BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP: MA TRÂN VÀ ĐỊNH THỨC

KHOA: GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG

BÁO CÁO HẾT HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP 1

Sinh viên

:

Mã số sinh viên

:

Lớp

:

Mã học phần

:

Giảng viên

:

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2021


CÂU 1: (1 điểm) Cho các ma trận:

K

A
6

1 3 5
0 
;
0 3 8  K 

K /2 
 3/ 2


1
2 

 1 1 1 2 3 
B
3  .
; C   0


 2 2 3 4 0 
1 
 3 / 2
 4
 K / 2 


Tính: A + 3B - 2CT.
CÂU 2: (2 điểm) Cho ma trận

 1 0 1 0 


1 1 1 1 
A
 2 3 3 2 


 2 1 1 K 

a.(1.5 điểm) Tính định thức của ma trận A bằng cách dùng định nghĩa khai
triển theo dòng 4.
b. (0.5 điểm) Đặt A-1 = (cij). Tìm phần tử c23.
CÂU 3: (2.5 điểm) Cho các vectơ:
X1  1,5,9,13, 1 ; X 2   2, 6,10,14, 2  ; X 3   3, 7, m,15, 3 ; X 4   4,8,10, K, 4 

Gọi A là ma trận có các cột lần lượt là các vec tơ X1, X2, X3, X4.
a. (1 điểm) Giải và biện luận theo m hạng của ma trận A.
b. (1 điểm) Giải phương trình AX = 05x1 khi m = 11.
c. (0.5 điểm) Khi m =11, đặt L là khơng gian con nghiệm của phương trình
AX = 0. Tìm một cơ sở và số chiều của L.
CÂU 4: (3 điểm) Cho hệ phương trình:
 x1  x2  x3  x4  2 x5  2 K  1
2 x  3x  x  6 x  x  K
2
3
4
5
 1
4 x1  7 x2  3 x3  14 x4  2 x5  2 K



 x1  3x2  x3  4 x4  x5  K
5 x1  7 x2  x3  11x4  1


3 x1  x2  2 x3  2 x4  mx5  K

a. (1 điểm) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận hệ số mở
rộng về ma trận bậc thang.
b. (0.5 điểm) Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình.
c. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình khi m = 1 .
CÂU 5: (1 điểm)
1


a. (0.5 điểm) Cho A = P-1BP. Tính AK+4.
b. (0.5 điểm) Tính A5 biết
1 0 0 
 3 4 1




B   0 1 0  ; P   1 1 0  ; A  P 1BP
 0 0 1
 3 3 1 






BÀI LÀM
CÂU 1:
Ta có các ma trận sau:

); B=(

A=(

); C=
(



(

)

(

(
=(

)
)

)

)

CÂU 2:
)

Ta có ma trận: A=(
a) Định thức của ma trận A là:
| |
|

=2.|
=2.[

]

[

|

|+|
]

[

]

= – 10 – 1 – 5 + 55 =39
b) Ma trận khả nghịch của ma trận A là:
Dùng phép biến đổi sơ cấp ta có:

2

|
[

|
]

|


|

=→

(

= →

(

= →

|

(

|

)

|

)

|

(

)

)

|
|

=→
(

)

|
|

=→
(

)

|
=→

|
(

)

3



(

)


CÂU 3: Ma trận A có các cột lần lượt là các vecto

là:

A=
(
a) Ta có:

)

=→

A=
(

)

(

)

=→
(
- Xét trường hợp:
m – 11 = 0
- Xét trường hợp:
m – 11
b) Ta có:
AX=

)

Đặt X = ( )
Từ kết quả câu a) và m=11, ta có được:

( )

AX=
(

)
4

( )

Từ đó ta có được ma trận mở rộng của phương trình trên là:

|
|

(Ã) =
(

(
)

Phương trình có vơ số nghiệm với c là ẩn tự do
Từ (

ta có hệ phương trình sau:
{

{

{

 Nghiệm của phương trình là:

(

),

c)
L là khơng gian con nghiệm của phương trình AX=0 (với m=11), mà
(

)

Khơng gian vecto L có tọa độ là: L={

Ta có: X = (

Đặt

(

Hệ vecto {
r(

)=c (

(

)}

)

)
} là hệ sinh của L (1)

) = 1 Hệ vecto {

} độc lập tuyến tính (2)

 Từ (1) và (2), hệ vecto {

 Dim(L) = 1

} là một cơ sở của L

CÂU 4:
a) Từ hệ phương trình đã cho, ta có ma trận hệ số mở rộng của hệ là:

5


|

(Ã) =

|
(

)

|

=→

|
(

)

|

=→

|
(

)

|
=→
|
(

)

|
=→
|
(

)

|
=→
|
(

)

6

|

 Ma trận bậc thang tìm được là: (Ã)=

|
(

)

b)
- Xét trường hợp: m -

=0

m=

4 < r(Ã) =5
 Hệ phương trình vô nghiệm
- Xét trường hợp: : m -

0

m

r(A) = r(Ã) = 5
 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
c)Từ kết quả câu a) và m=1, hệ phương trình đã cho có ma trận hệ số mở rộng là:

|

(Ã) =

(
|
(

)

r(A) = r(Ã) = 5
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Từ (

ta có hệ phương trình:

{

{
 Hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
(

) = (2, 0, 2, 1, 5)

CÂU 5:
a) Với A =
=(
Do P.

.B.P
=⏟
= I và B.I = B

=

7


b)
-

Với A=
.B.P
. P (Dựa vào phân tích ở câu a)
Dùng phép biến đổi sơ cấp, ta được:
| =(

=→

|

(

=→

|

(

=→

|

(
-

|

)

)

→

)

→

)

(

|

(

|

)

)

=(

Ta có:
(

) (

(

) (

(

.
=(

)

)

(


)

(

(

)

(

)

) (Với n

)

P
) (

=(

) (

=(

)

) (

)

8

)

)

Z)