• L(V,W): Tp tt c các ánh x tuyn tính t V vào W.
• L(V): Tp tt c các toán t tuyn tính trên V.
Nhn xét. Hai tính cht 1) và 2)  trên tng đng vi tính cht sau:
∀u, v ∈ V,∀α ∈ F, f(αu + v) = αf(u) + f(v).
1.2. Ví d. Xét ánh x
 f: R
2
→ R
3
xác đnh bi:

f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y)
Vi u = (x
1
, y
1
); v = (x
2
, y
2
) ∈ R
2
và α ∈ R, ta có:
f(u + v) = f(u) + f(v) và f(αu) = αf(u).
nên f là mt ánh x tuyn tính.

1.3. Mnh đ. Vi ánh x tuyn tính f: V
→
W, ta có:
(i) f(0
V
) = 0
W
;
(ii)
∀
u
∈
V, f(–u) = –f(u);
(iii)
∀

u
1
, u
2
, … , u
n

∈
V;
α
1
,
α
2
, … ,
α
n

∈
F,
f(
α
1
u
1
+
α
2
u
2

+ … +
α
n
u
n
) =
α
1
f(u
1
)

+
α
2
f(u
2
)

+ … +
α
n
f(u
n
).

1.4. nh lý. Cho V, W là hai không gian véct trên F. Gi s dim V = n và A = {u
1
, u
2

,
… , u
n
} là mt c s ca V trên F. Khi đó, vi w
1
, w
2
, … , w
n
là n véct bt k ca W (w
i
có th
trùng nhau), tn ti duy nht mt ánh x tuyn tính f: V
→
W tha f(u
i
) = w
i
,
∀
1
≤
i
≤
n. Ánh x
tuyn tính f đc xác đnh nh sau:
∀
u
∈
V, f(u) =

α
1
w
1
+
α
2
w
2
+ … +
α
n
w
n


20

trong đó:
1
2
n

α
⎛⎞
⎜⎟
α
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

α
⎝⎠
= [u]
A

1.5. Ví d. Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (1, –1, 1);
u
2
= (1, 0, 1);
u
3
= (2, –1, 3).
a) Chng t B = {u
1
, u
2
, u
3
} là mt c s ca R
3
.
b) Tìm ánh x tuyn tính f: R
3
→ R
3

tha:
f(u
1
) = (2, 1, –2); f(u
2
) = (1, 2, –2); f(u
3
) = (3, 5, –7)
áp s: f(x, y, z) = (x – y, y + 2z, x – 3z).

1.6. Mnh đ. Cho V, W là các không gian véct và f, g
∈
L(V,W). Ta đnh ngha tng
f + g ca hai ánh x tuyn tính và tích
α
f (
α

∈
F) ca mt vô s vi mt ánh x tuyn tính nh
sau:
∀
v
∈
V, (f + g)(v) = f(v) + g(v)
∀
v
∈
V, (
α

f)(v) =
α
f(v)
Khi đó f + g và
α
f đu thuc L(V,W) và vi các phép toán trên, L(V,W) là mt không gian véct
trên F.
1.7. Mnh đ. Cho V, W, T là các không gian véct trên F và f
∈
L(V,W); g
∈
L(W,T).
Khi đó:
1) Nu f là song ánh thì f
-1
là mt ánh x tuyn tính t W vào V.
2) g
o
f là mt ánh x tuyn tính t V vào T.

§2. NHÂN VÀ NH CA ÁNH X TUYN TÍNH
2.1. nh lý. Cho V, W là hai không gian véct và f: V
→
W là mt ánh x tuyn tính.
Khi đó:
1) Nu U
≤
V thì f(U)
≤
f(V). Hn na, nu U = < S > thì f(U) = < f(S)>.

2) Nu T
≤
W thì f
−
1
(T)
≤
V.

