tong-hop-de-vmo-2007-2012

TỔNG HỢP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA
MÔN TỐN
TỪ NĂM 2007 ĐẾN 2012
************
Năm 2007.
Bài 1.
Giải hệ phương trình


12 

1
 x 2

 y  3x 

.


12
1 
 y  6


y

3
x




Bài 2.
Cho x , y là các số nguyên và x  1, y  1 sao cho

x4  1 y 4  1
là số nguyên.

y 1
x 1

Chứng minh rằng x 4 y 44  1 chia hết cho x  1.
Bài 3.
Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A di động. Gọi H , G lần lượt là
trực tâm và trọng tâm tam giác ABC . Tìm quỹ tích điểm A biết rằng trung điểm K của
HG nằm trên đường thẳng BC.

Bài 4.
Cho một đa giác đều 2007 cạnh. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn: Trong mỗi
cách chọn ra k đỉnh của đa giác, luôn tồn tại 4 đỉnh tạo thành tứ giác lồi mà 3 trong số 4
cạnh của tứ giác là 3 cạnh của đa giác đã cho.
Bài 5.
Cho b là số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số f :    thỏa mãn tính chất

f ( x  y)  f ( x)  3b

y

 f ( y )1

 b x (3b

y

 f ( y )1

 by ) .
1


Bài 6.
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là BC và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi P là
một điểm thay đổi trên đường thẳng BC và nằm ngồi đoạn BC sao cho PA khơng là
tiếp tuyến của đường trịn (O). Đường trịn đường kính PD cắt (O) tại E khác D. Gọi
M là giao điểm của BC với DE, N là giao điểm của PA với (O). Chứng minh rằng

đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di động.
Bài 7.
Cho số thực a  2. Đặt fn ( x)  a10 xn10  xn  ...  x 2  x  1 với n  1, 2, 3,...
Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình fn ( x)  0 có đúng một nghiệm xn  (0; )
và dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn khi n tiến tới vô cực.

Năm 2008.
Bài 1.
Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn x , y ) sau

x 2  y 3  29

.
log 3 x log 2 y  1

Bài 2.

 là góc nhọn với E là trung điểm của cạnh AB. Trên tia EC
Cho tam giác ABC có BEC
  ECA
 . Kí hiệu  là số đo góc BEC
 , tính tỉ số MC theo .
lấy điểm M sao cho BME
AB

Bài 3.
Đặt m  2007 2008. Hỏi có tất cả bao nhiêu số n  m mà n(2n  1)(5n  2) chia hết cho m ?
Bài 4.

x1  0, x2  2

Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi 
xn2  2xn  1 , n  1,2, 3,...

2
2


Chứng minh rằng dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn khi n   . Tìm giới hạn đó.
Bài 5.
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong
đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Bài 6.
Cho x , y , z là các số thực dương đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

 1
1

1 
  4 .
( xy  yz  zx) 


2
( y  z)2 ( z  x) 2 
 ( x  y )
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 7.
Cho tam giác ABC có D là trung điểm của cạnh BC. Gọi d là đường thẳng qua D và
vng góc với đường thẳng AD. Trên đường thẳng d lấy một điểm M bất kì. Gọi E, F
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MB, MC. Đường thẳng qua E vng góc với d
cắt đường thẳng AB tại P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC tại
Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ ln đi qua
một điểm cố định khi M di động trên đường thẳng d.

Năm 2009.
Bài 1.

 1
1
2



2

1  2 xy
1  2y2

Giải hệ phương trình sau  1  x
.

2
 x(1  2 x)  y(1  2 y ) 

9

Bài 2.


 x1  1

2
Cho dãy số ( xn ) xác định bởi 
với n  2.

xn21  4 xn1  xn1
 xn 
2

3


n

Chứng minh rằng dãy số ( yn ) trong đó yn  
i 1

1

có giới hạn hữu hạn khi n   .
xi2

Tìm giới hạn đó.
Bài 3.
Trong mặt phẳng, cho hai điểm A , B cố định (A khác B). Một điểm C di động trong mặt
phẳng sao cho góc ACB   không đổi (00    1800 ) . Đường tròn tâm I nội tiếp tam
giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC , CA lần lượt tại D , E, F . Đường thẳng AI , BI
lần lượt cắt đường thẳng EF tại M , N . Chứng minh rằng
1/ Đoạn MN có độ dài khơng đổi.
2/ Đường trịn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4.
Cho các số thực a , b , c thỏa mãn: với mọi số nguyên dương n, các số an  bn  c n đều là
các số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các
nghiệm của phương trình x 3  px 2  qx  r  0 .
Bài 5.
Cho số nguyên dương n. Kí hiệu T là tập hợp 2n số nguyên dương đầu tiên.
Hỏi có bao nhiêu tập con S của T có tính chất: trong S không tồn tại hai số a , b mà

a  b  1; n ?

