Tài liệu Toán Ứng dụng - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng docx

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)

Nội dung

7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
7.2 – Chéo hóa ma trận.
7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.
7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.
7.6 – Dạng toàn phương
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

v
Av
u
Au
Ví dụ.
3 2
1 0
A

 

 
 
1

1
u

 

 
 
2
1
v
 

 
 
Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác
không, sao cho .
Ax x



Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A
tương ứng với trị riêng .

Tính và . Hãy cho biết nhận xét.
Au
Av
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Giải
1 6 6 24

5 2 5 20

    
 
    

    
Au
Ví dụ
1 6
5 2
A
 

 
 
6
5
u
 

 

 
3
2
v
 

 


 
Véctơ nào là véctơ riêng của A?
Ta có
4.
Au u
 
là véctơ riêng
u

1 6 3 9
5 2 2 11

    
 
    

    
Av
Không tồn tại số để

Av v


không là véctơ riêng
v

6
4 4.
5

u
 
   
 

 
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Giải. Xét hệ phương trình
1
Ax x


Ví dụ.
3 4
6 5
A
 

 
 
1 2
1; 3
 
  
Số nào là trị riêng của A?
1 1
2 2
3 4
1

6 5
x x
x x
   
 
  
   
 
 
   
1 2
1 2
4 4 0
6 6 0
x x
x x
 



 

Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,
ví dụ
1
1
x
 

 


 
khi đó
1
.


Ax x
Vậy là trị riêng.
1

Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng.
2

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Hệ thuần nhất có nghiệm khác không
Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương
trình đặc trưng.


Giả sử là trị riêng của ma trận A
0

0 0 0 0
0:
x Ax x

   
0 0 0

0
Ax x

  
0 0
( ) 0
A I x

  
0
det( ) 0
A I

  
Đa thức gọi là đa thức đặc trưng của A.
( ) det( )
A
P A I
 
 
được gọi là phương trình đặc trưng của
ma trận vuông A.
det( ) 0
A I

 
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng
det( ) 0.


 
A I
(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo )

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.
Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của
phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại.
Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR (chẳng hạn)
1

1
( ) 0.

 
A I X
bằng cách giải hệ phương trình
Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng
với trị riêng
1
.

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng
tương ứng với trị riêng đó.
Định nghĩa
Không gian nghiệm của hệ được gọi là
Định nghĩa
không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu

1
( ) 0
A I X

 
1

1
E

Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phương
trình đặc trưng.

Định nghĩa

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số
của nó.
Định lý
Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập
tuyến tính.
Định lý
Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 ( 0).
Chú ý

7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Ví dụ.
3 1 1

2 4 2
1 1 3
 
 

 
 
 
A
det( ) 0
A I

 
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của
các kgian con riêng ứng.
Lập phương trình đặc trưng của A:
3 1 1
2 4 2 0
1 1 3




  

2 1
( 2) ( 6) 0
 
   
BĐS = 2

BHH chưa biết?
1
2


Trị riêng
BĐS = 1
BHH = 1
2
6


Trị riêng
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

1
( ) 0

 
A I X
1
2 1 2
3
1 0
0 1
1 1
x
x x x
x
 

   
 
   
 
 
   
   
 
 
   
 
Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát
1 0
0 , 1
1 1
 
   
 
   
 
   
   
 
 
   
 
là cơ sở của kgian
con riêng
1
2

E E


1
2
3
3 1 1
2 4 2 0
1
2
1 3
2
2
x
x
x
  
  
 
  
  
  



Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với
1
2.




1
dim( ) 2
E


Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con
riêng ứng với trị riêng
2
6.


7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Ví dụ.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
 
 
 

 
 
 


   

A

Tìm trị riêng; cơ sở, chiều
của các kgian con riêng ứng
của ma trận vuông cấp n.
Xét phương trình đặc trưng:
det( ) 0
A I

 
Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng
1, ta có thừa số chung là suy ra là trị riêng thứ 2.
( )
n


2
n


Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng .
1
0


Tương ứng với TR xét hệ thuần nhất
1
( ) 0
A I X

 
1

0


Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của
TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớn hơn hoặc bằng n -1.
1

Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

1) là trị riêng của A
0

Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.
0

1) Chứng tỏ là trị riêng của ma trận A
m
.
0
m

2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A
-1.
0
1

0 0 0 0
0:
x Ax x


   
0 0 0 0
. .
m
A x A A Ax A A A x

 
0 0

m
x

 
Chứng tỏ là trị riêng của A
m
.
0
m

7.2 Chéo hóa ma trận

Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là
cùng chung tập trị riêng).
Định lý
Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là

1
( ) .
P P AP B


 
det( )
B I


1
det( )
P AP I


 
1 1
det( )
P AP P IP

 
 
1
det( ( ) )
P A I P


 
1
det( ).det( ).det( )
P A I P


 

det( )
A I

 
Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng.
Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ
riêng thì khác nhau.
Chú ý.
7.2 Chéo hóa ma trận

