Tài liệu LÝ THUYẾT & BÀI TẬP TOPO doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (476.5 KB, 11 trang )
1
BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ
Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY
(Tài liệu mang nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com)
A .LÝ THUYẾT
§3. Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô (, )
1. Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂
) thì A liên thông.
2. Nếu
⊂ liên thông ∀ ∈ và
⋂
≠ ∅
∈
thì
⋃
∈
liên thông.
3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”.
Khi đó A liên thông.
4. Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì
(
)
liên thông.
Lưu ý:
Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ
(
,
)
vào với =
{
,
}
là không
gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông. Do đó ta chỉ đi
xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ
(
,
)
vào liên tục và khảo sát sự liên thông của
tập A
f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thông
Chứng minh:
Gọi =
{
,
}
là không gian Tôpô rời rạc
1. Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂
) thì A liên thông.
Thật vậy:
Xét ánh xạ :
(
,
)
→ liên tục.
Do ⊂ nên ∃|
: (,
) → liên tục, mà liên thông nên |
là ánh xạ hằng trên B
⇒
(
)
=
, ∀ ∈
Lại có B trù mật trong A nên ∀ ∈ ⇒ ∈
⇒ ∃
{
}
⊂ :
→
Mà liên tục nên
(
)
→
(
)
, ∀ ∈ (1)
Hơn nữa
(
)
=
(do
∈ , ∀) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(
)
=
, ∀ ∈ hay là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông
2. Nếu
⊂ liên thông ∀ ∈ và
⋂
≠ ∅
∈
thì
⋃
∈
liên thông.
Thật vậy:
Xét ánh xạ :
⋃
∈
→ liên tục.
2
Hiển nhiên
⊂
⋃
∈
nên ∃|
: (
,
) → liên tục, mà
liên thông nên ta có là ánh xạ
hằng trên mỗi
hay
(
)
=
{
}
{
}
, ∀ ∈ (3)
Do
⋂
≠ ∅
∈
nên ∃
∈
⋂
∈
:
(
)
=
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
(
)
= {
}, ∀ ∈ ⇒
(
⋃
∈
)
= {
} hay f là ánh xạ hằng trên
⋃
∈
Suy ra
⋃
∈
liên thông
3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của
A”. Khi đó A liên thông.
Thật vậy:
Cố định ∈ khi đó ∀ ∈ ta gọi
là tập con liên thông của A, chứa , ⇒ =
⋃
∈
Mặt khác ∈
⋂
∈
nên
⋂
∈
≠ ∅ kết hợp với
liên thông
Nên áp dụng phần 2 ta có
⋃
∈
liên thông hay A liên thông
4. Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì
(
)
liên thông.
Thật vậy:
Xét ánh xạ : () → liên tục khi đó ánh xạ ∘: → liên tục
Ta có X liên thông, ∘: → liên tục nên ∘
(
)
=
{
}
{
}
Mà ∘
(
)
= (
(
)
) nên
(
)
=
{
}
{
}
⇒
(
)
là tập một điểm hay là ánh xạ hằng
trên
(
)
Suy ra
(
)
liên thông
§3. Định lý 2.2: Các mệnh đề sau đây tương đương
(i) X là không gian compact
(ii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ
(iii) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụ
Lưu ý:
Họ {
: ∈ } phủ mở của X compact thì ∃
, … ,
: =
⋃
{
} hội tụ ⇔ ∃ ∈ , ∀ ∈
, ∃
: ậ {
: ≥
} ⊂
Định lý 2.1: X compact ⇔ Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng
Định lí 1.1: Mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới
Chứng minh:
CM: () ⇒ (): Cho X là không gian compact. Chứng minh mọi siêu lưới trong X thì hội tụ
3
Thật vậy:
Dùng phản chứng: Giả sử tồn tại một siêu lưới {
} không hôi tụ
Do {
} không hội tụ nên ∀ ∈ , ∃
mở chứa x sao cho ∀ thì tập {
: ≥ } ⊄
(1)
Do {
} là siêu lưới nên ∃
sao cho tập {
: ≥
} ⊂
hoặc {
: ≥
} ⊂ \
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ∃
sao cho tập {
: ≥
} ⊂ \
(3)
Mặt khác họ {
: ∈ } phủ mở của X compact nên ∃
, … ,
: =
⋃
Chọn ≥
, ∀ = 1,
thì
∉
, ∀ = 1,
(do 3)
Suy ra
∉
⋃
= (vô lý)
CM: () ⇒ (): Cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ. Chứng minh mọi lưới trong X có lưới con
hội tụ
Thật vậy:
Áp dụng định lí 1.1: mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới mà theo giả thiết cho mọi siêu lưới
trong X thì hội tụ nên hiển nhiên lưới con đó hội tụ
CM: () ⇒ (): Cho mọi lưới trong X có lưới con hội tụ. Chứng minh X compact
Thật vậy:
Xét họ các tập đóng {
: ∈ } có nh giao hữu hạn.
