tiểu luận xử lý tính hiệu số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
KHOA ĐIỆN, ĐIỆN TỬ VÀ CÔNG NGHỆ VẬT LIỆU
KHOA ĐIỆN, ĐIỆN TỬ VÀ CƠNG NGHỆ VẬT LIỆU

TÊN
TÀI
TIỂU
LUẬN
TÊN
ĐỀĐỀ
TÀI
TIỂU
LUẬN
PHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHSAI
SAIPHÂN
PHÂNTUYẾN
TUYẾNTÍNH
TÍNHHỆ
HỆSỐ
SỐHẰNG
HẰNG. CÁC
. CÁC
PHƯƠNG
BƯỚCĐỂ
ĐỂTÌM
TÌMNGHIỆM
NGHIỆMTỔNG
TỔNGQT

QTCỦA
CỦAPHƯƠNG
PHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHSAI
SAI
BƯỚC
PHÂNTUYẾN
TUYẾNTÍNH
TÍNHHỆ
HỆSỐ
SỐHẰNG
HẰNGTRỰC
TRỰCTIẾP
TIẾPTRONG
TRONGMIỀN
MIỀNN.CÁC
N.CÁC
PHÂN
HỆTHỐNG
THỐNGSỐ
SỐKHƠNG
KHƠNGĐỆ
ĐỆQUY
QUYVÀ
VÀĐỆ
ĐỆQUY
QUY
HỆ

TÊN LỚP HỌC PHẦN : VI XỬ LÍ TÍN HIỆU SỐ - NHĨM 1

HỌC
PHẦN
2021-2022.1.DTV3023.001
TÊN LỚPMÃ
HỌC
PHẦN
: VI: XỬ
LÍ TÍN HIỆU SỐ - NHĨM 1
GIẢNG
VIÊN
HƯỚNG
DẪN: NGUYỄN VĂN ÂN
MÃ HỌC
PHẦN
: 2021-2022.1.DTV3023.001

Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Văn Ân
Sinh viên thực hiện

: Hoàng Minh Tuệ

Mã sinh viên

HUẾ,
THÁNG 12 NĂM 2021
: 19T1051023

HUẾ, THÁNG 12 NĂM 2021

Mục Lục
I.

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.......................................3


Dạng tổng quát.................................................................................... 3

II. Các nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng
1. Tìm nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất............................5
Phương trình thuần nhất là phương trình khơng có thần phần thứ 2 tức là
ta tìm y (n) ứng với đầu vào x( n)  0 nghiệm này ta kí hiệu là y0 (n) ....5
2. Tìm nghiệm của phương trình sai phân có thành phần thứ hai............6
Phương trình có thành phần thứ hai tức là là phương trình ứng với đầu
vào x(n) �0 có dạng tổng quát như sau :.................................................6
3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân...............................6
4. Tìm giá trị các hệ số............................................................................6
III. Các hệ thống không đệ quy và đệ quy.................................................8


Hệ thống số không đệ quy...................................................................8



Hệ thống số đệ quy.............................................................................. 8


I.

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
 Dạng tổng quát
Trong chương trình của chúng ta , chúng ta chỉ đi sâu nghiên cứu các
hệ thống tuyến tính bất biến, mà dảy vào và dảy ra của hệ thống này
được liên hệ với nhau bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng bậc N.
Một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N có dạng sau :
n

�a
k 0

k

m

y (n  k )  �br x (n  r )
r 0

Nhận xét :
 Tập hợp các hệ số Ak và Br sẻ biểu diển một hệ thống tuyến tính
bất biến.
 Chúng ta có thể viết phương trình khác dưới dạng sau đây
N

M

k 1

r 0

a0 y ( n)  �ak y (n  k )  �br x(n  r )
Nếu a0 �0
N
a
br
 y ( n)  � x( n  r )  � k y ( n  k )
r 0 a0
k 1 a0
M

M

N

r 0

k 1

 y ( n)  �b 'x(n  r )  �a 'k y (n  k )

b 'r 

a
br
; a 'k  k ; a0 �0
a0
a0

Ta có thể giải phương trình sai phân tuyến tính hệ sống hằng bằng

các phép toán số học sở cấp : nhân , tổng và hiệu
Ví dụ 1 : Ta có phương trình sai phân bậc nhất sau :

y (n)  ay ( n  1)  x(n)

Ta sẻ tìm đáp ứng xung của hệ thống với điều kiện đầu

y (1)  0 với n  0 và y ( n)  0 với n  0
Giải : Nếu x( n)   ( n)  y ( n)  h( n)
Với điều kiện đầu y ( n)  0 với n  0 ta có
h(n)  0 với n  0

4


h(0)  ah(1)   (0)  a.0  1  1
h(1)  ah(0)   (1)  a.1  0  a
h(2)  ah(1)   (2)  a.a  0  a 2
h(n)  ah(n  1)   (n)  a.a n1  0  a n
 h(n)  a n u ( n)  e( n)
Hệ thống này là nhân quả