Năm 2010.
Bài 1.
Giải hệ phương trình

 x4  y 4  240

.
 x3  2 y 3  3( x 2  4 y 2 )  4( x  8 y)


Câu 2.
Cho dãy số ( an ) xác định bởi công thức

a1  5, an  n ann11  2 n1  2  3n1 với n  2
4


1/ Tìm cơng thức tổng qt của dãy số ( an ) .
2/ Chứng minh rằng dãy ( an ) giảm.
Câu 3.
Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên đường trịn, BC khơng phải đường
kính. Xét A là một điểm trên đường trịn khơng trùng với B, C . Gọi AD , AE lần lượt là
các đường phân giác trong và ngoài. Giả sử I là trung điểm của DE . Qua trực tâm của
tam giác ABC , kẻ đường thẳng vng góc với AI cắt AD , AE lần lượt tại M , N .
1/ Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
2/ Tìm vị trí của A sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất.
Câu 4.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình
x 2  15 y 2  4 n.

có ít nhất n nghiệm tự nhiên.
Câu 5.
Cho bảng 3 3 và n là một số ngun dương cho trước. Tìm số các cách tơ màu không
như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong n màu. (Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách
nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm).

Năm 2011.
Bài 1.
Cho số nguyên dương n . Chứng minh rằng với mọi số thực dương x , ta có

x n  xn1  1
xn  1

 x  12 n1
 
 .
 2 

Hỏi đẳng thức đã xảy khi nào?

5


Bài 2.
Cho dãy số thực ( xn ) xác định bởi
2n
x1  1, xn 
(n  1)2

n1

x
i 1

i

với mọi n  2.

Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn  xn1  xn .
Chứng minh rằng dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn khi n   .

Bài 3.
Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB. Xét một điểm P di động trên tiếp
tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B. Đường thẳng PA cắt (O) tại điểm thức
hai C. Gọi D là điểm đối xứng với C qua O. Đường thẳng PD cắt (O) tại điểm thứ hai E.
1/ Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC và PO cùng đi qua một điểm. Gọi điểm
đó là M.
2/ Hãy xác định vị trí của điểm P sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất. Tính giá
trị lớn nhất đó theo bán kính của đường trịn (O).
Bài 4.
Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo không vượt
quá 3 . Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh rằng tồn
tại một hình trịn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho chứa ít nhất 403
điểm trong số các điểm đã lấy.
Bài 5.
Cho dãy số nguyên ( an ) xác định bởi
a0  1, a1  1, an  6 an1  5an2 với mọi n  2.

Chứng minh rằng a2012  2010 chia hết cho 2011.
Bài 6.
Cho tam giác ABC không cân tại A và có các góc B, C là các góc nhọn. Xét một điểm D
di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B, C và hình chiếu vng góc của A
trên BC. Đường thẳng d vng góc với BC tại D cắt các đường thẳng AB và AC tương
ứng tại E và F. Gọi M , N và P lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác
AEF , BDE và CDF .
6


Chứng minh rằng bốn điểm A , M , N , P cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 7.

Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức P( x , y )  x n  xy  y n không thể
viết được dưới dạng P( x , y )  G( x , y)H ( x , y ) , trong đó G( x , y), H ( x , y ) là các đa thức với
hệ số thực, khác với đa thức hằng.

Năm 2012.
Bài 1.
Cho dãy số thực ( xn ) xác định bởi

x1  3

.

xn  n  2 ( xn1  2), n  2
3n

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó.
Bài 2.
Cho các cấp số cộng ( an ),(bn ) và số nguyên m  2 .
Xét m tam thức bậc hai
Pk ( x)  x 2  ak x  bk , k  1, 2, 3,..., m.

Chứng minh rằng nếu hai tam thức P1 ( x), Pm ( x) đều khơng có nghiệm thực thì tất cả các
đa thức cịn lại cũng khơng có nghiệm thực.
Bài 3.
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn tâm O và có các cặp cạnh
đối không song song. Gọi M , N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và
CD, AD và BC. Gọi P , Q , S, T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các
 và MBN
 , MBN
 và MCN

 , MCN
 và MDN
 , MDN
 và MAN
 . Giả sử
cặp góc MAN

bốn điểm P , Q , S, T đôi một phân biệt.
7


1) Chứng minh rằng bốn điểm P , Q , S, T cùng nằm trên một đường tròn. Gọi I là tâm
của đường trịn đó.
2) Gọi E là giao điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng ba điểm E, O , I
thẳng hàng.
Bài 4.
Cho số nguyên dương n. Có n học sinh nam và n học sinh nữ xếp thành một hàng
ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số 2n học sinh vừa nêu) được cho một số
kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của X.
Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả 2n học sinh này nhận được không vượt quá
1
n(n 2  1).
3
Bài 5.
Cho một nhóm gồm 5 cơ gái, kí hiệu là G1 , G2 , G3 , G4 , G5 và 12 chàng trai. Có 17 chiếc
ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các
chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi.
2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G1 , G2 , G3 , G4 , G5 .
3/ Giữa G1 và G2 có ít nhất 3 chàng trai.

4/ Giữa G4 và G5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?
Bài 6.
Xét các số tự nhiên lẻ a , b mà a là ước số của b 2  2 và b là ước số của a 2  2 . Chứng
minh rằng a và b là các số hạng của dãy số tự nhiên ( vn ) xác định bởi
v1  v2  1 và vn  4vn1  vn2 với mọi n  2.

Bài 7.
Tìm tất cả các hàm số f :    và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
1/ f là toàn ánh từ  đến  .
2/ f là hàm số tăng trên .
3/ f ( f ( x))  f ( x)  12 x với mọi số thực x.
8