Đặt = { ⊂ : ℎữ ℎạ}.
Ta xét thứ tự
≤
⇔
⊂
Lập lưới {
: ∈ } sao cho
∈
⋂
∈
và gọi {
} là lưới con của {
} hội tụ về a
Ta chứng minh ∈
⋂
∈
Cố định
∈ do {
} là lưới con của {
} nên ∃
: ∀ ≥
⟹
=
với ≥ {
}
Suy ra
∈
⋂
⊂
∈
Vậy lưới {
: ≥
} ⊂
, hội tụ về a nên ∈
. Mà
là lấy bất kỳ trong nên ∈
⋂
∈
Hay
⋂
∈
≠ ∅
Vậy mọi họ có tâm gồm các tập đóng
{
: ∈
}
trong X có giao khác rỗng nên X compact
§5. Mệnh đề 3.1: Nếu f liên tục đều thì f liên tục đối với Tôpô sinh bởi cấu trúc đều
Lưu ý:
{
[
]
: ∈
}
là cơ sở lân cận của điểm trong tôpô sinh bởi hay
[
]
là lân cận của
điểm trong tôpô sinh bởi
4
Chứng minh:
Ghi ra điều cần CM:
Chứng minh liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu trúc đều
⇔ é ∈ , cho {[
(
)
]: ∈
]} là cơ sở lân cận
(
)
trong tôpô sinh bởi
Ta chứng minh
(
[
(
)
]
)
là lân cận của trong tôpô sinh bởi
Thật vậy:
Xét ∈ . Theo giả thiết cho f liên tục đều ⇔ ∀ ∈
⇒
(
)
∈
Suy ra {
(
)[
]
:
(
)
∈
} là cơ sở lân cận của trong tôpô sinh bởi
hay
(
)[
]
lân cận của trong tôpô sinh bởi
(1)
Lại có:
(
[
(
)])
=
{
:
(
)
∈
[
(
)]}
= {: (
(
)
, ()) ∈ }
=
{
:
(
,
)
∈
(
)}
=
(
)
[] (2)
Từ (1) và (2) suy ra
(
[
(
)])
là lân cận của trong tôpô sinh bởi
(đpcm)
§5. Định lý 3.1: Cho các không gian đều là
(
,
)
, (,
) và ánh xạ : → thỏa mãn;
1. X với tôpô sinh bởi
là
- không gian compact
2. f liên tục
Khi đó f liên tục đều
Lưu ý:
∈ [] ⇒ (, ) ∈
Lưới {(
,
)} là lưới con của lưới {
(
,
)
} (định nghĩa trong cấu trúc đều)
⇔ ∀
∈
, ∃
: ∀ ≥
⇒
,
=
(
,
)
, ∀ ≥ ′
Lưới {
(
,
)
} hội tụ về
(
,
)
(định nghĩa trong cấu trúc đều)
⇔ ∀
∈
, ∃
: ∀ ≥
⇒
∈
[
]
,
∈
[
]
Mệnh đề 2.1: ∈
thì W là một lân cận của ∆ (đường chéo chính của
)
Bổ đề 1.2: ∀ ∈
, ∃ ∈
, đối xứng, ∘ ∘ ⊂
Chứng minh:
Phản chứng: giả sử f không liên tục đều
⇔ ∃
∈
: ∀ ∈
⇒ () ⊄
Lập lưới {
(
,
)
: ∈
} thỏa mãn:
(
,
)
∈ ,
(
(
), (
)
)
∉
(*)
Bài cho X là
- không gian compact nên lưới {
(
,
)
} có lưới con {(
,
)} hội tụ về (, )
nào đó
Ta chứng minh =
5
Giả sử ≠ thì tồn tại ∈
thỏa mãn
[
]
∩
[
]
= ∅.