2.2. nh ngha. Cho V, W là hai không gian véct và f: V → W là mt ánh x tuyn
tính.
1) Không gian con f
−1
(0) ca V, gm tt c các phn t ca V có nh là 0 ∈ W đc gi
là nhân (kernel) ca f, ký hiu là Ker(f):
Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}.
2) Không gian con f(V) ca W, gm tt c các phn t ca W là nh ca ít nht mt phn
t ca V đc gi là nh (image) ca f, kí hiu là Im(f):

21

Im(f) = {w ∈ W | ∃v ∈ V, f(v) = w}
2.3. Ví d. Xét li Ví d 1.2 trong §1: f: R
2
→ R
3
đnh bi
f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y).
Ta có: Ker(f) = {0} và Im(f) = {(t
1

, t
2
, t
3
) ∈ R
3
| t
1
– 3t
2 +
5t
3
= 0}.
2.4. nh lý. Vi ánh x tuyn tính f: V
→
W, các mnh đ sau tng đng:
1) f là đn cu.
2) Ker(f) = {0}.
3) Nu S là mt tp con đc lp tuyn tính bt k ca V thì {f(u)| u
∈
S} là tp con đc
lp tuyn tính ca W.
4) Tn ti mt c s B ca V sao cho {f(u)| u
∈
B} là tp con đc lp tuyn tính ca W.
2.5. nh lý. Vi ánh x tuyn tính f: V
→
W, các mnh đ sau tng đng:
1) f là toàn cu.
2) Nu S là mt tp sinh bt k ca V thì f(S) là tp sinh ca W.

3) Tn ti mt tp sinh S ca V sao cho f(S) là tp sinh ca W.
2.6. nh lý. Vi ánh x tuyn tính f: V
→
W, các mnh đ sau tng đng:
1) f là đng cu.
2) Nu B là mt c s bt k ca V thì {f(u)| u
∈
B} là mt c s ca W.
3) Tn ti mt c s B ca V sao cho {f(u)| u
∈
B} là mt c s ca W.

Nhn xét. Do nh lý 2.6, nu
V
W
≅
thì dim V = dimW.
2.7. nh lý. Nu V là mt không gian véct hu hn chiu trên F thì
n
V
F≅ , trong đó
n = dimV.
2.8. nh lý. Cho f: V
→
W là mt ánh x tuyn tính t không gian véct hu hn chiu V
vào không gian véct W. Khi đó:
dim Im(f) + dim Ker(f) = dim V (1)
Ta gi
• dim Im(f) là hng (rank) ca f, ký hiu rank(f) hay r(f).
• dim Ker(f) là s khuyt (defect) ca f, ký hiu def(f) hay d(f).

§3. ÁNH X TUYN TÍNH TRÊN CÁC KHÔNG GIAN VÉCT HU HN CHIU
3.1. nh lý và đnh ngha. Cho V, W là hai không gian véct hu hn chiu, trong đó:
1) V có dimV = n vi c s A = (v
1
, v
2
, , v
n
);
2) W có dimW = m vi c s B = (w
1
,w
2
, , w
m
)
và f
∈
L(V,W). Vi mi 1
≤
i
≤
n, đt:

22

[f(v
j
)]

B
=
1j
2j
mj
a
a

a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

ngha là: f(v
j
) = a
1j
w
1
+ a
2j
w
2
+ + a
mj
w

m
.
Gi A là ma trn loi m
×
n có các ct ln lt là [f(v
1
)]
B
, [f(v
2
)]
B
, , [f(v
n
)]
B
, ngha là:
A = ( [f(v
1
)]
B
[f(v
2
)]
B
[f(v
n
)]
B
)= (a

ij
)
m
×
n

Khi đó A là ma trn duy nht tha tính cht:
∀
v
∈
V, [f(v)]
B
= A[v]
A
(1)
Ta gi A là ma trn biu din ca f theo c s A, B, kí hiu A = [f]
A,B
. Nh vy,
∀
v
∈
V, [f(v)]
B
= [f]
A,B
[v]
A

Trng hp V = W và A = B, ta dùng kí hiu [f]
A

thay cho [f]
A,A
và gi là ma trn biu
din ca f theo c s A. Nh vy,
∀
v
∈
V, [f(v)]
A
= [f]
A
[v]
A


Ví d. Xét ánh x f: R
2
→ R
3
xác đnh bi:
f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y)
A = (v
1
, v
2
) là c s ca R
2
; trong đó v
1
= (1, 2); v