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với
ma trận chéo.
Định nghĩa
Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho
1
P AP D


trong đó D là ma trận chéo.
Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được.
Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma
trận chéo D.
Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D.
Giả sử ma trận vuông A chéo hóa được bởi ma trận P và D.
11 1
1
n
n nn
a a
A

a a
 
 

 
 
 

  

11 1
1
n
n nn
p p
P
p p
 
 

 
 
 

  



*1 *2 *
n

P P P


1
2
0 0
0 0
0 0
n
D



 
 
 

 
 
 


   

7.2 Chéo hóa ma trận

Trong đó là các cột thứ 1, thứ 2, …., thứ n
tương ứng của ma trận P.
*1 *2 *
, , ,

n
P P P
11 11
1
1 1
1
n n
n nn nn
n
a a p
AP
a a p
p
p
  
  

  
  
  
 
   
 
 
Cột thứ nhất của AP là:
7.2 Chéo hóa ma trận

AP PD
 
1

P AP D


Ta có
*1
AP

Cột thứ nhất của PD là
111 1
1
0
n
n
nn n
p
PD
p
p
p


  
  

  
  
  
 





*1
1
P


Vậy
*1 1 *1
AP P


Hay là trị riêng của A.
1

là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng
*1
P
1
.

7.2 Chéo hóa ma trận

Hoàn toàn tương tự ta thấy:
Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A.
Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A.
Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng
của A) độc lập tuyến tính.
Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n
véctơ riêng độc lập tuyến tính.

Định lý
Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì
A chéo hóa được.
Hệ quả 1.
7.2 Chéo hóa ma trận

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình
học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng.
Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập)
Giả sử phương trình đặc trưng của A là
2 1
( 2) ( 3) 0
 
  
1
3

 
Bội đại số = 1 Bội hình học = 1
2
2


Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
Để tìm BHH của TR ta tìm chiều của không gian con
riêng (khgian nghiệm) tương ứng của hệ
2
2



2
( ) 0.
A I X

 
Nếu BHH của bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằng
BĐS của chúng, suy ra A chéo hóa được để tạo nên ma trận P.
2
2


Trong trường hợp này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1
VTR ứng với và 2 VTR ứng với .
1

2

7.2 Chéo hóa ma trận

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác
định bội đại số của từng trị riêng.
Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n.
Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị
riêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác định
bội hình học của trị riêng.
Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS
của TR này thì A không chéo hóa được.
Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có
các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử
trên đường chéo chính của D là các trị riêng.

7.2 Chéo hóa ma trận

Ví dụ. Chéo hóa ma trận A (nếu được).
1 3 3
3 5 3
3 3 1
A
 
 
   
 
 
 
Bước 1. Tìm tất cả các trị riêng của A
3 2 2
0 det( ) 3 4 ( 1)( 2)
A I
    
         
1
1


Bội đại số = 1 Bội hình học = 1
2
2

 
Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
7.2 Chéo hóa ma trận

Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A
1
1


Cơ sở :
1
1
1
1
 
 
 
 
 
 
v
2
2

 
Cơ sở :
2 3
1 1
1 ; 0
0 1
u u
 
   

   
 
   
   
   
Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
1
1


 
1
1 2
3
0 3 3 0
3 6 3 0
3 3 0 0
x
A I X x
x

 
   
 
   
     
 
   
   
 

   
 
7.2 Chéo hóa ma trận

Bước 3.
BHH của
2
2
dim( ) 2
E


 
= BĐS của .
2

BHH của
1
1
dim( ) 1
E


 
= BĐS của .
1

Vậy A chéo hóa được.
1 1 1
1 1 0

1 0 1
 
 
 
 
 
 
 
P
1 0 0
0 2 0
0 0 2
D
 
 
 
 

 
 
Thiết lập ma trận P:
Thiết lập ma trận D:
Chú ý: các cột của ma trận P có thể đổi chổ cho nhau, miễn
sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột.
7.2 Chéo hóa ma trận

Ví dụ 6. Chéo hóa ma trận A (nếu được).
2 4 3
4 6 3
3 3 1

A
 
 
   
 
 
 
3 2 2
0 det( ) 3 4 ( 1)( 2)
A I
    
         
1
1
1
1
u
 
 
 
 
 
 
2
1
1
0
u

 

 

 
 
 
Cơ sở :
1
1


Cơ sở:
2
2

 
BĐS của là 2 lớn hơn BHH của .
2
2

 
2

Suy ra A không chéo hóa được.
7.2 Chéo hóa ma trận

Ví dụ. a) Chéo hóa ma trận A nếu được.
5 0 0 0
0 5 0 0
1 4 3 0
1 2 0 3

A
 
 
 


 
 
  
 
b) Tính A
100
2 2
0 det( ) ( 5) ( 3)
A I
  
    
1 2
8 16
4 4
;
1 0
0 1
u u
 
   
   
   
 
   

   
   
Cơ sở :
1
5