Theo bổ đề 1.2 ta chọn được
∈
, ′ đối xứng, ′∘′∘′ ⊂
- Do {(
,
)} là lưới con của {
(
,
)
} nên:
∃
: ∀ ≥
⇒
,
=
(
,
)
, ∀ ≥ ′ ⇒
,
∈ ′ (1)
- Do {(
,
)} hội tụ về (, ) nên:
∃
∶ ∀ ≥
⇒
∈
[
]
,
∈
[
]
⇒ ,
∈
, (,
) ∈
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
(
,
)
∈ ′∘′∘′ ⊂ ⇒ (, ) ∈ hay ∈ []
Suy ra ∈ [] ∩
[
]
(mâu thuẫn với
[
]
∩
[
]
= ∅)
Vậy ta có lim
,
=
(
)
,
(
)
(do f liên tục và {(
,
)} hội tụ về (, ))
= (
(
)
, ()) ∈ ∆ (đường chéo chính của
)
Do
∈
nên
là lân cận của ∆ (theo mệnh đề 2.1)
⇒ ∃
: ∀ ≥
⇒
,
∈
(mâu thuẫn với (*))
Vậy f liên tục đều
§6. Định lý 2.1: Giả sử X là không gian compact, ⊂
ℝ
() thỏa mãn:
(i) là một đại số
(ii) tách các điểm của và không suy biến tại mỗi điểm của .
Khi đó trù mật trong
ℝ
()
Lưu ý:
Định nghĩa 2.2: là một đại số nếu:
(i) là một không gian vecto đối với cá phép toán thông thường về cộng hàm và nhân
hàm với số thuộc trường
(ii) Nếu , ∈ thì ∈
Bổ đề 2.1: Tồn tại dãy đa thức
{
(
)}
,
(
0
)
= 0 hội tụ đều trên [0,1] về hàm
(
)
=
√
Bổ đề 2.2: Cho là một tôpô đại số, tách các điểm của và không suy biến tại mỗi điểm
của . Khi đó với mỗi cặp điểm
,
∈ ;
,
∈ (nếu
=
thì
=
) tồn tại ∈
:
(
)
=
,
(
)
=
Chứng minh:
Chứng minh bao đóng
̅
là một đại số tức là cũng có các nh chất (i), (ii) của định nghĩa 2.2 nêu
trên
Hiển nhiên
có nh chất (i) ta chỉ cần chứng minh nếu , ∈
̅
thì ∈
̅
6
Thật vậy:
Do , ∈
̅
nên tồn tại
{
}
, {
} ⊂ sao cho
→ ,
→
Để ý rằng do
,
∈ mà là một đại số nên {
} ⊂ (1)
Xét
‖
−
‖
=
‖
−
+
−
‖
=
‖
(
−
)
+
(
−
)‖
≤
‖
‖‖
−
‖
+
‖
‖‖
−
‖
Khi đó cho → ∞ ta có
→ (2)
Từ (1) và (2) suy ra ∈
̅
Bước 1 : Chứng minh nếu , ∈ thì max {, } và min {, } thuộc về
̅
(TC1)
Để ý rằng max
{
,
}
=
(+ + | −|) và min
{
,
}
=
(+ −
|
−
|
)
Nên ta chỉ cần chứng minh nếu ∈ thì || ∈
̅
hay chứng minh tồn tại {
} ⊂ :
→ ||
Gọi
() là đa thức như ở bổ đề 2.1;
(
)
=
()
‖
‖
khi đó || =
||
‖
‖
và ∈
Đặt
≔
‖
‖
∘
∈ . Ta chứng minh
→ || là xong
Thật vậy:
Xét
‖
−||
‖
=
‖
‖
∘
−||=
‖
‖
∘
−
‖
‖
||=
‖
‖
.