2
= (1, 3)
B = (e
1
, e
2
, e
3
) là c s chính tc ca R
3

Ta có: [f]
A,B
57
01
12
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
.
3.2. Nhn xét. Vi A, B là hai c s ca không gian n chiu V, ta có:
• [Id
v
]
A
= I

n
(ma trn đn v).
• [Id
v
]
A,B
= P
B→A
(ma trn chuyn c s t B sang A).
3.3. Ma trn chính tc ca ánh x tuyn tính t F
n
vào F
m

Xét ánh x f: F
n
→ F
m
đnh bi:
f(x
1
, , x
n
) = (a
11
x
1
+ + a
1n
x

n
, , a
m1
x
1
+ + a
mn
x
n
) (1)
trong đó a
ij
∈ F (1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n). D thy rng f là mt ánh x tuyn tính, hn na, gi
A
0
= (e
1
, e
2
, , e
n
) và B
0
= (e'
1
, e'
2
, , e'
m
) ln lt là các c s chính tc ca F

n
và F
m
, ta có:
f(e
1
) = (a
11
, a
21
, , a
m1
);
f(e
2
) = (a
12
, a
22
, , a
m2
);


23

f(e
n
) = (a
1n

, a
2n
, , a
mn
)
ngha là:
0 0 0
11 12 1n
21 22 1n
12 n
m1 m2 mn
aa a
aa a
[f(e )] = ;[f(e )] = ; ;[f(e )] =

aa a
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
BB B

Do đó ma trn biu din ca ánh x tuyn tính f theo cp c s chính tc A
0
, B
0
là:

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
0 0
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
[f ] A.

a a a
A,B

o li, vi f: F
n
→ F
m
là mt ánh x tuyn tính bt k, gi A =
0 0
[f ]
A
B

là ma trn biu

din ca f theo cp c s chính tc A
0
, B
0
ca F
n
và F
m
. Khi đó, d thy rng f có biu thc
đnh bi (1).
Tóm li, ta đã chng minh đc rng vi ánh x tuyn tính f: F
n
→ F
m
, hai khng đnh
sau tng đng.
1) ∀(x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ F
n
, f(x
1
, , x
n
) = (a
11

x
1
+ + a
1n
x
n
, , a
m1
x
1
+ + a
mn
x
n
).
2) Vi A
0
, B
0
ln lt là các c s chính tc ca F
n
và F
m
, ta có:
0 0
[f ]
A
B

= (a

ij
)
m×n
.
Ta gi ma trn A = (a
ij
)
m×n
là ma trn chính tc ca ánh x tuyn tính f.

3.4. Ví d. Cho ánh x tuyn tính f: R
3
→ R
3
đnh bi:
f(x, y, z) = (3x – 2y + 4z, 7x – y + z, x – 3y – z)
Vi B
0
= (e
1
, e
2
, e
3
) là c s chính tc ca R
3
, ta có: ma trn chính tc ca ánh x tuyn tính f
là:
324
A

711
131
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
−
⎝⎠


3.5. Cách tìm Ker(f) và Im(f) ca ánh x tuyn tính f: F
n
→
F
m

Gi s ánh x tuyn tính f: F
n
→ F
m
có ma trn chính tc là A = (a
ij
)
m×n
.
1) Ker(f): Ta có:
(x

1
, x
2
, , x
n
) ∈ Ker(f) ⇔ f(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0 ⇔ [f(x
1
, x
2
, , x
n
)]
0
B
= 0

24

⇔ A [(x
1
, x
2
, , x
n

)]
0
B
= 0 ⇔ AX = 0 vi X =
1
2
n
x
x

x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Nói cách khác, Ker(f) chính là không gian nghim ca h phng trình tuyn tính thun nht
AX = 0.
2) Im(f): Gi A
0
= (e
1
, e
2
, , e
n
) là c s chính tc ca F
n