Với điều kiện đầu y ( n)  0 với n  0

1
y (n  1)  [ y ( n)  x( n)]
a
1
y (n)  [ y (n  1)  x(n  1)]
a

 h(n)  0 với n  0
1
1
h(0) [ h(1)   (1)]  [0  0]  0
a
a
1
1
1
h(1)  [ h(0)   (0)]  [0  1]    ( a 1 )
a
a
a
1
1
h(2)  [ h(1)   (1)]  [  a 1  0]   a 2
a
a
1
1
h(n)  [ h( n  1)   (n  1)]  [ a n1  0]   a n
a
a
 h(n)  a nu (n  1)
Hệ thống này là không nhân quả ( phản nhân quả )
 Ta thấy rằng trong cùng một phương trình sai phân nhưng với điều
kiện đầu khác nhau , ta có các nghiệm khác nhau
Nhận xét :


Chúng ta thường gặp các hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả
với kích thích vào nhân quả tức là h(n) và x (n) là nhân quả trong
trường hợp này đáp ứng ra của chúng ta củng sẻ là nhân quả và
chúng ta có thể tìm đáp ứng ra y (n) của hệ thống bằng tích chập

y ( n)  x ( n)  h( n)  h( n)  x (n )
5


II.

Và tích chập này sẻ được tính từ 0 đến n
Các nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng
1. Tìm nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất
Phương trình thuần nhất là phương trình khơng có thần phần
thứ 2 tức là ta tìm y ( n) ứng với đầu vào x(n)  0 nghiệm này
ta kí hiệu là y0 (n)
Như vậy phương trình sai phân sẻ có dạng :
N

�a
k 0

k

y (n  k )  0

Thơng thương nhất ta tìm nghiệm dưới dạng hàm mũ như sau

y0 n   n (1)
N

Thay vào (1) ta được

�a 
k 0

k

n k

0

n
n 1
n ( N 1)
n N
a


a


...

a



a

0
0
1
N

1
N
Hoặc là

  n N (a0 N  a1 N 1  ...  aN 1  aN )  0
Và ta có phương trình

a0 N  a1 N 1  ...  aN 1  aN  0
 Phương trình này gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống , và đa
thức bên trái gọi là đa thức đặc trưng, đa thức này có bậc là N
Phương trình đặc trưng (1) sẻ có nghiệm là N kí hiệu 1 ,  2 ,... n .
Các nghiệm này có thể thực hoặc phức. Nếu các nghiệm này trùng

nhau thì ta có nghiệm bội . Nếu các hệ số a0 , a1.....aN là thực (trong
thực tế thường như vậy) thì các nghiệm phức sẻ là các cặp liên hợp
phức
 Ta có các nghiệm đơn ta sẻ có nghiệm tổng qt của phương trình
sai phân thuần nhất dưới dạng sau :
N

y0 ( n)  A11n  A2 2n  ...  AN 1 Nn 1  AN  Nn  �Ak kn
k 1

Ở đây A1 , A2 ... An là các hằng số sẻ được xác định bởi điều kiện đầu
đả cho đối với hệ thống.
6


 Các nghiệm đặc trưng có các nghiệm bội thì dạng của nghiệm

y0 (n) sẻ thay đổi . Giả sử  2 là nghiệm bội bậc l ta sẻ có :
l 1
y0 (n)  A11n  A20 2n  A21n 2n  A22 n 2 2n  ....  A2 (l  1)n  2n  ...  AN  Nn
l 1

 y0 (n)  A11n  ( A20  A21n  ...  A2 (l  1) n ) 2n  ... AN 1 Nn 1  AN  Nn
2. Tìm nghiệm của phương trình sai phân có thành phần thứ hai
Phương trình có thành phần thứ hai tức là là phương trình ứng
với đầu vào x(n) �0 có dạng tổng quát như sau :
N

�a
k 0

k

M

y ( n  k )  �br x( n  r )
r 0

Nghiệm riêng ta kí hiệu là

y p (n)

thường dạng này sẻ giống với

dạng của x (n)
3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân sẻ là tổng của nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất y0 (n) và nghiệm riêng của
phương trình có thành phần thứ 2

y p ( n)

y ( n)  y0 ( n)  y p ( n)

4. Tìm giá trị các hệ số

Giá trị các hệ số nghiệm cuối cùng y (n) sẻ xác định nhờ điều kiện
đầu .

 ở bước 2 khi ta chọn

y p ( n)

y ( n)
giống dạng của x (n) nhưng nếu p

y (n)
lại nằm trong y0 (n) tức là trong thành phần y0 n có p
như vậy
y ( n)

trong y ( n) thì p
là thừa và vô nghĩa . Trong trường hợp này ta
sẻ chọn

y p ( n)

y ( n)
độc lập với các thành phần y0 n cách chọn p

lúc này củng giống như cách chọn y0 n khi phương trình đặc trưng
có nghiệm bội
Ví dụ : Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc
một sau đây

y (n)  2 y (n  1)  x(n)
Với điều kiện đầu y ( 1)  0 và x( n)  n
7


Giải :
Tìm y0 (n)
Ta có phương trình thuần nhất

y (n)  2 y ( n  1)  0
n
Chọn dạng của y0 n là 
  n  2 n1  0
 n1 (  2)  0

Phương trình đặc trưng là :