‖
∘
−||
‖
≤
‖
‖
.
∈
(
)
−
() ≤
‖
‖
.
∈[,]
(
)
−
√
→ 0 khi → ∞
Bước 2 : Cho ∈
ℝ
(
)
, ∈ , > 0. Ta chứng minh tồn tại hàm
∈
̅
thỏa mãn:
(
)
=
(
)
,
(
)
>
(
)
− (TC2)
Thật vậy:
Với mỗi ∈ ta chọn theo bổ đề 2.2 hàm ℎ
∈ sao cho:
ℎ
(
)
=
(
)
, ℎ
(
)
=
(
)
Do nh liên tục của ℎ
−, tập
= {/ ℎ
(
)
>
(
)
−} mở, chứa
Từ họ {
}
∈
lấy họ hữu hạn {
,
, … ,
} phủ .
Đặt
= max {ℎ
, ℎ
, … , ℎ
} khi đó
Do ℎ
∈ , ∈ thì theo TC1 ở bước 1 ta có
= max {ℎ
, ℎ
, … , ℎ
} ∈
̅
Vậy
là hàm cần m
Bước 3: Cho ∈
ℝ
(
)
, > 0. Ta chứng minh tồn tại hàm ∈
̅
,
‖
−
‖
< (TC3)
Thật vậy:
7
Với mỗi ∈ ta chọn hàm
∈
̅
thỏa mãn TC2 ở bước 2 khi đó tập
= {/
(
)
<
(
)
+ }
mở, chứa
Từ họ {
}
∈
lấy họ hữu hạn {
,
, … ,
} phủ và đặt = min {
,
, … ,
} khi đó:
(
)
− <
(
)
<
(
)
+ , ∀ ∈ ⟹
‖
−
‖
<
Hơn nữa do
∈
̅
, ∀ ∈ thì theo TC1 ở bước 1 và
̅
là một đại số nên ta có
= min {
,
, … ,
} ∈
̿
=
̅
Nên ∈
̅
Bước 4: Theo TC3 ở bước 3 ta có ∀ ∈
ℝ
(
)
, > 0 ⇒ ∃ ∈
̅
,
‖
−
‖
<
⇒ > 0, (, ) ∩
̅
≠ ∅
⇒ ∈
̿
=
̅
⇒
ℝ
(
)
⊂
̅
hay trù mật trong
ℝ
(
)
B .BÀI TẬP
Bài 3 (mục 4): Cho không gian Tôpô và ánh xạ : →
(
−∞, +∞
]
. Ta nói:
(i) f là nửa liên tục dưới (nltd) tại
nếu:
∀ <
(
)
, ∃ ∈
: ∀ ∈ ⇒ < ()
(ii) f là nửa liên tục dưới trên X nếu f nltd tại mọi ∈
Chứng minh rằng:
Nếu f là nltd trên không gian compact X thì nó đạt giá trị nhỏ nhất trên
Chứng minh:
Chứng minh f đạt giá trị nhỏ nhất trên tức là chứng minh ∃
∈ :
(
)
= inf
∈
() (*)
Thật vậy:
Đặt = inf
∈
()
Trường hợp
(
)
= +∞, ∀ ∈ thì = +∞ nên hiển nhiên (*) đúng
Giả sử ∃ ∈ sao cho
(
)
≠ +∞ khi đó < +∞ và ta có thể chọn được dãy {
} ⊂ ℝ thỏa:
{
} là dãy giảm và lim
→
=
Đặt
=
{
∈ :
(
)
≤
}
, ∈ ℕ.