, ta có:
f(e
1
) = (a
11
, a
21
, , a
m1
);
f(e
2
) = (a
12
, a
22
, , a
m2
);

f(e
n
) = (a
1n
, a
2n
, , a
mn
)
Mà Im(f) = < f(e

1
), f(e
2
), , f(e
n
) > nên Im(f) chính là không gian ct ca ma trn A, ngha là
không gian sinh bi các véct ct ca ma trn A. Nói cách khác, Im(f) là không gian dòng ca
ma trn chuyn v A
T
,
3.6. Ví d. Cho ánh x tuyn tính f: R
4
→ R
3
đnh bi:
f(x, y, z, t) = (x – 2y + z – t, x + 2y + z + t, 2x + 2z)
Hãy tìm c s, s chiu ca Ker(f) và Im(f).
áp s:
• Ker(f) có mt c s là {(–1, 0, 1, 0); (0, -1, 0, 2)}và dimKer(f) = 2.
• Im(f) có mt c s là {(1, 1, 2); (0, 1, 1)} và dim Im(f) = 2.
3.7. nh lý. Cho V, W, T là các không gian véct hu hn chiu trên F vi các c s
tng ng ln lt là A, B, C. Khi đó, vi f, g: V
→
W; h: W
→
T là các ánh x tuyn tính và
α

∈
F ta có:

1) [f + g]
A, B
= [f]
A, B
+ [g]
A, B
;
2) [
α
f]
A, B
=
α
[f]
A, B
;
3) [h
o
f]
A, C
= [h]
B, C
[f]
A, B
.
3.8. H qu. Cho V, W là các không gian véct hu hn chiu trên F: dimV = n, dimW =
m, vi các c s ln lt là A, B. Khi đó
mn
L(V, W) M (F)
×

≅

qua đng cu
ϕ
đnh bi

,
(f) [f ]ϕ=
A
B
.
3.9. nh lý. Cho V, W là hai không gian véct hu hn chiu và f
∈
L(V,W). Khi đó vi
A, A' là hai c s ca V và B, B ' là hai c s ca W, ta có:
1) [f]
A
′
,B
′

= (P
B
→
B
′

)
–1
[f]

A, B
P
A
→
A
′

2) c bit, nu V = W và A = B, A' = B' thì:
[f]
B
′

= (P
B
→

B
′
)
–1
[f]
B
P
B
→

B
′

25

Chng minh. 2) là trng hp đc bit ca 1).
Ta chng minh 1): [f]
A ′,B ′
= (P
B→B ′
)
–1
[f]
A,B
P
A→A ′
.
Tht vy, xét dãy các ánh x:
WWVV
wv
Id
f
Id
⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯
A ' A B B '
Ta có: f = Id
W o
f
o
Id
V

nên theo nh lý 3.7:

[f]
A ′,B ′
= [Id
W o
f
o
Id
V
]
A, B ′
= [Id
W
]
B, B ′
[f
o
Id
V
]
A ′, B
= [Id
W
]
B, B ′
[f]
A, B
[Id
V
]
A ′, A

Mt khác, [Id
W
]
B, B ′
= P
B ′→ B
= (P
B → B ′
)
–1
và [Id
V
]
A ′,A
= P
A→ A ′
nên
[f]
A ′, B ′
= (P
B → B ′
)
–1
[f]
A, B
P
A →A ′
.
3.10. Ví d.

Ví d 1. Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (1, 1, 0); u
2
= (0, 2, 1); u
3
= (2, 3, 1)
và ánh x tuyn tính f: R
3
→ R
3
đnh bi:
f(x, y, z) = (2x + y – z, x + 2y – z, 2x – y + 3z)
a) Chng minh B = (u
1
, u
2
, u
3
) là mt c s ca R
3
.
b) Tìm [f]
B
.
áp s:
11 8

[f] = 1 1 3
207
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
B
.

Ví d 2. Trong không gian R
3
cho các véct:
u
1
= (1, –1, 2); u
2
= (3, –1, 4); u
3
= (5, –3, 9).
a) Chng t B = (u
1
, u
2
, u
3
) là mt c s ca R
3

.
b) Cho f: R
3
→ R
3
là mt ánh x tuyn tính tha:
[f]
B
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
112
011
201

Hãy tìm biu thc ca ánh x f.
áp s: f(x,y,z)=
2
1
(54x–70y–54z,–32x+40y+34z,97x–125y–100z).

3.11. nh lý. Cho V, W là hai không gian véct n chiu và f
∈
L(V,W). Các khng đnh
sau tng đng:
1) f là đn ánh.