  2  0  1  2

Phương trình chỉ có 1 nghiệm đơn 1  2

 y0 n  A11n  A1 (2)n
y p ( n)

Tìm
Ta có phương trình thành phần thứ 2

y (n)  2 y ( n  1)  n
y p ( n)

Vậy

có dạng giống x( n)  n

 y p ( n)  Bn  C

Thay vào phương trình ta sẻ tìm được B và C

Bn  C  2[ B(n  1)  C ]  n

Bn  C  2 Bn  2 B  2C  n

Đồng nhất các hệ số của 2 vế ta có :

1
2

Bn  ; C 
3
9
1
2
 y p ( n)  n 
3
9

1
2
y ( n)  y0 ( n)  y p ( n)  A1 (2) n  n 
3
9
Tìm y (n)
Xác định hệ số A1
Dựa vào điều kiện đầu y  (1)  0 ta có :
1 2
y (1)  A1 (2) 1    0
3 9
2
 A1  
9

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
8


y ( n) 
III.

Các hệ thống không đệ quy và đệ quy

Chúng ta sẻ phân biệt hai hệ thống số tiêu biểu , đó là hệ thống khơng đệ quy và
hê thống đệ quy
 Hệ thống số không đệ quy
Chúng ta biết rằng các hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng
bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc N như sau
N

�a
k 0

k

M

y ( n  k )  �br x( n  r )
r 0

Trong trường hợp N = 0 ta có :
M
b
y (n)  � r x(n  r ); a0 �0
r 0 a0
M

y (n)  �br x(n  r ); a0  1

r 0

Hoặc
(2)
- Từ đó ta có định nghĩa sau : Hệ thống đặc trưng bởi phương trình
sai phân tuyến tính bậc không ( N = 0 ) được gọi là hệ thống không
đệ quy

- Từ quan hệ ta thấy rằng br là các hằng số. Vậy thì hệ thống khơng
đệ quy là hệ thống đáp ứng ra y (n) của nó chỉ phụ thuộc vào kích
thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ ta có thể viết

y (n)  F [ x(n), x( n  1),...x( n  M )]
Ở đây F là kí hiệu là hàm

Bây giờ từ (2) ta gọi hk  bk ta sẻ có
M

y ( n)  �h( k ) x( n  k )

(3)

k 0

Phương trình (3) là biểu thức của tích chập giữa h(n) và x(n) khi

h(n) là nhân quả và có chiều dạn hửu hạn : L[h(n)]  M  1 hửu
hạn h( n) chính là đáp ứng xung của hệ thống khơng đệ quy. Vây ta
có thể nói rằng hệ thống tuyến tính biến nhân quả có đáp ứng xung
chiều dại hữu hạn được mơ ta bởi phương trình (3) là hệ thống
không đệ quỵ
 Hệ thống số đệ quy

9


Trng trường hợp N > 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng bậc N như sau :
A
a
br
y (n)  � x(n  r )  � k y (n  k ); a0 �0
r 0 a0
k 1 a0
M

M

N

 �br x(n  r )  �ak y (n  k ); a0  1

(4)
Vậy ta có định nghĩa sau : Hệ thống được đặc trưng bơi phương
trình sai phân bậc N > 0 được gọi là hệ thống đệ quy
- Nhận xét :
r 0

k 1

Từ quan hệ (4) tâ thấy rằng br và ak là các hằng số vậy thì hệ
thống đệ quy là hệ thống mà đáp ứng ra y (n) của nó phụ thuộc
vào kích thích vào ở thời điểm hiện tại và quá khứ và cả vào đáp

ứng ra ở thời điểm quá khứ.

y (n)  F [ y (n  1), y (n  2),... y (n  N ), x(n), x(n  1),...x( n  M )]

Ở đây F kí hiệu là hàm

Nếu ta giải phương trình (4) với kích thích vào x (n)   ( n) ta sẻ
tìm được đáp ứng xung h( n) . Ta sẻ thấy rằng đáp ứng xung của hệ
thống đệ quy sẻ có chiều dài vơ hạn. Và nếu ta giải phương trình
(4) với điều kiện đầu y (n) = 0 với n  0 thì hệ thống sẻ là nhân
quả và h( n) sẻ là dảy nhân quả. Vậy hệ thống đệ quy là hệ thống
mà đáp ứng xung h(n) của nó là chiều dài vô hạn.

10


TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA….....................
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
PHIẾU ĐÁNH GIÁ TIỂU LUẬN
Học kỳ ....... Năm học …-…
Cán bộ chấm thi 1

Cán bộ chấm thi 2

Nhận xét: ...............................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................

..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Điểm đánh giá của CBChT1:
Bằng số: ........................................................
Bằng chữ: ......................................................

Nhận xét: ............................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
Điểm đánh giá của CBChT2:
Bằng số: ..................................................
Bằng chữ: ................................................

Điểm kết luận: Bằng số................................ Bằng chữ:..............................................
Thừa Thiên Huế, ngày …… tháng …… năm 20…

CBChT1
CBChT2
(Ký và ghi rõ họ tên)
(Ký và ghi rõ họ tên)

11