Chứng minh
đóng hay chứng minh \
=
{
∈ :
< ()
}
mở (bài 3 mục 2)
8
Thật vậy:
Xét
∈ \
ta có
<
(
)
⇒ ∃ ∈
: ∀ ∈ ⇒
< () (do f là nltd trên )
⇒ ∃ ∈
: ∀ ∈ ⇒ ∈ \
⇒ ∃ ∈
: ⊂ \
⇒ \
là lân cận của
⇒
∈
(
\
)
⇒ \
⊂
(
\
)
⇒ \
= (\
) hay \
mở
Ta có
⊂
(do
<
)
Chứng minh
≠ ∅
Phản chứng:
Giả sử
= ∅ ⇒
(
)
>
, ∀ ∈ ⇒ = inf
∈
(
)
≥
(mâu thuẫn vì
> )
Từ những điều vừa chứng minh được:
đóng ,
⊂
,
≠ ∅. Ta chứng minh
⋂
≠ ∅ (bài 6 mục 1)
Thật vậy:
Xét ∈ ℕ
∗
, hữu hạn. Đặt
= ta có:
⋂
∈
=
Vì
đóng nên
=
⋂
∈
đóng và
≠ ∅ (do
≠ ∅,∀ ∈ ℕ
∗
)
Vậy (
)
∈ℕ
∗
là họ có tâm, mà bài cho X compact nên
⋂
≠ ∅
Suy ra tồn tại ∃
∈
⋂
:
(
)
≤
, ∀ ∈ ℕ
∗
Cho → ∞ ta có
(
)
= = inf
∈
() (đpcm)
Bài 4 (mục 1): Trên ℝ, ℝ
ta xét tôpô thông thường. Cho : ℝ → ℝ liên tục, đơn ánh. Chứng minh
rằng f đơn điệu nghiêm ngặt.
Chứng minh:
Xét =
{(
,
)
∈ ℝ
: >
}
và : ℝ
→ ℝ xác định bởi
(
,
)
=
(
)
−()
Do liên tục và là một hàm theo nên liên tục (1)
Biểu diễn tập A trên hệ trục tọa độ ta dễ dàng nhận thấy là tập liên
thông trong ℝ
(2)
Từ (1) và (2) suy ra () là tập liên thông trong ℝ nên () là một
khoảng
Mặt khác do f đơn ánh và > , ∀(, ) ∈ nên 0 ∉ ()
9
Suy ra
(
)
⊂
(
0, +∞
)
⇒
(
)
>
(
)
, ∀ >
(
)
⊂
(
−∞, 0
)
⇒
(
)
<
(
)
, ∀ >
Hay f đơn điệu nghiêm ngặt
Bài 5 (mục 1): Cho là không gian liên thông và (
)
∈
là một phủ mở của X. Chứng minh rằng với
mỗi cặp , ∈ tồn tại hữu hạn
, … ,
∈ sao cho:
∈
,
∩
≠ ∅,
(
= 1, −1
)
, ∈
(*)
Chứng minh:
Trong ta xét quan hệ “~” như sau: ~ ⇔, thỏa (*)
Xét ∈ . Đặt =
{
∈ : ~
}
, = { ∈ : ≁ }
Ta chỉ cần đi chứng minh =
Thật vậy:
Rõ ràng “~” là quan hệ tương đương vì thỏa các nh chất giao hoán, phân phối, bắc cầu
Chứng minh mở ⇔ ⊂
Hiển nhiên ≠ ∅. Lấy ∈ ta có ~
Mặt khác: ∃
∈ : ∈
Xét với ∀ ∈
thì hiển nhiên ~ ⇒ ~ (do có ~) ⇒ ∈ . Hay
⊂
Vậy tồn tại
mở chứa :
⊂ nên là lân cận của
⇒ là điểm trong của hay ∈
⇒ ⊂ ⇒ = hay mở
Chứng minh mở ⇔ ⊂
Trường hợp = ∅ hiển nhiên mở. Lấy ∈ ta có ≁
Mặt khác ∃′ ∈ : ∈
Xét với ∀ ∈
thì hiển nhiên ~ ⇒ ≁ (do có ≁ ) ⇒ ∈ . Hay
⊂
Vậy tồn tại
mở chứa :
⊂ nên là lân cận của
⇒ là điểm trong của hay ∈
⇒ ⊂ ⇒ = hay mở
Ta có , mở, ∪ = , ∩ = ∅, ≠ ∅
Vì liên thông nên ∄ đồng thời hai tập mở A,B khác rỗng thỏa: ∪ = , ∩ = ∅,
Do đó = ∅ hay = (đpcm)
10
Bài 8 : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ : → . Trên x ta xét tôpô ch và xét tập
= {,
(
)
: ∈ }. Chứng minh rằng:
1. Nếu f liên tục trên và là
không gian thì là tập đóng
2. Nếu G là tập đóng và là không gian compact thì f liên tục
Lưu ý:
G đóng ⇔ Với mọi lưới trong , giả sử lưới đó hội tụ về một điểm thì điểm đó thuộc
Định lí 5.1 §1: f liên tục trên ⇔ mọi tập A mở (đóng) trong thì
() mở (đóng) trong
Định lí 1.1 §3: Nếu f liên tục trên , liên thông thì () liên thông
Định lí 2.2 §3: Các mệnh đề sau đây tương đương
1. là không gian compact
2. Mọi siêu lưới trong thì hội tụ
3. Mọi lưới trong có lưới con hội tụ
Định lí 2.3 §3:
1. A compact, B đóng, ⊂ thì B compact
2. compact, X là
không gian thì đóng
3. X compact, f liên tục trên X thì f(X) compact
Chứng minh:
1. Nếu f liên tục trên và là
không gian thì là tập đóng
Chứng minh là tập đóng
⇔ Xét lưới {(
,
(
)
)} ⊂. Giả sử lim
(
,
(
)
) = (, ). Ta cần chứng minh (, ) ∈ hay
chứng minh = ()
Thật vậy:
Ta có lim
= mà f liên tục trên nên lim
(
) = () (1)
Mặt khác ta cũng có lim
(
) = (2)
Từ (1) và (2) kết hợp với là
không gian (giới hạn là duy nhất) suy ra = () (đpcm)
2. Nếu G là tập đóng và là không gian compact thì f liên tục
Chứng minh f liên tục trên ⇔ Với ∀ đóng trong cần chứng minh
(
)
đóng trong
⇔ Với ∀ đóng trong . Xét lưới {
} ⊂
(
)
. Giả sử lim
= .
Ta cần chứng minh ∈
(
)
Thật vậy:
Do đóng, compact, ⊂ nên compact (theo định lí 2.3 §3)
11
Mà {(
)} ⊂ compact nên ∃ lưới con {(
()
)}
⊂
{
(
)}
:
(
)
→
Khi đó
(
)
,
(
)
∈ ,
(
)
,
(
)
→
(
,
)
mà đóng nên
(
,
)
∈
⇒ = () . Do đó () ∈ hay ∈
(
)
(đpcm)
Bài 9: Cho là
– không gian compact và : → liên tục. Chứng minh rằng tồn tại tập
đóng ≠ ∅ sao cho
(
)
= .
Chứng minh:
Đặt = { ⊂ : ≠ ∅, đó, () ⊂ }. Trong ta xét quan hệ
≤
⇔
⊂
Rõ ràng ≠ ∅ (do ∈ )
Xét {
: ∈ } là xích trong (, ≤). Đặt =
⋂
∈
thì ⊂
Ta có:
đóng (do
đóng, ∀)
(
)
=
(
⋂
∈
)
⊂
⋂
(
)
∈
⊂
⋂
∈
= ⇒
(
)
⊂
Ta chứng minh ≠ ∅
Thật vậy:
Xét ⊂ , hữu hạn. Ta chứng minh
⋂
∈
≠ ∅
Ta có ∀
,
∈ ⇒
≤
≥
(do {
: ∈} là xích) ⇒
⊃
⊂
Suy ra ∃
∈ :
⊂
, ∀ ∈ ⇒
⋂
∈
=
≠ ∅
Hay họ {
: ∈ } là họ có tâm nên ≠ ∅
Vậy ta có được đóng, ≠∅,
(
)
⊂ nên ∈
⇒ là cận trên của xích nên theo bổ đề Zorn thì có phần tử tối đại đặt là
Ta có được ≠ ∅, đóng,
(
)
⊂ (do cách đặt) (1)
đóng ⇒ compact ⇒ () compact (do f liên tục) ⇒ () đóng (do là
- không gian) (2)
Từ (1) ta có (()) ⊂ () và () ≠ ∅ (3)
Từ (2) và (3) suy ra () ∈
Mặt khác () ≥ (do
(
)
⊂ ), mà tối đại nên
(
)
= (đpcm)
